第一章　数与式 2026年安徽中考数学一轮专题复习课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖实数与运算核心考点，依据中考说明梳理实数分类、数轴、相反数、绝对值、开方、运算及科学记数法等内容，分析近5年真题考点权重，归纳选择、填空、计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精练+技巧指导”模式，精选2019-2025年安徽中考真题，如科学记数法、实数运算等题型，通过规范答题步骤培养运算能力，结合数据意识解析科学记数法中a与n的确定方法，帮助学生掌握得分技巧。教师可依此精准突破高频考点，助力学生中考冲刺。

第一部分 知识梳理　课程重构 第一章　数与式 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 1.化简的结果是( ) A.x＋1 B.x－1 C.－x D.x 热身小练 D 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 2.[2025·淮南期末]将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( ) A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.缩小为原来的 D.扩大为原来的4倍 A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 3.[2025·合肥包河区期末]分式的值等于0，则m＝ 　 　.  4.已知2，则分式的值为　 　. 　7　 　1　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 考点1　分式的概念 1.分式的概念：一般地，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式. 2.分式中： (1)若b≠0，分式有意义； (2)若b＝0，分式无意义； (3)若①　 　且②　 　，分式的值为0.  　b≠0　 知识梳理 　a＝0　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 考点2　分式的基本性质 1.分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值③　 　.用式子表示为：(a，b，m都是整式，且m≠0).  2.约分：把一个分式的分子与分母中的④　 　约去，叫做分式的约分.  　公因式　 　不变　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 3.最简分式：分子和分母只有公因式1的分式，叫做最简分式. 4.通分：化异分母分式为⑤　 　分式的过程，叫做分式的通分.  5.最简公分母：通常取各分母的所有因式的最⑥ 　 　次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母.  　高　 　同分母　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 考点3　分式的运算 1.分式的加、减、乘、除、乘方运算 运算 法则 式子表示 加减运算 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减 乘法运算 两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 除法运算 两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 乘方运算 分式乘方就是把分子、分母分别乘方 2.混合运算：先乘方，再乘除，后加减.有括号的要先算括号里的，最后的结果要化为最简分式或整式. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 跟踪训练 例1　若分式有意义，则x的取值范围是　 　.  例2　[2025·蚌埠模拟]化简：，并在－1，0，1，2中选一个你喜欢的数求值. x≠±2 【参考答案】原式 ∵x＋1≠0，x2－1≠0，(x－2)2≠0，∴x≠±1，x≠2.当x＝0时，原式 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›-   　　 分式化简求值，先把分式化简，再把 分式中未知数对应的值代入求出分式的值， 注意选择未知数的值时不能使分式的分母等 于零. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 1.[2024·安徽第11题]若分式有意义，则实数x的取值范围是　 　.  分式有意义的条件 　x≠4　 命题点1 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 命题点2 分式的化简及求值 2.[2023·安徽第15题]先化简，再求值：，其中x1. 解：原式x＋1. 当x1时，原式＝(1)＋1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 1.3　分　式 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第一章　数与式 -- 1.1　实数与运算 -- 本章知识导图 -- 1.1　实数与运算 -- 1.1　实数与运算 -- 1.1　实数与运算 -- 1.下列各数是负数的是( ) A.(－1)2 B.(－1)3 C.－(－1) D.|－1| 热身小练 B 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 2.[2019·安徽第1题]在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 3.如图，数轴上有A，B两点.   (1)点A表示的数的绝对值为　 　；  (2)点B表示的数的相反数为　 　，倒数为  　；  (3)A，B两点间的距离为　 　.  　5　   　－2　 　3　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 4.[2017·安徽第11题]27的立方根是　 　.   5.[2021·安徽第11题]计算：(－1)0＝　　.  6.数据35000万用科学记数法表示为　 　.  3 3 3.5×108 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 知识梳理 考点1　实数的分类 1.按定义分 实数 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 --     常见的四种无理数类型： (1)开方开不尽的数：如等； (2)含有根号的三角函数值：如sin 45°，sin 60°， cos 30°等； (3)有规律的无限不循环小数：如0.101 001 000 1… (相邻两个1之间依次多一个0)等； (4)π及化简后含有π的数：如π，，－π等. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 2.按正负性分 实数：正实数、0、负实数. 3.正负数的意义 正负数可以表示一组具有相反意义的量，如：“盈”为“＋”，则“亏”为“－”；“收入”为“＋”，则“支出”为“－”等. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 考点2　数轴、相反数、绝对值、倒数 1.数轴 三要素   对应关系 实数与数轴上的点一一对应 两点间的距离 用右边的点表示的数减去左边的点表示的数 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 2.相反数 定义 只有符号不同的两个数互为相反数 性质 (1)非零实数a的相反数是①　 　.特别规定，0的相反数是②　 　  (2)实数a，b互为相反数⇔a＋b＝0 －a 0 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 3.绝对值 性质 |a|即|a|具有非负性，绝对值最小的数是0 几何意义 数轴上表示数a的点到原点的距离 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 4.倒数 定义 乘积是1的两个数互为倒数 性质 非零实数a的倒数是③    实数a，b互为倒数⇔ab＝④　　  特殊情况 0没有倒数，倒数等于它本身的数是±1 1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 考点3　数的开方 算术平方根 a(a≥0)的算术平方根为 平方根 a(a≥0)的平方根为⑤　 　  立方根 a(a为任意实数)的立方根为 【温馨提示】　 (1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根 (2)任意实数a的立方根的正负性与a的正负性一致 (3)平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0，1；立方根等于它本身的数是0，±1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 考点4　实数的运算 1.四则运算法则 加法 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 (2)异号两数相加： a.绝对值相等时和为⑥　　  b.绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 c.一个数同0相加，仍得这个数 减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数 乘法 两数相乘，同号得正，异号得⑦　 　，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0  除法 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 0 负 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 2.常见的几种实数运算 乘方 an 0次幂 a0＝⑧　　(a≠0)  负整数指数幂 a－p＝⑨  　(a≠0，p为正整数)，特别地，a－1 ＝⑩  　(a≠0)  －1的奇偶次幂 (－1)n 1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 去绝对值符号 |a－b| 常见开方数 3，22， 　 　，  特殊角的三角函数值 sin 30°＝cos 60°；sin 45°＝cos 45°；cos 30°＝sin 60° tan 30°；tan 45°＝1；tan 60° －2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 3.近似计算 精确度：由四舍五入法取近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如5.132 4精确到十分位是5.1，估算时保留两位小数是5.13. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 考点5　科学记数法 定义 把一个数表示成a×10n的形式 确定a 1≤|a|＜10 确定n 当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且n等于原数的整数位数减1 当0＜原数的绝对值＜1时，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的0)或原数变为a时小数点向右移动的位数，如0.001 23＝1.23×10－3 【温馨提示】　 常用计数单位有：1亿＝1×108，1万＝1×104等 常用计量单位有：1 km＝1×103 m，1 nm＝1×10－9 m等 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 考点6　实数的大小比较 数轴法 数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大 类别法 (1)正数＞0＞负数 (2)两个负数比较大小时，绝对值大的反而 　 　  作差法 设a，b是任意两个实数： (1)a－b＞0⇔a＞b；(2)a－b＜0⇔a＜b；(3)a－b＝0⇔a＝b 平方法 a2＞b2⇔a＞b(a≥0，b≥0)(主要应用于无理数估值及含无理数的大小比较) 小 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 跟踪训练 例1　[2025·合肥蜀山区一模改编]计算：2cos 30°－||. 【规范答题】 解：原式＝2 6分 ＝2. 8分 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 --   　　 实数的运算通常在中考第15题，8分题，属于必 得分题.算式一般由三项组成，第一步每一小项计算 结果正确得6分，最后结果正确得2分. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 例2　[2025·合肥四十五中三模]根据统计部门公布的数据，2025年1~2月份，安徽省共实现地方财政收入883.5亿元，较上年同期增加了24.5亿元，同比增长率为2.9%，整体表现较为稳健.其中883.5亿用科学记数法表示为( ) A.8.835×102 B.8.835×1010 C.883.5×108 D.8.835×1012 变式　数据0.00268用科学记数法表示为　 　.  B 2.68×10－3 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 1.[2022·安徽第1题]下列数为负数的是( ) A.|－2| B C.0 D.－5 实数的分类 D 命题点1 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 2.[2023·安徽第1题]－5的相反数是( ) A. B C.5 D.－5 3.[2025·安徽第11题]计算：|－5|－(－1)＝　 　.  　6　 实数的相关概念 C 命题点2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 命题点3 实数的运算 4.[2022·安徽第15题]计算：(－2)2. 解：原式＝1－4＋4＝1. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 5.[2025·安徽第2题]安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为( ) A.521.7×108 B.5.217×109 C.5.217×1010 D.0.5217×1011 科学记数法 C 命题点4 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 6.[2024·安徽第2题]据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为( ) A.0.944×107 B.9.44×106 C.9.44×107 D.94.4×106 B 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 7.[2025·安徽第1题]在－2，0，2，5这四个数中，最小的数是( ) A.－2 B.0 C.2 D.5 实数的大小比较 A 命题点5 8. [2024·安徽第12题]我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为比较大小：　  (填“＞”或“＜”) ＞ 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -- 1.1　实数与运算 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -- 1.1　实数与运算 -- $第一部分 知识梳理　课程重构 第一章　数与式 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 1.下列式子为最简二次根式的是( ) A B.3 C D 热身小练 B 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 2.[2025·阜阳界首期末]下列运算正确的是( ) A B C3 D.(2)2＝4 C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 3.[2025·六安霍邱期中]若式子有意义，则x的取值范围是　 　.  4.[2025·天津]计算(1)×(1)的结果为　 　.  5.计算： x＞ 60 解：原式(42)(2)＝22. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 考点1　二次根式的意义与性质 1.概念：形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 2.二次根式的性质 (1)(a≥0)是非负数； (2)|a| (3)()2＝③　 　(a≥0).  　a　 知识梳理 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 考点2　二次根式的运算 1.二次根式的乘除 ④  　(a≥0，b≥0)；⑤  　(a≥0，b＞0).  2.积、商算术平方根的性质 ⑥  　(a≥0，b≥0)；⑦  　(a≥0，b＞0).  热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 3.最简二次根式 最简二次根式要同时具备下列两个条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 4.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式. 5.二次根式的加减：先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 例1　[2025·阜阳太和三模]若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　.  跟踪训练 x＜ 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 例2　已知m＝(23)，则实数m的范围是( ) A.4＜m＜5　　　　 B.5＜m＜6　　　　 　 C.6＜m＜7　　　　 　D.7＜m＜8 A 【解析】m＝(23)2323，∵2，49＜52＜64，∴7＜2＜8，∴4＜23＜5. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 变式1　估算式子的值最接近的整数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 变式2　无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽.若某矩形的周长为10，长为，则这个矩形的宽的值在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 B C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›-     二次根式的估值 解答二次根式估值问题的关键是确定在哪两个相邻的正 整数之间，可先界定被开方数a位于哪两个相邻的正整数的平方 之间，即m2＜a＜n2(其中m，n是两个相邻的正整数，且m＜n)， 然后可得出m＜＜n. 另外，熟记常见二次根式的近似值也能快速解题，如1.414，1.732，2.236等. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 例3　[2025·合肥瑶海区期中]小明在解决问题：已知a，求2a2－8a＋1的值. 他是这样分析与解答的： ∵a2， ∴a－2＝， ∴(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3， ∴a2－4a＝－1， ∴2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)  　，  　；  (2)化简：…； 【参考答案】(2)原式(…)(－3＋11)＝4. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- (3)若a，请按照小明的方法求出4a2－8a＋1的值. (3)∵a1， ∴a－1， ∴(a－1)2＝2，即a2－2a＋1＝2， ∴a2－2a＝1， ∴4a2－8a＋1＝4(a2－2a)＋1＝4×1＋1＝5. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›-     分母有理化 二次根式的化简求值过程中常常要用到分母有理化. (1)分母有理化是指把分母中的根号化去.分母有理化常常是乘分母中二次根式的本身(分母只有一项)或乘与原分母组成平方差公式的式子. (2)两个含二次根式的代数式相乘后，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称互为有理化因式.一个二次根式的有理化因式不止一个. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 命题点1 真题精练 二次根式的运算 1.[2018·安徽第15题]计算：50－(－2) 解：原式＝1＋2＋4＝7. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 2.[2021·安徽第12题]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是1，它介于整数n和n＋1之间，则n的值是　 　.  二次根式的估值 　1　 命题点2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 1.4　二次根式 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第一章　数与式 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 1.[2025·滁州全椒期中]下列计算正确的是( ) A.2a·3a＝6a B.a6÷a3＝a2 C.5x2－x2＝4x2 D.(x2)3＝x5 热身小练 C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 2.[2025·合肥庐江模拟]若a＝4＋b，ab＝3，则－a3b＋2a2b2－ab3的值为( ) A.－48 B.－12 C.－36 D.12 A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 3.分解因式：3a－3a3＝　 　.  4.若一个矩形的面积为a3－2ab＋a，宽为a，则矩形的长为　 　.  5.[2011·安徽第12题]根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E与地震级数n的关系为：E＝10n，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是　 　. 　100　 　a2－2b＋1　 　3a(1＋a)(1－a)　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 知识梳理 考点1　代数式 1.代数式的概念：用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 2.列代数式：把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子表示，就是列代数式. 3.代数式求值： (1)化简后直接代入求值； (2)变形后整体代入求值. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 考点2　整　式 1.整式的相关概念   概念 举例 单项式 数与字母积的式子叫做单项式(单独的一个数或一个字母也是单项式) 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 单项式中的所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数 2 多项式 几个单项式的和叫做多项式 x2＋2x－18 多项式中的每个单项式都叫做多项式的项 x2，2x，－18 不含字母的项叫做常数项 －18 多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 2 单项式与多项式统称为整式 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 2.整式的加减 (1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.常数项都是同类项. (2)合并同类项法则：同类项的系数相加所得结果作为系数，字母和字母的指数不变. (3)去括号法则：括号前面是“＋”，括号内各项不变号，如：a＋(b－c)＝a＋b－c；括号前面是“－”，括号内每一项都变号，如：a－(b－c)＝a－b＋c. (4)整式的加减：先去括号，再合并同类项. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 3.幂的运算(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n) 运算 法则 字母表示 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 am·an＝①　 　  同底数幂相除 底数不变，指数相减 am÷an＝②　 　  幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n＝③　 　  积的乘方 各因式乘方的积 (ab)n＝④　 　  am＋n am－n amn anbn 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 4.整式的乘除 运算 法则 字母表示或举例 单项式乘单项式 把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ac5·bc2＝⑤　 　  单项式乘多项式 用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 p(a＋b＋c)＝⑥ 多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 (a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋ bp＋bq abc7 pa＋pb＋pc 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 单项式相除 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 12a3b2x3÷3ab2＝⑦　 　  多项式除以 单项式 用多项式的每一项和单项式相除，再把所得的商相加 (am＋bm)÷m＝a＋b 4a2x3 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 5.乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑧　 　；  (2)完全平方公式：(a±b)2＝⑨　 　.  　a2±2ab＋b2　 　a2－b2　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 考点3　因式分解 1.因式分解的概念 (1)把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. (2)因式分解与整式乘法是互逆的变形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 2.因式分解的基本方法   概念 字母表示 提公因式法 把多项式的各项中的公因式提取出来，这种方法叫做提公因式法 ma＋mb＋mc＝ 　 　  公式法 运用公式(完全平方公式和平方差公式)分解因式的方法叫做公式法 (1)a2－b2＝ 　 　  (2)a2±2ab＋b2＝ 　 　  拓展：十字相乘法x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 3.因式分解的一般步骤 一般步骤：(1)多项式中有公因式，应先提公因式(一提)；(2)再用公式法(二套)；(3)检查是否可以继续因式分解(三查). m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 例1　[2025·淮南期末]先化简，再求值：3ab2－[5a2b＋2ab2]＋6a2b，其中|2a＋1|＋(4b－2)2＝0. 【规范答题】 解：原式＝3ab2－(5a2b＋2ab2－1＋ab2)＋6a2b ＝3ab2－(5a2b＋3ab2－1)＋6a2b ＝3ab2－5a2b－3ab2＋1＋6a2b ＝a2b＋1. 4分 ∵|2a＋1|＋(4b－2)2＝0，∴a＝，b， 6分 ∴原式1 8分 例2　分解因式：x3－2x2y＋xy2＝　 　.  跟踪训练 　x(x－y)2　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 1.[2025·安徽第4题]下列计算正确的是( ) Aa Ba C.a3·(－a)2＝a4 D.(－a2)3＝a6 整式的运算 B 命题点1 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 2.[2024·安徽第4题]下列计算正确的是( ) A.a3＋a3＝a6 B.a6÷a3＝a2 C.(－a)2＝a2 Da 3.[2022·安徽第4题]下列各式中，计算结果等于a9的是( ) A.a3＋a6 B.a3·a6 C.a10－a D.a18÷a2 B C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 4.[2020·安徽第12题]分解因式：ab2－a＝　 　. 因式分解 　a(b＋1)(b－1)　 命题点2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 命题点3 与整式有关的规律探究 5.[2025·安徽第21题]【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地. 【项目准备】 (1)密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺. (2)密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40 cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为(40x＋10) cm. 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加 　个正六边形和　 　个正三角形，长度增加　 　cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为　 　cm.  　④　 　③　 　②　 图1 图2 图3 图4 　①　 (3)密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 【项目分析】 (1)项目条件：场地为长7.4 m、宽6 m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元. (2)基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用. (3)方式确定： (ⅰ)考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； (ⅱ)每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； (ⅲ)第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- (4)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案. 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接(如图5). 图5 根据规律，令40x＋10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14＋10＝570知，所拼长度为570 cm，剩余30 cm恰好还可以摆放一个正六边形组件(如图5所示的阴影正六边形).最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15＋1×28＝103知，方案一每行的成本为103元. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动(略). 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①　 　；②　 　；③　 　；④　 　； ⑤　 　；⑥　 　. 　2142　 　126　 　(60y＋10)　 　60　 　6　 　1　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 1.2　整式与因式分解 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第一章　数与式 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 规律探究类试题是根据题干中提供的特例，通过观察类比、归纳猜测、验证推理等思维过程，来解决具有规律性的一类数学探究题.这类试题主要有两大类，一类是数式规律型问题，另一类是图形规律型问题.解决规律探究类试题对应的基本策略一般有列举归纳法、观察归纳法和数形结合分析法. -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 多年来，各地中考都非常重视对这种题型的考查，安徽中考数学更是如此，几乎每年都有这类试题，如2025年的第14题和第21题、2024年第18题、2023年第18题、2022年第18题、2021年第18题等，分析近几年这类试题的变化规律，可以发现数式规律类考查难度较小，图形规律类考查难度较大，因此要掌握相应的做题方法. 解答此类问题的一般步骤是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论. -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 类型1　数式规律 例1　观察下列各式： 11； 11； 11； … (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：　 　＝ 　 　；  1 1 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正 整数，n＞1)表示的等式：   ；  -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (3)利用上述规律计算： 【参考答案】(3)原式11 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 数式规律探究问题是给定一些代数式、等式或者 不等式，然后猜想其中蕴含的规律.解答此类问题，关 键要抓住两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分； 二是分析出等式中的“变”的每一个数与序数n之间的 关系. -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 针对训练 1.[2024·山东德州]观察下列等式： S1； S2； S3； … S10的值为  　.  -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 【解析】111，…，∴S1＝11＋12，S2＝112＋13，S3＝1113＋14，…，∴S10＝11 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 2.[2025·滁州三模]观察以下等式： 第1个等式：2＝0； 第2个等式：2； 第3个等式：2； 第4个等式：2； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：  　；  -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明. 解：(2)第n个等式为2 证明：左边22右边，∴等式成立. -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 3.[2025·合肥包河区一模]观察下列等式： 第1个等式：(1×2)2－1×3×(1－1)＝2×1×2； 第2个等式：(2×3)2－2×4×(4－1)＝2×2×3； 第3个等式：(3×4)2－3×5×(9－1)＝2×3×4； 第4个等式：(4×5)2－4×6×(16－1)＝2×4×5； …… 根据上面等式的规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　 ；  (6×7)2－6×8×(36－1)＝2×6×7 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明. 解：(2)第n个等式为[n(n＋1)]2－n(n＋2)(n2－1)＝2n(n＋1). 证明：左边＝[n(n＋1)]2－n(n＋2)(n2－1)＝n2(n＋1)2－n(n＋2)(n＋1)(n－1)＝(n＋1)[n2(n＋1)－n(n＋2)(n－1)]＝(n＋1)(n3＋n2－n3－n2＋2n)＝2n(n＋1)＝右边，∴等式成立. -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 4.在数学活动课中，某兴趣小组研究一种完全平方式，写出了下列几组等式. 第1个等式：12＋12×22＋22＝(1×2＋1)2； 第2个等式：22＋22×32＋32＝(2×3＋1)2； 第3个等式：32＋32×42＋42＝(3×4＋1)2； …… (1)根据上述等式规律， (ⅰ)第4个等式：42＋42×52＋52＝(　 　×　 　＋1)2；  (ⅱ)第n个等式：　 　；(用含n的代数式表示)  　n2＋n2(n＋1)2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2　 　5　 　4　 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明同学猜想a2＋a2b2＋b2＝(ab＋b－a)2，其中a，b为正整数.小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明： (ab＋b－a)2＝a2＋a2b2＋b2－2ab(　　　　)，  ∴a2＋a2b2＋b2不一定等于(ab＋b－a)2. 请你补全①中所缺内容，并写出当小明同学猜想成立时，a，b需要满足的数量关系. 解：(2)1＋a－b. 当小明同学猜想成立时，a，b需要满足a－b＝－1. ① -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 类型2　图形规律 例2　[2025·合肥瑶海区校级二模]如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成. (1)观察图形，请填写下列表格： 正方形边长 1 3 5 7 … n(奇数) 黑色小正方形个数 … 正方形边长 2 4 6 8 … n(偶数) 黑色小正方形个数 … 1 5 9 13 2n－1 4 8 12 16 2n -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (2)在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1?若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由. 【参考答案】(2)由(1)可知n为偶数时P1＝2n，白色与黑色的总数为n2， ∴P2＝n2－2n， 根据题意假设存在，则n2－2n＝5×2n，解得n＝12，n＝0(不符合题意，舍去). 答：存在偶数n＝12，使得P2＝5P1. -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›-   　　 图形类规律探究题通常以探索物体的个数和确定图 形数量为主要内容出现.解答这类问题的关键是利用数形 结合的方法，通过观察图形的组成、图形的排列方式， 分析得到图形的组成特征和图形的变换规律，进而用相 应的算式描述其中的规律来解决问题. -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 1.[2024·四川攀枝花]如图，这是由棱长为1的小正方体堆积成的图形.若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放　 　块小正方体. 针对训练 　36　 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 2. [2024·四川凉山州]阅读下面材料，并解决相关问题： 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为　　 ，前15行的点数之和为　 　，那么，前n行的点数之和为  　；  36 120 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和　 　(填“能”或“不能”)为500；  (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，……，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排? 解：(3)由题知前n排盆景的总数可表示为n(n＋1). 令n(n＋1)＝420，解得n1＝－21(舍去)，n2＝20， ∴一共能摆放20排. 不能 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 3.[2025·合肥瑶海区三模]小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (1)图1中黑色正方形有：1＋1＝1，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：1＋1＋2＝1，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：1＋1＋2＋3＝1，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：1＋1＋2＋3＋…＋n＝　 　，白色正方形 有　 　个.(用含n的代数式表示) 1 1n -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数. 解：(2)由题知等边三角形的个数为n＋1. 由题意，得1(n＋1)＝45， 解得n＝10(负值舍去)， 则1＋n1＋1066(个)， 即白色正方形的个数为66. -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 4.[2025·合肥庐阳区模拟]观察下列图形与等式的关系： -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是　 　，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式： 　 　；  (2)用含n的等式表示第n个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：　 　；  　(n＋1)2－n2＝n＋1＋n＝2n＋1　 　72－62＝7＋6＝13　 　11　 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- ★命题域聚焦　结构递归，探究规律 -‹#›- $