【北师大版压轴题】2024～2025年八年级上数学期末解答题真题汇编卷（下）

【北师大版压轴题】2024~2025年八年级上期末解答题真题汇编卷（下） 一．解答题（共25小题） 1．【问题提出】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝3，则AB的长为　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，在△ABC中，AC＝7，点D为BC上方一点，连接CD，CD的垂直平分线EF分别交AB、CD于点E、F，点M为EF上一动点，连接AM、DM，求AM+DM的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，四边形ABCD是某县一座全民健身中心的平面示意图，对角线AC、BD为两条走廊，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ADB．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新扩建规划，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，发现AB与AF恰好相等，将△ABF区域规划为功能训练区，并在线段AC、CD上分别取点G、H，并沿线段GH、AH摆放某种小型健身器材，请你计算当GH+AH最小时，GH与CH的数量关系． 2．【问题探究】 （1）如图1，在△ABC中，BC＝15，高AD＝8．动点C'由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设CC'的长为x，△ABC′的面积为y．请求出y与x之间的函数关系式； 【问题解决】 （2）如图2，在一块三角形ABC电子屏中，C为感应点，其中∠ABC＝90°，AB＝80cm，AC＝100cm，动点P为一光点，当光点P在光带（折线AB﹣BC）上运动时，会与感应点C发生反应，同时光点P与初始点A、感应点C三点形成三角形ACP感应区，光点P以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→B→C匀速运动，到达点C时停止．设光点P的运动时间为t秒，三角形ACP感应区的面积为S（S≠0，即△ACP存在，t不取点A、C处的值）． ①请求出S关于t的函数表达式； ②当三角形ACP感应区的面积恰好为三角形ABC电子屏面积的一半时，求光点P的运动时间． 3．【问题探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A（4，0），B（0，2），若点C为y轴上的点，连接AC，且△AOC的面积是△AOB的面积的2倍，求AC所在直线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC是某市高新技术开发区的一块空地，已知A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，﹣3），直线l：yx+2是一条笔直的道路（路宽不计），为了对空地进行合理规划利用，市政府计划在道路l上取点D，使得CD将四边形ACBD的面积分成1：4的两部分，并将这两部分分别规划为开发区综合服务管委会和安全监督管理局，请你帮助市政府计算出点D的坐标． 4．【问题提出】 如图①，直线y＝kx﹣3k+4经过第一象限内的定点P． （1）点P的坐标为 　 　 ； （2）如图②，已知点A（6，t），过点A作AB∥y轴交第一象限内的直线y＝kx﹣3k+4于点B，连接OB，OP，若OP⊥BC，BP平分∠OBA，求k的值； 【问题解决】 （3）如图③，Rt△AOB是某试验田的一块区域示意图，OA⊥OB，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段AB上．现要规划一片等腰直角三角形区域△PMN作为新品种小麦的研究基地，点M在线段BO上，点N在线段OB的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为（3，4），按设计要求∠PMN＝90°，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，试求出此时点N的坐标． 5．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． （1）点A的坐标是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ． （2）在直线AB上是否存在一点D（不与点B重合），使△AOD的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点E是y轴上一动点，把线段AB沿着直线AE翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标． 6．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”（不需要证明）． 【迁移应用】已知：直线y＝kx+6（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°； ①直接写出OA＝　 　 ，OB＝　 　 ； ②点E的坐标　 　 ； （2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出其面积值；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当时，Q是直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为（10，0），动点P的坐标为（n，﹣4），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点Q的坐标是　 　 .（直接写出答案即可） 7．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　 　 DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F） （3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 8．小红学习完平行线的证明后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】（1）如图1，BD平分∠ABC，E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC，交BD于点F，请直线写出一个与∠1相等的角； 【拓展延伸】（2）如图2，在（1）的条件下，G为BC上一点，连接FG，且∠BGF＝2∠1，求证：EF＝FG； 【操作探究】 （3） 如图3，∠ABC为锐角，射线BD在∠ABC内部，∠ABD＝2∠DBC，E是AB边上任意一点，以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F，以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M，连接EM．根据题意补全图形，并直接写出直线EM与BC的位置关系． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，CE交AD于点F，若∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠E＝60°，∠B＝80°，求∠APC的度数． 10．问题提出： （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线ED经过点A，过点B作BD⊥ED于点D，过点C作CE⊥ED于点E，求证：△ABD≌△CAE． 问题探究： （2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标． 问题解决： （3）如图3，地铁某线路原计划按OA﹣AP的方向施工，由于在AP方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AP方向改为AB或AC方向，则可以绕开此区域．已知∠BAC＝90°，AP平分∠BAC，AB＝AC，OA的长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AP与直线y＝﹣3x平行，请帮助施工队计算出AB和AC所在直线的函数表达式．[温馨提示：若点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点坐标为] 11．如图，直线AB：y＝x﹣8分别交x轴、y轴于A、B两点． （1）A点坐标为　 　 ，B点坐标为　 　 ； （2）如图1，若点C的坐标为（﹣2，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，求点P的坐标； （3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD∥BC，CD⊥AD，BD和AC相交于点P，求△BPC的面积． 小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的平面直角坐标系，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积． 请你按照小明的思路解决这道思考题． 13．如图，直线ll的函数解析式为y＝﹣2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（5，0）、B（4，﹣1），直线、交于点C． （1）求直线l2的函数解析式； （2）求△ADC的面积； （3）在直线l2上是否存在点P，使得△CDP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直线y＝x+1交于点P（3，m），B为直线y＝x+1上一点． （1）求a，m的值； （2）当线段AB最短时，求AB的长和点B的坐标； （3）在x轴上是否存在一点M，使AM+PM的值最小，若存在，并求些时点M的坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP的延长线相交于点Q． （1）若∠A＝50°，∠B＝60°，求∠DPC与∠Q； （2）若∠A＝x°时，求∠DPC与∠Q； （3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的∠A的度数． 16．2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携1935.3克的月球背面土壤样品荣耀归来．为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． （1）求每盒挂件和每盒印章的价格； （2）如果购买挂件a盒，则购买印章 　 　 盒（用含有a的式子表示）恰好能够配套分发； （3）累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费w元，求w关于a的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 17．请阅读下列材料，并完成相应任务． 【问题情景】 数学课上，老师与同学们一起以“三角形折角”为背景探究角之间的数量关系． 已知：如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的两个动点，将∠C沿着直线DE折叠，点C的对应点为C′． 求证：∠ADC'+∠BEC'＝2∠C． 【探究证明】 勤奋小组提出：我们刚学习了三角形外角的相关定理，是否可以用这个知识来解决这一问题呢？然后通过小组讨论，给出了以下的证明过程： 证明：连接CC'， 由折叠可知，∠DCE＝∠DC′E． ∵∠ADC'是△DCC'的一个外角， ∴∠ADC'＝∠DCC'+∠DC'C（依据）． ∵∠BEC'是△ECC'的一个外角， ∴∠BEC'＝∠ECC'+∠EC'C． ∴∠ADC'+∠BEC'＝∠DCC'+∠DC'C+∠ECC'+∠EC'C ＝（∠DCC'+∠ECC'）+（∠DC'C+∠EC'C） ＝∠DCE+∠DC′E． 又∵∠DCE＝∠DC′E，∴∠ADC'+∠BEC'＝2∠DCE． （1）勤奋小组证明过程中的“依据”是 　 　 ； 【类比猜想】 （2）乐学小组提出：如图2，若将∠C折到BC下方时，∠ADC'、∠BEC'与∠C之间的数量关系还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请先猜想它们之间的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）创新小组提出：如图3，若将∠C折到AC上方时，∠ADC'、∠BEC'与∠C之间的数量关系是 　 　 （直接填写答案，不必证明）． 18．数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在△ABC的内部有一点D，分别连接BD和CD．”所形成的图形展开研究． （1）如图1，若∠BDC＝120°，∠ABD＝30°，∠ACD＝40°，求∠A的度数； （2）如图2，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB． ①若∠BDC＝110°，求∠A的度数； ②若∠BDC＝α，请直接写出∠A的度数（用含α的式子表示）； （3）如图3，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，将∠A沿EF折叠，点A恰好落在D点处，若∠BDC＝115°，请直接写出∠1+∠2的度数． 19．小宇和小浩是邻居，周末两人骑共享单车从家到茂陵博物馆参观．若小宇先出发，骑行3km时，小浩才出发，开始时，他们两人骑行的速度相同，后来小宇改变骑行速度，小浩骑行速度始终保持不变．2.8h后，小宇到达茂陵博物馆．在整个骑行过程中，他们各自骑行的路程y（km）与小浩的骑行时间x（h）之间的关系如图所示． （1）求小宇改变骑行速度后，小宇的骑行路程y与x的函数表达式； （2）在小浩骑行过程中，当x为何值时，他们两人相距2km？ 20．综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，CD是△ABC的角平分线，点E是BC边上的点，∠CDE＝∠A．请探究∠ACD与∠BED之间的数量关系． 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若∠A＝40°，求此时∠ACD和∠BED的度数； ②勤奋小组发现无论△ABC是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变．请写出∠ACD与∠BED之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，△ABC中，∠A＜60°，∠ABC＝∠ACB．作△ABC的外角∠BCM的平分线，与AB的延长线交于点D，点E是线段BC延长线上的点，∠CDE＝∠A．请在图3中补全图形，并直接写出此时∠ACD与∠BED之间的数量关系． 21．直线y＝kx+b经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，C点的坐标为（0，﹣1）． （1）求k和b的值； （2）点E为线段AB上一点，点F为直线AC上一点，EF＝3． ①如图1，若EF∥BC，求E点坐标； ②如图2，若EF∥AO，请直接写出E点坐标． 22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B（0，4）两点，过点C（﹣4，0）作直线CE，交AB于点D，交y轴于点E，且△COE≌△BOA． （1）求点A及点E的坐标； （2）求点D的坐标； （3）如图2，M是线段CD上一动点（不与点C，D重合），ON⊥OM，ON交AB于点N，连接MN．求△DMN的面积的最大值． 23．【概念建构】 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．如图1，当直线MN在△ABC外部时，称Rt△ABD和Rt△CAE是Rt△ABC的“双外弦三角形”，如图2，当直线MN在△ABC内部时，称Rt△ABD和Rt△CAE是Rt△ABC的“双内弦三角形”．依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即Rt△ABD≌Rt△CAE． 【概念应用】（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AM⊥BC于点M，AM＝BM＝CM，E是BC边上的点，AE＝DE，AE⊥DE，连接AD，BD，若，AM＝4，求BD的长． 小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作DN⊥BC于点N．构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了BD．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题． 如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，DE＝DC，DE⊥DC，DE交BC于点N，延长EB，CD交于点F，猜想DE，DF，CN之间的数量关系，并说明理由． 【学以数用】（3）如图6，AD∥BC，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠EAB＝∠FDC＝90°，AD＝2，BC＝5，求△ADE和△ADF的面积和． 24．在等腰△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝90°，过点C作CD∥AB且AB＝2CD＝2，点E为CA延长线上一点，连接AD，EB，ED，当∠EBA+∠ADC＝90°时，求ED的长； （2）如图2，若∠BAC＝60°，过点C作CD∥AB且AB＝2CD，连接AD，以AD为边向右侧作等腰△ADF，∠DAF＝120°，连接BF．若G，M分别是BF，AC中点，连接AG，MG，求证：； （3）如图3，AB＝2，∠BAC＝60°，动点J在射线AC上运动，过点C作CH垂直于射线BJ，垂足为H，K为BH中点，连接AK，请直接写出AK的最小值． 25．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 　 　 ． A．SAS B．SSS C．AAS D．HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　 　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证：AE＝FE． 【灵活运用】 如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【北师大版压轴题】2024~2025年八年级上期末解答题真题汇编卷（下） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．【问题提出】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝3，则AB的长为　6　 ； 【问题探究】 （2）如图2，在△ABC中，AC＝7，点D为BC上方一点，连接CD，CD的垂直平分线EF分别交AB、CD于点E、F，点M为EF上一动点，连接AM、DM，求AM+DM的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，四边形ABCD是某县一座全民健身中心的平面示意图，对角线AC、BD为两条走廊，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ADB．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新扩建规划，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，发现AB与AF恰好相等，将△ABF区域规划为功能训练区，并在线段AC、CD上分别取点G、H，并沿线段GH、AH摆放某种小型健身器材，请你计算当GH+AH最小时，GH与CH的数量关系． 【答案】（1）6； （2）7； （3）CH＝2GH． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝3， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠B＝60°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝6， 故答案为：6； （2）在△ABC中，AC＝7，CD的垂直平分线EF分别交AB、CD于点E、F，点M为EF上一动点，如图2，连接MC， ∴MC＝MD， ∴AM+MD＝AM+MC≥AC， ∴AM+MD的最小值为AC＝7； （3）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ADB． ∴△ABC和△ADC都是直角三角形，AB＝AD， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴CB＝CD， ∴AC垂直平分BD， ∴AC⊥BD，BE＝DE； 设∠F＝α， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝α， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝α+α＝2α， ∵AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠DCE＝∠F＝α， ∴∠BCE＝∠DCE＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°， 解得：α＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝60°， ∵CB＝CD， ∴△BCD是等边三角形； 如图3，延长AD至点A′，使DA′＝DA， ∵CD⊥AD， ∴点A与点A′关于直线CD轴对称，过点A′作A′G⊥AC于点G，交CD于点H，连接AH， ∴AH＝A′H， ∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH的值最小， 又∵∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°， ∵A′G⊥AC，即GH⊥CG， 在Rt△GCH中，∠GCH＝30°， ∴CH＝2GH， ∴当GH+AH的值最小时，点H的位置如图所示，GH与CH的数量关系是CH＝2GH． 2．【问题探究】 （1）如图1，在△ABC中，BC＝15，高AD＝8．动点C'由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设CC'的长为x，△ABC′的面积为y．请求出y与x之间的函数关系式； 【问题解决】 （2）如图2，在一块三角形ABC电子屏中，C为感应点，其中∠ABC＝90°，AB＝80cm，AC＝100cm，动点P为一光点，当光点P在光带（折线AB﹣BC）上运动时，会与感应点C发生反应，同时光点P与初始点A、感应点C三点形成三角形ACP感应区，光点P以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→B→C匀速运动，到达点C时停止．设光点P的运动时间为t秒，三角形ACP感应区的面积为S（S≠0，即△ACP存在，t不取点A、C处的值）． ①请求出S关于t的函数表达式； ②当三角形ACP感应区的面积恰好为三角形ABC电子屏面积的一半时，求光点P的运动时间． 【答案】（1）y＝60﹣4x； （2）①；②40s或110s． 【解答】解：（1）∵CC′的长为x，则BC′＝15﹣x， ∴； （2）①∵∠ABC＝90°，AB＝80，AC＝100， ∴， 如图1，当P在边AB上时，此时0＜t≤80， ∴； 如图2，当P在边BC上时，此时80＜t＜140， ∴； 综上所述：S关于t的函数表达式为； ②， ∴三角形ACP感应区的面积， 当30t＝1200时，t＝40；当﹣40t+5600＝1200时，t＝110； ∴三角形ACP感应区的面积恰好为三角形ABC电子屏面积的一半时，光点P的运动时间为40s或110s．本题主要考查勾股定理，动点与函数的关系，根据函数值求自变量的值，掌握勾股定理，动点与函数关系式的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 3．【问题探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A（4，0），B（0，2），若点C为y轴上的点，连接AC，且△AOC的面积是△AOB的面积的2倍，求AC所在直线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC是某市高新技术开发区的一块空地，已知A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，﹣3），直线l：yx+2是一条笔直的道路（路宽不计），为了对空地进行合理规划利用，市政府计划在道路l上取点D，使得CD将四边形ACBD的面积分成1：4的两部分，并将这两部分分别规划为开发区综合服务管委会和安全监督管理局，请你帮助市政府计算出点D的坐标． 【答案】（1）直线AC的解析式为y＝﹣x+4或y＝x﹣4； （2）点D的坐标为（﹣10，7）或（0，2）． 【解答】解：（1）∵在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）， ∴， ∴S△AOC＝2S△AOB＝2×4＝8， 设C（0，m）， ∴， 2|m|＝8， ∴m＝±4， ∴C（0，4）或（0，﹣4）， 当点C坐标为（0，﹣4）时，设直线AC的解析式为：y＝kx﹣4， 把A（4，0）代入得：4k﹣4＝0， 解得：k＝1， ∴直线AC的解析式为y＝x﹣4； 当点C坐标为（0，4）时，设直线AC的解析式为：y＝kx+4， 把A（4，0）代入得：4k+4＝0， 解得：k＝﹣1， ∴此时直线AC的解析式为y＝﹣x+4； （2）设直线CD与x轴交于点E，如图所示： ， ， 设点D， ∵C（0，﹣3）， ∴设CD的解析式为：y＝kx﹣3，把代入得： ， 解得：， ∴， 把y＝0代入得：， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∴， 解得：t＝﹣10， ∴D（﹣10，7）； 当时， ∴， 解得：t＝0， ∴D（0，2）； ∴点D的坐标为（﹣10，7）或（0，2）． 4．【问题提出】 如图①，直线y＝kx﹣3k+4经过第一象限内的定点P． （1）点P的坐标为 　（3，4）　 ； （2）如图②，已知点A（6，t），过点A作AB∥y轴交第一象限内的直线y＝kx﹣3k+4于点B，连接OB，OP，若OP⊥BC，BP平分∠OBA，求k的值； 【问题解决】 （3）如图③，Rt△AOB是某试验田的一块区域示意图，OA⊥OB，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段AB上．现要规划一片等腰直角三角形区域△PMN作为新品种小麦的研究基地，点M在线段BO上，点N在线段OB的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为（3，4），按设计要求∠PMN＝90°，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，试求出此时点N的坐标． 【答案】（1）（3，4）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣3k+4＝（x﹣3）k+4经过第一象限内的定点P， 当x＝3时，y＝4， ∴点P的坐标为（3，4）， 故答案为：（3，4）； （2）∵BP平分∠OBA， ∴∠ABC＝∠OBC， ∵AB∥OC， ∴∠ABC＝∠OCB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OC＝OB， ∵AB∥y轴，点A（6，t）， ∴点B的横坐标为6， 当x＝6时，y＝3k+4； 当x＝0时，y＝4﹣3k， ∴点B（6，3k+4），C（0，4﹣3k）， ∵OB＝OC， ∴36+（3k+4）2＝（4﹣3k）2， 解得； （3）已知点P的坐标为（3，4），按设计要求∠PMN＝90°，如图③，过点M作MH∥y轴，过点N作NH∥x轴，MH与NH相交于点H，过点P作PG∥x轴，交直线HM于点G． ∴∠GMP+∠GPM＝90°，∠GMP+∠NMH＝90°， ∴∠NMH＝∠GPM． 在△MGP和△NHM中， ， ∴△MGP≌△NHM（AAS）， ∴GP＝MH，HN＝GM， 设点M（m，0），点N（x，y）， 即3﹣m＝﹣y，x﹣m＝4， 解得x＝m+4，y＝m﹣3， 则y＝x﹣7．即点N在直线y＝x﹣7上， 过点O作直线y＝x﹣7的对称点O′，当点P，N，O′三点共线时，PN+ON＝PN+ON′＝PO′最小，即OP+ON+PN的值最小， 如图，设直线y＝x﹣7与x轴交于点J，与y轴交于点K，连接JO′，KO′， 则点J（7，0），点K（0，﹣7），∠OJK＝∠OKJ＝45°， △JOK≌△JO′K（SSS）， ∴∠OJK＝∠O′JK＝∠O′KJ＝∠OKJ＝45°，JO＝JO′＝7， ∴∠OJK＝∠O′JK＝∠O′KJ＝∠OKJ＝45°，JO＝JO′＝7，OK＝O′K＝7， ∴∠OJO′＝∠OKO′＝90°， ∴点O′（7，﹣7）， 设直线PO′的表达式为y＝cx+d，将点P，点O′的坐标代入得： ， 解得， ∴直线PO′的表达式为， 联立， 解得， ∴点． 5．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． （1）点A的坐标是 　（3，0）　 ，点B的坐标是 　（0，4）　 ． （2）在直线AB上是否存在一点D（不与点B重合），使△AOD的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点E是y轴上一动点，把线段AB沿着直线AE翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标． 【答案】（1）（3，0）；（0，4）； （2）在直线AB上存在一点D（不与点B重合），使△AOD的面积等于△AOB的面积；点D（6，﹣4）； （3）E点坐标为（0，）或（0，﹣6）． 【解答】解：（1）已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 当y＝0时，得： x+4＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝4， ∴A（3，0），B（0，4）， 故答案为：（3，0）；（0，4）； （2）在直线AB上存在一点D（不与点B重合），使△AOD的面积等于△AOB的面积；理由如下： 设， ∴S△AOD3×|t+4|，S△OAB3×4＝6， ∵△AOD的面积等于△OAB的面积， ∴6， 解得：t＝0（不合题意，舍去）或t＝6， ∴D（6，﹣4）； （3）E点坐标为（0，）或（0，﹣6）．理由如下： 设E（0，n）， 如图1，当B点的对称点B′在x轴负半轴上时， 由折叠可知BE＝B′E，AB＝AB′＝5， ∵OA＝3， ∴OB′＝2， 在Rt△B′EO中，由勾股定理得：（4﹣n）2＝4+n2， 解得：n， ∴E（0，）； 如图2，当B点的对称点B′在x轴正半轴上时， 由折叠可知，BE＝B′E，AB＝AB′＝5， ∴OB′＝8， 在Rt△OEB′中，由勾股定理得：（4﹣n）2＝n2+64， 解得：n＝﹣6， ∴E（0，﹣6）， 综上所述，E点坐标为（0，）或（0，﹣6）． 6．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”（不需要证明）． 【迁移应用】已知：直线y＝kx+6（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°； ①直接写出OA＝　8　 ，OB＝　6　 ； ②点E的坐标　（6，14）　 ； （2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出其面积值；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当时，Q是直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为（10，0），动点P的坐标为（n，﹣4），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点Q的坐标是　或（8，﹣6）　 .（直接写出答案即可） 【答案】（1）①8，6；②（6，14）； （2）△OBN的面积不发生变化，S△OBN＝18； （3）点Q的坐标为或（8，﹣6）． 【解答】解：（1）①OA＝8，OB＝6；理由如下： 当时，直线AB解析式为， 令x＝0，则y＝6，即B（0，6）， 令y＝0，则有， 解得x＝8，即A（8，0）， OA＝8，OB＝6． 故答案为：8，6； ②过点E作EF⊥y轴，垂足为F，如图2， ∵△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝90°， ∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°， 又∵∠EBF+∠BEF＝90°， ∴∠ABO＝∠BEF， 在△AOB和△BFE中， ， ∴△AOB≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AO＝8，EF＝BO＝6， ∴OF＝OB+BF＝8+6＝14， ∴E（6，14）． 故答案为：（6，14）； （2）△OBN的面积不发生变化；理由如下： 如图，过点N作NK⊥y轴，垂足为K， 则∠AOB＝∠BKN＝90°， ∵BN⊥AB，BN＝AB， ∴∠ABO+∠NBK＝90°， 又∵∠NBK+∠BNK＝90°， ∴∠ABO＝∠BNK， 在△AOB和△BKN中， ， ∴△AOB≌△BKN（AAS）， ∴NK＝BO＝6， ∴， ∴当k的取值变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝18； （3）点Q的坐标是或（8，﹣6）；理由如下： 当n＜10时，如图4，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T， ∴∠CSP＝∠PTQ＝90°， ∵∠2+∠3＝90°， 又∵∠CPQ＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， 又∵PC＝PQ，∠CAP＝∠PTQ＝90°， ∴△PCS≌△QPT（AAS）． ∴QT＝PS＝4，PT＝SC＝10﹣n， ∴ST＝14﹣n， ∴点Q的坐标为（4+n，n﹣14）， ∵， ∴直线，将点Q的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点Q的坐标为； 当n＞10时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T， ∴∠CSP＝∠PTQ＝90°， ∵∠CPS+∠3＝90°， ∵∠CPQ＝90°， ∴∠CPS+∠PQT＝90°， ∴∠PQT＝∠PCS， 又∵PC＝PQ，∠CAP＝∠PTQ＝90°， ∴△PCS≌△QPT（AAS）， ∴QT＝PS＝4，PT＝SC＝n﹣10， ∴ST＝n﹣6， ∴点Q的坐标为（n﹣4，6﹣n）， ∵， ∴直线，将点Q的坐标代入， 可得， 解得n＝12， ∴n﹣4＝8，6﹣n＝﹣6， ∴点Q的坐标为（8，﹣6）． 综上所述，点Q的坐标为或（8，﹣6）， 故答案为：或（8，﹣6）． 7．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　＝　 DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】（1）＝； （2）AE＝DB，理由见解析； （3）3． 【解答】解：（1）AE＝DB，理由如下： ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵点E为AB的中点， ∴∠ECD∠ACB＝30°，AE＝BE， ∴∠D＝30°， ∵∠ABC＝∠D+∠DEB， ∴∠DEB＝∠ABC﹣∠D＝30°， ∴∠DEB＝∠D， ∴DB＝BE， ∴AE＝DB； 故答案为：＝； （2）AE＝DB，理由如下： 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 则∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠FEC＝∠ECD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∠DBE＝120°， ∴△AEF为等边三角形，∠EFC＝120°， ∴AE＝EF， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠D＝∠FEC， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（AAS）， ∴DB＝EF， ∴AE＝DB； （3）当点E在AB的延长线时，过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示： 同（2）得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC（AAS）， ∴AE＝EF＝2，DB＝EF＝2， ∵BC＝1， ∴CD＝BC+DB＝3． 8．小红学习完平行线的证明后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】 （1）如图1，BD平分∠ABC，E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC，交BD于点F，请直线写出一个与∠1相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，G为BC上一点，连接FG，且∠BGF＝2∠1，求证：EF＝FG； 【操作探究】 （3）如图3，∠ABC为锐角，射线BD在∠ABC内部，∠ABD＝2∠DBC，E是AB边上任意一点，以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F，以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M，连接EM．根据题意补全图形，并直接写出直线EM与BC的位置关系． 【答案】（1）∠ABD（或∠BFE）； （2）如图，延长GF，交AB于点H， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠1， ∵∠BGF＝2∠1， ∴∠BGF＝∠ABC， ∴HB＝HG， ∵EF∥BC， ∴∠HEF＝∠ABC，∠HFE＝∠BGF， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴HE＝HF， ∴HB﹣HE＝HG﹣HF，即BE＝FG， 由（1）已得：∠ABD＝∠1，∠BFE＝∠1， ∴∠ABD＝∠BFE， ∴EF＝BE， ∴EF＝FG． （3）当点M在线段BF上时， ， 此时EM⊥BC；当点M在射线FD上时， ， 此时EM∥BC 【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠1， ∵EF∥BC， ∴∠BFE＝∠1， ∴与∠1相等的角是∠ABD（或∠BFE）． （2）证明：如图，延长GF，交AB于点H， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠1， ∵∠BGF＝2∠1， ∴∠BGF＝∠ABC， ∴HB＝HG， ∵EF∥BC， ∴∠HEF＝∠ABC，∠HFE＝∠BGF， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴HE＝HF， ∴HB﹣HE＝HG﹣HF，即BE＝FG， 由（1）已得：∠ABD＝∠1，∠BFE＝∠1， ∴∠ABD＝∠BFE， ∴EF＝BE， ∴EF＝FG． （3）解：①当点M在线段BF上时，补全图形如下： 延长EM，交BC于点H， 设∠DBC＝x，则∠ABD＝2x， ∵以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F， ∴EB＝EF， ∴∠EFB＝∠ABD＝2x， ∵以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M， ∴EF＝MF， ∴∠FEM＝∠FME， ∵∠FEM+∠FME+∠EFB＝180°， ∴， ∴∠BMH＝∠FME＝90°﹣x， ∴∠EHC＝∠DBC+∠BMH＝90°， ∴EM⊥BC； ②当点M在射线FD上时，补全图形如下： 由作图可知，EB＝EF， ∴∠EFB＝∠ABD， ∵以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F， ∴EF＝MF， ∴∠FEM＝∠FME， ∵∠EFB＝∠FEM+∠FME， ∴∠EFB＝2∠FME， ∴∠ABD＝2∠FME， 又∵∠ABD＝2∠DBC， ∴∠FME＝∠DBC， ∴EM∥BC； 综上，当点M在线段BF上时，EM⊥BC；当点M在射线FD上时，EM∥BC． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，CE交AD于点F，若∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠E＝60°，∠B＝80°，求∠APC的度数． 【答案】（1）见解答；（2）70°． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠B＝∠EAD， ∵∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠D， ∴AB∥CD； （2）过点P作PG∥AB，交BC于点G， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B＝80°， ∵AP平分∠EAD， ∴， 由（1）知AB∥CD， ∴∠ECD＝∠E＝60°， ∵CP平分∠ECD， ∴， ∵PG∥AB，AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠APG＝∠EAP，∠CPG＝∠PCD， ∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠EAP+∠DCP＝40°+30°＝70°． 10．问题提出： （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线ED经过点A，过点B作BD⊥ED于点D，过点C作CE⊥ED于点E，求证：△ABD≌△CAE． 问题探究： （2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标． 问题解决： （3）如图3，地铁某线路原计划按OA﹣AP的方向施工，由于在AP方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AP方向改为AB或AC方向，则可以绕开此区域．已知∠BAC＝90°，AP平分∠BAC，AB＝AC，OA的长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AP与直线y＝﹣3x平行，请帮助施工队计算出AB和AC所在直线的函数表达式．[温馨提示：若点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点坐标为] 【答案】（1）∵BD⊥ED，CE⊥ED， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△BEC和△CDA中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）C（﹣4，3）； （3）AB所在直线的解析式为y＝2x+2；AC所在直线的解析式为． 【解答】（1）证明：∵BD⊥ED，CE⊥ED， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△BEC和△CDA中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当y＝0时：得：x+1＝0， 解得：x＝﹣3； 当x＝0时，得：y＝1， ∴A（﹣3，0），B（0，1）， ∴OA＝3，OB＝1， 过点C作CD⊥x轴，交x轴于点D，如图2， 同上法可证：△AOB≌△CDA（AAS）， ∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝3， ∴OD＝OA+DA＝4， ∴C（﹣4，3）； （3）解：由题意得：A（﹣1，0）， ∵射线AP与直线y＝﹣3x平行， 设直线AP的解析式为：y＝﹣3x+b，将点A的坐标代入得： 0＝（﹣3）×（﹣1）+b， 解得：b＝﹣3； ∴y＝﹣3x﹣3； 延长AB交y轴于点B′，延长AC至点C′，使AB′＝AC′，设B′（0，y），过点C′分别作C′F⊥x轴， 由问题提出可知：△B′OA≌△AFC′（AAS）， ∴AF＝OB′＝y，C′F＝OA＝1， ∴C′（﹣y﹣1，1）， ∴B′，C′的中点坐标为：， 由题意可知在直线AP上， ∴， 解得：y＝2， ∴B′（0，2），C′（﹣3，1）， 设AB的解析式为y＝k1x+b1，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴AB所在直线的解析式为y＝2x+2； 设AC的解析式为y＝k2x+b2，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴AC所在直线的解析式为． 11．如图，直线AB：y＝x﹣8分别交x轴、y轴于A、B两点． （1）A点坐标为　（8，0）　 ，B点坐标为　（0，﹣8）　 ； （2）如图1，若点C的坐标为（﹣2，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，求点P的坐标； （3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值． 【答案】（1）（8，0），（0，﹣8）； （2）P（0，﹣2）； （3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变．S△BDM﹣S△ADN＝16． 连接OD，则OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，∠OAD＝45°， ∴OD＝AD， ∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA， 在△ODM与△ADN中， ， ∴△ODM≌△ADN（ASA）， ∴S△ODM＝S△ADN， ∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BODS△AOBAO•BO8×8＝16． 【解答】解：（1）在y＝x﹣8中，令x＝0，则y＝﹣8，令y＝0，则x＝8， ∴A（8，0），B（0，﹣8）， 故答案为：（8，0），（0，﹣8）； （2）∵a＝4，b＝﹣4，则OA＝OB＝4． ∵AH⊥BC于H， ∴∠OAP+∠OPA＝∠BPH+∠OBC＝90°， ∴∠OAP＝∠OBC， 在△OAP与△OBC中， ， ∴△OAP≌△OBC（ASA）， ∴OP＝OC＝2， 则P（0，﹣2）； （3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变．S△BDM﹣S△ADN＝16． 连接OD，则OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，∠OAD＝45° ∴OD＝AD， ∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA， 在△ODM与△ADN中， ， ∴△ODM≌△ADN（ASA）， ∴S△ODM＝S△ADN， ∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BODS△AOBAO•BO8×8＝16． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD∥BC，CD⊥AD，BD和AC相交于点P，求△BPC的面积． 小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的平面直角坐标系，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积． 请你按照小明的思路解决这道思考题． 【答案】△BPC的面积为32． 【解答】解：如图：以BC所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 过点A作AE⊥x轴，垂足为E， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴BE＝ECBC＝6， 在Rt△ABE中，AE8， ∵AD∥BC，AE⊥x轴，DC⊥x轴， ∴AE＝CD＝8， ∴点A的坐标为（﹣6，8），点B的坐标为（﹣12，0），点D的坐标为（0，8）， 设直线OA的函数表达式为：y＝kx， 把A（﹣6，8）代入y＝kx中得：8＝﹣6k， 解得：k ∴直线OA的函数表达式为：yx， 设直线BD的函数表达式为：y＝mx+b 把B（﹣12，0）、D（0，8）代入y＝mx+b中得：， 解得：， ∴直线BD的函数表达式为：yx+8， 由题意得：， 解得：， ∴点P的坐标为（﹣4，）， ∴△BPC的面积BC•yP1232， ∴△BPC的面积为32． 13．如图，直线ll的函数解析式为y＝﹣2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（5，0）、B（4，﹣1），直线、交于点C． （1）求直线l2的函数解析式； （2）求△ADC的面积； （3）在直线l2上是否存在点P，使得△CDP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x﹣5； （2）3； （3）存在．理由见解析． 【解答】解：（1）设直线l2的函数解析式为y＝kx+b， 将A（5，0）、B（4，﹣1）代入y＝kx+b， ， 解得， ∴直线l2的函数解析式为y＝x﹣5； （2）联立两直线解析式组成方程组， ， 解得， ∴点C的坐标为（3，﹣2）． 当y＝﹣2x+4＝0时，x＝2， ∴点D的坐标为（2，0）． ∴S△ADCAD•|yC|（5﹣2）×2＝3； （3）存在．理由如下： ∵△CDP面积是△ADC面积的2倍， ∴△ADP面积＝△ADC面积， ∴|yP|＝|yC|＝2， 当y＝x﹣5＝﹣2时，x＝3， 此时点P的坐标为（3，﹣2）与点C重合； 当y＝x﹣5＝2时，x＝7， 此时点P的坐标为（7，2）． 当点P在点C的下方时， ∵△CDP面积是△ADC面积的2倍， ∴△ADP面积＝3△ADC面积， ∴yP＝﹣6， ∴P（﹣1，﹣6）， 综上所述：在直线l2上存在点P（﹣1，﹣6）或（7，2），使得△CDP面积是△ADC面积的2倍． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直线y＝x+1交于点P（3，m），B为直线y＝x+1上一点． （1）求a，m的值； （2）当线段AB最短时，求AB的长和点B的坐标； （3）在x轴上是否存在一点M，使AM+PM的值最小，若存在，并求些时点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＝4，a＝10； （2），； （3）存在，． 【解答】解：（1）由条件可知m＝3+1＝4， ∵直线y＝﹣2x+a与直线y＝x+1交于点P（3，4）， ∴4＝﹣2×3+a，解得a＝10； （2）如图，过点A作直线y＝x+1的垂线，垂足为C， 由条件可知点D（0，1），即OD＝1， ∵直线AP的解析式为y＝﹣2x+10， ∴点A（0，10），即OA＝10， 则AD＝9， ∵直线y＝x+1与坐标轴交于点（0，1）和（﹣1，0）， ∴∠ADB＝45°， 则△ACD为等腰直角三角形， 过点C作y轴的垂线，交y轴于点E，则， 那么，线段AB最短时，点B位于点C，其值为， 此时，， 即当线段AB最短时，求的长和点B； （3）存在，理由如下： 如图，作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣10），连接PA′交x轴于点M， 则AM+PM＝A′M+PM＝A′P， ∵直线PA′过点A′（0，﹣10）， ∴设直线PA′的解析式为y＝kx﹣10， ∵点P（3，4）， ∴4＝3k﹣10，解得， 则直线PA′的解析式为， 当y＝0时，，解得， 则AM+PM的值最小时，点． 15．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP的延长线相交于点Q． （1）若∠A＝50°，∠B＝60°，求∠DPC与∠Q； （2）若∠A＝x°时，求∠DPC与∠Q； （3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的∠A的度数． 【答案】（1）∠DPC＝115°；∠Q＝25°； （2）∠DPC＝90°x°，∠Qx°； （3）∠A的度数为45°或60°或120°或135°． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∵CP平分∠ACB， ∴根据角平分线的性质，∠BCP＝∠ACPACB＝35°， ∵DE∥BC， ∴根据平行线的性质，∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠BCP＝35°． ∵DP平分∠ADE， ∴根据角平分线的性质，∠PDGADE＝30°， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDG﹣∠PGD＝180°﹣30°﹣35°＝115°； ∴∠QPC＝180°﹣115°＝65°， ∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF， ∴∠ACPACB，∠ACQACF， ∵∠ACB+∠ACF＝180°， ∴∠ACP+∠ACQ＝90°，即∠PCQ＝90°， ∴∠Q＝90°﹣∠QPC＝90°﹣65°＝25°； ∴∠DPC＝115°；∠Q＝25°； （2）∵∠A＝x°， ∴∠ACB+∠B＝180°﹣x°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠PCB． ∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB， ∴∠PDEADEB，∠PCBACB＝∠PGD， ∴∠DPC＝180°﹣（∠PDE+∠PGD） ＝180°（∠B+∠ACB） ＝180°（180°﹣x°） ＝90°x°， ∴∠QPC＝180°﹣（90°x°）＝90°x°， 由（1）可知∠PCQ＝90°不变， ∴∠Q＝90°﹣∠QPC＝90°﹣（90°x°）x°； ∴∠DPC＝90°x°，∠Qx°； （3）设∠A＝α， 由（2）可知∠QPC＝90°α，∠Q， ∵∠PCQ＝90°， ∴可分类讨论：①当∠PCQ＝3∠CPQ时， ∴90°α90°， 解得：α＝120°， ∴∠A＝120°； ②当∠PCQ＝3∠Q时， ∴90°， 解得：α＝60°， ∴∠A＝60°； ③当∠CPQ＝3∠Q时， ∴90°α＝3， 解得：α＝45°， ∴∠A＝45°； ④当3∠CPQ＝∠Q时， ∴3×（90°α）， 解得：α＝135°， ∴∠A＝135°． 综上可知∠A＝45°或60°或120°或135°． 所以∠A的度数为45°或60°或120°或135°． 16．2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携1935.3克的月球背面土壤样品荣耀归来．为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． （1）求每盒挂件和每盒印章的价格； （2）如果购买挂件a盒，则购买印章 　a 盒（用含有a的式子表示）恰好能够配套分发； （3）累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费w元，求w关于a的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 【答案】（1）40元，30元； （2）a； （3）w，1836元． 【解答】解：（1）设每盒挂件的价格为x元，每盒印章的价格为y元． 根据题意，得， 解得． 答：每盒挂件的价格为40元，每盒印章的价格为30元． （2）设购买印章m盒，则30a＝20m， 解得ma， ∴购买印章a盒． 故答案为：a． （3）40a+30a＝85a． 当85a≤1700时，解得a≤20； 当85a＞1700时，解得a＞20． 当0≤a≤20时，w＝85a； 当a＞20时，w＝1700+0.8×85（a﹣20）＝68a+340． 综上，w． 当a22时，w＝68×22+340＝1836． 答：w关于a的函数关系式为w，若有660名学生参加活动，共需要1836元． 17．请阅读下列材料，并完成相应任务． 【问题情景】 数学课上，老师与同学们一起以“三角形折角”为背景探究角之间的数量关系． 已知：如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的两个动点，将∠C沿着直线DE折叠，点C的对应点为C′． 求证：∠ADC'+∠BEC'＝2∠C． 【探究证明】 勤奋小组提出：我们刚学习了三角形外角的相关定理，是否可以用这个知识来解决这一问题呢？然后通过小组讨论，给出了以下的证明过程： 证明：连接CC'， 由折叠可知，∠DCE＝∠DC′E． ∵∠ADC'是△DCC'的一个外角， ∴∠ADC'＝∠DCC'+∠DC'C（依据）． ∵∠BEC'是△ECC'的一个外角， ∴∠BEC'＝∠ECC'+∠EC'C． ∴∠ADC'+∠BEC'＝∠DCC'+∠DC'C+∠ECC'+∠EC'C ＝（∠DCC'+∠ECC'）+（∠DC'C+∠EC'C） ＝∠DCE+∠DC′E． 又∵∠DCE＝∠DC′E，∴∠ADC'+∠BEC'＝2∠DCE． （1）勤奋小组证明过程中的“依据”是 　三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和　 ； 【类比猜想】 （2）乐学小组提出：如图2，若将∠C折到BC下方时，∠ADC'、∠BEC'与∠C之间的数量关系还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请先猜想它们之间的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）创新小组提出：如图3，若将∠C折到AC上方时，∠ADC'、∠BEC'与∠C之间的数量关系是 　∠BEC′﹣∠ADC′＝2∠C （直接填写答案，不必证明）． 【答案】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）∠ADC'、∠BEC'与∠C之间的数量关系不成立；∠ADC′﹣∠BEC′＝2∠C． 证明：如图2，设C′D与BC相交于点F， 则∠CFD＝∠BEC′+∠C′， 又∵∠ADC′＝∠CFD+∠C， ∴∠ADC′＝∠BEC′+∠C′+∠C， ∵将∠C沿着直线DE折叠，点C的对应点为C′． ∴∠C′＝∠C， ∴∠ADC′＝∠BEC′+2∠C， 即∠ADC′﹣∠BEC′＝2∠C； （3）∠BEC′﹣∠ADC′＝2∠C． 【解答】解：（1）证明：连接CC'， 由折叠可知，∠DCE＝∠DC′E． ∵∠ADC'是△DCC'的一个外角， ∴∠ADC'＝∠DCC'+∠DC'C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵∠BEC'是△ECC'的一个外角， ∴∠BEC'＝∠ECC'+∠EC'C． ∴∠ADC'+∠BEC'＝∠DCC'+∠DC'C+∠ECC'+∠EC'C ＝（∠DCC'+∠ECC'）+（∠DC'C+∠EC'C） ＝∠DCE+∠DC′E． 又∵∠DCE＝∠DC′E， ∴∠ADC'+∠BEC'＝2∠DCE． 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）∠ADC'、∠BEC'与∠C之间的数量关系不成立；∠ADC′﹣∠BEC′＝2∠C． 证明：如图2，设C′D与BC相交于点F， 则∠CFD＝∠BEC′+∠C′， 又∵∠ADC′＝∠CFD+∠C， ∴∠ADC′＝∠BEC′+∠C′+∠C， ∵将∠C沿着直线DE折叠，点C的对应点为C′． ∴∠C′＝∠C， ∴∠ADC′＝∠BEC′+2∠C， 即∠ADC′﹣∠BEC′＝2∠C； （3）∠BEC′﹣∠ADC′＝2∠C；理由如下： 如图3，设C′E与AD相交于点F， 则∠CFE＝∠ADC′+∠C′， 又∵∠BEC′＝∠CFE+∠C， ∴∠BEC′＝∠ADC′+∠C′+∠C， ∵将∠C沿着直线DE折叠，点C的对应点为C′． ∴∠C′＝∠C， ∴∠BEC′＝∠ADC′+2∠C， 即∠BEC′﹣∠ADC′＝2∠C， 故答案为：∠BEC′﹣∠ADC′＝2∠C． 18．数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在△ABC的内部有一点D，分别连接BD和CD．”所形成的图形展开研究． （1）如图1，若∠BDC＝120°，∠ABD＝30°，∠ACD＝40°，求∠A的度数； （2）如图2，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB． ①若∠BDC＝110°，求∠A的度数； ②若∠BDC＝α，请直接写出∠A的度数（用含α的式子表示）； （3）如图3，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，将∠A沿EF折叠，点A恰好落在D点处，若∠BDC＝115°，请直接写出∠1+∠2的度数． 【答案】（1）∠A＝50°； （2）①∠A＝40°②∠A＝2α﹣180°； （3）∠1+∠2＝100°． 【解答】解：（1）∵∠BDC＝120°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ABD＝30°，∠ACD＝40°， ∴∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB＝30°+40°+60°＝130°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣130°＝50°； （2）①∵∠BDC＝110°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣110°＝70°， ∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝140°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣140°＝40°； ②∵∠BDC＝α， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣α， ∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝2（180°﹣α）， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°； （3）∵∠BDC＝115°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣115°＝65°， ∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝2×65°＝130°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣130°＝50°， ∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°， ∵∠A沿EF折叠，点A恰好落在D点处， ∴∠DEF＝∠AEF，∠DFE＝∠DEF， ∴∠AED+∠AFD＝2（∠AEF+∠AFE）＝2×130°＝260°， ∴∠1+∠2＝2×180°﹣（∠AED+∠AFD）＝100°． 19．小宇和小浩是邻居，周末两人骑共享单车从家到茂陵博物馆参观．若小宇先出发，骑行3km时，小浩才出发，开始时，他们两人骑行的速度相同，后来小宇改变骑行速度，小浩骑行速度始终保持不变．2.8h后，小宇到达茂陵博物馆．在整个骑行过程中，他们各自骑行的路程y（km）与小浩的骑行时间x（h）之间的关系如图所示． （1）求小宇改变骑行速度后，小宇的骑行路程y与x的函数表达式； （2）在小浩骑行过程中，当x为何值时，他们两人相距2km？ 【答案】（1）小宇改变骑行速度后，y关于x的函数关系式为y＝10x+8； （2）当x＝1.2h或2h时，小宇和小浩两人相距2km． 【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b， ， 解得， ∴小宇改变骑行速度后，y关于x的函数关系式为y＝10x+8； （2）∵小浩的速度为36÷2.4＝15（千米/小时）， ∴小浩骑行过程中，y关于x的函数解析式为y＝15x， ∵小宇和小浩两人相遇前后相距2km， ∴|10x+8﹣15x|＝2， 解得x＝1.2或x＝2， ∴当x＝1.2h或2h时，小宇和小浩两人相距2km． 20．综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，CD是△ABC的角平分线，点E是BC边上的点，∠CDE＝∠A．请探究∠ACD与∠BED之间的数量关系． 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若∠A＝40°，求此时∠ACD和∠BED的度数； ②勤奋小组发现无论△ABC是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变．请写出∠ACD与∠BED之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，△ABC中，∠A＜60°，∠ABC＝∠ACB．作△ABC的外角∠BCM的平分线，与AB的延长线交于点D，点E是线段BC延长线上的点，∠CDE＝∠A．请在图3中补全图形，并直接写出此时∠ACD与∠BED之间的数量关系． 【答案】（1）①75°； ②3∠ACD+∠BED＝180°； 证明：∵CD平分∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD，∠ACB＝2∠ACD． ∴∠ABC＝2∠ACD． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A＝180°﹣4∠ACD． ∵∠A＝∠CDE， ∴∠CDE＝180°﹣4∠ACD． ∵∠BED是△CDE的外角， ∴∠BED＝∠CDE+∠DCE＝180°﹣4∠ACD+∠ACD＝180°﹣3∠ACD， ∴3∠ACD+∠BED＝180°； （2）如图3，即为所求； ∠ACD与∠BED之间的数量关系为：3∠ACD﹣∠BED＝360°． 【解答】解：（1）①在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝∠ACB，∠CDE＝∠A， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠CDE＝∠A＝40°， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴． ∵∠BED是△CDE的外角， ∴∠BED＝∠DCE+∠CDE＝35°+40°＝75°， ②3∠ACD+∠BED＝180°； 证明：∵CD平分∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD，∠ACB＝2∠ACD． ∴∠ABC＝2∠ACD． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A＝180°﹣4∠ACD． ∵∠A＝∠CDE， ∴∠CDE＝180°﹣4∠ACD． ∵∠BED是△CDE的外角， ∴∠BED＝∠CDE+∠DCE＝180°﹣4∠ACD+∠ACD＝180°﹣3∠ACD， ∴3∠ACD+∠BED＝180°； （2）补全图形，如图3即为所求； ∠ACD与∠BED之间的数量关系为：3∠ACD﹣∠BED＝360°；理由如下： ∵AB＝BC，CD平分∠BCM，∠A＝∠CDE， ∴∠ABC＝∠ACB，∠BCD＝∠DCM． 设∠A＝x＝∠CDE，则， ∴，， ∴，， 即， ∴3∠ACD﹣∠BED＝360°． 21．直线y＝kx+b经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，C点的坐标为（0，﹣1）． （1）求k和b的值； （2）点E为线段AB上一点，点F为直线AC上一点，EF＝3． ①如图1，若EF∥BC，求E点坐标； ②如图2，若EF∥AO，请直接写出E点坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得，解得； （2）设直线AC的解析式为y＝mx﹣1， 把A（﹣2，0）代入得﹣2m﹣1＝0，解得m， ∴直线AC为yx﹣1， ①若EF∥BC，则E（x，2x+4）， ∵EF＝3， ∴F（x，2x+1）， 把F的坐标代入yx﹣1得2x+1x﹣1， 解得x， ∴E（，）； ②若EF∥AO，则E（x，2x+4）， ∵EF＝3． ∴F（x﹣3，2x+4）， 把F点的坐标代入yx﹣1得2x+4（x﹣3）﹣1， 解得x， ∴E（，）． 22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B（0，4）两点，过点C（﹣4，0）作直线CE，交AB于点D，交y轴于点E，且△COE≌△BOA． （1）求点A及点E的坐标； （2）求点D的坐标； （3）如图2，M是线段CD上一动点（不与点C，D重合），ON⊥OM，ON交AB于点N，连接MN．求△DMN的面积的最大值． 【答案】（1）A（8，0）；E（0，8）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B（0，4）两点，将点B的坐标代入得：t＝4， ∴， 当y＝0时，得：， 解得：x＝8， ∴A（8，0）； ∴OA＝8， ∵△COE≌△BOA， ∴OE＝OA＝8， ∴E（0，8）； （2）设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C，点E的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线CE的解析式为y＝2x+8， ∵直线CE交AB于点D， 联立得：， 解得：， ∴点D的坐标为． （3）∵△COE≌△BOA， ∴OC＝OB，∠OCM＝∠OBN， ∵∠COE＝90°，ON⊥OM， ∴∠MON＝∠COE＝90° ∴∠COM+∠MOE＝∠MOE+∠BON， ∴∠COM＝∠BON， 在△COM和△BON中， ， ∴△COM≌△BON（ASA）， ∴OM＝ON， ∵△COM≌△BON， ∴S△COM+S△NOA＝S△BON+S△NOA＝S△AOB， ∵OA＝8，OB＝4，OC＝4，， ∴S△AOB＝16，S△CAD（8+4）， ∵S四边形OMDN＝S△CAD﹣S△COM﹣S△NOA＝S△CAD﹣S△AOB16， ∴四边形OMDN面积为定值， ∵S△DMN+S△MON＝S四边形OMDN， ∴要使△DMN面积最大，求△MON面积最小即可， ∵S△MON， ∴当OM取最小值时，△MON面积最小， ∵OC＝4，OE＝8，∠COE＝90°， ∴， ∵当OM⊥CE时，OM取最小值， ∴， 即OM， ∴△MON面积最小为， 则△DMN面积， 即△DMN面积最大为． 23．【概念建构】 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．如图1，当直线MN在△ABC外部时，称Rt△ABD和Rt△CAE是Rt△ABC的“双外弦三角形”，如图2，当直线MN在△ABC内部时，称Rt△ABD和Rt△CAE是Rt△ABC的“双内弦三角形”．依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即Rt△ABD≌Rt△CAE． 【概念应用】 （1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AM⊥BC于点M，AM＝BM＝CM，E是BC边上的点，AE＝DE，AE⊥DE，连接AD，BD，若，AM＝4，求BD的长． 小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作DN⊥BC于点N．构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了BD．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题． 如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，DE＝DC，DE⊥DC，DE交BC于点N，延长EB，CD交于点F，猜想DE，DF，CN之间的数量关系，并说明理由． 【学以数用】 （3）如图6，AD∥BC，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠EAB＝∠FDC＝90°，AD＝2，BC＝5，求△ADE和△ADF的面积和． 【答案】（1）2； （2）DF2+DE2＝CN2．理由见解析； （3）3． 【解答】解：（1）由题意，∠DEN+∠AME＝90°，∠AME+∠MAE＝90°， ∴∠DEN＝∠EAM， ∴△EDN≌△AEM（SAS）， ∴AM＝EN，EM＝DN， ∵AM＝BM， ∴BM＝EN，BN+MN＝EM+MN， ∴EM＝BN＝DN， 又∵DN⊥BC， ∴∠BND＝90°， 在Rt△AME中，，AM＝4，由勾股定理，得， ∴DN＝BN＝EM＝2， 在Rt△BDN中，∠BND＝90°，由勾股定理，得BD2； （2）DF2+DE2＝CN2． 理由：如图2，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G， ∵∠ADC+∠ACD＝90°，∠GDE+∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠GDE， ∵∠A＝∠G＝90°，CD＝DE， ∴△ACD≌△GDE（SAS）， ∴AD＝GE，AC＝GD， ∵AB＝AC， ∴AB＝GD，AD+BD＝BD+BG， ∴AD＝BG， ∴GE＝BG， ∵∠G＝90°， ∴∠GBE＝∠GEB＝∠FBD＝45°， ∴∠FBC＝90°， ∴∠F+∠FCB＝90°， ∵DE⊥DC， ∴∠FDE＝∠NDC＝90°， ∴∠F+∠FED＝90°， ∴∠FED＝∠FCB． 又∵DE＝DC， ∴△CND≌△EFD（AAS）， ∴CN＝EF， 在Rt△EDF中，有DF2+DE2＝EF2＝CN2． （3）分别过点B，E，F，C作AD的垂线，垂足分别为M，N，P，Q， 同（2）得△ABM≌△EAN，△DPF≌△CQD． ∴EN＝AM，PF＝DQ． ∴ ） AD×（BC﹣AD） ＝3． 24．在等腰△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝90°，过点C作CD∥AB且AB＝2CD＝2，点E为CA延长线上一点，连接AD，EB，ED，当∠EBA+∠ADC＝90°时，求ED的长； （2）如图2，若∠BAC＝60°，过点C作CD∥AB且AB＝2CD，连接AD，以AD为边向右侧作等腰△ADF，∠DAF＝120°，连接BF．若G，M分别是BF，AC中点，连接AG，MG，求证：； （3）如图3，AB＝2，∠BAC＝60°，动点J在射线AC上运动，过点C作CH垂直于射线BJ，垂足为H，K为BH中点，连接AK，请直接写出AK的最小值． 【答案】（1）； （2）如图，延长BA至点E使AE＝AB＝AC，连接EF， ∵∠BAC＝60°，∠DAF＝120°， ∴∠CAE＝120°，∠DAF﹣∠CAF＝∠CAE﹣∠CAF， 即∠DAC＝∠FAE， 在等腰△ADF中，AD＝AF， 在△ACD和△AEF中， ， ∴△ACD≌△AEF（SAS）， ∴EF＝CD，∠ACD＝∠AEF， 此时点A、G分别是BE和BF的中点， ∴AG∥EF且， ∵∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， 又∵CD∥AB， ∴∠BCD＝∠ABC＝60°， 即∠ACD＝∠BCD+ACB＝120°， ∴∠ACD＝∠AEF＝120°， 则∠ABC+∠AEF＝180°， ∴BC∥EF， 又∵AG∥EF， ∴AG∥BC， ∴∠MAG＝∠ACB＝60°， 在AC上取点H，使AH＝AG，连接GH， ∴△AGH是等边三角形，AH＝AG＝GH，∠AHG＝∠AGH＝∠MAG＝60°， ∵，M点是AC中点，AB＝2CD， ∴，AHAM， ∴AH＝AG＝GH＝HM，∠MGH（180°﹣（180°﹣∠AHG））＝30°， 即∠MGA＝∠AGH+∠MGH＝90°， 在Rt△MAG中，MGCDABBC， ∴MG+AGBCCDBCBC＝BC， 即BCMG+AG； （3）． 【解答】（1）解：∵CD∥AB， ∴∠ACD＝∠BAC＝90°， ∵E点是CA延长线上一点， ∴∠BAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝∠ACD＝90°， ∴∠EBA+∠BEA＝90°， ∵∠EBA+∠ADC＝90°， ∴∠BEA＝∠ADC， 在△BAE和△ACD中， ， ∴△BAE≌△ACD（AAS）， ∴AE＝CD， ∵AC＝AB，AB＝2CD＝2， ∴CD＝1， ∴CE＝AC+AE＝AB+CD＝2+1＝3， 在Rt△ECD中，； （2）证明：如图，延长BA至点E使AE＝AB＝AC，连接EF， ∵∠BAC＝60°，∠DAF＝120°， ∴∠CAE＝120°，∠DAF﹣∠CAF＝∠CAE﹣∠CAF， 即∠DAC＝∠FAE， 在等腰△ADF中，AD＝AF， 在△ACD和△AEF中， ， ∴△ACD≌△AEF（SAS）， ∴EF＝CD，∠ACD＝∠AEF， 此时点A、G分别是BE和BF的中点， ∴AG∥EF且， ∵∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， 又∵CD∥AB， ∴∠BCD＝∠ABC＝60°， 即∠ACD＝∠BCD+ACB＝120°， ∴∠ACD＝∠AEF＝120°， 则∠ABC+∠AEF＝180°， ∴BC∥EF， 又∵AG∥EF， ∴AG∥BC， ∴∠MAG＝∠ACB＝60°， 在AC上取点H，使AH＝AG，连接GH， ∴△AGH是等边三角形，AH＝AG＝GH，∠AHG＝∠AGH＝∠MAG＝60°， ∵，M点是AC中点，AB＝2CD， ∴，AHAM， ∴AH＝AG＝GH＝HM，∠MGH（180°﹣（180°﹣∠AHG））＝30°， 即∠MGA＝∠AGH+∠MGH＝90°， 在Rt△MAG中，MGCDABBC， ∴MG+AGBCCDBCBC＝BC， 即BCMG+AG； （3）解：根据题意得，随着动点J在射线AC上运动，一直有∠BHC＝90°， 即点H应在以BC为直径的圆上运动， 如图，此时圆心为BC的中点D， ∵K为BH中点， ∴DK为△BHC的中位线， 即DK∥CH，∠DKB＝90°， 同理可得，点K应在以BD为直径的圆上运动， 此时圆心为BD中点E， 连接AD、AE， 则当A、E、K在同一条直线上，且K在A、E中间时，AK取最小值， ∵∠BAC＝60°，AB＝AC，AB＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝2， ∵D是BC中点， ∴AD⊥BC，， 则， ∵E是BD中点， ∴， ∴， ∵⊙E半径为， ∴AK最小值． 25．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 A ． A．SAS B．SSS C．AAS D．HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　1＜AD＜7　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证：AE＝FE． 【灵活运用】 如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】【问题情境】 （1）A； （2）1＜AD＜7； 【初步运用】证明见解析； 【灵活运用】 BE2+CF2＝EF2． 【解答】【问题情境】 解：（1）在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选：A； （2）由（1）得：△ADC≌△EDB， ∴AC＝BE＝6， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7； 【初步运用】 证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图②所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵BF＝AC， ∴BF＝BM， ∴∠M＝∠BFM， ∵∠BFM＝∠AFE， ∴∠M＝∠AFE， 又∵∠M＝∠CAD， ∴∠AFE＝∠CAD， ∴AE＝EF； 【灵活运用】 解：线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2． 理由如下： 延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF，GC，如图③所示： ∵ED⊥DF， ∴EF＝GF， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDG中， ， ∴△DBE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝CG， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∵△DBE≌△DCG，EF＝GF， ∴BE＝CG，∠B＝∠GCD， ∴∠GCD+∠ACB＝90°， 即∠GCF＝90°， Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2＝GF2， ∴BE2+CF2＝EF2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $