【人教版压轴题】2024～2025年八年级上数学期末解答题真题汇编卷（上）

【人教版】2024~2025年八年级上期末解答题真题汇编卷（上） 一．解答题（共25小题） 1．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有|A﹣B|＝m（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”．例如：A＝x2+2x+3，B＝x2+2x+1，因为|A﹣B|＝2，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与 　 　 ；②（x+2）2与x2+2x　 　 ；③与 　 　 ． （2）已知关于x的整式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2ax+5，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式S＝x2+bx+c，T＝x2+dx，若S，T互为“差值代数式”，且满足（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1． ①求b，c，d的值；②求代数式的最小值． 2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P与直线l给出如下定义：若点P关于直线l的对称点到y轴的距离不超过1，则称点P存在关于直线l的近距对称点．（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0．） （1）在点，P2（﹣1，3），P3（2，2）中，存在关于y轴的近距对称点的是 　 　 ； （2）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，∠AOB＝60°，若点P（t，0）存在关于直线OB的近距对称点，直接写出t的取值范围； （3）已知直线l与x轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，若经过点C（﹣1，1）与点O的直线上任意一点，都存在关于直线l的近距对称点，直接写出∠OAB的度数及点B到直线OC的距离d的取值范围． 3．已知，△ABC和△ACD分别位于边AC的两侧，且满足∠ABC＝∠ADC． （1）如图1，当∠ABC＝50°时，在CD上取点E使得AC＝AE，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，若∠BAC＝2∠DAE，求∠F的度数． （2）如图2，当BC＝AD时，在AB边上截取AG，使得AG＝CD，连接GD与AC相交于点O．求证：点O是GD的中点． （3）如图3，当点D在BC的延长线上且∠ABC＝45°时，以AC为直角边向右作等腰直角△ACM，∠ACM＝90°点P为AB上一点，满足BP＝2AP＝2，点Q为AC上的动点，连接PM、QM．当PM的长度取得最小值时，将△AQM沿直线QM翻折得到△NQM，请直接写出B、N两点之间的最小距离． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2+2ab+b2+（b﹣6）2＝0，点D为线段AB上一动点，连接OD． （1）直接写出a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）点P是射线OD上一点，连接PA，PB，AO＝BP，∠APD＝30°．求△PBO的面积； （3）在（2）的条件下，点E是线段AB上一动点，以OE为边在OE上方作等边△OEF，连接DF．若OD＝a，求OF+DF的最小值（结果用含a的式子表示）． 5．如图，在▱ABCD中，AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°． （1）求∠ADB度数． （2）点E是AB上的动点，将△ADE沿直线DE翻折等到△A′DE，则线段A′B是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点P是线段AB上的动点，联结CP，A′P，则CP+A′P是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 6．（1）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF＝45°时，求证：DF+BE＝EF； （2）如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边BC、DC上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明． 7．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是线段BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求DE+DF的值． 他们用两种方法表示△ABC的面积： 方法一：如图，作AG⊥BC于点G，计算△ABC的面积． 解答过程如下：… 方法二：连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAC•DF． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出DE+DF＝　 　 ． 【学以致用】 如图2，直线y与x轴交于点A，且经过点D（2，m），已知点C的坐标为（6，0）． （1）求直线CD的解析式； （2）在直线CD上有一动点P，且点P到直线AD的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点P的坐标． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点A（0，2）与点B关于x轴对称，AB＝AC． （1）求∠OCA的度数； （2）如图2，在CA的延长线上取一点D，使得OD＝OC，求证：AD＝AO； （3）如图3，点D为线段AC上一动点，连接BD，在BD左侧以BD为边作等边△BDM，当点D在线段AC上运动时，点M随之运动，当OM取得最小值时，求此时AM的长． 9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB给出如下定义：若点P满足|AP﹣BP|最小，且∠APB＝90°，则称点P为线段AB的美好点． （1）若点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，﹣1），线段AB的美好点P的坐标是 　 　 ． （2）若点M（m，0）为x轴上一动点，点N（0，n）为y轴上一动点， ①在图1中画出线段MN的所有美好点C； ②当点C的坐标为（﹣4，﹣4），点M在x轴正半轴时，m+n的值为 　 　 ． （3）如图2，点D和点E的坐标分别是（1，0），（3，2），点F为线段DE上的动点，点G的坐标是（0，t）（t＜0），以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形上存在线段FG的美好点，直接写出l的取值范围． 10．综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图1，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接BE，CD．同学们发现以下结论：BE与CD的数量关系是 　 　 ； 【变式思考】 （2）如图2，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，若AB＝2，AC＝3，则四边形DBCE面积的最大值是 　 　 ； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边向上作等腰直角三角形ADE且AE＝AD，连接BD，用等式表示线段BE，BD，BC之间的数量关系，并证明． 11．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围． 我们可以延长AD到点E．使DE＝AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是：　 　 ； （2）如图2，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°．点D为BC的中点，求证：EF＝2AD， （3）如图3，四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点E，点F是BC边的中点，∠CEF＝∠ADB，∠BAC+∠BAD＝180°，试探索BD与EF的数量关系，并证明． 12．若x，y，z均为正整数，x与y互素，且x2+y2＝z2，则称数组（x，y，z）为基本勾股数组． 观察下列基本勾股数组： （3，4，5）； （5，12，13）； （7，24，25）； （9，40，41）； … （1）根据以上规律，写出x＝11时，基本勾股数组中y，z之值； （2）若（x，y，z）为基本勾股数组，当y＝8时，求x与z的值； （3）请你猜想基本勾股数组（x，y，z）中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 13．如图1，在平面直角坐标系中，原点为O，一条直线交x轴负半轴和y轴正半轴于点A，B，点C在线段AB上，点D在线段OB上，线段CD的垂直平分线交OA于点E，∠BAO＝∠CDE＝α（0°＜α＜90°）． （1）若α＝30°，则解决以下问题： ①当点D与原点O重合，如图2，求证：AC＝BC； ②如图3，若DC∥OA，连BE，求证：AE＝BE； （2）如图4，过点D作x轴的平行线，交AB于点F，求证：BF＝2AC． 14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A和线段BC、点P在线段OA的垂直平分线上、对于给定的一个正数k，若点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形，且∠BPC≥k°，则称点P为点A关于线段BC的k度等腰点． （1）如图1，点A在y轴上，B（1，0），C（5，0），在P1（3，1），P2（3，2），P3（3，3）中、是点A关于线段BC的90度等腰点的是 　 　 ； （2）如图2，D（3，3），E（m，0），F（m+2，0），若存在点D关于线段EF的90度等腰点．求m的取值范围； （3）如图3，点M（0，2），N（0，n），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°，点T为y轴上的动点，若存在点T关于线段NH的60度等腰点，直接写出点T的纵坐标t的取值范围（用含n的式子表示）． 15．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线y＝kx+6（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当k＝﹣2时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°； ①直接写出OA＝　 　 ，OB＝　 　 ；②点E的坐标　 　 ； （2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出△OBN面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当k时，直线l：y＝﹣4与y轴交于点D，点P（n，﹣4）、Q分别是直线l和直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为（10，0），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标． 16．△ABC的顶点C是平面内一动点，始终保持∠ACB＜120°，分别以AC，BC为边，向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD交AC于点F，连接AE交BC于点G，BD与AE交于点O，连接OC． （1）求证：BD＝AE； （2）求∠AOC的度数； （3）在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点B，C（﹣5+m，0）在x轴上（点B在点C的右侧，m≥0），点A在x轴上方． △A′B′C′与△ABC关于y轴对称，设点P是AC边上任意一点，点P关于y轴的对称点为点P′，△ABC在运动过程中，当点P′落在AB边上时，我们称点P′为△ABC“特征对称点”． 例如：当m＝4时，如图2，点C（﹣1，0），由题意可知P′在A′C′上，A'C'与AB的交点即为点P'，因为点P′在AB上，所以点P′是△ABC“特征对称点”． （1）当m＝0时，点C（﹣5，0），在图1中作出△A'B'C'； （2）如图2，当m＝4时，直接写出点P的坐标 　 　 ； （3）如图3，当点P′为△ABC“特征对称点”时，设△ABC与△A'B'C'重叠部分的面积为S（即图中阴影部分）， ①求S的值（用含m的式子表示），并直接写出m的取值范围； ②当m为何值时，S取最大值，并求出其最大值； （4）当点P′为△ABC“特征对称点”时，以P′B′为直角边作等腰直角三角形P′B′Q，点Q在x轴下方，请直接写出点Q的坐标（用含m的式子表示）． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，OA＝OB，S△AOB＝8． （1）分别求出A、B两点的坐标； （2）点P从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒．点P在运动过程中，若S△AOB＝4S△POB，求此时t的值； （3）在（2）的条件下，连接BP，过点A作AC⊥BP，垂足为C，交y轴于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与△ABN全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），动点P（m，0）（﹣4＜m＜4），M、N分别为点P关于直线AB、OA的对称点，连接AM，AN． （1）如图1，当0＜m＜4时，∠MAN＝ 　 　 ； （2）如图2，当﹣4＜m＜0时，是否存在点P，使得，若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由； （3）当﹣4＜m＜0时，四边形ANBM的面积是否随点P的运动而改变？若不变，请求出四边形ANBM的面积；若改变，请描述四边形ANBM的面积随点P运动的变化规律． 20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为平面内任意一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE：连接BE交AD于点G． （1）如图1，点D为BC中点，若BC＝4，求BG的长； （2）如图2，若点D在线段BE上，连接CD并取中点F，连接AF交BE于点H．∠ABD＝30°，AC与BE交于点M，证明：； （3）如图3，若BC＝4，点K为BC的中点，连接EK，DK，CD，将△ADK沿直线AK翻折，点D落在D′的位置，当EK+BD′的值最小且△ACD为等腰三角形时，请直接写出此时△ACD的面积． 21．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，作∠ACB的平分线CF，交BD于点O，OD＝20cm，点H从点C出发以每秒3cm的速度沿射线CF运动，连接BH，以BH为边，在BH的右侧作等边△BHE，连接OE． （1）求线段OC的长． （2）点H在运动的过程中，BE与CE是否始终保持相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． （3）点H在运动的过程中，连接DE，当DE取得最小值时，求点H的运动时间． 22．在平面直角坐标系中，一个三角形有顶点在坐标轴上． （1）如图1，△AOB的顶点O在原点上，∠AOB＝90°，AO＝BO，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D． ①若点B坐标为（3，﹣1），求点A的坐标； ②若点A坐标为（a，b），请直接写出点B的坐标 　 　 （用含a，b的代数式表示）； （2）如图2，△EOF的顶点O在原点上，点G坐标为（0，3），点H坐标为（﹣3，0），点F坐标为（m，3），点E坐标为（﹣3+m，3+m），且m＜﹣3，OE与GH的延长线交于点K，连接FK．猜想FK与OE的关系，并证明； （3）如图3，点P在x轴正半轴上，坐标为，点Q在y轴负半轴上，坐标为，若∠PMQ＝90°，且PM＝QM，请直接写出点M的坐标 　 　 （用含n的代数式表示）． 23．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，且k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）． （1）求点A的坐标； （2）将线段AB绕点A顺时针旋转90°到AD，作直线BD交x轴于点C，求直线BC的解析式； （3）在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当△BDP的面积是△ABD面积的一半时，求出此时点P的坐标． 24．平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴正半轴，点B（b，0）在x轴正半轴，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，点C关于y轴的对称点为点D，连接AD，BD，且BD交y轴于点E． （1）补全图形，若∠CAD＝140°，求∠BEO的度数； （2）若|a﹣3|+b2﹣6b+9＝0，求证：AD垂直平分BC； （3）若a＞b时，探究OE，AE，DE的数量关系，并证明． 25．已知：实数m满足m2+16＝8m． （1）直接写出m的值为 　 　 ； （2）如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上的点，D是x轴正半轴上的点． ①如图1，B是y轴正半轴上O，A之间的点，C是x轴正半轴上O，D之间的点，若∠CBD＝45°，∠BCO＝∠DAO，AD＝2m，BC＝2，求△CBD的面积． ②如图2，若AO＝m，，在坐标系中第二、四象限夹角平分线上一点P的坐标为（n，﹣n），以AP为斜边作等腰Rt△APQ（A，P，Q按逆时针排列）． （Ⅰ）求点Q的纵坐标； （Ⅱ）连接DQ，当DQ的值最小时，直接写出n的值为 　 　 ． 【人教版】2024~2025年八年级上期末解答题真题汇编卷（上） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有|A﹣B|＝m（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”．例如：A＝x2+2x+3，B＝x2+2x+1，因为|A﹣B|＝2，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与 　√　 ； ②（x+2）2与x2+2x　×　 ； ③与 　√　 ． （2）已知关于x的整式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2ax+5，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式S＝x2+bx+c，T＝x2+dx，若S，T互为“差值代数式”，且满足（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）①√，②×，③√； （2）a＝1或a＝﹣1或a＝3或a＝﹣3； （3）①b＝7，c＝11，d＝7；②． 【解答】解：（1）①|1﹣（1）|＝2，所以1与1互为“差值代数式”，“差值”为2， 故答案为：√； ②|（x+2）2﹣（x2+2x）|＝|x2+4x+4﹣x2﹣2x|＝|2x+4|，所以（x+2）2与x2+2x不是（x+2）2与x2+2x， 故答案为：×； ③||＝|12|＝1，所以当x≠0时，与 互为“差值代数式”，“差值”为1， 故答案为：√； （2）∵关于x的整式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2ax+5，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4， ∴|M﹣N|＝|（x﹣a）2﹣（x2﹣2ax+5）|＝4， 即|a2﹣5|＝4， ∴a2﹣5＝4或a2﹣5＝﹣4， 当a2﹣5＝4时，即a2＝9，所以a＝3或a＝﹣3； 当a2﹣5＝﹣4时，即a2＝1，所以a＝1或a＝﹣1； 综上所述，a＝1或a＝﹣1或a＝3或a＝﹣3； （3）①∵关于x的整式S＝x2+bx+c，T＝x2+dx，若S，T互为“差值代数式”， ∴|x2+bx+c﹣x2﹣dx|的结果是常数， ∴b＝d，且“差值”为|c|， 又∵（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1， ∴（x2+7x+10）（x2+7x+12）＝（x2+bx+c+1）（x2+bx+c﹣1）， ∴b＝7，c＝11， 答：b＝7，c＝11，d＝7； ②1， 当x2+7x+16的值最小时，原式的值最大， ∵x2+7x+16的最小值为， ∴的最小值1． 2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P与直线l给出如下定义：若点P关于直线l的对称点到y轴的距离不超过1，则称点P存在关于直线l的近距对称点．（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0．） （1）在点，P2（﹣1，3），P3（2，2）中，存在关于y轴的近距对称点的是 P1，P2 ； （2）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，∠AOB＝60°，若点P（t，0）存在关于直线OB的近距对称点，直接写出t的取值范围； （3）已知直线l与x轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，若经过点C（﹣1，1）与点O的直线上任意一点，都存在关于直线l的近距对称点，直接写出∠OAB的度数及点B到直线OC的距离d的取值范围． 【答案】（1）P1，P2； （2）﹣2≤t≤2； （3）∠OAB＝67.5°或22.5°，0＜d≤1． 【解答】解：（1）点，P2（﹣1，3），P3（2，2）存在关于y轴的对称点分别是（，0），（1，3），（﹣2，2），它们到y轴的距离分别是：1、1≤1、2＞1， ∴P1，P2是关于y轴的近距对称点，故答案为：P1，P2； （2）如图1， 作点P关于直线OB的对称点Q，连接OQ，作QD⊥x轴于点D， ∴∠QOB＝∠AOB＝60°，OQ＝OP＝|t|， ∴∠QOD＝180°﹣∠AOB﹣∠QOB＝60°， ∴∠OQD＝90°﹣∠QOD＝30°， ∴OD， ∴， ∴﹣2≤t≤2； （3）如图2， 直线OC关于直线l的对称直线m须与y轴平行，且点y轴距离小于等于1， ∵C（﹣1，1）， ∴∠GDC＝45°， ∴∠ODB＝∠BDG， ∵DG∥OB， ∴∠OBA＝∠BDG＝22.5°， ∴∠OAB＝90°﹣∠OBA＝67.5°， 当直线l过直线OC和直线x＝1的 交点H时，作HF⊥y轴于F， ∴OHFH， ∵直线x＝1与y轴平行， ∴∠OB′H＝′∠B′HR＝∠B′HC， ∴OB′＝OH， 此时：dOB′＝1， ∴0＜d≤1， 当直线OC沿着直线A′B′′对称时，∠OAB＝22.5°， 综上所述：∠OAB＝67.5°或22.5°，0＜d≤1． 3．已知，△ABC和△ACD分别位于边AC的两侧，且满足∠ABC＝∠ADC． （1）如图1，当∠ABC＝50°时，在CD上取点E使得AC＝AE，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，若∠BAC＝2∠DAE，求∠F的度数． （2）如图2，当BC＝AD时，在AB边上截取AG，使得AG＝CD，连接GD与AC相交于点O．求证：点O是GD的中点． （3）如图3，当点D在BC的延长线上且∠ABC＝45°时，以AC为直角边向右作等腰直角△ACM，∠ACM＝90°点P为AB上一点，满足BP＝2AP＝2，点Q为AC上的动点，连接PM、QM．当PM的长度取得最小值时，将△AQM沿直线QM翻折得到△NQM，请直接写出B、N两点之间的最小距离． 【答案】（1）50°； （2）证明过程详见解答； （3）． 【解答】（1）解：设∠DAE＝α，则∠BAC＝2α， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠AEC＝∠DAE+∠ADC＝50°+α，∠ACF＝∠BAC+∠ABC＝50°+2α， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC＝50°+α， ∴∠ECF＝∠ACF﹣∠ACE＝（50°+2α）﹣（50°+α）＝α， ∴∠ECF＝∠DAE， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠F＝∠ADC＝50°； （2）证明：如图1， 在BA上截取BE＝CD，连接CE，作GF∥AC，交DC的延长线于F，作FH∥AG，交AC于H， ∴四边形AGFH是平行四边形，∠FHC＝∠BAC， ∴AG＝FH， ∵∠ABC＝∠ADC，BC＝AD， ∴△BCE≌△DAC（SAS）， ∴AC＝CE，∠BEC＝∠ACD， ∴∠BAC＝∠AEC，180°﹣∠BEC＝180°﹣∠ACD， ∴∠AEC＝∠ACF， ∴∠BAC＝∠ACF， ∴∠FHC＝∠ACF， ∴CF＝FH， ∵AG＝CD， ∴CF＝CD， ∴OC是△DGF的中位线， ∴O是GD的中点； （3）如图2， 作AE⊥BD于E，作MF⊥BD，交BD的延长线于F， ∴∠AEC＝∠F＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∵∠ACM＝90°， ∴∠ACE+∠MCF＝90°， ∴∠CAE＝∠MCF， ∵AC＝CM， ∴△ACE≌△CMF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝MF， ∵AB＝AD， ∴BE＝DE， ∵∠BAC＝90°， ∴AE＝DEBD，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴DE＝CF， ∴CE＝DF， ∴MF＝DF， ∴∠MDF＝∠DMF＝45°， ∴∠ADM＝180°﹣∠ADB﹣∠MDF＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴点M在过点D且与AD垂直的直线上运动， ∴当PM⊥DM时，PM最小， 如图3， 作MW⊥BD于W， ∵△AQM沿直线QM翻折得到△NQM， ∴MN＝AM， ∴点N在以M为圆心AM为半径的圆上， ∴点B、N、M共线时，BN最小， ∵BP＝2AP＝2， ∴AP＝1，AB＝3， ∴BD， ∵∠ADM＝∠BAD＝∠PMD＝90°， ∴四边形APMD是矩形， ∴DM＝AP＝1， ∵∠MDW＝∠PMD﹣∠ADB＝45°， ∴MW＝DW， ∴BW＝BD﹣DW＝3， ∴BM， ∵MN＝AM， ∴BN最小． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2+2ab+b2+（b﹣6）2＝0，点D为线段AB上一动点，连接OD． （1）直接写出a＝ 　﹣6　 ，b＝ 　6　 ； （2）点P是射线OD上一点，连接PA，PB，AO＝BP，∠APD＝30°．求△PBO的面积； （3）在（2）的条件下，点E是线段AB上一动点，以OE为边在OE上方作等边△OEF，连接DF．若OD＝a，求OF+DF的最小值（结果用含a的式子表示）． 【答案】（1）﹣6，6； （2）9； （3）2a． 【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2+（b﹣6）2＝0， ∴（a+b）2+（b﹣6）2＝0， ∴a+b＝0，b＝6， ∴a＝﹣6，b＝6， 故答案为：﹣6，6； （2）如图，分别过A，B作OD的垂线，垂足分别为E，M． ∵∠BMO＝∠AEO＝∠AOB＝90°， ∴∠BOM+∠OBM＝90°，∠BOM+∠AOE＝90°， ∴∠AOE＝∠OBM， ∵BO＝AO， ∴△AEO≌△OMB（AAS）， ∴OE＝BM，AE＝OM， ∵∠APD＝30°， ∴PA＝2AE＝2OM， ∵BP＝BO＝AO，BM⊥OP， ∴OM＝MP， ∴PA＝PO， 过P作PF⊥OA， ∴OFOA＝3， ∴△PBO的面积9； （3）如图，以OB为边在y轴右侧作等边△OBG，连接GF． ∵∠EOF＝∠BOG＝60°， ∴∠EOB＝∠FOG， ∵OE＝OF，OB＝OG， ∴△OEB≌△OFG（SAS）， ∴∠OGF＝∠OBE＝45°，即点F在与OG夹角为45°的直线GF上运动， 作点D关于FG的对称点T，设直线GF交AB于点F′，连接OF′，TF′． ∵∠DOG＝60°+75°＝135°，∠OGF＝45°， ∴∠DOG+∠OGF＝180°， ∴OD∥GF， 由（2）知∠ODB＝60°， ∴当点F与F′重合时，点E与D重合，此时△ODF′是等边三角形， ∵DT⊥FG， ∴OD⊥DT， ∴∠TDO＝90°， ∵∠ADO＝60°， ∴∠F′DT＝90°﹣60°＝30°， ∵DF′＝F′T， ∴∠T＝∠TDF′＝30°， ∴∠DF′T＝120°， ∴∠DF′O+∠DF′T＝180°， ∴O，F′，T共线， ∴DF+OF的最小值＝线段OT的长， ∵OT＝2OD＝2a， ∴OF+DF的最小值为2a． 5．如图，在▱ABCD中，AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°． （1）求∠ADB度数． （2）点E是AB上的动点，将△ADE沿直线DE翻折等到△A′DE，则线段A′B是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点P是线段AB上的动点，联结CP，A′P，则CP+A′P是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】（1）＝90°； （2）1； （3）1． 【解答】解：（1）取AB的中点E，连接DE、BD， ∵AD＝AE＝1，∠DAB＝60°， ∴△DAE是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， 又∵DE＝BE， ∴， ∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝60°+30°＝90°； （2）因为点A′到点D的距离等于AD，所以点A的轨迹是以D为圆心，以AD为半径的半圆． ∴当A在线段BD上时，线段A′B最小， 即线段AB长度最小值为BD﹣AD1； （3）存在． 作C点关于直线AB的对称点C'，连接A'C'交AB于P，点P即为所求． 当D、A'、C三点共线时，CP+A'P的值最小． ， 所以：，即CP+A'P的最小值为1． 6．（1）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF＝45°时，求证：DF+BE＝EF； （2）如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边BC、DC上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）（1）中的结论仍然成立，理由见解答． 【解答】（1）证明：如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°， ∴点C、D、G三点共线， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°， 又∵∠DAG＝∠BAE， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠FAG＝∠FAE， 又∵AG＝AE，AF＝AF， ∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴FG＝FE， 又∵FG＝FD+DG，DG＝BE， ∴DF+BE＝EF； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝90°， ∴点C、D、G三点共线， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF∠BAD， 又∵∠DAG＝∠BAE， ∴∠DAG+∠DAF∠BAD， 即∠FAG＝∠FAE， 又∵AG＝AE，AF＝AF， ∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴FG＝FE， 又∵FG＝FD+DG，DG＝BE， ∴DF+BE＝EF． 7．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是线段BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求DE+DF的值． 他们用两种方法表示△ABC的面积： 方法一：如图，作AG⊥BC于点G，计算△ABC的面积． 解答过程如下：… 方法二：连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAC•DF． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出DE+DF＝　　 ． 【学以致用】 如图2，直线y与x轴交于点A，且经过点D（2，m），已知点C的坐标为（6，0）． （1）求直线CD的解析式； （2）在直线CD上有一动点P，且点P到直线AD的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点P的坐标． 【答案】【问题探究】（1）见解答；（2）； 【学以致用】（1）yx；（2）P的坐标为（，）或（，）． 【解答】解：【问题探究】 （1）作AG⊥BC于点G，则S△ABCBC•AG＝60； （2）连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB•DEAC•DF（DE+DF）＝60， 则DE+DF， 故答案为：； 【学以致用】 （1）把D（2，m）代入y＝x+得：m＝×2+＝3； ∴D（2，3）， 由点C、D的坐标得，直线CD解析式为yx； （2）过D作DG⊥AC于G，过P作PH⊥AC于H，连接AP， 当P在D下方时，如图： yx，令y＝0得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∵D（2，3），C（6，0）， ∴AC＝8，AD＝5，DG＝3， ∵S△ACD＝S△ADP+S△ACP，点P到直线AD的距离为2， ∴8•PH， 解得PH， 即点P的纵坐标为：x， 解得：x， ∴P（，）； 当P在D上方时，如图： ∵S△ACD＝S△ACP﹣S△ADP， ∴， 解得PH，同理可得：P（，）； 综上所述，P的坐标为（，）或（，）． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点A（0，2）与点B关于x轴对称，AB＝AC． （1）求∠OCA的度数； （2）如图2，在CA的延长线上取一点D，使得OD＝OC，求证：AD＝AO； （3）如图3，点D为线段AC上一动点，连接BD，在BD左侧以BD为边作等边△BDM，当点D在线段AC上运动时，点M随之运动，当OM取得最小值时，求此时AM的长． 【答案】（1）∠OCA的度数是30°； （2）证明见解答； （3）此时AM的长是1． 【解答】（1）解∵点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点A（0，2）与点B关于x轴对称， ∴OC垂直平分AB， ∴AC＝BC， ∵AC＝AB， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠OCA＝∠OCB∠ACB＝30°， ∴∠OCA的度数是30°． （2）证明：由（1）得△ABC是等边三角形，∠OCA的度数是30°， ∴∠BAC＝60°， ∵OD＝OC， ∴∠D＝∠OCA＝30°， ∵∠BAC＝∠AOD+∠D＝60°， ∴∠AOD＝60°﹣∠D＝30°， ∴∠AOD＝∠D， ∴AD＝AO． （3）解：如图3，连接并延长AM交x轴于点E，作OF⊥AE于点F，则∠OFA＝90°， ∵△BDM和△ABC都是等边三角形， ∴MB＝DB，AB＝CB，∠MBD＝∠ABC＝60°， ∴∠ABM＝∠CBD＝60°﹣∠ABD， 在△ABM和△CBD中， ， ∴△ABM≌△CBD（SAS）， ∴∠BAM＝∠BCD＝60°， ∴当点D在线段AC上运动时，点M在线段AE上运动， ∵A（0，2）， ∴OA＝2， ∵∠AOF＝90°﹣∠BAM＝30°， ∴AFOA＝1， ∵OM≥OF， ∴当点M与点F重合时，OM取得最小值，此时AM＝AF＝1， ∴此时AM的长是1． 9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB给出如下定义：若点P满足|AP﹣BP|最小，且∠APB＝90°，则称点P为线段AB的美好点． （1）若点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，﹣1），线段AB的美好点P的坐标是 　（0，0）或（1，﹣1）　 ． （2）若点M（m，0）为x轴上一动点，点N（0，n）为y轴上一动点， ①在图1中画出线段MN的所有美好点C； ②当点C的坐标为（﹣4，﹣4），点M在x轴正半轴时，m+n的值为 　﹣8　 ． （3）如图2，点D和点E的坐标分别是（1，0），（3，2），点F为线段DE上的动点，点G的坐标是（0，t）（t＜0），以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形上存在线段FG的美好点，直接写出l的取值范围． 【答案】（1）线段AB的美好点P的坐标是（0，0）或（1，﹣1）； （2）①画图见解答；②﹣8． （3）﹣5≤t≤﹣1或t＝﹣7． 【解答】解：（1）∵点P满足|AP﹣BP|最小，且∠APB＝90°， ∴AP＝BP，即△APB是等腰直角三角形，且AB是斜边， ∵A（1，0），B（0，﹣1），且∠APB＝90°，如图1， ∴线段AB的美好点P的坐标是（0，0）或（1，﹣1）； （2）①如图2，直线l1，l2即为所求； ②如图3，过点C作PQ∥y轴，交x轴于点Q，过点N作NP∥x轴，交PQ于点P， 则∠P＝∠CQM＝90°， ∵C（﹣4，﹣4）， ∴CQ＝OQ＝PN＝4， ∵点C为线段MN的美好点， ∴CM＝CN，∠MCN＝90°， ∴Rt△CNP≌Rt△MCQ（HL）， ∴PN＝CQ，CP＝MQ， ∴PQ＝CQ+CP＝CQ+QM＝﹣n，OM＝QM﹣OQ＝QM﹣PN＝QM﹣CQ＝m， ∴QM，CQ， ∴OQ＝QM﹣OMm， ∴C（，）， ∴4， ∴m+n＝﹣8， 故答案为：﹣8． （3）如图4，设F（m，n），过点F分别作FK⊥IJ于K，FL⊥x轴于L， 由题意知：点D和点E的坐标分别是（1，0）和（3，2），点F为线段DE上的动点， ∵DR＝ER＝2，则△DRE、△EFK是等腰直角三角形， ∴n＝FL＝KR＝ER﹣EK＝ER﹣FK＝2﹣（3﹣m）＝m﹣1， 即F（m，m﹣1），且1≤m≤3， 设P为线段FG的美好点，P（a，b） 过P作直线l⊥x轴，过F作FT⊥l于t，过G作GS⊥l于S，如图 ∵∠FPG＝90°， ∴∠TPF+∠SPG＝90°， ∵∠SPG+∠PGS＝90°， ∴∠TPF＝∠PGS， 又∵PF＝PG，∠PTF＝∠PSG＝90°， ∴△FPT≌△PGS（AAS）， ∴FT＝PS，TP＝SG， ∴或， 解得：或， 当P在GH上时，a＝﹣3，即3， ∴t＝﹣7， ∴b＝m﹣4， ∵1≤m≤3， ∴﹣3≤b≤﹣1，符合题意； 当P在HJ上时，b＝﹣3，即3或3， ∴t＝﹣5或﹣2m﹣5， ∴a＝m+2（与P在FG左侧矛盾，舍去）或﹣m﹣2， ∵﹣3≤a≤3， ∴﹣5≤m≤1， ∵1≤m≤3， ∴m＝1， ∴t＝﹣2﹣5＝﹣7； 当P在IJ上时，a＝3，即3， ∴t＝2m﹣7， ∴b＝m﹣4， ∵﹣3≤b≤3， ∴1≤m≤7， ∴1≤m≤3， ∴﹣5≤t≤﹣1； 当P在GI上时，b＝3＞m﹣1，不符合题意； 综上所述，t的取值范围为﹣5≤t≤﹣1或t＝﹣7． 10．综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图1，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接BE，CD．同学们发现以下结论：BE与CD的数量关系是 BE＝CD ； 【变式思考】 （2）如图2，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，若AB＝2，AC＝3，则四边形DBCE面积的最大值是 　　 ； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边向上作等腰直角三角形ADE且AE＝AD，连接BD，用等式表示线段BE，BD，BC之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）BE＝CD； （2）； （3）BD＝2BC﹣BE，证明见解答． 【解答】解：（1）如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠BAD+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， 故答案为：BE＝CD； （2）如图2，连接BE、CD交于点F，设CD与AE交于点G， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴AB＝AD，AE＝AC， ∵∠BAD+∠DAE＝∠DAE+∠CAE， 即∠BAE＝∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD， ∵∠ACD+∠AGC＝90°，∠AGC＝∠EGF， ∴∠AEB+∠EGF＝90°， ∴∠EFG＝90°， ∴BE⊥CD， ∴S四边形DBCE＝S△DBE+S△EBCBE×DFBE×CFCD2， ∴当CD最大时，四边形DBCE面积最大，由三边关系可知，CD≤AD+AC， 即当CD＝AD+AC＝2+3＝5时，四边形DBCE面积最大， 四边形DBCE面积最大值52， 故答案为：； （3）BD＝2BC﹣BE． 证明：如图3，过点D作DH⊥AC于点H， 则∠AHD＝90°， ∵△ADE是等腰直角三角形且AE＝AD， ∴∠DAE＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠ACE＝∠DHA， ∵∠AEC+∠EAC＝∠EAC+∠DAH＝90°， ∴∠AEC＝∠DAH， 在△AEC和△DAH中， ， ∴△AEC≌△DAH（AAS）， ∴AC＝DH，CE＝AH， ∴BC＝DH， ∵∠ACB+∠DHA＝180°， ∴BC∥DH， ∴四边形BCHD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形BCHD是矩形， ∴CH＝BD， ∵CH＝AC+AH， ∴BD＝BC+CE＝BC+BC﹣BE＝2BC﹣BE． 11．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围． 我们可以延长AD到点E．使DE＝AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是：　1.5＜AD＜6.5　 ； （2）如图2，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°．点D为BC的中点，求证：EF＝2AD， （3）如图3，四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点E，点F是BC边的中点，∠CEF＝∠ADB，∠BAC+∠BAD＝180°，试探索BD与EF的数量关系，并证明． 【答案】（1）1.5＜AD＜6.5； （2）见解析； （3）BD＝2EF．见解析． 【解答】（1）解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∴∠EDB＝∠ADC， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝5， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴3＜AE＜13， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， ∴3＜2AD＜13， 解得1.5＜AD＜6.5， 故答案为：1.5＜AD＜6.5； （2）证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，则AG＝2AD， ∵点D为BC的中点， ∴CD＝BD， 在△ADC和△GDB中 ， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴∠C＝∠GBD，AC＝BG， ∵AC＝AF， ∴BG＝AF， ∵∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠ABG＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠BAC＝∠EAF， 在△EAF和△ABG中， ， ∴△ABG≌△EAF（SAS）， ∴AG＝EF＝2AD． （3）证明：如图，延长EF到G，使得EF＝FG，连接CG，延长CA到H，使得AH＝AD，连接BH， ∵点F是BC边的中点， ∴CF＝BF， ∵∠EFB＝∠CFG， ∴△BEF≌△CGF（SAS）， ∴BE＝CG，∠G＝∠BEF， ∴CG∥BE， ∴∠BEH＝∠GCE， ∵∠BAC+∠BAH＝180°，∠BAC+∠BAD＝180°， ∴∠BAH＝∠BAD， ∵BA＝BA， ∴△BAH≌△BAD（SAS）． ∴BD＝BH，∠H＝∠ADB， ∵∠ADB＝∠CEF， ∴∠H＝∠CEF＝∠ADB， ∴△HBE≌△EGC（AAS）， ∴EG＝BH＝BD＝2EF． 12．若x，y，z均为正整数，x与y互素，且x2+y2＝z2，则称数组（x，y，z）为基本勾股数组． 观察下列基本勾股数组： （3，4，5）； （5，12，13）； （7，24，25）； （9，40，41）； … （1）根据以上规律，写出x＝11时，基本勾股数组中y，z之值； （2）若（x，y，z）为基本勾股数组，当y＝8时，求x与z的值； （3）请你猜想基本勾股数组（x，y，z）中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 【答案】（1）y＝60，z＝61； （2）x＝15，z＝17； （3）猜想：当x为大于1的奇数时，x＝2k+1（k为正整数），2k，，证明见解析． 【解答】解：（1）观察数据我们发现： （3，4，5）中，4，5， （5，12，13）中，12，13 （7，24，25）中，24，25， （9，40，41）中，40，41， .....． （x，y，z）中，y，z， ∴当x＝11时，y60，z61； （2）∵（x，y，2）为基本勾股数组， ∴x2+y2＝z2，即z2﹣x2＝y2， ∴（z﹣x）（z+x）＝y2， 已知y＝8，则y2＝64， 设z﹣x＝m，z+x＝n（m，n为正整数，且n＞m）， 则， 解得z，， 又∵mn＝64，且x，z为正整数，x与y互素， 对64进行因数分解64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8． ①当m＝1，n＝64时，（舍去，2不是正整数）； ②当m＝2，n＝32时，，， ∵8和15互素， ∴x＝15，z＝17符，合题意； ③当m＝4，n＝16 时，，， ∵6和8有公约数，不互素， ∴x＝6，z＝10，不符合题意； ④当m＝8，n＝8时，x＝0（舍去，x不是正整数）； 综上，x＝15，z＝17； （3）猜想：当x为大于1的奇数时，x＝2k+1（k为正整数），2k，． 证明：∵x＝2k+1，y＝2k（k+1）， ∴x、y互素， ∵x2＝（2k+1）2＝4k2+4k+1， y24k2（k+1）2， 则x2+y2＝4k2+4k+1+4k2（k+1）2 ＝4k2+4k+1+4k2（k2+2k+1） ＝4k2+4k+1+4k4+8k3+4k2 ＝4k4+8k3+8k2+4k+1， z2＝（2k2+2k+1）2 ＝4k4+4k2（2k+1）+（2k+1）2 ＝4k4+8k3+8k2+4k+1， ∴x2+y2＝z2． 13．如图1，在平面直角坐标系中，原点为O，一条直线交x轴负半轴和y轴正半轴于点A，B，点C在线段AB上，点D在线段OB上，线段CD的垂直平分线交OA于点E，∠BAO＝∠CDE＝α（0°＜α＜90°）． （1）若α＝30°，则解决以下问题： ①当点D与原点O重合，如图2，求证：AC＝BC； ②如图3，若DC∥OA，连BE，求证：AE＝BE； （2）如图4，过点D作x轴的平行线，交AB于点F，求证：BF＝2AC． 【答案】（1）①证明见解答； ②证明见解答； （2）证明见解答． 【解答】证明：（1）①当点D与原点O重合时，∠BAO＝∠COE＝α＝30°， ∴AC＝OC， ∵∠AOB＝90°， ∴∠CBO＝90°﹣30°＝60°，∠BOC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CBO＝∠BOC＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC＝OC， ∴AC＝BC； ②如图，设线段CD的垂直平分线EF交AB于点F，连接DF， 则CE＝DE，CF＝DF，EF⊥OA， ∴∠DCE＝∠CDE，∠BCD＝∠FDC， ∵DC∥OA， ∴∠DCE＝∠AEC，∠CDE＝∠DEO，∠BCD＝∠BAO， ∵∠BAO＝∠CDE＝α＝30°， ∴∠BAO＝∠AEC＝∠DEO＝∠FDC＝∠FCD＝∠DCE＝∠CDE＝30°， ∴AC＝CE， 又∵CD＝CD， ∴△CDE≌△CDF（ASA）， ∴CE＝CF＝DE＝DE， ∵∠ECF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴CE＝CF＝EF， ∴∠ABO＝∠BDF＝60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴BF＝DF＝BD＝CF， 在△BED和△BEF中， ， ∴△BED≌△BEF（SSS）， ∴∠EBD＝∠EBF∠ABO＝30°， ∴∠EBF＝∠BAO， ∴AE＝BE； （2）如图，在BF上取点G，使∠EGA＝∠CAE＝α，连接EG、DG，则EG＝EA， 过点D作∠HDF＝∠BFD＝α交AB于点H，则HD＝HF，∠DHG＝2α， ∵∠BFD＝∠BAO＝α， ∴DF∥OA， ∴∠BDF＝∠BOA＝90°， ∴∠FBD＝90°﹣α，∠BDH＝90°﹣∠HDF＝90°﹣α， ∴∠FBD＝∠BDH， ∴HD＝HB＝HF， ∴BF＝2HB＝2HD， ∵线段CD的垂直平分线交OA于点E， ∴EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC＝α， ∴∠CED＝180°﹣2α， ∵∠AEG＝180°﹣2α， ∴∠AEG＝∠CED，即∠AEC+∠CEG＝∠CEG+∠GED， ∴∠AEC＝∠GED， 在△AEC和△GED中， ， ∴△AEC≌△GED（SAS）， ∴∠EGD＝∠EAC＝α，DG＝AC， ∴∠DGH＝∠EGD+∠AGE＝2α， ∴∠DGH＝∠DHG， ∴DG＝DH＝AC， ∴BF＝2AC． 14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A和线段BC、点P在线段OA的垂直平分线上、对于给定的一个正数k，若点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形，且∠BPC≥k°，则称点P为点A关于线段BC的k度等腰点． （1）如图1，点A在y轴上，B（1，0），C（5，0），在P1（3，1），P2（3，2），P3（3，3）中、是点A关于线段BC的90度等腰点的是 P1、P2 ； （2）如图2，D（3，3），E（m，0），F（m+2，0），若存在点D关于线段EF的90度等腰点．求m的取值范围； （3）如图3，点M（0，2），N（0，n），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°，点T为y轴上的动点，若存在点T关于线段NH的60度等腰点，直接写出点T的纵坐标t的取值范围（用含n的式子表示）． 【答案】（1）点P1和点P2； （2）1≤m≤3，且m≠2； （3）n﹣6≤t≤n+6，且t≠n． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系上依题意作图发现， ∠BP1C＞90°，∠BP2C＝90°，∠BP3C＜90°， ∴根据90°等腰点的定义，点P1和点P2是点A关于线段BC的90°等要点， 故答案为：P1、P2； （2）设点P为点D关于线段EF的90度等腰点， ∴点P在线段OD的垂直平分线l上，如图1． ∵E（m，0），F（m+2，0）， ∴EF＝2． ∵点P为点D关于线段EF的90度等腰点， ∴△PEF是EF为底边的等腰三角形，且∠EPF≥90°， ∴点P在EF的垂直平分线上，且∠EPF≥90°， 如图2，点P在线段KL（不包括EF的中点Q）上， 若存在点D关于线段EF的90度等腰点， ∴直线l与线段KL（不包括EF的中点Q）有公共点， 当点K在直线l上时，如图3， 此时 m＝1，符合题意． 当点Q在直线l上时，如图4， 此时 m＝2，△PEF不存在，舍去． 当点L在直线l上时，如图5， 此时 m＝3，符合题意． ∴m的取值范围为1≤m≤3且m≠2； （3）解：①当点T在点N下方时． 如图，点A是NH垂直平分线上与OT的垂直平分线的交点，点B的坐标是（0，﹣2），点C的坐标是（0，4）， ∴AE是OT的垂直平分线，△AHN、△NMD是等边三角形． 在当前状态下，如果点T继续往下移动，∠NAH必然小于60°也就不再存在点T关于线段NH的60度等腰点． ∵M（0，2），∠MHO＝30°，B（0，﹣2）， ∴△MHB是等边三角形， ∴MH＝BH，∠MHB＝60°， ∵△ANH是等边三角形， ∴NH＝AH，∠NHA＝60°， ∴∠NHM+∠MHA＝60°，∠AHB+∠MHA＝60°， ∴∠NHM＝∠AHB． 在△NHM和△AHB 中， ， ∴△NHM≌△AHB（SAS）， ∴NM＝AB，∠MNH＝∠BAH， ∴在ABNH组成的“8字模型”中，∠ABO＝∠NHA， ∵△NMD、△NHA都是等边三角形， ∴NM＝DM，∠NHA＝∠DMC＝60°， ∴AB＝DM，∠ABO＝∠DMC＝60°， ∵BO＝MC＝2， 在△ABO和△DMC中， ， ∴△ABO≌△DMC（SAS）， ∴AO＝DC，∠AOB＝∠DCM， ∵AE是OT的垂直平分线， ∴AO＝AT，∠AOB＝∠ATB， ∴DC＝AT，∠DCN＝∠ATB， ∵∠ABO＝60°，∠DNM＝60°， ∴∠ABT＝120°，∠DNC＝120°， ∴∠ABT＝∠DNC， 在△DCN 和△ATB 中， ， ∴△DCN≌△ATB（AAS）， ∴CN＝TB． ∵NT＝NB+TB，CB＝CN+TB， ∴NT＝CB． ∵CB＝6， ∴NT＝6， 也就是说，当t≥n﹣6时，存在点T关于线段NH的60度等腰点． ②当t＝n 时，NH垂直平分线上与OT 的垂直平分线的交点在NH上，△NAH 不存在，舍去． ③当点T在点N上方时，与①同样的推理，可以得到当t≤n+6时，存在点T关于线段NH的60度等腰点． 综上，n﹣6≤t≤n+6，且t≠n时，存在点T关于线段NH的60度等腰点． 15．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线y＝kx+6（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当k＝﹣2时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°； ①直接写出OA＝　3　 ，OB＝　6　 ；②点E的坐标　（6，9）　 ； （2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出△OBN面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当k时，直线l：y＝﹣4与y轴交于点D，点P（n，﹣4）、Q分别是直线l和直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为（10，0），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】（1）①3，6； ②（6，9）； （2）△OBN的面积不变；S△OBN＝18； （3）点Q的坐标为或（8，﹣6）． 【解答】解：（1）①当k＝﹣2时，直线AB解析式为y＝﹣2x+6， 令x＝0，则y＝6，即B（0，6）， 令y＝0，则有0＝﹣2x+6， 解得x＝3，即A（3，0）， OA＝3，OB＝6． 故答案为：3，6； ②过点E作EF⊥y轴，垂足为F，如图2， ∵△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝90°， ∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°， 又∵∠EBF+∠BEF＝90°， ∴∠ABO＝∠BEF， 在△AOB和△BFE中， ， ∴△AOB≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AO＝3，EF＝BO＝6， ∴OF＝OB+BF＝3+6＝9， ∴E（6，9）． 故答案为：（6，9）； （2）△OBN的面积不发生变化；理由如下： 如图3，过点N作NK⊥y轴，垂足为K， 则∠AOB＝∠BKN＝90°， ∵BN⊥AB，BN＝AB， ∴∠ABO+∠NBK＝90°， 又∵∠NBK+∠BNK＝90°， ∴∠ABO＝∠BNK， 在△AOB和△BKN中， ， ∴△AOB≌△BKN（AAS）， ∴NK＝BO＝6， ∴， ∴当k的取值变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝18； （3）当n＜10时，如图4，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T， ∴∠CSP＝∠PTQ＝90°， ∵∠2+∠3＝90°， 又∵∠CPQ＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， 又∵PC＝PQ，∠CAP＝∠PTQ＝90°， ∴△PCS≌△QPT（AAS）． ∴QT＝PS＝4，PT＝SC＝10﹣n， ∴ST＝14﹣n， ∴点Q的坐标为（4+n，n﹣14）， ∵， ∴直线，将点Q的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点Q的坐标为； 当n＞10时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，如图5， ∴∠CSP＝∠PTQ＝90°， ∵∠1+∠3＝90°， ∵∠CPQ＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△PCS和△QPT中， ， ∴△PCS≌△QPT（AAS）， ∴QT＝PS＝4，PT＝SC＝n﹣10， ∴ST＝n﹣6， ∴点Q的坐标为（n﹣4，6﹣n）， ∵， ∴直线，将点Q的坐标代入， 可得， 解得n＝12， ∴n﹣4＝8，6﹣n＝﹣6， ∴点Q的坐标为（8，﹣6）． 综上所述，点Q的坐标为或（8，﹣6）． 16．△ABC的顶点C是平面内一动点，始终保持∠ACB＜120°，分别以AC，BC为边，向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD交AC于点F，连接AE交BC于点G，BD与AE交于点O，连接OC． （1）求证：BD＝AE； （2）求∠AOC的度数； （3）在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠AOC＝120°； （3）①和②均正确，且定值均为1，理由见解答． 【解答】（1）证明：∵等边三角形ACD和等边三角形BCE， ∴AC＝DC且BC＝EC， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝∠ACB+60°＝∠DCB， ∴△BCD≌△ECA（SAS）， ∴BD＝AE； （2）解：由（1）可知：△BCD≌△ECA， ∴∠BDC＝∠EAC， ∵∠BDC+∠ACD＝∠EAC+∠AOD， ∴∠AOD＝∠ACD＝60°， ∴∠EOD＝120°， 如图1，过点C分别作CP，CQ垂直于BD，AE，且垂足分别为点P，点Q， ∵△BCD≌△ECA， ∴CP＝CQ， ∴OC平分∠DOE， ∴∠DOC＝60°， ∴∠AOC＝120°； （3）解：①和②均正确，且定值均为1， 选①来证明： 如图2，在OD上取一点M，使OM＝OC，连接CM， ∵∠COD＝60°， ∴△COM为等边三角形， ∴CM＝CO，且∠OCM＝∠ACD＝60°， ∴∠MCD＝∠OCA，又CD＝CA， ∴△CMD≌△COA（SAS）， ∴DM＝OA， ∴． 选②证明：如图3，在OE上取一点N，使ON＝OC，连接CN， ∵∠COE＝60°， ∴△CON为等边三角形， ∴CN＝CO，且∠OCN＝∠ECB＝60°， ∴∠NCE＝∠OCB， ∵CE＝CB， ∴△CEN≌△CBO（SAS）， ∴EN＝OB， ∴||＝||＝||＝||＝1． ∴||是定值． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点B，C（﹣5+m，0）在x轴上（点B在点C的右侧，m≥0），点A在x轴上方． △A′B′C′与△ABC关于y轴对称，设点P是AC边上任意一点，点P关于y轴的对称点为点P′，△ABC在运动过程中，当点P′落在AB边上时，我们称点P′为△ABC“特征对称点”． 例如：当m＝4时，如图2，点C（﹣1，0），由题意可知P′在A′C′上，A'C'与AB的交点即为点P'，因为点P′在AB上，所以点P′是△ABC“特征对称点”． （1）当m＝0时，点C（﹣5，0），在图1中作出△A'B'C'； （2）如图2，当m＝4时，直接写出点P的坐标 　（﹣1，2）　 ； （3）如图3，当点P′为△ABC“特征对称点”时，设△ABC与△A'B'C'重叠部分的面积为S（即图中阴影部分）， ①求S的值（用含m的式子表示），并直接写出m的取值范围； ②当m为何值时，S取最大值，并求出其最大值； （4）当点P′为△ABC“特征对称点”时，以P′B′为直角边作等腰直角三角形P′B′Q，点Q在x轴下方，请直接写出点Q的坐标（用含m的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2）（﹣1，2）； （3）①S＝﹣3m2+22m﹣35（3≤m≤5）； ②当时，S取最大值是； （3）点Q的坐标为（m﹣5，﹣4）或（m﹣1，2m﹣10）． 【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求； （2）如图2中，P（﹣1，2）； 故答案为：（﹣1，2）； （3）①由题意可知，平移m个单位长度后 点B（﹣1+m，0），点C（﹣5+m，0）， 由对称性可得：点B'（1﹣m，0），点C'（5﹣m，0）， BC′＝BC＝（﹣1+m）﹣（5﹣m）＝2m﹣6， BB′＝（﹣1+m）﹣（1﹣m）＝2m﹣2， △BOD，△B′OD，△BB′D，△BCP，△BC′P都是等腰直角三角形， ∴S＝S△BB'D﹣2S△BC'P ＝﹣3m2+22m﹣35， m的取值范围是3≤m≤5； ②， 因为，所以， 所以当时，S取最大值是； （4）如图3中，当B′P′＝B′Q，∠P′B′Q＝90°时， ∵C（﹣5+m，0），BC＝4， ∴C′（5﹣m，0），B（﹣1+m，0），B′（1﹣m，0） ∴OC′＝5﹣m，OB＝OB′＝﹣1+m， ∵∠P′BC′＝45°，P′C′⊥BC， ∴BC′＝P′C′＝2m﹣6， 过点Q作QT⊥OB于点T． ∵∠P′B′Q＝∠QTB′＝∠P′C′B′＝90°， ∴∠P′B′C′+∠QB′C＝90°，∠QB′C+∠B′QT＝90°， ∴∠P′B′C′＝∠B′QT， ∵B′P′＝B′Q， ∴△QTB′≌△B′C′P′（AAS）， ∴QT＝B′C′＝4，B′T＝P′C′＝2m﹣6， ∴OT＝﹣1+m﹣（2m﹣6）＝5﹣m， ∴Q（m﹣5，﹣4）； 当B′P′＝P′Q，∠B′P′Q＝90°时，过点Q′作Q′T′⊥P′C′交P′C′的延长线于点T′， 同法可证△B′C′P′≌△P′T′Q′，可得Q′（m﹣1，2m﹣10）． 综上所述，点Q的坐标为（m﹣5，﹣4）或（m﹣1，2m﹣10）． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，OA＝OB，S△AOB＝8． （1）分别求出A、B两点的坐标； （2）点P从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒．点P在运动过程中，若S△AOB＝4S△POB，求此时t的值； （3）在（2）的条件下，连接BP，过点A作AC⊥BP，垂足为C，交y轴于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与△ABN全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣4，0），B（0，4）； （2）t＝1； （3）在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与△ABN全等，N点坐标为（﹣1，0）或（﹣4，3）或（﹣3，4）． 【解答】解：（1）∵， 又∵OA＝OB， ∴OA＝4或﹣4（不合题意，舍去）， ∵A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点， ∴A（﹣4，0），B（0，4）； （2）由题意得：OP＝1×t＝t， ∵S△AOB＝4S△POB，S△AOB＝8， ∴4S△POB＝8， ∴S△POB＝2， ∵ ， ∴2t＝2， ∴t＝1； （3）在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与△ABN全等（点N不与点M重合）；理由如下： t＝1时，P（1，0）， ∴∠AOM＝∠BOP＝90°， ∵AC⊥BP， ∴∠ACP＝90°， 在△ACP中，∠ACP＝90°， ∴∠CAP+∠APC＝90°， 在△AOM和△BOP中， ， ∴△AOM≌△BOP（ASA）， ∴OM＝OP＝1，AM＝BP， ∴BM＝BO﹣OM＝4﹣1＝3； 如图： ①当点N在AO上时，AN＝BM＝3，△BAM≌△ABN， ∴N（﹣1，0）； ②过点A作N′A⊥x轴于A，使得N′A＝NA＝3，连接BN′，△BAM≌△ABN′， ∵N′A⊥x轴， ∴∠NAN′＝90°， ∵AN＝AN′＝3， ∴N′（﹣4，3）； ③过点B作N″B⊥y轴于B，使得N″B＝BM＝3，连接 AN″，△BAM≌△ABN″， ∵N″B⊥y轴，N″B＝BM＝3， ∴N″（﹣3，4）， 综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与△ABN全等，N点坐标为（﹣1，0）或（﹣4，3）或（﹣3，4）． 19．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），动点P（m，0）（﹣4＜m＜4），M、N分别为点P关于直线AB、OA的对称点，连接AM，AN． （1）如图1，当0＜m＜4时，∠MAN＝ 　90°　 ； （2）如图2，当﹣4＜m＜0时，是否存在点P，使得，若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由； （3）当﹣4＜m＜0时，四边形ANBM的面积是否随点P的运动而改变？若不变，请求出四边形ANBM的面积；若改变，请描述四边形ANBM的面积随点P运动的变化规律． 【答案】（1）90°； （2）当﹣4＜m＜0时，存在点P，使得，理由见解答； （3）当﹣4＜m＜0时，四边形ANBM的面积不随点P的运动而改变．理由见解答． 【解答】解：（1）∵点A（0，4），点B（4，0）， ∴OA＝OB＝4， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°， 如图1，连接AP，PM， ∵M、N分别为点P关于直线AB、OA的对称点， ∴O为PN的中点，AB为MP的中垂线，AN＝AP， ∴△ANP为等腰三角形， ∴∠NAO＝∠OAP， 同理可证∠PAB＝∠MAB， ∴∠MAN＝∠NAO+∠OAP+∠PAB+∠BAM＝2∠OAB＝90°， 故答案为：90°； （2）当﹣4＜m＜0时，存在点P，使得，理由如下： ∵M为点P关于直线AB的对称点， ∴∠ABO＝∠ABM＝45°， ∴∠MBO＝∠ABO+∠ABM＝2∠ABO＝90°， 如图2，连接MP．由（1）知B在PM的中垂线上，A在PN的中垂线上， ∴PB＝BM，PO＝ON， 设BN长为x，则BM的长为3x，ON长为4﹣x， ∴PO＝ON＝4﹣x， ∵PB＝BM＝PO+BO， ∴3x＝4﹣x+4， 解得x＝2， ∴PO＝4﹣x＝2， ∴点P坐标为（﹣2，0）； （3）当﹣4＜m＜0时，四边形ANBM的面积不随点P的运动而改变， 如图2，连接MP．由（1）知B在PM的中垂线上，A在PN的中垂线上， ∴PB＝BM，PO＝ON， 设ON＝x， ∴PO＝ON＝x， ∴BN＝OB﹣ON＝4﹣x， ∴BM＝PB＝OB+OP＝4+x， ∵四边形ANBM的面积 ＝梯形AOBM的面积﹣三角形AON的面积 （AO+BM）•OBAO•ON （4+4+x）×44•x ＝16+2x﹣2x ＝16． ∴当﹣4＜m＜0时，四边形ANBM的面积不随点P的运动而改变． 20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为平面内任意一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE：连接BE交AD于点G． （1）如图1，点D为BC中点，若BC＝4，求BG的长； （2）如图2，若点D在线段BE上，连接CD并取中点F，连接AF交BE于点H．∠ABD＝30°，AC与BE交于点M，证明：； （3）如图3，若BC＝4，点K为BC的中点，连接EK，DK，CD，将△ADK沿直线AK翻折，点D落在D′的位置，当EK+BD′的值最小且△ACD为等腰三角形时，请直接写出此时△ACD的面积． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）或． 【解答】（1）解：连接DE，如图： ∵∠BAC＝90°，D为BC中点，AB＝AC， ∴BD＝AD＝CDBC＝2，AD⊥BC， 由旋转的性质可知，AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴AE∥BD， ∴四边形ABDE为平行四边形， ∴AG＝GDAD＝1， 在Rt△BDG中，BG； （2）证明：连接EC，过A作AP⊥BE于P，交CD于Q，如图： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠DAC＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD＝30°，∠AEC＝∠ADB，BD＝CE， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠ADB＝135°， ∴∠AEC＝135°， ∴∠DEC＝135°﹣45°＝90°， ∴CE∥PQ， ∵P为DE中点， ∴Q为CD中点， ∴Q与F重合，P与H重合，FHCE， 设EM＝a，HM＝b，则DH＝EH＝AH＝a+b，CEa， ∵AF∥CE， ∴∠MAH＝∠ECM＝30°， ∴AHHM，即a+bb， ∴ba， ∴AM＝2HM＝（1）a，AH＝a+ba， ∵FHCEa， ∴AF+FH＝AH+2FHaaa（1）aAM； （3）解：①当AD＝CD时，延长KD交AC于M，过E作EN⊥AB于N，作A关于EN的对称点A′，如图： ∵K为BC中点， ∴AK＝CK＝2， 又∵AD＝CD， ∴DK垂直平分AC， ∴AM＝CM，KM⊥AC， ∴AC＝2，AM， ∵∠BAC＝90°， ∴∠NAE+∠EAM＝90°， ∵∠DAE＝90°， ∴∠DAM+∠EAM＝90°， ∴∠EAN＝∠DAM， 在△DAM和△EAN中， ， ∴△ADM≌△AEN（AAS）， ∴AN＝AM， ∵EN⊥AB，CA⊥AB， ∴EN∥AC， ∴E的轨迹为直线EN， ∵D与D′关于AK对称，△ABC关于AK对称， ∴BD′＝CD＝AD＝AE， ∵A，A′关于NE对称， ∴A′E＝AE， ∴当A′，E，K共线时，EK+BD′最小， 延长KD′交AB于O，连接OE， ∴OK＝KM＝AM，OA′＝3AM＝3， ∴S△OKA′OK•OA′＝3， ∵S△OKEOK•ON＝2， ∴S△OEA′＝1， ∴EN＝1×2÷3， ∴DM＝EN， ∴S△ACDDM•AC； ②当AD＝AC时，延长BA到P，使得AP＝AB，连接PE，如图： 由①可知，BD′＝CD，∠CAD＝∠PAE， 在△APE和△ACD中， ， ∴△APE≌△ACD（SAS）， ∴PE＝CD＝BD′， ∵AE＝AD＝AC＝2， ∴E在以A为圆心，2为半径的圆上， ∵PE+EK≥PK， ∴当BD′+EK取最小值时，P和E重合，此时不存在△ACD，故不符合题意； ③当AC＝CD时，延长BA到Q，使得AQ＝AB，连接EQ，如图（因BD′＝CD已经证明，故D′部分省略）： 由②知，BD′＝QE，QE＝CD＝AC＝2， ∴E的轨迹为以Q为圆心，2为半径的圆， ∴当Q，E，K共线时，BD′+EK最小， 过E作ET⊥AQ于T，过K作KR⊥AB于R，连接ER， ∴RK，RQ＝3， ∴QK2， 由①知，S△ARQ＝3， ∴S△REQS△ARQ， ∴S△ACD＝S△AEQS△REQ； 综上所述，△ACD的面积为或． 21．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，作∠ACB的平分线CF，交BD于点O，OD＝20cm，点H从点C出发以每秒3cm的速度沿射线CF运动，连接BH，以BH为边，在BH的右侧作等边△BHE，连接OE． （1）求线段OC的长． （2）点H在运动的过程中，BE与CE是否始终保持相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． （3）点H在运动的过程中，连接DE，当DE取得最小值时，求点H的运动时间． 【答案】（1）OC＝40cm； （2）BE＝CE，理由见解答； （3）点H的运动时间是30秒． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CF平分∠ACB， ∴∠OCD＝∠BCO＝30°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴ODOC， ∵OD＝20cm， ∴OC＝40cm； （2）BE＝CE，理由如下： 如图1，连接AH， ∵△ABC和△BEH是等边三角形， ∴∠ABC＝∠EBH＝60°，AB＝BC＝AC，BH＝BE， ∴∠ABH＝∠CBE， ∴△ABH≌△CBE（SAS）， ∴AH＝CE， ∵AC＝BC，∠ACH＝∠BCH，CH＝CH， ∴△ACH≌△BCH（SAS）， ∴AH＝BH， ∴BE＝CE； （3）如图2，过点A作AN⊥BC于N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AN是BC的垂直平分线， 由（2）知：BE＝CE， ∴点E在直线AN上， ∴当DE⊥AN时，DE的长最小，如图2所示，连接AH，过点H作HK⊥AN于K， ∴∠AED＝∠DEO＝90°， ∵△BEH是等边三角形， ∴BH＝EH， 由（2）知：AH＝BH， ∴AH＝EH， ∵HK⊥AN， ∴AK＝EK， ∵∠OCD＝∠OCN＝30°，∠CDO＝∠CNO＝90°， ∴∠COD＝∠CON＝60°， ∴∠DOE＝60°， ∴∠ODE＝30°， ∴OEOD＝10cm， Rt△AOD中，∵AB＝AC，AN⊥BC， ∴∠DAO∠BAC＝30°， ∴AO＝2OD＝40cm， ∴AE＝40﹣10＝30（cm）， ∴AK＝EK＝15cm， ∴OK＝10+15＝25（cm）， Rt△HKO中，∠HOK＝∠CON＝60°， ∴∠OHK＝30°， ∴OH＝2OK＝50cm， ∴CH＝OH+OC＝50+40＝90（cm）， ∴点H的运动时间30（秒）． 22．在平面直角坐标系中，一个三角形有顶点在坐标轴上． （1）如图1，△AOB的顶点O在原点上，∠AOB＝90°，AO＝BO，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D． ①若点B坐标为（3，﹣1），求点A的坐标； ②若点A坐标为（a，b），请直接写出点B的坐标 　（b，﹣a）　 （用含a，b的代数式表示）； （2）如图2，△EOF的顶点O在原点上，点G坐标为（0，3），点H坐标为（﹣3，0），点F坐标为（m，3），点E坐标为（﹣3+m，3+m），且m＜﹣3，OE与GH的延长线交于点K，连接FK．猜想FK与OE的关系，并证明； （3）如图3，点P在x轴正半轴上，坐标为，点Q在y轴负半轴上，坐标为，若∠PMQ＝90°，且PM＝QM，请直接写出点M的坐标 　（，）或（，）　 （用含n的代数式表示）． 【答案】（1）①点A的坐标为（1，3）； ②（b，﹣a）； （2）FK⊥OE，FKOE，证明见解答； （3）点M的坐标为标为（，）或（，）． 【解答】解：（1）①如图1，∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∵AC⊥y轴，BD⊥y轴， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°， ∴∠AOC+∠CAO＝90°， ∴∠BOD＝∠CAO， ∵点B坐标为（3，﹣1）， ∴BD＝3，OD＝1， ∵AO＝BO， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴AC＝OD＝1，OC＝BD＝3， ∴点A的坐标为（1，3）； ②∵点A坐标为（a，b）， ∴AC＝a，OC＝b， 同理得：△ACO≌△ODB（AAS）， ∴AC＝OD＝a，OC＝BD＝b， ∴点B的坐标为（b，﹣a）； 故答案为：（b，﹣a）； （2）FK与OE的关系是：FK⊥OE，FKOE，证明如下： 如图2，连接FG，过点E作EM⊥x轴于L，交GF的延长线于M，延长ME，GK交于点N， ∵点G坐标为（0，3），点F坐标为（m，3）， ∴FG∥x轴，FG⊥y轴， ∴∠M＝∠FGO＝∠OLM＝90°， ∵点H坐标为（﹣3，0），点E坐标为（﹣3+m，3+m）， ∴OG＝OH＝3，FG＝﹣m，M（﹣3+m，3）， ∴OG＝FM＝3，FG＝EM＝﹣m， ∴△OFG≌△FEM（SAS）， ∴OF＝FE，∠EFM＝∠FOG， ∵∠GFO+∠FOG＝90°， ∴∠EFM+∠OFG＝90°， ∴∠EFO＝90°， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠FEO＝∠EOF＝45°， ∵OG＝OH，∠GOL＝90°， ∴△GOH是等腰直角三角形， ∴∠OHG＝∠OGH＝45°， ∵∠MGO＝90°， ∴∠MGN＝45°， ∵∠M＝90°， ∴△MNG是等腰直角三角形， ∴∠MGN＝∠N＝∠OGH＝45°，MG＝MN＝3﹣m， ∴EN＝MN﹣EM＝3﹣m﹣（﹣m）＝3， ∴OG＝EN＝3， ∵∠GKO＝∠NKE， ∴△GKO≌△NKE（AAS）， ∴OK＝EK， ∵OF＝EF， ∴FK⊥OE， ∴∠FKO＝∠FKE＝90°， ∵∠FEO＝∠FOE＝45°， ∴∠OFK＝∠EFK＝45°， ∴∠OFK＝∠FOE，∠EFK＝∠FEK， ∴OK＝FK，EK＝FK， ∵OE＝OK+EK＝FK+FK＝2FK， ∴FKOE； （3）分两种情况： ①当点M在第四象限时，如图3，过点M作GH⊥x轴于G，过点Q作QH⊥GH于H， ∵∠PMQ＝90°，且PM＝QM， 由（1）同理得：△PMG≌△MQH（AAS）， ∴PG＝MH，GM＝QH， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴OQ＝GM+MH，OP， ∵OP＝OG﹣PG＝QH﹣PG＝GM﹣MH， ∴GM，MH， ∴M的坐标为（，）； ②点M在第三象限，同理得点M的坐标为（，）； 综上，点M的坐标为标为（，）或（，）． 故答案为：（，）或（，）． 23．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，且k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）． （1）求点A的坐标； （2）将线段AB绕点A顺时针旋转90°到AD，作直线BD交x轴于点C，求直线BC的解析式； （3）在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当△BDP的面积是△ABD面积的一半时，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）（﹣8，0）； （2）y＝7x+6； （3）点P的坐标为或． 【解答】解：（1）将点B的坐标（0，6）代入解析式y＝kx+8k， 得8k＝6， 解得， ∴， 当y＝0时，， 解得x＝﹣8， ∴点A的坐标为（﹣8，0）； （2）过点D作DE⊥x轴于点E，∠DEA＝90°， 由旋转可知，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAO+∠DAO＝90°， 又∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DAE＝∠ABO， 在△AOB和△DEA中， ， ∴△AOB≌△DEA（AAS）， ∴AE＝OB＝6，DE＝OA＝8， ∴OE＝AO﹣AE＝2， ∴D（﹣2，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝ax+b， ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝7x+6； （3）在Rt△AOB中，， ∵△AOB≌△DEA（AAS）， ∴AD＝AB＝10， ∴， 对于y＝7x+6， 当y＝0时，7x+6＝0， ∴， 则点C的坐标是， 设点P的坐标为（m，0），则， 则， ∵△BDP的面积是△ABD面积的一半， ∴， ∴，或， ∴点P的坐标为或． 24．平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴正半轴，点B（b，0）在x轴正半轴，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，点C关于y轴的对称点为点D，连接AD，BD，且BD交y轴于点E． （1）补全图形，若∠CAD＝140°，求∠BEO的度数； （2）若|a﹣3|+b2﹣6b+9＝0，求证：AD垂直平分BC； （3）若a＞b时，探究OE，AE，DE的数量关系，并证明． 【答案】（1）；∠BEO＝60°； （2）如图：延长DA交BC于点G， ∵|a﹣3|+b2﹣6b+9＝0， ∴|a﹣3|+（b﹣3）2＝0， ∴a＝b＝3， ∴AO＝BO， ∴∠BAO＝45°， ∴∠CAF＝180°﹣∠BOA﹣∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°＝∠DAF， ∴∠CAG＝180°﹣∠CAF﹣∠DAF＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠BAG＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CAG＝∠BAG， ∴AD垂直平分BC； （3）结论：DE＝AE+2EO， 证明：如图：作HE＝AE，连接AH， ∵C、D两点关于y轴的对称， ∴∠CAF＝∠DAF， ∴∠CAE＝∠DAE， ∵∠CAE＝60°+∠BAO， ∴∠DAE＝60°+∠BAO， ∴∠DAB＝60°+2∠BAO， ∴， ∴∠BEO＝∠BAO+∠DBA＝∠BAO+60°﹣∠BAO＝60°， ∴∠EBO＝30°， ∵∠AOB＝90°， ∴BE＝2EO， ∵HE＝AE，∠BEA＝∠AEH＝60°， ∴△AEH是等边三角形， ∴AH＝AE，∠HAE＝60°， ∴∠DAH＝∠BAO， ∵∠DAE＝∠DAH+60°，∠BAH＝∠BAO+60°， ∴∠DAE＝∠BAH， 在△ADE和△ABH中， ， ∴△ADE≌△ABH（SAS）， ∴DE＝BH， ∵HE＝AE，BE＝2EO， ∴BH＝BE+HE＝AE+2EO， ∴DE＝AE+2EO． 【解答】（1）解：①补全图形如图； ②由对称性可知，AC＝AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC， ∴AD＝AC， ∵∠CAD＝140°， ∴， ∴∠BAD＝360°﹣∠CAD﹣∠BAC＝360°﹣140°﹣60°＝160°， ∵AB＝AD， ∴， ∴∠BDC＝∠BDA+∠DCA＝20°+10°＝30°， ∵点C与点D关于y轴对称， ∴CD⊥y轴， ∴CD∥x轴， ∴∠DBO＝∠BDC＝30°， ∴∠BEO＝90°﹣∠DBO＝90°﹣30°＝60°； （2）证明：如图：延长DA交BC于点G， ∵|a﹣3|+b2﹣6b+9＝0， ∴|a﹣3|+（b﹣3）2＝0， ∴a＝b＝3， ∴AO＝BO， ∴∠BAO＝45°， ∴∠CAF＝180°﹣∠BOA﹣∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°＝∠DAF， ∴∠CAG＝180°﹣∠CAF﹣∠DAF＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠BAG＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CAG＝∠BAG， ∴AD垂直平分BC； （3）解：结论：DE＝AE+2EO， 证明：如图：作HE＝AE，连接AH， ∵C、D两点关于y轴的对称， ∴∠CAF＝∠DAF， ∴∠CAE＝∠DAE， ∵∠CAE＝60°+∠BAO， ∴∠DAE＝60°+∠BAO， ∴∠DAB＝60°+2∠BAO， ∴， ∴∠BEO＝∠BAO+∠DBA＝∠BAO+60°﹣∠BAO＝60°， ∴∠EBO＝30°， ∵∠AOB＝90°， ∴BE＝2EO， ∵HE＝AE，∠BEA＝∠AEH＝60°， ∴△AEH是等边三角形， ∴AH＝AE，∠HAE＝60°， ∴∠DAH＝∠BAO， ∵∠DAE＝∠DAH+60°，∠BAH＝∠BAO+60°， ∴∠DAE＝∠BAH， 在△ADE和△ABH中， ， ∴△ADE≌△ABH（SAS）， ∴DE＝BH， ∵HE＝AE，BE＝2EO， ∴BH＝BE+HE＝AE+2EO， ∴DE＝AE+2EO． 25．已知：实数m满足m2+16＝8m． （1）直接写出m的值为 　4　 ； （2）如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上的点，D是x轴正半轴上的点． ①如图1，B是y轴正半轴上O，A之间的点，C是x轴正半轴上O，D之间的点，若∠CBD＝45°，∠BCO＝∠DAO，AD＝2m，BC＝2，求△CBD的面积． ②如图2，若AO＝m，，在坐标系中第二、四象限夹角平分线上一点P的坐标为（n，﹣n），以AP为斜边作等腰Rt△APQ（A，P，Q按逆时针排列）． （Ⅰ）求点Q的纵坐标； （Ⅱ）连接DQ，当DQ的值最小时，直接写出n的值为 　4　 ． 【答案】（1）4； （2）①S△CBD＝5； ②（I）点Q的纵坐标为2；（II）4． 【解答】解：（1）m2+16＝8m， m2﹣8m+16＝0， （m﹣4）2＝0， ∴m1＝m2＝4， 故答案为：4； （2）①由（1）知：m＝4， ∴AD＝2m＝8， 如图1，过点D作DE⊥BC于E，延长DE交y轴于G， ∴∠BED＝∠BEG＝90°， ∵∠CBD＝45°， ∴∠BDE＝45°＝∠CBD， ∴BE＝DE， ∵∠BOC＝∠CED＝90°，∠OCB＝∠ECD， ∴∠OBC＝∠CDE， ∴△CED≌△GEB（ASA）， ∴CE＝EG，∠ECD＝∠BGE＝∠BCO， 设CE＝x，则BE＝DE＝x+2， ∵∠BCO＝∠OAD， ∴∠OAD＝∠BGE， ∴GD＝AD＝8， ∴x+x+2＝8， ∴x＝3， ∴S△CBD•BC•DE2×5＝5； ②（I）如图2，过点Q作GH∥y轴，过点A作AG⊥GH于G，过点P作PH⊥GH于H， ∵AO＝m，，m＝4， ∴AO＝4，DO＝6， 设AG＝a，GQ＝b， ∴∠G＝∠H＝90°， ∴∠AQG+∠GAQ＝90°， ∵△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ＝PQ，∠AQP＝90°， ∴∠AQG+∠PQH＝90°， ∴∠PQH＝∠GAQ， ∴△AGQ≌△QHP（AAS）， ∴AG＝QH＝a，GQ＝PH＝b， ∵P（n，﹣n）， ∴4﹣a﹣b＝﹣n，b﹣a＝﹣n， ∴4﹣a﹣b＝b﹣a， ∴b＝2， ∴点Q的坐标为（n+2，2），即点Q的纵坐标为2； （II）由（I）可知：点Q的坐标为（n+2，2）， ∴点Q在直线y＝2上， ∴当DQ⊥直线y＝2时，DQ的值最小，此时点D和Q的横坐标相等， ∴n+2＝6， ∴n＝4． 故答案为：4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 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