【人教版压轴题】2024～2025年八年级上数学期末解答题真题汇编卷（下）

【人教版】2024~2025年八年级上期末解答题真题汇编卷（下） 一．解答题（共25小题） 1．我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题． 【初步探究】（1）如图1，∠MAN＝120°，AP平分∠MAN，点C是射线AP上一点，∠BCD＝60°，且与AM，AN分别交于点D，B，求证：CD＝CB． 【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的∠BCD绕点C逆时针旋转使点D落在AM的反向延长线上．请探究线段AB，AC和AD之间的数量关系，写出结论并证明． 【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的∠BCD绕点C顺时针旋转使点B落在AN的反向延长线上．请直接写出线段AB，AC和AD之间的数量关系．（不用证明） 2．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．②求x2+6x+11的最小值． 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣12 ＝（a+3﹣1）（a+3+1） ＝（a+2）（a+4） 解：原式＝x2+6x+9+2 ＝（x+3）2+2 ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）当x为何值时，多项式x2+4x﹣6有最小值？请求出这个最小值； （2）若x2+5x+2＝0，求的值； （3）证明：关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解． 3．已知，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足a2﹣8a+160． （1）则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）如图1，若点，OE⊥AC于点F，交AB于点E，点H是线段OB上一点，且∠AEO＝∠BEH，求CH的长； （3）如图2，点P（1，0），点Q在y轴上，且∠OBP+∠OAQ＝45°，求点Q的坐标． 4．实践与探究 小明在一次实验中将一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，在三角板滑动的过程中，小明发现一个有趣的现象． （1）【初步探究】如图1，已知“U”形槽内部∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，BD＝CE，AD＝ 　 　 ． （2）【类比探究】小明在发现上述结论后，对其作了进一步的探究如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点． （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2＝6，直接写出S1的值． 5．已知△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，当∠BAC＝90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：　 　 ； （2）如图②，当0°＜∠BAC＜180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式； （3）如图③，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），请直接写出点A的坐标． 6．△OAB在平面直角坐标系中，OB＝AB，点O（0，0），点B（3，4），点A在x轴上．若x轴正半轴上有一点C（m，0），连接BC，以BC为一边在BC的右侧作△BCD，使BD＝BC，且∠CBD＝∠OBA，连接AD； （Ⅰ）填空：点A的坐标为 　 　 ； （Ⅱ）当m＞6时． 如图2，点D在线段OB延长线上时，请直接用含有m的代数式表示CD的长，CD＝ 　 　 ； （Ⅲ）当0＜m＜6时，直接写出四边形BCAD周长的最小值，及此时m的值． 7．在数学课上，老师提出下面的问题： （1）如图1，Rt△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一个动点，AM⊥BD，垂足为点M，CG⊥AC，AM的延长线交BC于点N，交CG于点G．求证：AD＝CG； 数学兴趣小组的同学对这道题进行了深入研究，进行改编和变式． （2）小聪同学是这样改编的：如图2，在边AC上再取一点E，且AD＝EC，BD和NE的延长线交于点F，求证：△FDE是等腰三角形．请帮小聪同学解决这个问题． （3）小明同学继续提出问题：如图3，如果D、E在直线AC上，且满足AD＝EC，AM⊥BD，垂足为点M，AM交BC于点N，EN交BD于点F，（2）中的结论是否依然成立．请帮小明同学解决这个问题，并说明理由． 8．等边△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点（不与端点重合），连接AE，BD交于点F，且BE＝CD． （1）如图1，求∠AFD的度数； （2）如图2，点M、N分别是线段FD、AF上的动点，连接AM，DN交于点P．若AM平分∠DAF，DN平分∠ADF，求证：AN+DM＝CE； （3）将AE绕点A逆时针旋转60°得到AK，连接CK，在线段AE上存在一点Q，使得QA+QB+QC的值最小，当QA+QB+QC的值最小时，连接BK交AE于点H，请直接写出的值． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题： （1）t为何值时，BE＝BF； （2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 10． 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4，0），B（0，b），且b满足|4﹣b|＝0． （1）求点B的坐标． （2）P（0，t）为y轴上一动点，连接AP，过点P在线段AP上方作PM⊥PA，且PM＝PA． ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB，过点B作PM的平行线交x轴于点R，求点R的坐标（用含t的式子表示）． ②如图2，连接OM，探究当OM取最小值时，线段OM与AB的关系． 11．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE． （1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AE的长度； （2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝APBD； （3）如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ＝45°时，请直接写出的值． 12．问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知等边△ABC纸片中，点D，E分别是AB，AC边上的点，连接DE，将△ADE沿DE折叠得到△A′DE，连接A′B与A'C． 【初步探究】当折痕DE平行BC时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点A'恰好落在BC边上时，求证：△A′BD是等边三角形； （2）如图2，当点A′落在△ABC内部时，求证：△A'BD≌△A'CE； （3）当△A′BD是直角三角形时，若AB＝6，求BD的长； 【深入探究】当折痕DE与BC不平行时，完成下面探索任务： （4）当△A′BD是等腰直角三角形时，请直接写出∠ADE的度数． 13．如图，在平面直角坐标系中，点B（a，b）是第一象限内一点，且a、b满足等式． （1）求点B的坐标； （2）如图1，动点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的正半轴方向运动，同时动点A以每秒3个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒．当△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形时，求t的值； （3）在第（2）问中的点A、C运动条件下，当△ABC为直角三角形时，作∠ABC的平分线BD（参考图2）设BD的长为m，△ADB的面积为S．请直接写出用含m的式子表示S． 14．已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（0，a），点B（b，0），连接AB． （1）若a，b满足a2+2ab+b2＝0，且△ABO的面积为8．直接写出A，B两点坐标：A　 　 ，B　 　 ； （2）如图1，在（1）的条件下，D为AB上一点，连接OD，点E在OD上，若AE＝OA，∠BED＝30°，求证：BE＝OE． （3）如图2，点G，H分别在线段OB，OA上，且∠AGH＝45°，∠ABO＝∠OHG．若GH＝m，AB＝n（n＞m），求△AGH的面积（用含m，n的式子表示）． 15．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在△ABC中，BC2﹣AC2＝CD2，则△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高 ●特例感知：（1）等腰直角三角形 　 　 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ●深入探究：（2）如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用：（3）如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D作DE∥BC交AC于点E．求 的值． 16．如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A为射线OP上一固定的点，点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），作△AOB的两个外角的平分线交于点C． （1）若∠ABO＝60°． ①则∠ACB＝　 　 °； ②若BC＝m，OB＝n，求证；． （2）在OP右侧作∠POF＝72°，且满足OF＝2OA，在点B的运动过程中，线段FC是否可能取到最小值，若可能，请求出此时∠OFC的度数，若不可能，请说明理由． （3）若以O为原点，直线MN为x轴建立平面直角坐标系，作∠ABM的平分线交CA的延长线于点D，过点B作BE⊥AC于点E，若点D、E的横坐标分别为d、e，则点B的横坐标为　 　 .（直接用含d、e的式子表示） 17．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，线段AD和BC相交于点O，OB＝OD，连接AB、CD，∠A+∠C＝180°．求证：AB＝CD． ①如图2，小欣同学的想法是在△COD上复制粘贴△AOB，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交OC于点E，连接DE，从而构造出全等三角形； ②如图3，小铭同学发现∠A+∠C＝180°．故将△AOB复制粘贴在△COD的外侧，以点D为圆心，DO长为半径画弧，交OC延长线于点E，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法或按自己的想法写出完整的解题过程． 【类比分析】 （2）请你在理解了小欣同学或小铭同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题．如图4，已知AB∥CD，∠A＝∠CBG＝∠CGB＝60°，猜想线段AB、EF和CD的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）△ABC是等边三角形，点E是直线AC上一动点（点E不与点A、C重合），点F在直线BC上，连接BE，EF，使EF＝BE．过点E作EH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为，AE＝1，请直接写出线段BH的长． 18．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CH平分∠ACB交BE于点G，交AB于点H． （1）求证：△BCG≌△CAF； （2）当点D是CF的中点时，求的值； （3）如图2，连接AG，若∠GAC＝2∠FCH，，求AC的长． 19．综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“（a+b）”的展开式”开展主题学习． 【阅读发现】 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了（a+b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示． （1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是　 　 ，（m﹣1）3的展开式为　 　 ； 【运用规律】 （2）判断代数式的值是否会随着m的变化而变化，若不变，求这个值；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图是一个棋盘，由8×8个黑白交替的正方形方块组成，A，B分别表示起点和终点，有一颗棋子在A方块处．棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从A方块出发7步走到B方块，则共有　 　 种不同的走法．（图中★表示的是其中的一种走法） 20．如图，等边△ABC中，过点A在AB右侧作射线AP，交BC于点D，记∠BAP＝α（0°＜α＜30°），点B与点E关于直线AP对称，连接AE，连接CE并延长交射线AP于点F． （1）如图，当α＝15°时，求∠AEC的度数； （2）在α变换过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围，如果不变化，求∠AFE的大小； （3）在BA上截取BG＝BD，连接DE、GE，记GE与AP交于点H，求线段AH，HE，EC之间的数量关系． 21．如图1，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C（2，﹣2），CA⊥AB，且CA＝AB． （1）求点B的坐标； （2）CA、CB分别交坐标轴于D、E，求证：S△ABD＝S△CBD； （3）连接DE，如图2，求证：BD﹣AE＝DE． 22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，CE⊥AB，垂足E，CE的延长线交∠ABC外角平分线于点D． （1）如图1，连接AD，求证：△ACD是等边三角形； （2）如图2，点M为CD上一点，连接AM，作等边△AMN，连接CN，F是BC延长线上一点，求∠FCN的度数； （3）如图3，点H为线段BC上一点，连接HA，作∠AHG＝60°，HG交BD延长线于G，探究三条线段BH，BA与BG之间的数量关系，并证明． 23．在平面直角坐标系中，已知点A（x，0），B（0，y），且x，y满足|x﹣6|+（y﹣2）2＝0． （1）求A、B两点的坐标； （2）如图1，以AB为斜边构造等腰直角△ABC，求点C的坐标； （3）如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是线段AC上的一点（不与A、C重合），AE⊥BD，垂足为点E，当点D在线段AC上运动时，∠BEC的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 24．在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 　 ； （2）如图3，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的矩形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此矩形的长和宽； （3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+b+c＝8，ab+bc+ac＝22，求a2+b2+c2的值． 25．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则 ①∠BEC＝ 　 　 °；②线段AD、BE之间的数量关系是 　 　 ． （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度． （3）探究发现： 如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长． 【人教版】2024~2025年八年级上期末解答题真题汇编卷（下） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题． 【初步探究】（1）如图1，∠MAN＝120°，AP平分∠MAN，点C是射线AP上一点，∠BCD＝60°，且与AM，AN分别交于点D，B，求证：CD＝CB． 【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的∠BCD绕点C逆时针旋转使点D落在AM的反向延长线上．请探究线段AB，AC和AD之间的数量关系，写出结论并证明． 【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的∠BCD绕点C顺时针旋转使点B落在AN的反向延长线上．请直接写出线段AB，AC和AD之间的数量关系．（不用证明） 【答案】（1）见解析； （2）AB＝AC+AD； （3）AD＝AB+AC． 【解答】（1）证明：过点C作CE⊥AN交于E，过点C作CF⊥AM交于N， ∴∠CFD＝∠CEA＝90°， ∵AC是∠MAN的平分线， ∴CE＝CF， ∵∠MAN＝120°， ∴∠ECF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∵∠BCD＝60°， ∴∠DCF＝60°﹣∠BCF，∠BCE＝60°﹣∠BCF， ∴∠DCF＝∠BCE， ∴△CDF≌△CBE（AAS）， ∴CD＝CB； （2）解：AB＝AC+AD，理由如下： 在AB上截取AG＝AC，连接CG， ∵∠PAB∠MAN＝60°， ∴△ACG是等边三角形， ∴AC＝CG， 由（1）知BC＝CD，∠BCD＝60°， ∵∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝60°，∠BCD＝∠DCG+∠BCG＝60°， ∴∠ACD＝∠BCG， ∵∠MAN＝120°，∠AGC＝60°， ∴∠CAD＝∠CGB＝120°， ∴△BCG≌△DCA（AAS）， ∴AD＝BG， ∴AB＝AG+BG＝AC+AD； （3）解：AD＝AB+AC，理由如下： 在AD上截取AH＝AC，连接CH， ∵∠MAC＝60°， ∴△ACH是等边三角形， ∴AH＝CH＝AC， ∵∠CHA＝60°，∠MAC＝∠CAN＝60°， ∴∠CHD＝∠BAH＝120°， ∵∠ACH＝∠BCA+∠HCB＝60°，∠DCB＝∠DCH+∠BCH＝60°， ∴∠DCH＝∠BCA， ∴△CDH≌△CBA（AAS）， ∴DH＝AB， ∴AD＝DH+AH＝AB+AC． 2．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．②求x2+6x+11的最小值． 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣12 ＝（a+3﹣1）（a+3+1） ＝（a+2）（a+4） 解：原式＝x2+6x+9+2 ＝（x+3）2+2 ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）当x为何值时，多项式x2+4x﹣6有最小值？请求出这个最小值； （2）若x2+5x+2＝0，求的值； （3）证明：关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解． 【答案】（1）当x＝﹣2时，多项式x2+4x﹣6有最小值，最小值为﹣10； （2）﹣9； （3）证明见解析过程． 【解答】（1）解：因为x2+4x﹣6＝x2+4x+4﹣10＝（x+2）2﹣10， 又因为（x+2）2≥0， 所以（x+2）2﹣10≥﹣10， 故当x＝﹣2时，多项式x2+4x﹣6有最小值，最小值为﹣10． （2）解：由题知， 原式＝2（x2+5x）+x． 因为x2+5x+2＝0， 所以x2+5x＝﹣2，2+x2＝﹣5x， 则原式＝2×（﹣2）+x ＝﹣5﹣4 ＝﹣9． （3）证明：令x2+8x+20＝0， 则Δ＝82﹣4×1×20＝﹣16＜0， 所以方程x2+8x+20＝0无实数根， 所以关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解． 3．已知，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足a2﹣8a+160． （1）则a＝ 　4　 ，b＝ 　4　 ； （2）如图1，若点，OE⊥AC于点F，交AB于点E，点H是线段OB上一点，且∠AEO＝∠BEH，求CH的长； （3）如图2，点P（1，0），点Q在y轴上，且∠OBP+∠OAQ＝45°，求点Q的坐标． 【答案】（1）4，4； （2）1； （3）． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足a2﹣8a+160， 由题意得：， 解得：， 故答案为：4，4； （2）点，OE⊥AC于点F，交AB于点E，如图1，过点B作BM⊥y轴交OE延长线于点M， ∴∠EOA+∠OAC＝90°，OC， ∵∠BOE+∠AOE＝90°， ∴∠BOE＝∠OAC， 在△OBM和△AOC中， ， ∴△OBM≌△AOC（ASA）， ∴， ∵∠AEO＝∠BEM，∠AEO＝∠BEH， ∴∠BEM＝∠BEH， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝45°， ∵BM⊥y轴， ∴∠MBE＝45°， 在△BME和△BEH中， ， ∴△BME≌△BHE（ASA）， ∴， ∴CH＝OC+BH﹣BO＝1， ∴CH＝1； （3）在y轴上取点N（0，﹣1），连接AN，作EN⊥AN交AQ延长线于点E，作EF⊥y轴于点F，连接OE，如图2， ∴OP＝ON＝1， 在△BOP和△AON中， ， ∴△BOP≌△AON（SAS）， ∴∠OBP＝∠OAN， ∵∠OBP+∠OAQ＝45°， ∴∠OAN+∠OAQ＝45°， ∴∠NAE＝45°， ∵EN⊥AN， ∴∠AEN＝∠NAE＝45°， ∴EN＝AN， ∵∠ENF+∠ONA＝∠ONA+∠NAO＝90°， ∴∠ENF＝∠NAO， 在△EFN和△NOA中， ， ∴△EFN≌△NOA（AAS）， ∴EF＝ON＝1，FN＝OA＝4， ∴FO＝3， ∴点E（﹣1，3）， ∵S△AEO＝S△AOQ+S△EOQ， ∴， ∴， ∴． 4．实践与探究 小明在一次实验中将一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，在三角板滑动的过程中，小明发现一个有趣的现象． （1）【初步探究】如图1，已知“U”形槽内部∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，BD＝CE，AD＝ BE ． （2）【类比探究】小明在发现上述结论后，对其作了进一步的探究如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点． （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2＝6，直接写出S1的值． 【答案】（1）BE； （2）证明见解析； （3）S1＝3． 【解答】（1）解：∵∠D＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠EBC＝90°， ∴∠BAD＝∠EBC， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE， 故答案为：BE； （2）证明：如图2，作DM⊥AF于M，作EN⊥AF于N， 同（1）理可得：△ABF≌△DAM，△ACF≌△EAN， ∴AF＝DM，AF＝EN， ∴DM＝EN，DG＝MD， 在△DMG和△ENG中， ， ∴△DMG≌△ENG（AAS）， ∴DG＝EG， ∴点G是DE的中点； （3）解：已知四边形ABCD和DEGF为正方形，如图3，作PQ⊥CE，交CE于点P，交AF于点Q，过点A作AM⊥PQ于M，过点F作FN⊥PQ于N， ∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF， 同（1）理可得：△ADM≌△DCP，△DFN≌△EDP， ∴S△ADM＝S△DCP，S△DFN＝S△EDP，AM＝DP，FN＝DP， 在△AMQ和△FNQ中， ， ∴△AMQ≌△FNQ（AAS）， ∴S△AMQ＝S△FNQ， ∴S1＝S△ADQ+S△FNQ+S△DFN＝S△ADQ+S△AMQ+S△DFN ＝S△ADM+S△DFN ＝S△DCP+S△EDP ＝S△DCE＝S2， ∴S1＝S2， ∵S1+S2＝6， ∴S1＝3． 5．已知△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，当∠BAC＝90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：DE＝BD+CE ； （2）如图②，当0°＜∠BAC＜180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式； （3）如图③，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），请直接写出点A的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE； （2）DE＝BD+CE的数量关系不变， 理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角， ∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD， ∵∠BDA＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N， ∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2）， ∴OC＝2，ON＝1，BN＝2， ∴CN＝3， 由（1）可知，△ACM≌△BCN， ∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2， ∴OM＝OC+CM＝4， ∴点A的坐标为（﹣4，3）． 6．△OAB在平面直角坐标系中，OB＝AB，点O（0，0），点B（3，4），点A在x轴上．若x轴正半轴上有一点C（m，0），连接BC，以BC为一边在BC的右侧作△BCD，使BD＝BC，且∠CBD＝∠OBA，连接AD； （Ⅰ）填空：点A的坐标为 　（6，0）　 ； （Ⅱ）当m＞6时． 如图2，点D在线段OB延长线上时，请直接用含有m的代数式表示CD的长，CD＝ m ； （Ⅲ）当0＜m＜6时，直接写出四边形BCAD周长的最小值，及此时m的值． 【答案】（I）（6，0）； （II）①证明见解答；②m； （III）四边形BCAD的周长的最小值＝14，此时m的值是3． 【解答】解：（I）如图1，过点B作BE⊥OA于E， ∵OB＝AB，B（3，4）， ∴OE＝AE＝3， ∴点A的坐标为（6，0）； 故答案为：（6，0）； （II）①如图2，∵点C（m，0）， ∴OC＝m， ∵∠CBD＝∠OBA， ∴∠OBC＝∠ABD， ∵OB＝AB，BC＝BD， ∴△OBC≌△ABD（SAS）， ∴AD＝OC＝m，∠OCB＝∠ADB， ∵∠AMC＝∠BMD， ∴∠DAC＝∠CBD＝∠OBA； ②如图3，同理得：△OBC≌△ABD（SAS）， ∴AD＝OC＝m，∠OCB＝∠ADB， ∵OB＝AB，BC＝BD， ∴∠AOB＝∠OAB，∠BCD＝∠BDC， ∵∠CBD＝∠OBA， ∴∠BCD＝∠AOB， ∵∠DAC＝∠AOB+∠ADO，∠ACD＝∠ACB+∠BCD， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴CD＝AD＝m； 故答案为：m； （III）如图4，同理得：△OBC≌△ABD， ∴AD＝OC， ∴AC+AD＝AC+OC＝OA＝6， ∵四边形BCAD的周长＝BC+BD+AC+AD＝2BC+6， ∴当BC1⊥OA时，四边形BCAD的周长最小，此时BC1＝4， ∴四边形BCAD的周长的最小值＝2×4+6＝14， 此时m的值是3． 7．在数学课上，老师提出下面的问题： （1）如图1，Rt△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一个动点，AM⊥BD，垂足为点M，CG⊥AC，AM的延长线交BC于点N，交CG于点G．求证：AD＝CG； 数学兴趣小组的同学对这道题进行了深入研究，进行改编和变式． （2）小聪同学是这样改编的：如图2，在边AC上再取一点E，且AD＝EC，BD和NE的延长线交于点F，求证：△FDE是等腰三角形．请帮小聪同学解决这个问题． （3）小明同学继续提出问题：如图3，如果D、E在直线AC上，且满足AD＝EC，AM⊥BD，垂足为点M，AM交BC于点N，EN交BD于点F，（2）中的结论是否依然成立．请帮小明同学解决这个问题，并说明理由． 【答案】（1）∵AM⊥BD，∠BAD＝90°， ∴∠AMB＝90°， ∴∠ABD+∠BAM＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAG+∠BAM＝90°， ∴∠ABD＝∠CAG， 在△ABD和△CAG中， ， ∴△ABD≌△CAG（ASA）， ∴AD＝CG； （2）∵△ABC是直角三角形，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°，∠BAC＝90°， ∵AC⊥CG， ∴∠ACG＝90°，∠BCG＝45°， ∵AM⊥BD，∠BAD＝90°， ∴∠AMB＝90°， ∴∠ABD+∠BAM＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAG+∠BAM＝90°， ∴∠ABD＝∠CAG， 在△ABD和△CAG中， ， ∴△ABD≌△CAG（ASA）， ∴AD＝CG＝EC，∠ADB＝∠CGA， 在△CEN和△CGN中， ， ∴△CEN≌△CGN（SAS）， ∴∠CEN＝∠CGN， ∵∠ADB＝∠FDE，∠CEN＝∠FED， ∴∠FDE＝∠FED， ∴DF＝EF， ∴△FDE是等腰三角形； （3）依然成立，过点C作CG⊥ED交AM延长线于点G，则∠BCG＝45°， ∵AM⊥BD，∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠BAM＝∠CAG+∠BAM＝90°， ∴∠ABD＝∠CAG， 在△ABD和△CAG中， ， ∴△ABD≌△CAG（ASA）， ∴∠ADB＝∠CGA，AD＝CG， ∵AD＝EC， ∴CE＝CG， 在△CEN和△CGN中， ， ∴△CEN≌△CGN（SAS）， ∴∠CEN＝∠CGN， ∴∠ADB＝∠CEN， ∴DF＝EF， ∴△FDE是等腰三角形． 【解答】（1）证明：∵AM⊥BD，∠BAD＝90°， ∴∠AMB＝90°， ∴∠ABD+∠BAM＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAG+∠BAM＝90°， ∴∠ABD＝∠CAG， 在△ABD和△CAG中， ， ∴△ABD≌△CAG（ASA）， ∴AD＝CG； （2）证明：∵△ABC是直角三角形，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°，∠BAC＝90°， ∵AC⊥CG， ∴∠ACG＝90°，∠BCG＝45°， ∵AM⊥BD，∠BAD＝90°， ∴∠AMB＝90°， ∴∠ABD+∠BAM＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAG+∠BAM＝90°， ∴∠ABD＝∠CAG， 在△ABD和△CAG中， ， ∴△ABD≌△CAG（ASA）， ∴AD＝CG＝EC，∠ADB＝∠CGA， 在△CEN和△CGN中， ， ∴△CEN≌△CGN（SAS）， ∴∠CEN＝∠CGN， ∵∠ADB＝∠FDE，∠CEN＝∠FED， ∴∠FDE＝∠FED， ∴DF＝EF， ∴△FDE是等腰三角形． （3）解：△FDE是等腰三角形，证明过程如下： 过点C作CG⊥ED交AM延长线于点G，则∠BCG＝45°， ∵AM⊥BD，∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠BAM＝∠CAG+∠BAM＝90°， ∴∠ABD＝∠CAG， 在△ABD和△CAG中， ， ∴△ABD≌△CAG（ASA）， ∴∠ADB＝∠CGA，AD＝CG， ∵AD＝EC， ∴CE＝CG， 在△CEN和△CGN中， ， ∴△CEN≌△CGN（SAS）， ∴∠CEN＝∠CGN， ∴∠ADB＝∠CEN， ∴DF＝EF， ∴△FDE是等腰三角形． 8．等边△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点（不与端点重合），连接AE，BD交于点F，且BE＝CD． （1）如图1，求∠AFD的度数； （2）如图2，点M、N分别是线段FD、AF上的动点，连接AM，DN交于点P．若AM平分∠DAF，DN平分∠ADF，求证：AN+DM＝CE； （3）将AE绕点A逆时针旋转60°得到AK，连接CK，在线段AE上存在一点Q，使得QA+QB+QC的值最小，当QA+QB+QC的值最小时，连接BK交AE于点H，请直接写出的值． 【答案】（1）∠AFD＝60°； （2）CE＝DM+AN； （3）． 【解答】（1）解∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABE＝∠C＝60°，AB＝BC， ∵BE＝CD ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBD 又∵∠AFD是△ABF的外角 ∴∠AFD＝∠BAE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD＝60°， （2）证明：如图，作∠APD的平分线PQ，交AC于Q， ∵∠AFD＝60°， ∴∠DAF+∠ADF＝180°﹣∠AFD＝120°， ∵AM平分∠DAF，DN平分∠ADF ∴∠NAP＝∠QAP，∠QDP＝∠MDP ∴∠ANP＝∠QAP+∠QOP＝60°，∠APD＝120° ∴∠MPD＝60°APA， 又∵PQ平分∠APD， ∴∠APQ＝∠QPD＝60° ∴， ∴△ANP≌△AQP（ASA）， ∴AN＝AQ， 同理可得：△PQD≌△PMD（ASA）， ∴DM＝QD， ∴AN+DM＝AQ+QD＝AD ∵△ABE≌△BCD， ∴BE＝CD， 又∵BC＝AC， ∴BC﹣BE＝AC﹣CD， ∴CE＝AD＝AN+DM； （3）解：将CQ顺时针旋转60°得到CM，将CA顺时针旋转60°得到CN，链接MN、QM， 由辅助线易得∠QCM＝∠ACN＝60°，CQ＝CM，CA＝CN， ∴∠ACQ＝∠NCM，△MCQ是等边三角形， ∴QC＝QM，△ACQ≌△NCM（SAS）， ∴QA＝MN， ∴QA+QB+QC＝QB+QM+MN≥BN， 如图，当且仅当B、Q、M、N四点共线时取等， 连接AN，则△ACN是等边三角形， ∴AN＝CN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB， ∴BN垂直平分AC， ∴∠CBQ＝30° ∵△MCQ是等边三角形， ∴∠CQM＝60°， ∴∠BCQ＝30°， ∴AE垂直平分BC， 即Q是△ABC三条高线的交点， ∴AQAE， 设BE＝x，则AB＝2x， 在Rt△ABE中，AEx， ∴AQAEx， ∵∠BAC＝∠EAK＝60°， ∴∠BAE＝∠CAK， ∵AB＝AC，AE＝AK， ∴△ABE≌ACK（SAS）， ∴CK＝BE＝x，∠ABE＝∠ACK＝60°， 过K作KP⊥BC交BC的延长线于点P， ∵∠ACB＝60°， ∴∠KCP＝60°，∠CKP＝30°， ∴CPx， 在Rt△KCP中，KPx， ∵EH∥KP， ∴，即， 解得HEx， ∴． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题： （1）t为何值时，BE＝BF； （2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t；（2）S6t；（3）存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时ts；（4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由见解析． 【解答】解：（1）BC8cm． 由题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， ∴BE＝（10﹣t）cm， ∵BE＝BF， ∴10﹣t＝2t， ∴t． ∴t为时，BE＝BF； （2）过点F作FH⊥AB于点H，如图， ∵∠FHB＝∠C＝90°，∠B＝∠B， ∴△BFH∽△BAC， ∴， ∴， ∴FHt． 由题意：△AEF≌△AGF， ∴S△AEF＝SAGF． ∵S四边形ABFG＝S△AFB+S△AGF＝S△ABF+S△AEF， ∴SAB•FH•FH10ttt6t． ∴S关于t的函数关系式为S6t； （3）存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，理由： 由题意：△AEF≌△AGF， ∵点G落在线段AC上， ∴∠GAF＝∠BAF， ∴， ∴， 解得：t． ∴存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时t． （4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由： 若四边形AEFG为菱形， ∴AE＝EF＝t， 过点E作EM⊥BC于点M，如图， ∵EM⊥BC，AC⊥BC， ∴EM∥AC， ∴，， ∴， ∴EM（10﹣t），BM（10﹣t）， ∴FM＝|BM﹣BF|＝|2t|． ∵EF2＝EM2+FM2， ∴， 整理得：9t2﹣65t+125＝0， ∵Δ＝652﹣4×9×125＝﹣275＜0， ∴此方程无解， ∴不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形． 10． 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4，0），B（0，b），且b满足|4﹣b|＝0． （1）求点B的坐标． （2）P（0，t）为y轴上一动点，连接AP，过点P在线段AP上方作PM⊥PA，且PM＝PA． ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB，过点B作PM的平行线交x轴于点R，求点R的坐标（用含t的式子表示）． ②如图2，连接OM，探究当OM取最小值时，线段OM与AB的关系． 【答案】（1）B（0，4）； （2）①R（﹣t，0）；②OM′且OM′∥AB． 【解答】解：（1）∵b满足|4﹣b|＝0， ∴B（0，4）； （2）①∵PM⊥AP， ∴∠MPA＝∠AOP＝90°， ∴∠MPB+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°， ∴∠MPB＝∠OAP， 又∵BR∥MP， ∴∠MPB＝∠RBO， ∴∠PAO＝∠RBO， 而A（4，0），B（0，4） ∴OA＝OB， ∴△RBO≅△PAO（ASA）， ∴RO＝PO； ∵P（0，t）且点P在y轴正半轴上， ∴R（﹣t，0）； ②如图3，过点M作MN⊥y轴于N， ∵PM⊥PA， ∴∠MPN+∠APO＝90°， ∵∠PAO+∠APO＝90°， ∴∠MPN＝∠PAO， ∵PM＝PA，∠PNM＝∠POA＝90°， ∴△PMN≅△APO（AAS）， ∴MN＝PO，PN＝OA， 又∵OA＝OB， ∴OB＝PN， ∴BN＝OP＝MN， ∴BMN是等腰直角三角形， ∴∠NBM＝45°， ∴M点在过B点且与y轴正半轴成45°夹角的直线上运动， 如图4，设直线BM′与x轴交于点D，当OM′⊥BD时，OM′最小， ∵∠M′BO＝∠OBA＝∠BAO＝45°， ∴△BDA是等腰直角三角形， ∴BOD是等腰直角三角形，且BD＝BA， 又∵OM⊥BD， ∴△BM′O、△DM′O均是等腰直角三角形， ∴OM，∠M′OD＝∠BAO ∴OM′且OM′∥AB． 11．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE． （1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AE的长度； （2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝APBD； （3）如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ＝45°时，请直接写出的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∴BC＝4， ∵AH⊥BC，AB＝AC， ∴BH＝CH＝2AH， ∵点D为CH中点， ∴DH＝CD， ∴AD， ∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE， ∴AD＝DE，∠ADE＝90°， ∴AEAD＝2； （2）证明：如图2，过点D作DH⊥BC交AB于点H， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BCAC， ∵DH⊥BC， ∴∠BHD＝∠DBH＝45°，∠BDH＝90°， ∴BD＝DH，∠AHD＝135°， ∴BHBD， ∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE， ∴AD＝DE，∠ADE＝90°＝∠BDH， ∴∠ADH＝∠EDB， ∴△ADH≌△EDB（SAS）， ∴AH＝BE，∠DBE＝∠DHA＝135°， ∴∠ABE＝90°＝∠CAP， 又∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACP， ∴△BAE≌△ACP（ASA）， ∴AP＝BE， ∴AP＝BE＝AH， ∴AB＝APBD； （3）解：如图3，在AE上截取AN'＝AN，连接MN'， ∵AB平分∠EAD， ∴∠DAB＝∠BAE＝22.5°， 又∵AM＝AM， ∴△AMN≌△AMN'（SAS）， ∴MN＝MN'， ∴DM+MN＝DM+MN'， ∴当点M，点N'，点D三点共线，且DM⊥AE时，DM+MN有最小值， 如图4， ∵DM⊥AE，DE＝AD， ∴∠ADM＝∠EDM＝45°， ∵折叠， ∴DQ⊥BK，∠BKD＝∠BKQ， ∵∠DKQ＝45°， ∴∠BKD＝∠BKQ＝22.5°， ∵∠AMK＝∠ADM+∠BAD＝∠BKD+∠KBA， ∴∠KBA＝∠ADM＝45°， ∴∠KBD＝∠ABK+∠ABC＝90°， ∴KB⊥BD， 又∵DQ⊥BK， ∴点B，点Q，点D三点共线， ∵折叠， ∴DQ＝2BD， ∵∠BAD＝22.5°， ∴∠CAD＝67.5°，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝67.5°， ∴∠CAD＝∠ADC， ∴AC＝DC， ∴BD＝BC﹣CDAC﹣AC， ∴DQ＝2BD＝2AC﹣2AC， ∴2． 12．问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知等边△ABC纸片中，点D，E分别是AB，AC边上的点，连接DE，将△ADE沿DE折叠得到△A′DE，连接A′B与A'C． 【初步探究】当折痕DE平行BC时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点A'恰好落在BC边上时，求证：△A′BD是等边三角形； （2）如图2，当点A′落在△ABC内部时，求证：△A'BD≌△A'CE； （3）当△A′BD是直角三角形时，若AB＝6，求BD的长； 【深入探究】当折痕DE与BC不平行时，完成下面探索任务： （4）当△A′BD是等腰直角三角形时，请直接写出∠ADE的度数． 【答案】（1）证明过程详见解答； （2）证明过程详见解答； （3）BD＝4或2； （4）∠ADE＝45° 或67.5°． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°， ∵△ADE沿DE折叠得到△A′DE， ∴∠A′DE＝∠ADE＝60°， ∴∠A′DB＝180°﹣∠ADE﹣∠A′DE＝60°， ∴△A′BD是等边三角形； （2）证明：由（1）知：∠ADE＝60°，∠A′DB＝60°， 同理可得， ∠AED＝∠ACB＝60°，∠A′EC＝60°， ∴△ADE是等边三角形，∠A′DB＝∠A′EC， ∴AD＝AE， ∵△ADE沿DE折叠得到△A′DE， ∴A′D＝AD，A′E＝AE， ∴A′D＝A′E， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∴△A'BD≌△A'CE； （3）解：如图1， 当∠BA′D＝90°时， ∵∠BD′A＝60°， ∴BD＝2A′D， ∵A′D＝AD， ∴BD＝2AD， ∴BDAB， 如图2， 当∠A′BD＝90°时， ∵∠A′DB＝60°， ∴AD＝2BD， ∴BD， 综上所述：BD＝4或2； （4）解：如图3， 当∠BDA′＝90°时，∠ADE＝∠A′DE， 如图3﹣2， 当∠BA′D＝90°时，∠BDA′＝∠A′BD＝45°， ∴∠ADE67.5°， 如图3﹣2， 当∠A′BD＝90°时， ∠BDA′＝45°， ∴∠ADE＝67.5°， 综上所述：∠ADE＝45° 或67.5°． 13．如图，在平面直角坐标系中，点B（a，b）是第一象限内一点，且a、b满足等式． （1）求点B的坐标； （2）如图1，动点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的正半轴方向运动，同时动点A以每秒3个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒．当△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形时，求t的值； （3）在第（2）问中的点A、C运动条件下，当△ABC为直角三角形时，作∠ABC的平分线BD（参考图2）设BD的长为m，△ADB的面积为S．请直接写出用含m的式子表示S． 【答案】（1）B（4，1）； （2）t＝1； （3）． 【解答】解：（1）点B（a，b）是第一象限内一点，且a、b满足等式． ∴a﹣4＝0，b﹣1＝0， ∴a＝4，b＝1， ∴B（4，1）； （2）如图1，过B作BH⊥x轴于H． ∵B（4，1）， ∴BH＝1， 由题意得OA＝3t，OC＝t， ∵△ACB是以AB斜边的等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCH＝90°， ∵BH⊥x轴， ∴∠OHB＝90°， ∴∠BCH+∠CBH＝90°， ∴∠ACO＝∠CBH， ∵∠AOC＝∠CHB＝90°， 在△AOC与△CHB中， ， ∴△AOC≌△CHB（AAS）， ∴OC＝BH＝1， ∴t＝1， ∴当t＝1时，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形； （3）过点A作AF⊥DB，交BD延长线于F，AF延长线交BC的延长线于点E． ∵∠AFB＝∠ACB＝∠ACE＝90°， ∴∠CAE+∠E＝90°，∠FBE+∠E＝90°， ∴∠CBD＝∠CAE， 在△DCB和△ECA中 ， ∴△DCB≌△ECA（ASA）， ∴AE＝DB＝m， 在△BFA和△BFE中， ， ∴△BFA≌△BFE（ASA）， ∴， ∴． 14．已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（0，a），点B（b，0），连接AB． （1）若a，b满足a2+2ab+b2＝0，且△ABO的面积为8．直接写出A，B两点坐标：A　（0，4）　 ，B　（﹣4，0）　 ； （2）如图1，在（1）的条件下，D为AB上一点，连接OD，点E在OD上，若AE＝OA，∠BED＝30°，求证：BE＝OE． （3）如图2，点G，H分别在线段OB，OA上，且∠AGH＝45°，∠ABO＝∠OHG．若GH＝m，AB＝n（n＞m），求△AGH的面积（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）（0，4）；（﹣4，0）； （2）证明见解答； （3）． 【解答】（1）解：由题意得a＞0，b＜0， ∵△ABO的面积为8， ∴， ∴a•|b|＝16， ∵a2+2ab+b2＝0， ∴（a+b）2＝0， ∴a＝﹣b， ∴a＝4，b＝﹣4， 故答案为：（0，4）；（﹣4，0）； （2）证明：如图，过A作AM⊥OE于点M，过B作BN⊥OE于点N， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°， ∵AE＝OA， ∴OM＝EM， ∴OE＝2OM， ∵∠BED＝30°， ∴BE＝2BN， 又∵∠AOM+∠MAO＝∠AOM+∠BON， ∴∠MAO＝∠BON， 在△AOM和△OBN中， ， ∴△AOM≌△OBN（AAS）， ∴OM＝BN， ∴BE＝OE； （3）解：如图，过A作AE⊥GH延长线于点E，延长AE交x轴于点F， ∵∠AGH＝45°， ∴AE＝EG， ∵∠FEG＝∠AOF＝90°， ∴∠AFO＝∠OHG，∠EAH＝∠OGH， 又∵∠ABO＝∠OHG， ∴∠ABO＝∠AFO， ∴AB＝AF， ∵∠EAH＝∠OGH，AE＝EG，∠AEH＝∠FEG＝90°， ∴△AEH≌△GEF（ASA）， ∴EH＝EF，EG＝AE， 设EH＝EF＝x，则EG＝x+m，AE＝n﹣x， ∴x+m＝n﹣x， ∴， ∴． 15．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在△ABC中，BC2﹣AC2＝CD2，则△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高 ●特例感知：（1）等腰直角三角形 　是　 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ●深入探究：（2）如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用：（3）如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D作DE∥BC交AC于点E．求 的值． 【答案】（1）是； （2）AD＝CB，理由见解析； （3）． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC， ∴AB2﹣AC2＝BC2＝AC2， ∵AC是BC边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为：是； （2）AD＝CB，理由如下： ∵△ABC是勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高， ∴CA2﹣CB2＝CD2， ∴CA2﹣CD2＝CB2， ∴CA2﹣CD2＝AD2， ∴AD2＝CB2， ∴AD＝CB． （3）如图，过点A作AG⊥DE于点G， ∵△ABC是勾股高三角形，AB＝AC＞BC，CD是AB边上的高， ∴CA2﹣CB2＝CD2，∠CDB＝90°， ∴∠ADG＝∠CBD＝90° 由（2）可知，AD＝CB， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， 在△AGD与△CDB中， ， ∴△AGD≌△CDB（AAS）， ∴DG＝BD． ∵DE∥BC， ∴∠ADG＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AE＝AD， ∵AG⊥DE， ∴DE＝2DG＝2BD， ∵AB＝AC，AE＝AD，设CE＝a， ∴B D＝C E＝a， ∴DE＝2a， ∴． 16．如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A为射线OP上一固定的点，点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），作△AOB的两个外角的平分线交于点C． （1）若∠ABO＝60°． ①则∠ACB＝　45　 °； ②若BC＝m，OB＝n，求证；． （2）在OP右侧作∠POF＝72°，且满足OF＝2OA，在点B的运动过程中，线段FC是否可能取到最小值，若可能，请求出此时∠OFC的度数，若不可能，请说明理由． （3）若以O为原点，直线MN为x轴建立平面直角坐标系，作∠ABM的平分线交CA的延长线于点D，过点B作BE⊥AC于点E，若点D、E的横坐标分别为d、e，则点B的横坐标为　2e .（直接用含d、e的式子表示） 【答案】（1）①45； ②证明见解答； （2）63°． （3）2e． 【解答】（1）①解：∵直线MN⊥PQ，垂足为O， ∴∠AOB＝90°， ∵∠ABO＝60°， ∴∠ABN＝180°﹣ABO＝120°，∠BAP＝∠AOB+∠ABO＝150°， ∵AC、BC分别平分∠BAP、∠ABN， ∴∠BAC∠BAP＝75°，∠ABC∠ABN＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°， 故答案为：45； ②证明：如图1，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABO中，∠BAO＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2OB＝2n， ∴OAn， ∵∠ABC＝∠ABO＝60°，AO⊥BO，AD⊥BC， ∴AD＝OA， 在Rt△ABO和Rt△ABD中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△ABD（HL）， ∴BD＝OB＝n， ∵∠ADC＝90°，∠ACB＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD＝AD＝OAn， ∴BC＝BD+CD＝nn， ∵BC＝m， ∴n＝m﹣n， ∴S四边形OACB＝S△ABO+S△ABC OA•OBBC•AD n×nmn （m﹣n）nm（m﹣n） m2n2． （2）解：如图2，连接OC，过C作CD⊥OP于点D，作CE⊥ON于点E，作CG⊥AB于点G， 由题意可得：CD＝CG，CE＝CG， ∴CD＝CE， ∴OC平分∠PON， ∴∠AOC＝45°，即点C在∠PON的角平分线上， ∵∠POF＝72°， ∴∠NOF＝∠PON﹣∠AOF＝18°，∠FOC＝∠POF﹣∠AOC＝27°， ∵OF＝2OA， ∴点F为定点， 根据点到直线的距离垂线段最短，可知：当CF⊥OC时，CF最小，∠OCF＝90°． ∴∠OFC＝90°﹣∠COF＝63°． （3）解：如图3，过点E作EK⊥x轴于点K，过点D作DH⊥EK于点H，交y轴于点F，作DT⊥BA于点T， 同理可得：DG＝DT＝DF， 则∠DHE＝∠EKB＝90°， ∴∠EDH+∠DEH＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠DEH+∠BEK＝∠BED＝90°， ∴∠EDH＝∠BEK， ∵AC、BD分别平分∠BAP、∠ABO， ∴∠PAB＝2∠BAC，∠ABO＝2∠ABD， ∵∠PAB＝∠ABO+∠AOB＝∠ABO+90°， ∴2∠BAC＝2∠ABD+90°， 即∠BAC＝∠ABD+45°， 又∵∠BAC＝∠ABD+∠ADB， ∴∠ADB＝45°， ∵∠BED＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴DE＝EB， 在△DEH和△EBK中， ， ∴△DEH≌△EBK（AAS）， ∴DH＝EK，EH＝BK， 设点B的横坐标为x，又点D、E的横坐标分别为d、e， ∴DG＝DF＝﹣d，EH＝BK＝x﹣e，DH＝e﹣d，BL＝2e﹣d﹣x， ∵∠DGK＝∠DHK＝∠GKH＝90°， ∴四边形DGKH是矩形， ∴HK＝DG＝﹣d， ∵EH+HK＝EK， ∴x﹣e﹣d＝e﹣d， ∴x＝2e， 故答案为：2e． 17．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，线段AD和BC相交于点O，OB＝OD，连接AB、CD，∠A+∠C＝180°．求证：AB＝CD． ①如图2，小欣同学的想法是在△COD上复制粘贴△AOB，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交OC于点E，连接DE，从而构造出全等三角形； ②如图3，小铭同学发现∠A+∠C＝180°．故将△AOB复制粘贴在△COD的外侧，以点D为圆心，DO长为半径画弧，交OC延长线于点E，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法或按自己的想法写出完整的解题过程． 【类比分析】 （2）请你在理解了小欣同学或小铭同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题．如图4，已知AB∥CD，∠A＝∠CBG＝∠CGB＝60°，猜想线段AB、EF和CD的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）△ABC是等边三角形，点E是直线AC上一动点（点E不与点A、C重合），点F在直线BC上，连接BE，EF，使EF＝BE．过点E作EH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为，AE＝1，请直接写出线段BH的长． 【答案】（1）①证明见解答； ②证明见解答； （2）CD＝AB+EF，理由见解答； （3）BH的长为或． 【解答】（1）证明：①如图2，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交OC于点E，连接DE， ∴OA＝OE， 在△AOB和△EOD中， ， ∴△AOB≌△EOD（SAS）， ∴∠A＝∠OED，AB＝ED， ∵∠A+∠C＝180°，∠OED+∠CED＝180°， ∴∠C＝∠CED， ∴DE＝CD， ∴AB＝CD； ②如图3，以点D为圆心，DO长为半径画弧，交OC延长线于点E， ∴OD＝DE， ∴∠DOC＝∠E， ∵∠AOB＝∠DOC， ∴∠AOB＝∠E， ∵OB＝OD，OD＝DE， ∴OB＝DE， ∵∠A+∠OCD＝180°，∠OCD+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABO和△CDE中， ， ∴△ABO≌△CDE（AAS）， ∴AB＝CD； （2）解：线段AB、EF和CD的数量关系是：AB+EF＝CD，理由如下： 如图4，在GA上截取GK＝CF，连接BK， ∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠A＝60°， ∵∠AFC＝∠DCG+∠FGC＝60°，∠CGB＝∠AGB＝∠FGC＝60°， ∴∠DCG＝∠AGB， ∵∠CBG＝∠BGC＝60°， ∴∠BCG＝60°， ∴△BCG是等边三角形， ∴CG＝BG， ∴△CGF≌△GBK（SAS）， ∴BK＝FG，∠GKB＝∠CFG， ∴∠AKB＝∠AFC＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABK＝∠A＝∠AKB＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝BK＝AK， ∵CG＝BG，∠DCG＝∠BGK，∠CGB＝∠CBG， ∴△CGD≌△GBE（SAS）， ∴CD＝GE， ∵GE＝GF+EF， ∵GF＝BK＝AB， ∴CD＝AB+EF； （3）解：分两种情况： ①点E在AC上，如图5，过点E作EG∥BC，交AB于G， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵EG∥BC， ∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠AEG＝∠ACB＝60°， ∴∠BGE＝∠ECF＝120°，∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°， ∴△AEG是等边三角形， ∴EG＝AE＝1， ∵BE＝EF， ∴∠EBC＝∠F， ∵∠ABC＝∠EBG+∠CBE＝60°，∠BCE＝∠CEF+∠F＝60°， ∴∠EBG＝∠CEF， ∴△EGB≌△FCE（AAS）， ∴EG＝CF＝1， ∵等边△ABC的边长为， ∴CE＝31， ∵EH⊥BC，BE＝EF， ∴BH＝FH，∠CHE＝90°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠CEH＝30°， ∴CHCE， ∴BH＝FH＝CH+CF1； ②点E在CA的延长线上，如图6，过点E作EG∥BC，交BA的延长线于G， 同理可得：EG＝AE＝1，△EGB≌△FCE， ∴CF＝EG＝1，CE＝31， Rt△CHE中，∠CEH＝30°， ∴CHCE， ∴HF＝CH﹣CF1， 同理得：BH＝HF， 综上，BH的长为或． 18．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CH平分∠ACB交BE于点G，交AB于点H． （1）求证：△BCG≌△CAF； （2）当点D是CF的中点时，求的值； （3）如图2，连接AG，若∠GAC＝2∠FCH，，求AC的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的值是2； （3）AC的长是6+2． 【解答】（1）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∵CH平分∠ACB交BE于点G，交AB于点H， ∴∠BCG＝∠ACH∠ACB＝45°， ∴∠BCG＝∠A， 在△BCG和△CAF中， ， ∴△BCG≌△CAF（ASA）． （2）解：如图1，由（1）得△BCG≌△CAF， ∴BG＝CF， ∴BE﹣CF＝BE﹣BG＝EG， ∵∠ACF＝∠CBE， ∴∠CDF＝∠BCF+∠CBE＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°， ∵点D是CF的中点， ∴BD垂直平分CF， ∴BF＝BC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE+45°＝∠CBE+45°， ∴∠CEG＝∠ABE+∠A＝∠ABE+45°，∠CGE＝∠CBE+∠BCH＝∠CBE+45°， ∴∠CEG＝∠CGE， ∴CG＝CE， ∴DE＝DGEG， ∴2， ∴2， ∴的值是2． （3）解：如图2，作EI⊥AG于点I，则∠AIE＝90°， ∵AC＝BC，CH平分∠ACB交BE于点G， ∴CH垂直平分AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴∠BAC﹣∠GAB＝∠ABC﹣∠GBA， ∴∠GAC＝∠CBE＝∠ACF， ∵∠GAC＝2∠FCH， ∴∠ACF＝2∠FCH， ∵∠ACH＝2∠FCH+∠FCH＝45°， ∴∠FCH＝15°， ∴∠GAC＝∠CBE＝∠ACF＝30°， ∴∠GAB＝∠GBA＝∠ABC﹣∠CBE＝15°， ∴∠EGA＝∠GAB+∠GBA＝30°， ∴∠GAC＝∠EGA， 设EI＝m，则AE＝GE＝2EI＝2m， ∴AI＝GIm， ∴AG＝2AI＝2m， ∵S△AEGAG•EI2m2，且S△AEG＝4， ∴2m2＝4， 解得m1＝2，m2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴AE＝GE＝2m＝4，AG＝BG＝2m＝4， ∴BE＝GE+BG＝4+4， ∴CEBE（4+4）＝2+2， ∴AC＝AE+CE＝4+2+26+2， ∴AC的长是6+2． 19．综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“（a+b）”的展开式”开展主题学习． 【阅读发现】 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了（a+b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示． （1）观察图1中的规律可知，图中“★”表示的数是　4　 ，（m﹣1）3的展开式为m3﹣3m2+3m﹣1　 ； 【运用规律】 （2）判断代数式的值是否会随着m的变化而变化，若不变，求这个值；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图是一个棋盘，由8×8个黑白交替的正方形方块组成，A，B分别表示起点和终点，有一颗棋子在A方块处．棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从A方块出发7步走到B方块，则共有　34　 种不同的走法．（图中★表示的是其中的一种走法） 【答案】（1）4；m3﹣3m2+3m﹣1． （2）4048．解题过程见解答． （3）34． 【解答】解：（1）“★”表示的数是3+1＝4，（m﹣1）3＝m3+3m2•（﹣1）+3m•（﹣1）2+（﹣1）3＝m3﹣3m2+3m﹣1． 故答案为：4；m3﹣3m2+3m﹣1． （2）∵（m+2024）3＝m3+3m2•2024+3m•20242+20243，（m﹣2024）3＝m3+3m2•（﹣2024）+3m•（﹣2024）2+（﹣2024）3， ∴（m+2024）3﹣（m﹣2024）3＝2（3m2•2024+20243）＝4048（3m2+20242）， ∴． （3）根据题意，从A到B的“树状图”如下， 14+20＝34． 故答案为：34． 20．如图，等边△ABC中，过点A在AB右侧作射线AP，交BC于点D，记∠BAP＝α（0°＜α＜30°），点B与点E关于直线AP对称，连接AE，连接CE并延长交射线AP于点F． （1）如图，当α＝15°时，求∠AEC的度数； （2）在α变换过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围，如果不变化，求∠AFE的大小； （3）在BA上截取BG＝BD，连接DE、GE，记GE与AP交于点H，求线段AH，HE，EC之间的数量关系． 【答案】（1）75°； （2）∠AFE的大小不会发生变化；60°； （3）AH＝HE+EC 【解答】解：（1）∵点B与点E关于直线AP对称， ∴∠EAP＝∠BAP＝15°，AE＝AB， ∴∠BAE＝15°+15°＝30°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°，AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACE（180°﹣∠CAE）（180°﹣30°）＝75°； （2）∠AFE的大小不会发生变化；理由如下： ∵点B与点E关于直线AP对称， ∴∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB， ∴∠BAE＝α+α＝2α， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣2α，AE＝AC， ∴AEC＝∠ACE（180°﹣∠CAE）[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α， ∵∠AFE+∠EAF＝∠AEC， ∴∠AFE＝∠AEC﹣∠EAF＝60°+α﹣α＝60°， ∴∠AFE的大小不会发生变化； （3）连接BE、GD、BF，延长ED交BC于M， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴BG＝BD， ∴△BDG是等边三角形， ∴BD＝GD，∠BDG＝60°， ∵点B与点E关于直线AP对称， ∴BD＝ED，BF＝EF，BE⊥AP，∠AFB＝∠AFE＝60°，∠BAD＝∠EAH， ∴BD＝GD＝ED，∠CFB＝60°+60°＝120°， ∴∠DGE＝∠DEG，∠DBE＝∠DEB， ∵∠DGE+∠DEG＝∠GDM，∠DBE+∠DEB＝∠BDM， ∴2∠DEG+2∠DEB＝∠GDM+∠BDM＝∠BDG＝60°，即2∠BEG＝60°， ∴∠BEG＝30°， ∵BE⊥AP， ∴∠DHE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AHE＝180°﹣60°＝120°， ∴∠AHE＝∠CFB， ∵∠ABC＝∠AFE＝60°，∠ADB＝∠CDF， ∴∠BAD＝∠FCD， ∴∠EAH＝∠FCD， ∵AB＝AE，AB＝CB， ∴AE＝CB， ∴△AEH≌△CBF（SAS）， ∴AH＝CF， ∵∠AFE＝∠DHE＝60°， ∴△EFH为等边三角形， ∴EF＝EH， ∴AH＝CF＝EF+EC＝EH+EC， ∴AH＝HE+EC． 21．如图1，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C（2，﹣2），CA⊥AB，且CA＝AB． （1）求点B的坐标； （2）CA、CB分别交坐标轴于D、E，求证：S△ABD＝S△CBD； （3）连接DE，如图2，求证：BD﹣AE＝DE． 【答案】（1）（0，4）； （2）证明过程见解答； （3）证明过程见解答． 【解答】解：（1）作CM⊥x轴于M， ∵C（2，﹣2）， ∴CM＝2，CN＝2， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝∠AOB＝∠CMA＝90°， ∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°， ∴∠BAO＝∠ACM， 在△BAO和△ACM中 ∴△BAO≌△ACM（AAS）， ∴AO＝CM＝2，OB＝AM＝AO+OM＝2+2＝4， ∴B（0，4）． （2）证明：如图1，作CN⊥y轴于N， ∵AO＝2， ∴A（﹣2，0）， ∴OA＝CN， ∴根据等底（BD＝BD）等高的三角形面积相等得出：S△ABD＝S△CBD； （3）证明：在BD上截取BF＝AE，连接AF， ∵△BAO≌△CAM， ∴∠ABF＝∠CAE， 在△ABF和△ACE中 ∴△ABF≌△CAE（SAS）， ∴AF＝CE，∠ACE＝∠BAF＝45°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠FAD＝45°＝∠ECD， ∵∠ADO＝∠CDN，∠AOD＝∠CND，OA＝CN， ∴△AOD≌△CND（AAS）， ∴AD＝CD， 在△AFD和△CED中 ∴△AFD≌△CED（SAS）， ∴DE＝DF， ∴BD﹣AE＝DE． 22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，CE⊥AB，垂足E，CE的延长线交∠ABC外角平分线于点D． （1）如图1，连接AD，求证：△ACD是等边三角形； （2）如图2，点M为CD上一点，连接AM，作等边△AMN，连接CN，F是BC延长线上一点，求∠FCN的度数； （3）如图3，点H为线段BC上一点，连接HA，作∠AHG＝60°，HG交BD延长线于G，探究三条线段BH，BA与BG之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠FCN＝30°； （3）AB＝BH+BG，理由见解答． 【解答】（1）证明：如图1，∵∠ABC＝60°， ∴∠ABP＝120°， ∵BD平分∠ABP， ∴∠ABD＝∠DBP＝60°＝∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣60°＝30°， ∵CD⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∠BCE＝30°， ∴∠BDC＝60°﹣30°＝30°＝∠BCD， ∴BD＝BC， ∴DE＝CE， ∴AB是CD的垂直平分线， ∴AD＝AC， ∴△ACD是等边三角形； （2）解：如图2，∵△ADC，△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN，∠DAC＝∠MAN＝∠ADC＝60°， ∴∠DAM＝∠CAN， ∵AD＝AC， ∴△ADM≌△ACN（SAS）， ∴∠ACN＝∠ADM＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝90°， ∴∠FCN＝30°； （3）解：AB＝BH+BG，理由如下： 如图3，延长DB至F，使BH＝BF，连接FH， ∵∠ABC＝∠ABD＝60°， ∴∠HBF＝60°， ∴△HBF是等边三角形， ∴FH＝BH，∠BHF＝∠F＝60°， ∴∠ABH＝∠F＝60°， ∵∠AHG＝60°， ∴∠AHG＝∠BHF， ∴∠AHG+∠BHG＝∠BHF+∠BHG， 即∠AHB＝∠GHF， ∴△GHF≌△AHB（ASA）， ∴GF＝AB， ∵GF＝BF+BG， ∴AB＝BH+BG． 23．在平面直角坐标系中，已知点A（x，0），B（0，y），且x，y满足|x﹣6|+（y﹣2）2＝0． （1）求A、B两点的坐标； （2）如图1，以AB为斜边构造等腰直角△ABC，求点C的坐标； （3）如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是线段AC上的一点（不与A、C重合），AE⊥BD，垂足为点E，当点D在线段AC上运动时，∠BEC的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1）A（6，0），B（0，2）； （2）点C的坐标为（4，4）或（2，﹣2）； （3）∠BEC的大小不变，为定值45°． 【解答】解：（1）∵|x﹣6|+（y﹣2）2＝0， ∴x﹣6＝0，y﹣2＝0， ∴x＝6，y＝2， ∴A（6，0），B（0，2）； （2）分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥GC于点F， 则AF＝OG＝OB+BG＝2+BG，GF＝OA＝6，∠CGB＝∠AFC＝90°， ∴∠BCG+∠CBG＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCG+∠ACF＝90°， ∴∠CBG＝∠ACF， 又∵BC＝CA， ∴△CBG≌△ACF（AAS）， ∴BG＝CF，CG＝AF＝OG＝2+BG， ∵CG+CF＝GF＝6， ∴2+BG+BG＝6， ∴BG＝2， ∴OG＝CG＝2+2＝4， ∴点C的坐标为（4，4）； ②如图2，点C在第四象限时，过点C作CG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥GC于点F， 同①得：△CBG≌△ACF（AAS）， ∴BG＝CF，CG＝AF＝OG＝BG﹣OB＝BG﹣2， ∵CG+CF＝GF＝OA＝6， ∴BG﹣2+BG＝6， ∴BG＝4， ∴OG＝CG＝4﹣2＝2， ∴点C的坐标为（2，﹣2）； 综上所述，点C的坐标为（4，4）或（2，﹣2）； （3）∠BEC的大小不变，为定值45°，理由如下： 如图3，过点C作CM⊥BD于点M，CN⊥AE于点N， 则∠BMC＝∠ANC＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠BEN＝90°， ∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠BDC， ∴∠CBD＝∠CAE， ∵AC＝BC， ∴△BCM≌△ACN（AAS）， ∴CM＝CN， ∴EC是∠BEN的角平分线， ∴∠BEC＝∠BEN90°＝45°， 即∠BEC的大小不变，为定值45°． 24．在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：　（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2 ； （2）如图3，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的矩形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此矩形的长和宽； （3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+b+c＝8，ab+bc+ac＝22，求a2+b2+c2的值． 【答案】（1）（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2； （2）图形见解答； （3）20． 【解答】解：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2． 故答案为：（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2； （2）说明：答案不唯一，画图正确，不论画在什么位置， （3）由图4可得，正方形面积＝（a+b+c）2，正方形面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc） ＝82﹣2×22 ＝64﹣44 ＝20． 25．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则 ①∠BEC＝ 　120　 °；②线段AD、BE之间的数量关系是 AD＝BE ． （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度． （3）探究发现： 如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴∠ADC＝∠BEC． ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝120°． ∴∠BEC＝120°． 故答案为：120． ②由①得：△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE； 故答案为：AD＝BE． （2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE为等腰直角三角形 ∴∠CDE＝∠CED＝45°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝135°． ∴∠BEC＝135°． ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°． ∴AB17； （3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示： 则△BEC≌△APC， ∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°， ∴△PCE是等边三角形， ∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4， ∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°， ∵∠APD＝30°， ∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°， 又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°， 即D、P、E在同一条直线上， ∴DE＝DP+PE＝8+4＝12， 在Rt△BDE中，， 即BD的长为13． 第1页（共1页） 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