【北师大版压轴题】2024～2025年九年级上数学期末填空题真题汇编卷（上）

【北师大版压轴题】2024~2025年九年级上期末填空题真题汇编卷（上） 一．填空题（共25小题） 1．如图，在四边形ABED中，C是AB边上的动点，AB＝10，连接CD，CE，F为DE的中点，连接CF，若∠A＝∠BCE＝30°，∠DCA＝∠B＝60°，则CF的最小值是 　 　 ． 2．如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，点F是AC边上的点，且EF∥BC，AE：EB＝3：1，点D是AE中点，若△ABC的面积为32，则△DEF的面积为 　 　 ． 3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E、F分别是AB、BC的中点，若点P从点E出发，沿E→A→D→C的路线运动，则当∠EPF＝30°时，EP的长为　 　 ． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，连接CD．点E是BD中点，过点E作EF⊥AC于点F，EF交CD于点G．若，则FG＝ 　 　 ． 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝1，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入Rt△ABC中，则第n个正方形的边长＝　 　 （用含n的式子表示）． 6．已知如图，矩形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，AB＝4，AD＝8，CF＝3，若△ABE与以E、C、F为顶点的三角形相似，则BE的长为 　 　 ． 7．如图，在矩形ABCD中，P，Q为对角线AC上两点，以PQ为对角线的正方形EQFP的顶点E，F分别在AD，BC边上． （1）若AB＝6，BC＝8，则PQ＝　 　 ； （2）若AD＝nAB，则的值为 　 　 （用含n的代数式表示）． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D、E分别是AB、BC边上的两个动点，点G是DE的中点，连接AG，CG，若DE＝2，则的最小值为　 　 ． 9．如图，点P是△ABC内一点，过点P分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则△ABC的面积是 　 　 ． 10．如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，连接AM，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F，连接ME、AF，则EM+AF的最小值为 　 　 ． 11．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN相交于点O，延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，则线段PM的长为　 　 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，E为AB上一点，AE＝2BE，D为AC上一点，连接DE，DB，若∠ADE＝∠BDC，则CD的长为 　 　 ． 13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D、E分别是AB、AC上的动点，且BD＝2AE，则CD+2BE的最小值为　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，点B，D的坐标分别为（﹣1，﹣2），（1，2），点C在抛物线的图象上，则b的值为 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为120°的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，第2024秒时点P的纵坐标为　 　 ． 16．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是AD，BD上的动点，DE＝BF，连接AF，CE，则AF+CE的最小值为 　 　 ． 17．如图，身高1.6m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得CB＝4m，CA＝1m，则树的高度为　 　 m． 18．点（a，b2）在抛物线y＝x2+x+11上，且a，b是正整数，则ba﹣b＝　 　 ． 19．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为 　 　 ． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30，AC＝2，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 21．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点P是线段AB上一点，且AP＝3cm，点E是正方形边上一动点，运动路线为A→B→C→D→A，速度为每秒2cm，运动时间为t，△DPE是等腰三角形，则t的值为　 　 ． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是BC中点，点F在线段DE上，且tan∠ABF＝2．则BF的长为　 　 ． 23．如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，，E是CD上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BC′E，EF平分∠C′ED交AD于点F，当B，C′，F三点在同一条直线上时，BF的长为　 　 ． 24．如图，正方形ABCD的边长为2，点F为BC边上一点，连接DF，交AC于点M，且CM＝CF，AE平分∠CAD，交DF于点G，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①DG＝MG；②S四边形ABFM＝6﹣3；③；④PM+PN的最小值为．其中正确的有 　 　 （填写正确结论的序号）． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是 　 　 ． 【北师大版压轴题】2024~2025年九年级上期末填空题真题汇编卷（上） 参考答案与试题解析 一．填空题（共25小题） 1．如图，在四边形ABED中，C是AB边上的动点，AB＝10，连接CD，CE，F为DE的中点，连接CF，若∠A＝∠BCE＝30°，∠DCA＝∠B＝60°，则CF的最小值是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠A＝∠BCE＝30°，∠DCA＝∠B＝60°， ∴∠ADC＝∠CEB＝∠DCE＝90°， 由勾股定理可得，， 设BC＝x，则AC＝10﹣x， ∴，， 由勾股定理•可得，， 由勾股定理可得，， ∵F是线段DE的中点， ∴， ∴，即， ∴当时，CF2取最小值为，此时CF取最小值． 答案为：． 2．如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，点F是AC边上的点，且EF∥BC，AE：EB＝3：1，点D是AE中点，若△ABC的面积为32，则△DEF的面积为 　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵AE：EB＝3：1， ∴AE：AB＝3：4， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∵△ABC的面积为32， ∴， ∴S△AEF＝18， ∵点D是AE中点， ∴9， 故答案为：9． 3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E、F分别是AB、BC的中点，若点P从点E出发，沿E→A→D→C的路线运动，则当∠EPF＝30°时，EP的长为　1或或2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°， ∴∠B＝60°，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°， ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴BE＝BF＝1＝AE＝CF， ∴△BEF是等边三角形， ∴BE＝EF＝BF＝1，∠BEF＝∠BFE＝60°， 如图， 当点P与点A重合时，则PE＝EF＝1， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EAF+∠EFA＝∠BEF＝60°， ∴∠EPF＝30°； 当点P''与点C重合时， 同理可求∠EP''F＝30°， 此时EP''BE； 当点P'在CD的中点时， ∴DP'＝CP'＝1， ∴CP'＝BE， 又∵AB∥CD， ∴四边形BCP'E是平行四边形， ∴EP'∥BC，EP'＝BC＝2， ∴∠EP'F＝∠CFP'， ∵CF＝CP'＝1， ∴∠CFP'＝∠CP'F＝30°， ∴∠EP'F＝∠CFP'＝30°， 综上所述：EP的长为1或或2， 故答案为：1或或2． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，连接CD．点E是BD中点，过点E作EF⊥AC于点F，EF交CD于点G．若，则FG＝ 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∵EF⊥AC， ∴EF∥BC， ∵E是BD中点， ∴G是CD中点， ∴EG是△DBC的中位线， ∴BC＝2EG＝2×24， ∵D是AB中点， ∴BDAB， ∵BEBD， ∴BEAB， ∴AEAB， ∴AE：AB＝3：4， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴EF：BC＝AE：AB， ∴EF：43：4， ∴EF＝3， ∴FG＝EF﹣EG＝32． 故答案为：． 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝1，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入Rt△ABC中，则第n个正方形的边长＝　　 （用含n的式子表示）． 【答案】（）n． 【解答】解：如图所示， ∵四边形DCEF是正方形， ∴DF∥CE， ∴△BDF∽△BCA， ∴DF：AC＝BD：BC， 即x1：4＝（1﹣x1）：1， 解得x1， 同理，前两个小正方形上方的三角形相似，， 解得x2， 同理可得，， 解得x3＝x1x2， 以此类推，第n个正方形的边长xn（）n． 故答案为：（）n． 6．已知如图，矩形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，AB＝4，AD＝8，CF＝3，若△ABE与以E、C、F为顶点的三角形相似，则BE的长为 　2或6或4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设BE＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝8，∠B＝∠C＝90°， ∴CE＝BC﹣BE＝8﹣x， 若△ABE∽△ECF，则， 即， ∴x2﹣8x+12＝0， 解得：x＝2或x＝6， 若△ABE∽△FCE，则， 即， 即32﹣4x＝3x， 解得：x＝4， ∴BE的长为2或6或4． 故答案为：2或6或4． 7．如图，在矩形ABCD中，P，Q为对角线AC上两点，以PQ为对角线的正方形EQFP的顶点E，F分别在AD，BC边上． （1）若AB＝6，BC＝8，则PQ＝　　 ； （2）若AD＝nAB，则的值为 　　 （用含n的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）连接EF交AC于点O，如图所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， 由勾股定理得：AC10， ∵四边形EQFP为正方形， ∴PF＝QE，PF∥EQ，OE＝OF＝OP＝OQ，EF⊥AC， ∴∠AOF＝∠COE＝90°， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OA＝OCAC＝5， ∵∠COE＝∠B＝90°，∠ECO＝∠ACB， ∴△COE∽△CBA， ∴OE：AB＝OC：BC， 即OE：6＝5：8， ∴OE， ∴OP＝OQ＝OE＝15/4， ∴PQ＝2OP， 故答案为：． （2）∵四边形ABCD为矩形，AD＝nAB， ∴BC＝nAB，即AB：BC＝1：n， ∵OE：AB＝OC：BC， ∴OE：OC＝AB：BC＝1：n， ∴可设OE＝k，OC＝nk， ∴OQ＝OQ＝k， ∴CQ＝OC﹣OQ＝nk﹣k， ∵四边形EQFP为正方形， ∴EQ＝PF，△OEQ为等腰直角三角形， 在Rt△OEQ中，由勾股定理得：EQ， ∴， ∴． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D、E分别是AB、BC边上的两个动点，点G是DE的中点，连接AG，CG，若DE＝2，则的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴． ∵连接BG，点G是DE中点，DE＝2， ∴BG为Rt△ABC的中线， ∴BG＝1． 在AB上取点M，使， 连接AG， 在△MBG和△GBA中， ，，且∠MBG＝∠GBA， ∴△MBG∽△GBA， ∴，即， ∴， 根据两点之间线段最短，当C，G，M三点共线时，CG+MG取得最小值，即CM的长度， 连接MC，在Rt△MBC中，BC＝3， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 9．如图，点P是△ABC内一点，过点P分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则△ABC的面积是 　81　 ． 【答案】81． 【解答】解：由题意可得，DE∥BC，FH∥AC，GI∥AB， ∴△DPF∽△BHF，△GHP∽△BHF，△PEI∽△GCI，△GNP∽△GCI， ∴△DPF∽△PEI∽△GHP， ∵△DPF，△PEI，△GHP的面积比分别为1：4：36， ∴对应边的比为1：2：6（三角形的面积比等于相似比的平方）， ∵四边形BDPG与四边形CEPH为平行四边形， ∴DP＝BG，EP＝CH（平行四边形的对边相等）， 设DP＝x，则PE＝2x，GH＝6x， ∴BC＝BG+GH+CH＝DP+GH+PE＝x+2x+6x＝9x， ∴BC：DP＝9x：x＝9：1， ∴S△ABC：S△FDP＝81：1， ∴S△ABC＝81． 故答案为：81． 10．如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，连接AM，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F，连接ME、AF，则EM+AF的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过F作FG⊥AB于G， ∵正方形ABCD， ∴FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴， ∴， ∵EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F， ∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°， ∴∠BAM＝∠GFE， ∴△ABM≌△FGE（SAS）， ∴AM＝EF， 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH， 则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH， 当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小， ∴， ∴EM+AF的最小值为， 故答案为：． 11．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN相交于点O，延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，则线段PM的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过B点作BH⊥CM于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵BC＝5，BM＝1， ∴， 由三角形的面积公式得：， ∴CM•BH＝BC•BM， ∴， ∴BH， ∴， ∴， ∵∠BPC＝45°，∠BHP＝90°， ∴∠PBH＝45°， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，E为AB上一点，AE＝2BE，D为AC上一点，连接DE，DB，若∠ADE＝∠BDC，则CD的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过B点作BF∥DE交AC的延长线于F点，如图所示： 设CD＝x， ∵BF∥DE， ∴∠ADE＝∠F， ∵∠ADE＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠F， ∴△BDF是等腰三角形，即BD＝BF， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥DF， ∴CF＝CD＝x， ∴CA＝CB＝4， ∴AD＝AC﹣CD＝4﹣x，AF＝AC+CF＝4+x， ∵AE＝2BE， ∴设BE＝a，则AE＝2a， ∴AB＝AE+BE＝3a， ∵BF∥DE， ∴△ADE∽△AFB， ∴， ∴， 解得：x， ∴CD＝x． 13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D、E分别是AB、AC上的动点，且BD＝2AE，则CD+2BE的最小值为　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：作AN⊥AB，使，连接EN，BN， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB2， ∵AN⊥AB， ∴BN3， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠EAN＝∠DBC＝45°， ∵， ∴△EAN∽△DBC， ∴， ∴CD＝2NE， ∴CD+2BE＝2（NE+BE）， ∵NE+BE≥BN， ∴当点E在线段BN上时，CD+2BE有最小值，最小值为2BN＝6， 故答案为：6． 14．如图，在正方形ABCD中，点B，D的坐标分别为（﹣1，﹣2），（1，2），点C在抛物线的图象上，则b的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过点C作MN⊥x轴，过点B作BM⊥MN于M，过点D作DN⊥MN于N， ∴∠BMC＝∠CND＝90°， 由条件可知∠BCD＝90°，BC＝DC， ∴∠BCM+∠DCN＝90°＝∠BCM+∠CBM， ∴∠DCN＝∠CBM， 在△CBM和△DCN中， ， ∴△CBM≌△DCN（AAS）， ∴BM＝CN，CM＝DN， 设C（m，n），则， 解得：， ∴C（2，﹣1）， ∵点C在抛物线的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为120°的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，第2024秒时点P的纵坐标为　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：的长为：， （秒）， 如图，作CE⊥AB于E，与交于点D， 在Rt△ACE 中，∠AEC＝90°，， ∴∠CAE＝30°． ∴． ∴DE＝CD﹣CE＝2﹣1＝1， ∴第1秒时点P纵坐标为1；第2秒时点P纵坐标为0；第3秒时点P纵坐标为﹣1；第4秒时点P纵坐标为0；第5秒时点P纵坐标为1；…， ∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，2024÷4＝506， 故在第2024秒时点P的纵坐标为0， 故答案为：0． 16．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是AD，BD上的动点，DE＝BF，连接AF，CE，则AF+CE的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过点B作BT⊥AB，使BT＝AB，连接TF，AT，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝DC＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°， ∵BT⊥AB，BT＝AB＝DC＝2， 在Rt△ABT中，由勾股定理得：AT， ∵BT⊥AB，∠ABD＝30°， ∴∠FBT＝90°﹣∠ABD＝60°， ∴∠ADC＝∠FBT＝60°， 在△EDC和△FBT中， ， ∴△EDC≌△FBT（SAS）， ∴CE＝TF， ∴AF+CE＝AF+TF， 根据“两点之间线段最短”得：AF+TF≥AT， 即AF+TF， ∴AF+TF的最小值为， ∴AF+CE的最小值为． 故答案为：． 17．如图，身高1.6m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得CB＝4m，CA＝1m，则树的高度为　8　 m． 【答案】8． 【解答】解：如图， ∵∠ACD＝∠ABE＝90°，∠DAC＝∠EAB， ∴△ACD∽△ABE， ∴， ∵CD＝1.6m，CB＝4m，CA＝1m， ∴， 解得BE＝8m， 故答案为：8． 18．点（a，b2）在抛物线y＝x2+x+11上，且a，b是正整数，则ba﹣b＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：将点（a，b2）代入y＝x2+x+11得， a2+a+11＝b2， 4a2+4a+44＝4b2， （2a+1）2+43＝（2b）2， 则（2b+2a+1）（2b﹣2a﹣1）＝43． 因为a，b是正整数， 所以， 解得， 所以ba﹣b． 故答案为：． 19．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：分别过点A和点C作BC和AB的垂线，垂足分别为M和N， 令正方形网格的边长为a， 则AB， AC． 因为， 所以CN． 在Rt△ACN中， AN， 则tan∠CAN． 故答案为：． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30，AC＝2，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接CD． ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2， ∴∠BAC＝60°，， ∵CA＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，∠ECD＝30°， ∴CD＝BD＝2， ∴S阴S△ABC﹣S扇形CDE+S扇形ACDS△ABC ＝S扇形ACD﹣S扇形CDE ． 故答案为：． 21．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点P是线段AB上一点，且AP＝3cm，点E是正方形边上一动点，运动路线为A→B→C→D→A，速度为每秒2cm，运动时间为t，△DPE是等腰三角形，则t的值为　或或　 ． 【答案】或或． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝4cm， ∵AP＝3cm， ∴BP＝1cm， ①当DP＝DE时，如图， ∵AD＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△ADP≌△CDE（HL）， ∴AP＝CE＝3cm， ∴BE＝PB＝1cm， 此时， ②当DE＝PE时，如图， 设DE＝PE＝xcm，则AE＝（4﹣x）cm， 则AE2+AP2＝PE2， 即（4﹣x）2+32＝x2， 解得， ∴， ③当DE＝PE时，如图， 设CE＝xcm，则BE＝（4﹣x）cm， 则CE2+DC2＝DE2，PB2+BE2＝PE2， ∴CE2+DC2＝PB2+BE2， 即x2+42＝12+（4﹣x）2， 解得， ∴， ∴， 综上可知，t的值为或或． 故答案为：或或． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是BC中点，点F在线段DE上，且tan∠ABF＝2．则BF的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过F作FG⊥BC于点G，即∠BGF＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°＝∠BGF，BC＝AD＝4， ∴AB∥FG∥CD， ∴∠ABF＝∠BFG， ∴tan∠ABF＝tan∠BFG2， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE2， ∵FG∥CD， ∴△FGE∽△DCE， ∴， 设EG＝x，则FG＝3x， ∴BG＝6x， ∴BE＝5x＝2， 解得x， ∴FG，BG＝6x， 在Rt△BFG中，BF， 故答案为：． 23．如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，，E是CD上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BC′E，EF平分∠C′ED交AD于点F，当B，C′，F三点在同一条直线上时，BF的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接C′F，过点E作EH⊥BC交BC延长线于点H，由折叠可知，∠BC′E＝∠BCE＝120°，∠C′BE＝∠CBE，C′E＝CE，， ∴∠BHE＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，， ∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°， ∵B，C′，F三点共线， ∴∠FC′E＝180°﹣∠BC′E＝180°﹣120°＝60°， ∴∠FC′E＝∠D， ∵EF平分∠C′ED， ∴， 在△C′EF和△DEF中， ， ∴△C′EF≌△DEF（AAS）， ∴C′E＝DE， ∴DE＝CE， ∴E为CD中点， ∴， ∵∠BCE＝120°， ∴∠ECH＝180°﹣∠BCE＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CEH＝90°﹣∠ECH＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠BHE＝∠BEF， 又∵∠C′BE＝∠CBE， ∴△BEF∽△BHE， ∴， ∴， 当B，C′，F三点在同一条直线上时，BF的长为． 故答案为：． 24．如图，正方形ABCD的边长为2，点F为BC边上一点，连接DF，交AC于点M，且CM＝CF，AE平分∠CAD，交DF于点G，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①DG＝MG；②S四边形ABFM＝6﹣3；③；④PM+PN的最小值为．其中正确的有 　①②③　 （填写正确结论的序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD＝AB＝BC＝2，∠B＝90°，∠BCA＝45°， ∴∠ADF＝∠CFD， ∵CM＝CF， ∴∠CMF＝∠CFD， ∵∠CMF＝∠AMD， ∴∠AMD＝∠ADF， ∵AE平分∠CAD， ∴∠MAG＝∠DAG， ∵AG＝AG， ∴△MAG≌△DAG（ASA）， ∴DG＝MG， 故①正确的； ∵△MAG≌△DAG， ∴MA＝DA＝2， 在Rt△ABC中，， ∴， 过点M作MW⊥BC，如图所示： ∵∠BCA＝45°， ∴∠WMC＝45°． ∴WM＝CW． 在Rt△ABC中，， 解得， 则S四边形ABFM＝S△ABC﹣S△FMC ， 故②正确的； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∵△MAG≌△DAG， ∴∠AGD＝∠AGM＝90°， 则∠CDF+∠DFC＝90°＝∠AED+∠CDF， ∴∠DFC＝∠AED， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴， 故， ∴， ； ∴， 故③正确的； ∵△MAG≌△DAG， ∴MG＝DG，∠AGD＝∠AGM＝90°， 连接DP， ∴AE是MD的垂直平分线， ∴PM＝PD， ∴PM+PN＝PD+PN， ∵P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N， ∴当D，P，N这三点共线时，则PM+PN最小， 此时DN1⊥AC， ∵， ∴AC×DN1＝AD×DC． 则． ∴． 故． ∴PM+PN的最小值为． 故④是错误的； 故答案为：①②③． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是 　1　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，OE，AC， ∵边长为2的菱形ABCD， ∴AB＝BC＝2， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AB的中点E， ∴，CE⊥AB ∴， 在Rt△ABO中，， ∴， ∴当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为． 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $