【北师大版压轴题】2024～2025年九年级上数学期末解答题真题汇编卷（下）

【北师大版压轴题】2024~2025年九年级上期末解答题真题汇编卷（下） 一．解答题（共25小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣6，0），点B的坐标为（2，0）． （1）求该二次函数的表达式； （2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求此时点P的坐标及△ACP面积的最大值． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，已知点C的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，连接OC，OD，求△OCD的面积； （3）如图2，P是曲线CD段上的动点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别交CD于点M，N，求AM•BN的值． 3．综合与实践： （1）问题情景：如图1，已知等边△ABC和它内部一点D，把线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE，CE，射线AD，CE交于点F，则AD与CE数量关系是 　 　 ，∠AFC＝　 　 °． （2）类比探究：如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC边上一点，过点D作DE∥CB交AB于点E，将△ADE绕点A旋转得到△AD′E′，连接CD′，BE′，在旋转的过程中，设直线CD′，BE′交于点F，探索CD′和BE′的数量关系和∠BFC的度数； （3）拓展应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，若CD＝2，求线段的AB长（直接写出答案）． 4．如图1，儿童公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m；若喷水口上升1.5m到P处，水线落地点为B，OB＝6m． （1）求水线最高点与点B之间的水平距离； （2）当喷水口在P处时， ①求水线的最大高度； ②身高1.68m的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 5．【探究求证】 （1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，连接CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：CE•BD＝AD•AE． 【实践应用】 （2）如图2，某小区旁边有一块形状为平行四边形的生活商业街ABCD，AC与BD是两条人行步道，步道BD＝120m，在步道OC段有一个生活超市E，为方便居民生活购物，沿BE也修建了一个步道，根据设计思路已知∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，生活超市E距离步道交叉口O的距离OE＝35m，求步道AC的长． 6．综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段CD上，且始终满足AE＝CF，连接BE，BF，将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段EG（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段BC上，EG与BF交于点H． 【初步分析】 （1）线段EG与BF的数量关系为 　 　 ，位置关系为 　 　 ； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段EG绕点E逆时针旋转90°，得到线段EM（点M是点G旋转后的对应点），连接FM，请判断四边形BEMF的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为EG的中点时，设CD与EG交于点N，AD＝3，求CG的长． 7．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是对角线AC上的一点．连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AC． （1）若E点为对角线AC的中点，则DE＝　 　 ； （2）求证：矩形DEFG是正方形； （3）求AG+AE的值． 8．如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 　 　 ． 9．【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 　 　 ； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长． 10．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． 【问题发现】 （1）①线段AE，BF之间的数量关系是　 　 ． ②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是　 　 ． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O可绕点O旋转．判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转．当AE＝2时，请直接写出线段BF的长． 11．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线C：y＝ax2+bx+c的顶点在直线l：y＝px+q上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如：抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点为P（2，5），且点P在直线y＝2x+1上，那么抛物线y＝x2﹣4x+9是直线y＝2x+1的关联抛物线． （1）判断抛物线y＝﹣x2﹣8x﹣18是否是直线y＝x+2的关联抛物线，并说明理由； （2）如果抛物线是直线y＝x+2的一条关联抛物线，且经过点A（4，0），求抛物线C1的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线C1的顶点为B，将抛物线C1平移后成为直线y＝x+2的另一条关联抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点M．当∠MAB＝45°时，求：抛物线C2的顶点M的坐标． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DMBD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N． （1）如图①，求证：MA＝MN； （2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长； （3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积． 13．【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP、CP，则∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km．点D是AC上的一个动点，以AD为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值． 14．综合与实践． 将△ABC绕点A逆时针方向旋转α，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB'C'，我们将这种图形变换给一个新定义，记为[α，n]． （1）问题发现 如图①，对△ABC作变换得△AB'C'，则S△ABC：S△AB'C'＝　 　 ；直线BC与直线B'C'所夹的锐角度数为　 　 ． （2）拓展探究 如图②，△ABC中，∠BAC＝35°且AB：，对△ABC作变换得△AB'C'连结BB'，CC'，求S△ABB'：S△ACC'的值及直线BB'与直线CC'相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． （3）问题解决 如图③，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[α，n]得△AB'C'，若使点B，C，C'在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，请写出α和n的值，并写出你的探究过程． 15．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解 如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件 　 　 ． （2）问题探究 如图2，已知，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB． ①四边形ACBD　 　 （填“是”或“不是”）等邻边四边形； ②求线段DB的长度． （3）拓展应用 如图3，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝90°，AC和BD为四边形的对角线，△BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系，并说明理由． 16．小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． （1）[问题解决] 如图1，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且BE＝DF，则CE与CF之间的数量关系为 　 　 ； （2）[类比探究] 如图2，在（1）的条件下，沿DA方向平移线段DF，得到线段GF，交AD于点G，交BC于点F，求证：BE⊥GF； （3）[迁移应用] 如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AB的中点，E是AC上一点，连接CD，BE，已知BE⊥CD，求的值． 17．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，BD平分∠ABC，点M是BC上一点，连接AM并延长分别交BD和DC的延长线于点Q和点N． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）连接CQ，证明：CQ2＝QM•QN； （3）如图2，连接AC，若AM⊥BC，且QN＝8，MN＝6，求BD的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当∠OMB＝90°时，求t的值． 19．【数学活动】 如图1，将矩形纸片ABCD进行以下操作： 第一步：将矩形纸片ABCD沿直线L对折，使点A与点D重合，然后展开铺平，得到折痕EF，再将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕AC与EF交于点G； 第二步：将△GFA绕点G逆时针旋转得到△GHK，点F，A的对应点分别为点H，K，直线HK与边AD所在直线交于点M（点M不与点A重合），与边CD所在直线交于点N． 【数学思考】（1）△GHK绕点G旋转至图1的位置时，试判断MF与MH的数量关系，并证明你的结论． 【数学探究】（2）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．如图2，当直线KH∥AC时，求DM的长． 【拓展提升】（3）如图3，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝12，E是BD上的一个三等分点，且BE＜DE，记点D关于AE的对称点为D'，射线ED'与菱形ABCD的边交于点F，请补全图形，并直接写出D′F的长． 20．如果点A，B分别在正比例函数y1＝k1x和反比例函数的图象上，且点A，B关于y轴对称，则称分点A与点B为正反等值对称点”，例如，在平面直角坐标系内，点A（﹣1，1）在y1＝﹣x的图象上，点B（1，1）在的图象上，则点A与点B为“正反等值对称点”． （1）如果点A在y1＝﹣2x的图象上，点A的“正反等值对称点”B在的图象上，则AB＝ 　 　 ； （2）点A在正比例函数y1的图象上，点A的“正反等值对称点”B在的图象上，点C（﹣3，0）． ①如图1，若y1＝﹣2x，四边形ABOC为平行四边形，求k的值； ②如图2，过点C作x轴的垂线，与y1的图象交于点A，点D（m，0）在x轴的正半轴上，且AC＝2OD，过点D作x轴的垂线，交y2的图象于点E（点E在线段AB上方），交线段AB于点H，连接AE，BE，设△ABE的面积为y3，求y3关于m（点D横坐标）的函数表达式； ③在②的条件下，连接AD，BD，点F在y轴的正半轴上，以OD，OF为邻边构造矩形DOFG，使S矩形DOFG＝S四边形ADBE，OF的长是关于m（点D横坐标）的函数y4，直线y＝l与y轴相交于点P，与函数y3的图象相交于点M，与函数y4的图象相交于点N，当点M是线段PN中点时，请直接写出t的值． 21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）当a＝1时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值． （2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）．当t≤x≤t+1时，求的最小值． 22．（1）如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一动点，将△ADE沿AE折叠，得到△AEF，过点F作直线MN∥AD，分别交CD，AB边于点M，N． 【问题探究】①求证：△EMF∽△FNA； 【问题解决】②当DE＝3时，若MF•FN＝10，求正方形ABCD的边长； 【实际应用】（2）如图②，有一块形状为正方形的纸片ABCD，小李要在CD边上找一点E，然后将△ADE沿AE折叠，得到△AEF，过点F作直线MN∥AD，分别交CD，AB边于点M，N，小李沿着EF裁剪交BC边于点P，沿着AP裁剪交MN于点Q．当MF+NQ＝QF时，点P为线段BC的中点吗？请说明理由． 23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G． （1）如图1，当点D与点O重合时，线段AD与线段EF之间存在怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：； （3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出的值． 24．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图1，当α＝60°时，的值为　 　 ，直线CD与AP所成锐角的度数为　 　 °； 类比探究： （2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成锐角的度数并说明理由； 拓展应用： （3）如图3，当α＝120°时，∠BPC＝30°，AP＝2，BP＝2，求PC的长度． 25．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如次函数y＝x2的图象上，存在一点P（1，﹣1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”． （1）分别判断y＝2x﹣1，y＝x2﹣x，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标；如果不存在，请说明理由． （2）设函数y（x＞0），y＝x+b图象上的“互反点”分别为A，B，过点B作BC⊥x轴，足为点C，当△ABC的面积为4时，求b的值． （3）若二次函数y＝x2+bx+c的图象上有且只有一个“互反点”（2，﹣2）． ①求该二次函数的表达式； ②当1≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为，最大值为0，求t的取值范围． 【北师大版压轴题】2024~2025年九年级上期末解答题真题汇编卷（下） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣6，0），点B的坐标为（2，0）． （1）求该二次函数的表达式； （2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求此时点P的坐标及△ACP面积的最大值． 【答案】（1）y＝2x2+8x﹣24； （2）S△ACP的最大值为54，此时点P坐标为（﹣3，﹣30）． 【解答】解：（1）∵A（﹣6，0），B（2，0）， ∴， 解得， ∴y＝2x2+8x﹣24； （2）∵y＝2x2+8x﹣24， 当x＝0时，y＝﹣24， ∴C（0，﹣24）， 设直线AC的函数表达式为y＝kx﹣24， 将（﹣6，0）代入，得﹣6k﹣24＝0，解得k＝﹣4， ∴直线AC的函数表达式为y＝﹣4x﹣24， 过P作y轴的平行线交AC于H，如图， 设P（m，2m2+8m﹣24），则H（m，﹣4m﹣24），﹣6＜m＜0， ∴PH＝﹣4m﹣24﹣（2m2+8m﹣24）＝﹣4m﹣24﹣2m2﹣8m+24＝﹣2m2﹣12m， ∴， ∵﹣6＜0，﹣6＜m＜0， ∴当m＝﹣3时，S△ACP有最大值，最大值为54，此时点P坐标为（﹣3，﹣30）． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，已知点C的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，连接OC，OD，求△OCD的面积； （3）如图2，P是曲线CD段上的动点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别交CD于点M，N，求AM•BN的值． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【解答】（1）解：对于，当y时，则， 解得：x＝8， ∵点C的纵坐标为，点C在直线于上， ∴点C， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴k4， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，如图1所示： 对于，当x＝0时，y，当y＝0时，x＝9， ∴点A（9，0），点B， ∴OA＝9，OB， ∴S△OABOA•OB， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB， 解方程组：，得，， ∴点C的坐标C，点D的坐标为（1，4）， ∴CE，DF＝1， ∴S△OACOA•CE，S△OBDOB•DF， ∴S△OCD＝S△OAB﹣S△OAC﹣S△OBD； （3）解：过点M作MH∥y轴，交x轴于点H，过点N作NK∥x轴，交y轴于点K，如图2所示： ∵P是曲线CD段上的动点， ∴设点P的坐标为， ∵PM∥x轴，PN∥y轴， ∴点M的纵坐标为4/a，点N的横坐标为a， ∴MH，NK＝a， ∵MH∥y轴， ∴MH∥OB， ∴△AMH∽△ABO， ∴， ∴OB•AM＝AB•MH， ∴， ∴AM， ∵NK∥x轴， ∴NK∥OA， ∴△BNK∽△BAO， ∴， ∴OA•BN＝AB•NK， ∴， ∴BN， ∴AM•BN10． 3．综合与实践： （1）问题情景：如图1，已知等边△ABC和它内部一点D，把线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE，CE，射线AD，CE交于点F，则AD与CE数量关系是 AD＝CE ，∠AFC＝　60　 °． （2）类比探究：如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC边上一点，过点D作DE∥CB交AB于点E，将△ADE绕点A旋转得到△AD′E′，连接CD′，BE′，在旋转的过程中，设直线CD′，BE′交于点F，探索CD′和BE′的数量关系和∠BFC的度数； （3）拓展应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，若CD＝2，求线段的AB长（直接写出答案）． 【答案】（1）AD＝CE，60； （2），∠BFC＝45°； （3）线段的AB长为1或1． 【解答】解：（1）AD＝CE，60， 理由如下： ∵等边△ABC， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝60°， 线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE， ∴∠DBE＝60°，BD＝BE， ∴△BDE为等边三角形， ∴DB＝DE＝BE， ∠ABD+∠DBC＝60°，∠DBC+∠CBE＝60°， ∵∠ABD＝∠CBE， 又∵AB＝AC，BD＝BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCF， ∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACB+∠BCF）＝180°﹣（∠FAC+∠ACB+∠BAD）＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°， 故答案为：AD＝CA，60； （2）由题意可知，∠D′CA＝∠E′AB， ∴△D′AC∽△E′AB， ∴，∠D′CA＝∠E′AB， ∠BFC＝180°﹣（∠ACD′+∠ACB+∠BCF）＝180°﹣（∠CBD′+∠ACB+∠BAD）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣135°＝45°， ∴∠BFC＝45°； （3）1或1， 分情况讨论， ①当点D在AB的上方时， 如图1所示，过点D作DE⊥DC交BA的延长线于点E， ∵等腰Rt△ABD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°，AD＝BD， ∴∠DAE＝∠DBC＝135°， ∠EDA+∠ADC＝90°， ∠ADC+∠BDC＝90°， ∴∠EDA＝∠BDC， 又∵AD＝BD， ∴△EDA≌△CDB（ASA）， ∴AE＝BC＝1， ∵CD＝2， ∴EC＝4， ∴AB1， ②当点D在AB 的下方时，如图2所示， 同理可得， AB1， ∴线段的AB长为1或1． 4．如图1，儿童公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m；若喷水口上升1.5m到P处，水线落地点为B，OB＝6m． （1）求水线最高点与点B之间的水平距离； （2）当喷水口在P处时， ①求水线的最大高度； ②身高1.68m的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【答案】（1）水线最高点与点B之间的水平距离为：6﹣2＝4（m）； （2）①水线的最大高度为2m； ②为了不被水喷到，该点与O的水平距离x应满足0.6＜x＜3.6． 【解答】解：以OB所在的直线为x轴，OP所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）∵OA＝4， ∴点O坐标为（0，0），点A坐标为（4，0）． ∴所得抛物线的对称轴为：直线x＝2． ∵OB＝6， ∴点B的坐标为（6，0）． ∴水线最高点与点B之间的水平距离为：6﹣2＝4（m）； （2）①设喷水口在P处时，喷出的抛物线形水线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）． ∵经过点P（0，1.5），B（6，0），对称轴与过点O的抛物线的对称轴相同， ∴， 解得， ∴yx2x． ∴当x＝2时，y＝2． 答：水线的最大高度为2m； ②当y＝1.68时， 1.68x2x． ∴x1＝0.6，x2＝3.6． ∴为了不被水喷到，该点与O的水平距离x应满足0.6＜x＜3.6． 5．【探究求证】 （1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，连接CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：CE•BD＝AD•AE． 【实践应用】 （2）如图2，某小区旁边有一块形状为平行四边形的生活商业街ABCD，AC与BD是两条人行步道，步道BD＝120m，在步道OC段有一个生活超市E，为方便居民生活购物，沿BE也修建了一个步道，根据设计思路已知∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，生活超市E距离步道交叉口O的距离OE＝35m，求步道AC的长． 【答案】（1）见解析； （2）步道AC的长为160m． 【解答】（1）证明：∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED， ∴∠CEA＝∠ADB， 又∵∠BAD＝∠ACE， ∴△ABD∽△CAE， ∴， ∴CE•BD＝AD•AE； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝120， ∴BO＝DOBD＝60，AC＝2OC， ∴BE＝DO＝BO＝60， ∴∠BEO＝∠BOE＝∠DOA， ∴∠BEC＝∠COD， 又∵∠CBE＝∠DCO， ∴△BEC∽△COD， ∴， 设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣35， ∴， 解得：x1＝80，x2＝﹣45不合题意，舍去）， ∴OC＝80， ∴AC＝2OC＝160． 答：步道AC的长为160m． 6．综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段CD上，且始终满足AE＝CF，连接BE，BF，将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段EG（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段BC上，EG与BF交于点H． 【初步分析】 （1）线段EG与BF的数量关系为 EG＝BF ，位置关系为 EG⊥BF ； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段EG绕点E逆时针旋转90°，得到线段EM（点M是点G旋转后的对应点），连接FM，请判断四边形BEMF的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为EG的中点时，设CD与EG交于点N，AD＝3，求CG的长． 【答案】（1）EG＝BF，EG⊥BF； （2）四边形BEMF为菱形，理由见解析； （3）23． 【解答】解：（1）EG＝BF，EG⊥BF；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝CB， 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF． 由旋转的性质，得BE＝EG， ∴EG＝BF， ∴∠EBG＝∠EGB． 又∵∠ABE+∠EBG＝∠ABC＝90°， ∴∠CBF+∠EGB＝90°， ∴∠BHG＝90°， 即EG⊥BF． 故答案为：EG＝BF，EG⊥BF； （2）四边形BEMF为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得EG＝EM，∠GEM＝90°， 又∵EG＝BF，∠BHE＝90°， ∴EM＝BF，∠GEM＝∠BHE＝90°， ∴EM∥BF， ∴四边形BEMF是平行四边形， 又∵BE＝BF， ∴四边形BEMF是菱形； （3）∵点H是EG的中点，BF⊥EG， ∴BF是EG的垂直平分线， ∴BE＝BG，∠EBF＝∠GBF． 又∵∠ABE＝∠CBF， ∴∠ABE＝∠CBF＝∠EBF∠ABC30°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝3， ∴在Rt△ABE中，BE2， ∴BG＝2， ∴CG＝BG﹣BC＝23． 7．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是对角线AC上的一点．连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AC． （1）若E点为对角线AC的中点，则DE＝　2　 ； （2）求证：矩形DEFG是正方形； （3）求AG+AE的值． 【答案】（1）2； （2）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF（ASA）， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形； （3）4． 【解答】（1）解：若E点为对角线AC的中点， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DE⊥AC， ∵AB＝2， ∴DE， 故答案为：2； （2）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF（ASA）， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． （3）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝2，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4． 8．如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 　　 ． 【答案】（1）；（2）如图所示；（3）． 【解答】（1）∵反比例函数 的图象经过点A（3，2）， 代入得 ∴k＝6， ∴这个反比例函数的表达式为 ． （2）如图， （3）由图知E（6，4），令得，x， ∵6， ∴矩形ABCD向左平移个单位时，点E落在反比例函数图象上． 9．【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 　相等　 ； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）相等，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ABC＝∠ACE； （3）如图2，∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3， ∴， ∴CE＝2． 如图3，∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3， ∴， ∴CE＝6． 综上所述，CE为2或6． 10．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． 【问题发现】 （1）①线段AE，BF之间的数量关系是AE＝BF ． ②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是CF2+AE2＝EF2 ． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O可绕点O旋转．判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转．当AE＝2时，请直接写出线段BF的长． 【答案】（1）①AE＝BF； ②CF2+AE2＝EF2． （2）AE2+CF2＝EF2，证明见解答； （3）或． 【解答】解：（1）①∵正方形ABCD和正方形A1B1C1O的边长相等， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOE＝90°﹣∠BOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF， 故答案为：AE＝BF； ②∵AB＝BC， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF， 即BE＝CF， 在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2， ∵AE＝BF，BE＝CF， ∴CF2+AE2＝EF2， 故答案为：CF2+AE2＝EF2． （2）AE2+CF2＝EF2，证明如下： 如图，延长EO交CD于点G，连接FG， ∵O是矩形ABCD的中心， ∴点O是AC的中点， ∴AO＝CO， 在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO， ∴△AEO≌△GCO（AAS）， ∴AE＝CG，OE＝OG， 在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1＝90°， ∴EF＝GF， 在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2， ∴AE2+CF2＝EF2； （3）设CF＝x， ①当点E在线段AC上时， ∵AE＝2， ∴CE＝AC﹣AE＝4， 在Rt△FCE中，CE2+CF2＝EF2， ∴42+x2＝EF2， 由（2）可得EF2＝AE2+BF2， 则42+x2＝22+（8﹣x）2， 解得x， ∴BF＝8﹣x＝8； ②如图，当点E在CA的延长线上时， 同理可证EF2＝AE2+BF2， ∴EF2＝22+（8﹣x）2， 在Rt△FCE中，EF2＝x2+（6+2）2， ∴x2+（6+2）2＝22+（8﹣x）2， 解得x， BF＝BC+x＝8， 综上，BF的长度为或． 11．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线C：y＝ax2+bx+c的顶点在直线l：y＝px+q上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如：抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点为P（2，5），且点P在直线y＝2x+1上，那么抛物线y＝x2﹣4x+9是直线y＝2x+1的关联抛物线． （1）判断抛物线y＝﹣x2﹣8x﹣18是否是直线y＝x+2的关联抛物线，并说明理由； （2）如果抛物线是直线y＝x+2的一条关联抛物线，且经过点A（4，0），求抛物线C1的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线C1的顶点为B，将抛物线C1平移后成为直线y＝x+2的另一条关联抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点M．当∠MAB＝45°时，求：抛物线C2的顶点M的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣8x﹣18是直线y＝x+2的关联抛物线；理由如下： ∵y＝﹣x2﹣8x﹣18＝﹣（x+4）2﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣4，﹣2）， ∵y＝x+2，当x＝﹣4时，y＝﹣4+2＝﹣2， ∴（﹣4，﹣2）在直线y＝x+2上， ∴抛物线y＝﹣x2﹣8x﹣18是直线y＝x+2的关联抛物线； （2）如果抛物线是直线y＝x+2的一条关联抛物线，且经过点A（4，0），将点A的坐标代入得： ∴0＝16a+4b， ∴b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a， ∴顶点坐标为：（2，﹣4a）， 依据关联抛物线的定义知：点（2，﹣4a）在直线y＝x+2上， ∴﹣4a＝2+2， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+4x； （3）由（2）可知：B（2，4）， 当点M在点B下方时：取点D（1，1）， ∵A（4，0）， ∴， ∴AD2+BD2＝AB2，且AD＝BD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°， ∵∠BAM＝45°， ∴M在直线AD上， 由题意可知：点M在直线y＝x+2上， ∴点M为直线AD与直线y＝x+2的交点， 设直线AD的解析式为：y＝kx+b，将A，D的坐标代入得： ， 解得：， ∴， 联立， 解得：， ∴； 当点M在点B上方时，取点E（5，3）， 则：， ∴AE＝BE，AE2+BE2＝AB2， ∴∠BAE＝45°， 同理：点M为直线AE与直线y＝x+2的交点， 同理可得：直线AE的解析式为：y＝3x﹣12， 联立， 解得：， ∴M（7，9）； 综上：或M（7，9）． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DMBD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N． （1）如图①，求证：MA＝MN； （2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长； （3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图①所示： ∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°， ∵MF⊥AB，MG⊥BC， ∴MF＝MG， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形FBGM是正方形， ∴∠FMG＝90°， ∴∠FMN+∠NMG＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMF+∠FMN＝90°， ∴∠AMF＝∠NMG， 在△AMF和△NMG中，， ∴△AMF≌△NMG（ASA）， ∴MA＝MN； （2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN， ∴∠MAN＝45°， ∵∠DBC＝45°， ∴∠MAN＝∠DBC， ∴Rt△AMN∽Rt△BCD， ∴（）2， 在Rt△ABD中，AB＝AD＝6， ∴BD＝6， ∴， 解得：AN＝2， ∴在Rt△ABN中，BN4， ∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点， ∴OM＝OA＝ONAN，OM⊥AN， ∴∠AOP＝90°， ∴∠AOP＝∠ABN， ∵∠PAO＝∠NAB， ∴△PAO∽△NAB， ∴，即：， 解得：OP， ∴PM＝OM+OP； （3）解：过点A作AF⊥BD于F，如图③所示： ∴∠AFM＝90°， ∴∠FAM+∠AMF＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMN＝90°， ∴∠AMF+∠HMN＝90°， ∴∠FAM＝∠HMN， ∵NH⊥BD， ∴∠AFM＝∠MHN＝90°， 在△AFM和△MHN中，， ∴△AFM≌△MHN（AAS）， ∴AF＝MH， 在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD， ∴AFBD63， ∴MH＝3， ∵AM＝2， ∴MN＝2， ∴HN， ∴S△HMNMH•HN33， ∴△HMN的面积为3． 13．【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为 　12　 ； 【问题探究】 （2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP、CP，则∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km．点D是AC上的一个动点，以AD为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值． 【答案】（1）12； （2）； （3）． 【解答】（1）解：P是半径为5的⊙O上一点，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，如图1，过点O作P1Q1⊥m， 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径OP不变， 可知此时P1Q1最大， 最大值为7+5＝12， 故答案为：12； （2）根据题意得BC＝4是定值，∠BPC＝90°， ∴点P的轨迹在以BC为直径的圆O上部分，如图2， 连接AO，交圆O于点P′， 此时的AP′即为AP的最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∵， ∴， ∴， ∴AP的最小值为； （3）如图3，连接AE，根据题意得：∠AED＝90°， 以AB为直径作圆Q，∠BEA＝90°， ∴点E在以AB为直径作圆Q上， 连接QE， 当点Q、E、C三点共线时，CE取得最小值， ∵∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km． ∴， 在直角三角形ACQ中，由勾股定理得：， ∴， ∴CE的最小值为． 14．综合与实践． 将△ABC绕点A逆时针方向旋转α，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB'C'，我们将这种图形变换给一个新定义，记为[α，n]． （1）问题发现 如图①，对△ABC作变换得△AB'C'，则S△ABC：S△AB'C'＝　1：3　 ；直线BC与直线B'C'所夹的锐角度数为　50°　 ． （2）拓展探究 如图②，△ABC中，∠BAC＝35°且AB：，对△ABC作变换得△AB'C'连结BB'，CC'，求S△ABB'：S△ACC'的值及直线BB'与直线CC'相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． （3）问题解决 如图③，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[α，n]得△AB'C'，若使点B，C，C'在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，请写出α和n的值，并写出你的探究过程． 【答案】（1）1：3，50°； （2）S△ABB′：S△ACC′＝2，直线BB′与直线CC′相交所成的较小角的度数为35°，见解析； （3）α＝60°，n＝2，见解析． 【解答】解：（1）∵△ABC作变换得△AB′C′， ∴，△ABC绕点A逆时针方向旋转50°，即旋转角∠BAB′＝50°， ∴， ∴△AB′C′∽△ABC， ∴， 设AB′、B′C′与直线BC分别 交于点D、E，如图①， ∵△AB′C′∽△ABC， ∴∠B＝∠B′， ∵∠ADB＝∠B′DE， ∴△ABD∽△EB′D， ∴∠B′ED＝∠BAD＝50°， ∴直线BC与直线B′C′所夹的锐角度数等于旋转角度数50°． 故答案为：1：3；50°； （2）∵△ABC中，∠BAC＝35°且AB：，对△ABC作变换得△AB'C'， ∴， ∠BAC＝∠B′AC′＝35°， ∴∠BAC+∠B′AC＝∠B′AC′+∠B′AC， ∴∠BAB′＝∠CAC′， ∴△BAB′∽△CAC′， ∴相似比， ∴， ∴， 延长C′C交BB′于D，如图②， 设CC′交AB′于E． ∵∠DEB′＝∠AEC′，∠BB′A＝∠CCA， ∴△DEB′∽△AEC′， ∴∠C′DB′＝∠B′AC′＝35°， ∴S△ABB′：S△ACC′＝2，直线BB′与直线CC′相交所成的较小角的度数为35°； （3）α＝60°，n＝2；理由如下： ∵△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[α，n]得△AB'C'，且四边形ABB'C'为矩形， ∴∠BAC′＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAC′＝∠BAC′﹣∠BAC＝60°，则α＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACC′＝90°， 在Rt△ACC′中，∠CAC′＝60°， ∴∠AC′C＝30°， ∴， ∴， ∴n的值为2． 15．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解 如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件 AB＝BC（或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB任写一个即可）　 ． （2）问题探究 如图2，已知，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB． ①四边形ACBD　是　 （填“是”或“不是”）等邻边四边形； ②求线段DB的长度． （3）拓展应用 如图3，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝90°，AC和BD为四边形的对角线，△BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AB＝BC（或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB任写一个即可）； （2）①是； ②2； （3）ACAB．理由见解答过程． 【解答】解：（1）如图1，AB＝BC（或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB任写一个即可）； 故答案为：AB＝BC（或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB任写一个即可）； （2）①∵将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD， ∴AC＝AD， ∴四边形ACBD是等邻边四边形； 故答案为：是； ②如图2，过D作DH⊥BC于H， 则∠DHC＝∠DHB＝90°， ∵将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴CD＝AC＝8，∠ACD＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCH＝30°， ∴DHCD＝4，CH＝4， ∵BC＝6， ∴BH＝2， ∴BD2； （3）ACAB，理由如下： 如图3，过A作AE⊥AB，且AE＝AB，连接ED，EB， ∵AE⊥AB， ∴∠EAD+∠BAD＝90°， 又∵∠BAD+∠BCD＝90°，△BCD为等边三角形， ∴∠EAD＝∠DCB＝60°， ∵AE＝AB，AB＝AD， ∴AE＝AD， ∴△AED为等边三角形， ∴AD＝ED，∠EDA＝∠BDC＝60° ∴∠BDE＝∠CDA， ∵ED＝AD，BD＝CD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴AC＝BE， ∵AE＝BE，∠BAE＝90°， ∴BEAB， ∴ACAB． 16．小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． （1）[问题解决] 如图1，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且BE＝DF，则CE与CF之间的数量关系为 CE＝CF ； （2）[类比探究] 如图2，在（1）的条件下，沿DA方向平移线段DF，得到线段GF，交AD于点G，交BC于点F，求证：BE⊥GF； （3）[迁移应用] 如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AB的中点，E是AC上一点，连接CD，BE，已知BE⊥CD，求的值． 【答案】（1）CE＝CF； （2）设DF平移前的线段为DF′，延长BE交DF′于O， 由（1）知：Rt△BCE≌Rt△DCF′ ∴∠CBE＝∠CDF′， ∵∠DCF′＝90°， ∴∠CDF′+∠F′＝90° ∴∠CBE+∠F′＝90°， ∴∠BOF′＝90°，即BE⊥DF′， ∵沿DA方向平移线段DF，得到线段GF， ∴GF∥DF′， ∴BE⊥GF； （3）2． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCD＝90°＝∠DCF， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）， ∴CE＝CF， 故答案为：CE＝CF； （2）证明：设DF平移前的线段为DF′，延长BE交DF′于O， 由（1）知：Rt△BCE≌Rt△DCF′ ∴∠CBE＝∠CDF′， ∵∠DCF′＝90°， ∴∠CDF′+∠F′＝90° ∴∠CBE+∠F′＝90°， ∴∠BOF′＝90°，即BE⊥DF′， ∵沿DA方向平移线段DF，得到线段GF， ∴GF∥DF′， ∴BE⊥GF； （3）解：分别过A，C作AG∥BC，CG∥AB，交于点G，延长BE交AG于点H， ∴四边形ABCG为平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCG为矩形， ∵AB＝BC， ∴矩形ABCG为正方形， ∴∠BAH＝90°，AG∥BC ∵BE⊥CD， ∴∠ABH+∠BDC＝90°， 又∵∠DBC＝90°， ∴∠BDC+∠BCD＝90°， ∴∠ABH＝∠BCD， 在△ABH和△BCD中， ， ∴△ABH≌△BCD（ASA）， ∴AH＝BD， ∵D是AB的中点， ∴BC＝AB＝2BD＝2AH， ∵AG∥BC， ∴△CEB∽△AEH， ∴． 17．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，BD平分∠ABC，点M是BC上一点，连接AM并延长分别交BD和DC的延长线于点Q和点N． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）连接CQ，证明：CQ2＝QM•QN； （3）如图2，连接AC，若AM⊥BC，且QN＝8，MN＝6，求BD的长． 【答案】（1）结论：四边形ABCD是菱形． 理由：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， CD＝CB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AB∥CD， 在△ABQ和△CBQ中， ， ∴△ABQ≌△CBQ（SAS）， ∴∠BAQ＝∠BCQ， ∵AB∥CD， ∴∠BAQ＝∠N， ∴BCQ＝∠N， ∵∠CQM＝∠NQB， ∴△CQM∽△NQB， ∴， ∴CQ2＝QM•QN； （3）12． 【解答】（1）解：结论：四边形ABCD是菱形． 理由：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， CD＝CB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AB∥CD， 在△ABQ和△CBQ中， ， ∴△ABQ≌△CBQ（SAS）， ∴∠BAQ＝∠BCQ， ∵AB∥CD， ∴∠BAQ＝∠N， ∴BCQ＝∠N， ∵∠CQM＝∠NQB， ∴△CQM∽△NQB， ∴， ∴CQ2＝QM•QN； （3）解∵QN＝8，MN＝6， ∴QM＝2， 由（2）知，CQ2＝QM•QN， ∴CQ4， 由（2）知，△ABQ≌△CBQ， ∴AQ＝CQ＝4， ∴AM＝AQ+QM＝4+2＝6， 在Rt△CQM中，CM2， 设BM＝x，则AB＝BC＝BM+CM＝2x， 在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2， 即（x+2）2＝62+x2， 解得x＝2， 即BM＝2， ∴BM＝CM， ∵AM⊥BC， ∴△ABC是等边三角形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴BD＝2AM＝12． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当∠OMB＝90°时，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x﹣2； （2）∵yx2x﹣2（x﹣2）2， ∴D（2，）， 设M（2，m）， ∵O（0，0），B（3，0）， ∵∠OMB＝90°， ∴OM2+BM2＝OB2， 即m2+22+（3﹣2）2+m2＝9， ∴m， ∵， ∴M（2，）， ∴DM， ∴t． 19．【数学活动】 如图1，将矩形纸片ABCD进行以下操作： 第一步：将矩形纸片ABCD沿直线L对折，使点A与点D重合，然后展开铺平，得到折痕EF，再将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕AC与EF交于点G； 第二步：将△GFA绕点G逆时针旋转得到△GHK，点F，A的对应点分别为点H，K，直线HK与边AD所在直线交于点M（点M不与点A重合），与边CD所在直线交于点N． 【数学思考】 （1）△GHK绕点G旋转至图1的位置时，试判断MF与MH的数量关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （2）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．如图2，当直线KH∥AC时，求DM的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝12，E是BD上的一个三等分点，且BE＜DE，记点D关于AE的对称点为D'，射线ED'与菱形ABCD的边交于点F，请补全图形，并直接写出D′F的长． 【答案】（1）MF＝MH，证明如下：由折叠和矩形性质得AF＝FD，FE⊥AD， ∴EF∥CD， ∴2， ∴AG＝CG， ∴GF是△ADC的中位线， ∴GFCDAB＝3， 如图，连接GM， 由旋转的性质得GH＝GF，∠GHK＝∠GFA＝90°， ∴Rt△GHM≌Rt△GFM（HL）， ∴MF＝MH； （2）DM＝3； （3）D′F的长为或． 【解答】解：（1）MF＝MH，证明如下：由折叠和矩形性质得AF＝FD，FE⊥AD， ∴EF∥CD， ∴2， ∴AG＝CG， ∴GF是△ADC的中位线， ∴GFCDAB＝3， 如图，连接GM， 由旋转的性质得GH＝GF，∠GHK＝∠GFA＝90°， ∴Rt△GHM≌Rt△GFM（HL）， ∴MF＝MH； （2）当直线KH∥AC时， 如图，过D作DP⊥AC于P，交KN于Q， 则四边形PQHG是矩形， ∴PQ＝GH＝3， ∵∠CDA＝90°，CD＝6，AD＝8， ∴AC10， ∵DP⊥AC， ∴S△ADCAC•DPAD•DC， ∴DP， ∴DQ＝DP﹣PQ， ∵KH∥AC， ∴△DQM∽△DPA， ∴， 即， 解得DM＝3； （3）如图，设AC交BD于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴OA＝OCAC＝4，OB＝ODBD＝3，AC⊥BD，AB＝AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠ABD＝∠DBC， 在Rt△AOB中，AB5， ∴AD＝AB＝5， 分两种情况：①当BEBD＝2时，则DE＝4， 如图，连接 AD'，AE，D′E，D'E与AB交于点F，过点A作 AG⊥D′E 于点G， 由对称性可知，D′E＝DE＝4，AD′＝AD＝5，∠AD′E＝∠ADB＝∠ABD，∠AED＝∠AEF， ∵∠AD′F＝∠EBF，∠AFD'＝∠BFE， ∴△AFD′∽△EFB， ∴， 设EF＝2x，则AF＝5x， 在△AEO和△AEG中， ， ∴△AEO≌△AEG（AAS）， ∴OE＝EG＝1， ∴GF＝2x﹣1，AG＝AO＝4， 在△AGF中，AF2＝AG2+GF2， 即（5x）2＝42+（2x﹣1）2， 解得：x1＝﹣1 （舍），x2， ∴EF＝2x， ∴D′F＝D′E﹣EF＝4； ②当DEBD＝2时，连接AD′，AE，AD'与BD交点G，延长ED′交BC于F， 由对称性可知，D′E＝DE＝2，∠AD′E＝∠ADB＝∠ABD，∠EGD'＝∠AGB， ∴△EGD'∽△AGB， ∴， 设EG＝2x，则AG＝5x，即 OG＝2x﹣1， 在△AGO中，AG2＝OA2+OG2， 即（5x）2＝42+（2x﹣1）2， 解得：x1＝﹣1 （舍去），x2， ∴EG＝2x， ∵∠ED′A＝∠DBC＝∠ADB，∠GED'＝∠FEG， ∴△EGD′∽△EFB， ∴， ∴EF， ∴D′F＝EF﹣D′E2， 综上，D′F的长为或． 20．如果点A，B分别在正比例函数y1＝k1x和反比例函数的图象上，且点A，B关于y轴对称，则称分点A与点B为正反等值对称点”，例如，在平面直角坐标系内，点A（﹣1，1）在y1＝﹣x的图象上，点B（1，1）在的图象上，则点A与点B为“正反等值对称点”． （1）如果点A在y1＝﹣2x的图象上，点A的“正反等值对称点”B在的图象上，则AB＝ 　2　 ； （2）点A在正比例函数y1的图象上，点A的“正反等值对称点”B在的图象上，点C（﹣3，0）． ①如图1，若y1＝﹣2x，四边形ABOC为平行四边形，求k的值； ②如图2，过点C作x轴的垂线，与y1的图象交于点A，点D（m，0）在x轴的正半轴上，且AC＝2OD，过点D作x轴的垂线，交y2的图象于点E（点E在线段AB上方），交线段AB于点H，连接AE，BE，设△ABE的面积为y3，求y3关于m（点D横坐标）的函数表达式； ③在②的条件下，连接AD，BD，点F在y轴的正半轴上，以OD，OF为邻边构造矩形DOFG，使S矩形DOFG＝S四边形ADBE，OF的长是关于m（点D横坐标）的函数y4，直线y＝l与y轴相交于点P，与函数y3的图象相交于点M，与函数y4的图象相交于点N，当点M是线段PN中点时，请直接写出t的值． 【答案】（1）2； （2）①； ②y3＝18﹣6m（0＜m＜3）； ③． 【解答】解：（1）∵点A在y1＝﹣2x的图象上，点A的“正反等值对称点”B在的图象上， 设A（a，﹣2a），则B（﹣a，﹣2a）， ∴﹣a×（﹣2a）＝2， 整理得：|a|＝1， ∴AB＝|﹣a﹣a|＝2|a|＝2； 故答案为：2； （2）①∵C（﹣3，0），四边形ABOC为平行四边形， ∴AB＝CO＝3， ∵点A在正比例函数y1的图象上，点A的“正反等值对称点”B在的图象上， ∴点A与点B关于y轴对称， ∴点A的横坐标为，点B的横坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数得： 3， 解得：， ∴k的值为； ②∵点D（m，0）在x轴的正半轴上，且AC＝2OD， ∴OD＝m（m＞0），AC＝2m， ∵C（﹣3，0），点C作x轴的垂线，与y1的图象交于点A， ∴A（﹣3，2m）， ∵点A在正比例函数y1的图象上，点A的“正反等值对称点”B在的图象上， ∴B（3，2m）， ∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，AB∥x轴， 将点B的坐标代入反比例函数得： 2m， 解得：k＝6m， ∴反比例函数的解析式为， ∵点D（m，0）在x轴的正半轴上，过点D作x轴的垂线，交y2的图象于点E（点E在线段AB上方）， ∴当x＝m时，，即DE＝6，DE⊥AB， ∴EH＝DE﹣DH＝6﹣2m，且6＞2m， ∴，且0＜m＜3， ∴y3关于m（点D横坐标）的函数表达式为y3＝18﹣6m（0＜m＜3）； ③t的值为．理由如下： 如图2， 由②知：DE＝6，AB＝6，DE⊥AB， ∴， ∴， ∵S矩形DOFG＝OF•OD＝mOF，S矩形DOFG＝S四边形ADBE， ∴mOF＝18，即， ∴， ∵直线y＝t与y轴相交于点P，与函数y3＝18﹣6m（0＜m＜3）的图象相交于点M，与函数的图象相交于点N，如图3， 当m＝3时，， ∴6＜t＜18， 当y＝t时，依题意得：t＝18﹣6m， 解得：， ∴， ∴， 当y＝t时，依题意得：， 解得：， ∴， ∴， ∵点M是线段PN中点， ∴PN＝2PM，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解且符合题意， 综上所述，t的值为． 21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）当a＝1时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值． （2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）．当t≤x≤t+1时，求的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）①证明：当a＝1时，代入抛物线并化为顶点式得： ， ∴顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则 解得：， ∴该不等式组无解， ∴抛物线的顶点不在第三象限； ②解：∵b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2）， ∴Δ＝（b﹣2）2﹣b2＞0． ∴b＜1， ∴b＝0， ∴抛物线为y＝x2﹣2x， 当y＝0时，x1＝0，x2＝2．则x2﹣x1＝2； （2）解：b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）， ∴m＝2﹣m． 解得：m＝1． ∴． ∵b＜0， ∴b＝﹣2． ∴y＝ax2﹣4x+1， ∵直线y＝ax+m与该抛物线有交点B（2，n），将点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线为y＝4x2﹣4x+1． ∴y＝4x2﹣4x+1的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，t≤x≤t+1，y随x的增大而减小， ∴当x＝t+1时，y取最小值为4t2+4t+1． ②当，即时，，y随x的增大而减小， ，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最小值为0． ③当时，t≤x≤t+1，y随x的增大而增大， ∴当x＝t时，y取最小值为4t2﹣4t+1． 综上可知，当时，y取最小值为4t2+4t+1；当时，y取最小值为0；当时，y取最小值为4t2﹣4t+1． 22．（1）如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一动点，将△ADE沿AE折叠，得到△AEF，过点F作直线MN∥AD，分别交CD，AB边于点M，N． 【问题探究】 ①求证：△EMF∽△FNA； 【问题解决】 ②当DE＝3时，若MF•FN＝10，求正方形ABCD的边长； 【实际应用】 （2）如图②，有一块形状为正方形的纸片ABCD，小李要在CD边上找一点E，然后将△ADE沿AE折叠，得到△AEF，过点F作直线MN∥AD，分别交CD，AB边于点M，N，小李沿着EF裁剪交BC边于点P，沿着AP裁剪交MN于点Q．当MF+NQ＝QF时，点P为线段BC的中点吗？请说明理由． 【答案】（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°， 由题意易得，四边形ADMN为矩形， ∴∠FME＝∠ANF＝90°， ∵将△ADE沿AE折叠，得到△AEF， ∴∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠EFM＝∠FAN＝90°﹣∠AFN， ∴△EMF∽△FNA； ②； （2）点P是线段BC的中点；理由如下： ∵AF＝AD，AB＝AD，∠AFE＝∠D＝∠C＝90°， ∴AF＝AB，∠AFP＝∠B＝90°， 在Rt△APF和Rt△APB中， ， ∴Rt△APF≌Rt△APB（HL）， ∴PF＝PB，∠APF＝∠APB， ∵MN∥AD，BC∥AD， ∴MN∥BC， ∴∠PQF＝∠APB， ∴∠APF＝∠PQF， ∴QF＝PF＝PB， ∵MF+NQ＝QF， ∴， ∴， ∴P为BC的中点． 【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°， 由题意易得，四边形ADMN为矩形， ∴∠FME＝∠ANF＝90°， ∵将△ADE沿AE折叠，得到△AEF， ∴∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠EFM＝∠FAN＝90°﹣∠AFN， ∴△EMF∽△FNA； ②解：由①知△FME∽△ANF，FE＝DE＝3， ∴， ∴EM•NA＝MF•FN＝10， ∵四边形ANMD为矩形， ∴NA＝DM＝EM+3， ∴EM（EM+3）＝10， 解得：EM＝2或EM＝﹣5（不合题意，舍去）， ∴NA＝DM＝2+3＝5， 在直角三角形EFM中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴正方形ABCD的边长为； （2）解：点P是线段BC的中点；理由如下： ∵AF＝AD，AB＝AD，∠AFE＝∠D＝∠C＝90°， ∴AF＝AB，∠AFP＝∠B＝90°， 在Rt△APF和Rt△APB中， ， ∴Rt△APF≌Rt△APB（HL）， ∴PF＝PB，∠APF＝∠APB， ∵MN∥AD，BC∥AD， ∴MN∥BC， ∴∠PQF＝∠APB， ∴∠APF＝∠PQF， ∴QF＝PF＝PB， ∵MF+NQ＝QF， ∴， ∴， ∴P为BC的中点． 23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G． （1）如图1，当点D与点O重合时，线段AD与线段EF之间存在怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：； （3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出的值． 【答案】（1）；理由如下： 连接BE，如图1： ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠A＝45°， ∵线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE， ∴CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD，∠A＝∠CBE＝45°， ∵直线l⊥BC， ∴∠EBF＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点， ∴， ∵∠BFG＝90°， ∴∠G＝360°﹣∠COB﹣∠OBF﹣∠BFG＝45°＝∠A， ∵BC⊥直线l，EF⊥直线l， ∴BC∥EF， ∴∠CEG＝∠BCE， ∵∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD， ∴∠CEG＝∠ACD， 在△CEG和△DCA中， ， ∴△CEG≌△DCA（AAS）， ∴CG＝AD， ∵AD+BD＝AB， ∴； （3）的值为或． 【解答】（1）解：；理由如下： 连接BE，如图1： ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠A＝45°， ∵线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE， ∴CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD，∠A＝∠CBE＝45°， ∵直线l⊥BC， ∴∠EBF＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点， ∴， ∵∠BFG＝90°， ∴∠G＝360°﹣∠COB﹣∠OBF﹣∠BFG＝45°＝∠A， ∵BC⊥直线l，EF⊥直线l， ∴BC∥EF， ∴∠CEG＝∠BCE， ∵∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD， ∴∠CEG＝∠ACD， 在△CEG和△DCA中， ， ∴△CEG≌△DCA（AAS）， ∴CG＝AD， ∵AD+BD＝AB， ∴； （3）解：的值为或．理由如下： 由EF：BC＝1：3，设EF＝m，则BC＝AC＝3m， 当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，如图3， 由（2）知△CEG≌△DCA， ∴GE＝AC＝3m， ∵∠CBF＝∠BFE＝∠BCK＝90°， ∴四边形BCKF是矩形， KF＝BC＝3m，∠CKG＝90°， ∴KE＝KF﹣EF＝2m， ∴GK＝GE﹣KE＝m， ∵∠G＝45°， ∴CK＝GK＝m， ∴CE2＝CK2+KE2＝m2+（2m）2＝5m2， ∴， ∵AC＝BC＝3m， ∴， ∴； 当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，如图4， 同理可得BC＝AC＝EG＝3m， ∴FG＝EG﹣EF＝2m， ∵TF＝BC﹣FG＝m， ∴TG＝TF﹣FG＝m， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点， ∴∠AOC＝45°， ∵BC∥EF， ∴∠ETC＝90°， ∴CT＝TG＝m， ∴CE2＝CT2+TE2＝m2+（m+3m）2＝17m2， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 24．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图1，当α＝60°时，的值为　1　 ，直线CD与AP所成锐角的度数为　60　 °； 类比探究： （2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成锐角的度数并说明理由； 拓展应用： （3）如图3，当α＝120°时，∠BPC＝30°，AP＝2，BP＝2，求PC的长度． 【答案】（1）1；60； （2）；45°，理由如下： 如图，设AB与CD相交于E， ∵α＝90°， ∴∠BAC＝∠BPD＝90°， ∵AB＝AC，PD＝PB， ∴△ABC和△PBD是等腰直角三角形， ∴， ∴∠ABC+∠ABD＝∠PBD+∠ABD， 即∠DBC＝∠PBA， ∴△DBC∽△PBA， ∴，∠PAB＝∠DCB， ∵∠AEO＝∠BEC， ∴△AEO∽△CEB， ∴∠AOC＝∠ABC＝45°， 即直线CD与AP所成锐角度数为45°； （3）． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD， ∴PB＝PD，∠BPD＝α＝60°， ∴△PBD是等边三角形， ∴PB＝DB，∠PBD＝60°， ∴∠PBD＝∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBD， 在△ABP和△CBD中， ， ∴△ABP≌△CBD（SAS）， ∴AP＝CD， 即， 如图，延长CD交AP于点H，交AB于点G， 则∠AHC为直线CD与AP所成锐角， ∵△ABP≌△CBD， ∴∠BAP＝∠BCD ∵∠AGH＝∠BGC， ∴∠AHC＝∠ABC＝60°， 故答案为：1；60； （2）的值为，直线CD与AP所成锐角的度数为45°，理由如下： 如图，设AB与CD相交于点E， ∵α＝90°， ∴∠BAC＝∠BPD＝90°， ∵AB＝AC，PD＝PB， ∴△ABC和△PBD是等腰直角三角形， ∴，∠ABC＝∠PBD＝45°， ∴∠ABC+∠ABD＝∠PBD+∠ABD， 即∠DBC＝∠PBA， ∴△DBC∽△PBA， ∴，∠PAB＝∠DCB， ∵∠AEO＝∠BEC， ∴△AEO∽△CEB， ∴∠AOC＝∠ABC＝45°， 即直线CD与AP所成锐角度数为45°； （3）如图，将线段BP绕点P逆时针旋转120°得到线段PD，连接BD，CD，作AH⊥BC交BC于点H， ∴PD＝PB＝2， ∵α＝90°， ∴∠BAC＝∠BPD＝90°， ∵∠BPC＝30°， ∴∠DPC＝∠BPD﹣∠BPC＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴， ∴AB＝2AH，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴∠ABC+∠ABD＝∠PBD+∠ABD， 即∠DBC＝∠PBA， ∴△DBC∽△PBA， ∴， ∵， ∴CD＝6， ∵∠DPC＝90°，PD＝2， ∴． 25．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如次函数y＝x2的图象上，存在一点P（1，﹣1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”． （1）分别判断y＝2x﹣1，y＝x2﹣x，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标；如果不存在，请说明理由． （2）设函数y（x＞0），y＝x+b图象上的“互反点”分别为A，B，过点B作BC⊥x轴，足为点C，当△ABC的面积为4时，求b的值． （3）若二次函数y＝x2+bx+c的图象上有且只有一个“互反点”（2，﹣2）． ①求该二次函数的表达式； ②当1≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为，最大值为0，求t的取值范围． 【答案】（1）y＝2x﹣1，y＝x2﹣x，的图象上存在“互反点”；；（0，0）； （2）4或﹣8； （3）①y＝x2﹣5x+4； ②． 【解答】解：（1）y＝2x﹣1，y＝x2﹣x的图象上存在“互反点”；理由如下： 根据题意，得：﹣x＝2x﹣1， 解得：， ∴函数y＝2x﹣1的图象上“互反点”的坐标为； 根据题意，得：﹣x＝x2﹣x， 解得：x＝0， ∴函数y＝x2﹣x的图象上“互反点”的坐标为（0，0）； （2）函数y（x＞0），y＝x+b图象上的“互反点”分别为A，B， 令， 解得：x＝2（负值已舍去）， ∴A（2，﹣2）， 在函数y＝x+b中，令﹣x＝x+b， 解得：， ∴， ∴， ∴SABCBC•|xA﹣xB| b||2 b×（2b）| ＝|， ∵SABC＝4， ∴， ∴， 解得：b＝4或b＝﹣8或（无解）， ∴b的值为4或﹣8； （3）①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象上有且只有一个“互反点”（2，﹣2），把（2，﹣2）代入y＝x2+bx+c得： ﹣2＝4+2b+c， 解得：c＝﹣6﹣2b， ∴y＝x2+bx﹣6﹣2b． ∵函数图象上的“互反点”必在直线y＝﹣x上， ∴二次函数y＝x2+bx﹣6﹣2b的图象上有且只有一个“互反点”，即二次函数y＝x2+bx﹣6﹣2b的图象与直线y＝﹣x有且只有一个交点， ∴有且仅有一个解， 联立得整理得：x2+（b+1）x﹣6﹣2b＝0， ∴Δ＝（b+1）2﹣4×1×（﹣6﹣2b）＝0， 解得：b1＝b2＝﹣5，c＝﹣6﹣2b＝﹣6﹣2×（﹣5）＝4， ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣5x+4； ②∵， ∴其图象的对称轴为直线，最小值为， 当y＝0时，得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x＝1或x＝4， ∴二次函数图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（4，0）， ∵当1≤x≤4时，二次函数y＝x2﹣5x+4的最小值为，最大值为0． ∴t的取值范围是． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $