2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第21题）-一次函数应用

2026年长春中考复习专题-一次函数应用 一、行程问题（双图像） 1．小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示． (1)______，______． (2)求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为 由函数图象得， 解得， 小明慢跑过程中与之间的函数关系式为， 当时， ， 故答案为：； （2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为， 将代入得， 解得， 父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为； （3）解：根据题意得， 解得， 小明慢跑的时间为． 2．“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．清明节假期，小力和姐姐同时从家出发骑自行车沿着同一路线去净月潭公园游玩，小力先以250米/分钟的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后，再以某一速度匀速到达净月潭公园，姐姐则始终以190米/分钟的速度骑行，两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示（速度调整时间忽略不计）．请结合图象，解答下列问题： (1)小力休息后骑行的速度比休息前骑行的速度______（填“快”或“慢”）； (2)求线段的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，请直接写出时间的取值范围． 【答案】(1)快 (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得：小力休息前骑行的时间为（分钟）， ∴， ∵（分钟）， ∴． 小力休息后骑行的速度， ∵， 故答案为：快； （2）解：设线段的函数表达式是， 把点和点代入，得：， 解得：， ∴线段的函数表达式是． （3）解：根据题意：线段的函数表达式是：． 线段的函数表达式是：． 解方程组：，得：， 解方程组：，得：， 故在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，时间的取值范围是． 3.甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为千米的高山，已知两个登山队选择同一条登山路线．两个登山队的登山高度h（千米）与登山时间t（时）的部分函数图象如图所示． (1)__________； (2)当时，求出乙登山队登山高度h与登山时间t的函数关系式； (3)若登山高度超过2千米时，这两个登山队继续按原行进速度同一路线登山，直接写出先到达山顶的那个登山队攀登这座山所用的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)乙登山队先到达山顶，乙登山队攀登这座山所用的时间为． 【详解】（1）解：由图可知，乙登山队在小时的速度为：，在小时的速度为：， ∵甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为千米的高山， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设时，乙登山队登山高度h与登山时间t的函数关系式为：， 把代入得： ， 解得：， ∴． （3）解：∵，， ∴乙登山队先到山顶， ∵， ∴， 解得：， ∴乙登山队攀登这座山所用的时间为． 4.为全面打造“艺美郓城”美育品牌，逐步形成具有郓城特色的美育体系．某校学生展示花鼓表演，在笔直的跑道两端有A、两地相距米，甲队从A地跑到地，乙队从地跑到A地．已知乙队的速度是甲队的倍，两队同时出发，乙队到达A地后分钟甲队到达地．如图表示的是甲、乙两队离地的距离（米）与时间（分钟）之间的函数图象． (1)甲队每分钟跑______米； (2)请分别求出甲、乙两队的函数关系式，并求出甲、乙两队相遇时的值； (3)求甲、乙两队相距米时的值． 【答案】(1)10 (2)甲、乙两队的函数关系式分别为：，；甲、乙两队相遇时的值是 (3)甲、乙两队相距米时的值是或 【详解】（1）解：由图象可得，甲队每分钟跑：米， 故答案为：； （2）解：设甲队离地的距离米与时间分钟之间的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即甲队离地的距离米与时间分钟之间的函数关系式为； 设乙队离地的距离米与时间分钟之间的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 即乙队离地的距离米与时间分钟之间的函数关系式为； 当甲和乙相遇时，， 解得， 即甲、乙两队相遇时的值是； （3）解：当甲和乙相遇前相距米， ， 解得； 当甲和乙相遇后相距米， ， 解得， 即甲、乙两队相距米时的值是或． 5.某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________； (2)甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式； (3)若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时． 【答案】(1)80；5.5 (2) (3) 【详解】（1）解：乙车的行驶速度为：（千米／小时） 甲车的速度为：（千米／小时）， 则， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解， 故． 故答案为：80；5.5 （2）解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为， 把点代入，得： ， 解得：， 则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为． （3）解：， 解得， 根据图像可知两车第一次相遇的时间为2.5， ∴当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 当时，乙车的路程为：（千米），而甲仍在120千米的位置， 且甲的速度为60千米／小时，乙车的行驶速度为80千米／小时， 则直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间， 乙车到达目的地的时间为：， 故当，则两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 综上：乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为：（小时） 二、行程问题（单图像） 6．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地后立即开始装卸货物，用时30分钟，装卸货物结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为80千米/时．两车之间的距离（千米）与慢车的行驶时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)快车从甲地驶向乙地的过程中速度为___________千米/时； (2)求图中线段所表示的函数表达式： (3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求快车到达甲地还需多长时间． 【答案】(1)120 (2) (3)快车到达甲地还需4小时 【详解】（1）解：设快车从甲地驶向乙地的过程中速度为v千米/时， 根据图象，得， 解得， ∴快车从甲地驶向乙地的过程中速度为120千米/时． 故答案为：120； （2）解：（小时）， ， ∴线段所表示的函数表达式为； （3）解：甲、乙两地之间的距离为（千米）， 当两车相遇时，快车距甲地距离为（千米）， 则快车返回的速度为（千米/时）， （小时）． 答：快车到达甲地还需4小时． 7．小王开车从家出发去上班，从出发开始每隔1千米出现一个路口，路口处有红绿灯，汽车以10米/秒的速度匀速行驶到第一个路口时，显示为红灯，等待了20秒，切换为绿灯通过．为了尽快通过第二个路口，车辆立即加速以另一速度匀速行驶．在到达第二个路口前，汽车从家出发行驶的路程（米）与行驶的时间（秒）之间的函数图象如图所示． (1)的值为______； (2)当汽车在第一个路口出发后，求与的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； (3)当汽车从家出发行驶到1450米时，小王从某地图软件显示的信息得知，第二个路口绿灯还剩40秒，若按此速度行驶，小王能否无需等红灯直接通过第二个路口？请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)小王可以直接通过第二个路口．理由见解析 【详解】（1）解：； （2）设汽车从第一个路口出发后，与的函数关系式为（）， ， 的图象经过和， ，解得， ． （3）能，当时，， 解得：， （秒）， ， 小王可以直接通过第二个路口． 8．据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． (1)填空：无人机上升时的速度是________，________； (2)求段的函数表达式； (3)无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 【答案】(1)8；17 (2) (3)20.2 【详解】（1）解：无人机上升时的速度是_，， 故答案为：8；17； （2）解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； （3）解：令，即， ． 答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2． 三、注水放水问题 9．根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的倍，其中游泳池内剩余的水量与换水时间上之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）该游泳池清洗需要　　　　小时． （2）求排水过程中的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）若该游泳馆在换水结束分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午进入该游泳馆游泳，并说明理由． 【答案】（1）1.2；（2）y=-800x+1200(0≤x≤1.5)；（3）不能，理由见解析． 【详解】解：（1）2.7-1.5=1.2h， （2）设排水过程中与之间的函数关系式为， 由题意得函数图象经过点， ∴ 解得 ∴与之间的函数关系式为； （3）由题意得排水速度为1200÷1.5=800m3/h， ∴灌水速度为800÷1.6=500 m3/h， ∴灌水时间为1200÷500=2.4h， 所以对外开放时间为7+2.7+2.4+0.5=12.6＞12.5 ∴小致不能在中午进入该游泳馆游泳． 10．某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题： (1)求线段所表示的函数关系式； (2)当x的值为多少时，恰好停止注水． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设线段所表示的函数关系式为， 则， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为：． （2）当时，， 解得． 答：当时，恰好停止注水． 11．有一个现有水量为的蓄水池，分别有一个进水管和出水管，单位时间内进水量和出水量都是一定的．若只打开进水管，水量与时间（）之间的关系如图1中，若只打开出水管，水量与时间（）之间的关系如图1中． (1)进水管每小时的进水量为______，出水管每小时的出水量为______． (2)若前4个小时，水池只进水不出水，接下来的4个小时既进水又出水，再接下来的2个小时只出水不进水． ①请在图2中画出蓄水量与时间之间的函数图像． ②当水池的蓄水量不小于时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)5，3 (2)①见详解；② 【详解】（1）解：根据图1，可知进水管每小时的进水量为：， 出水管每小时的出水量为：． 故答案为：5，3； （2）①前4个小时，水池只进水不出水，结束时蓄水量为， 接下来的4个小时既进水又出水，结束时蓄水量为， 再接下来的2个小时只出水不进水，结束时蓄水量为， 所以，可画出蓄水量与时间之间的函数图像，如下图所示； ②结合函数图像，可设直线解析式为， 将点、代入， 可得，解得， 所以，直线解析式为， 令，可得，解得； 设直线解析式为， 将点、代入， 可得，解得， 所以，直线解析式为， 令，可得，解得． 所以，当水池的蓄水量不小于时，的取值范围为． 四、充电放电问题 12．蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为_____千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 【答案】(1)60 (2) (3)途中需要充电，理由见解析 【详解】（1）解：由函数图象可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； （2）解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得：， ∴段的函数解析式为； （3）解：途中需要充电，理由如下： 当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， ∵， ∴途中需要充电． 13．某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． (1)与的函数关系式为______；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】(1)； (2)； (3)这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 【详解】（1）解：设，将代入， 得 ； （2）设， 把，代入，得：． 解得： ． （3）当时，， 解得； 当时，． 所以，这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 14．近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %； (2)求段的函数解析式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1)30 (2) (3) 【详解】（1）解：普通充电器对该汽车每小时的充电量为， 故答案为：30； （2）解：设直线的表达式为， 把、代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由（1）可得，普通充电器对该汽车每小时的充电量为， ∴该汽车电池电量从充至，普通充电器所用时间为， 把代入得，， 解得， ∴该汽车电池电量从充至，快充电器所用时间为， ∴快速充电器比普通充电器少用． 五、其他问题 15．在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 【答案】(1)图见详解；一次； (2) (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是 【详解】（1）解：根据表格描点如图所示， ， 由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线， ∴函数式一次函数关系， 故答案为：一次； （2）解：设与之间的函数关系式为， 根据题意，得解得， 与之间的函数关系式为； （3）解：当时，， 解得， 当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是． 16．图①是王老师常用的一款单肩包，其肩带由单层部分、双层部分和调节扣构成．通过调节扣（调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短双层部分的长度，使肩带的长度（单层部分与双层部分长度的和）加长或缩短．小红为研究王老师这款单肩包单层部分的长度（厘米）与双层部分的长度（厘米）之间的关系，进行了4次测量，下表是测量得到的数据． 10 20 30 40 130 110 90 70 (1)根据表中与的对应值，在图②给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式：如果不在同一条直线上，请说明理由： (3)按照王老师的身高和习惯，肩带的长度调为138厘米为最佳肩带长，此时单层部分的长度为________厘米． 【答案】(1)图见解析 (2)在， (3)126 【详解】（1）解：依题意作图如下： （2）解：如图所示：在同一条直线上； 设函数关系式为，（）由题意得： 解得 ∴y与x的函数关系式 （3）解：依题意得：， 解得， ， 答：此时单层部分的长度为， 故答案为：126． 17．图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如表所示的数据． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104    (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； (2)求y与x之间的函数解析式； (3)某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16．求该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)该温度区间的最大温差是摄氏度 【详解】（1）解：如图所示：    （2）由（1）中函数图象猜测y与x之间满足一次函数关系， 设， 代入得：， 解得：， ∴， 代入其余数据进行验证，均满足该关系式， ∴y与x之间的函数解析式为； （3）当华氏温度大于等于其对应的摄氏温度时，即， 解得：， 则温差， 当时， 解得：， ∵数值相差的最大值为16，， ∴随x的增大而增大， ∴； 当摄氏温度大于其对应的华氏温度时，即， 解得：， 则温差， 当时， 解得：， ∵数值相差的最大值为16，， ∴随x的增大而减小， ∴； ∴当任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16时，， ∴该温度区间的最大温差是摄氏度． 18．千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易． 【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据． x（厘米） 4 12 20 24 28 36 y（斤） 0 1 2 2.5 3 4 【问题解决】 (1)在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来． (2)根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． (3)已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：， 则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式） 根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？ 【答案】(1)见解析 (2)在同一条直线上，这条直线所对应的函数解析式为 (3)；秤钩到称纽距离应该为8厘米 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上， 设y关于x的函数解析式为， 将点和代入，得， 解得， ∴这条直线所对应的函数解析式为． （3）解：∵， ∴； 代入，得 ∴； 当时，， 解得：， 即秤钩到称纽距离应该为8厘米； 故答案为：． 19．数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 【答案】(1)在给定的平面直角坐标系中描出相应的点，见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：如图． （2）观察发现描出的各点在同一条直线上， 设这条直线的函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：. 这条直线对应的函数表达式为； 检验：当时，； 当时，． 表中所有数据都满足函数，所以这些点在同一条直线的图象上； （3）∵把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm， ∴每增加一个型碗，高度增加为（）， ∴个型碗增加的高度为（）， ∴一个型碗的高度为（）， ∵由（1）可知型碗满足函数， ∴把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，这些碗的总高度为（）． 20．启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 (1)与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） (2)在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． (3)根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 【答案】(1) (2)，，自西向东方向更拥堵 (3)，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向 【详解】（1）解：设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：，． （2）由（1）得，，， 当时，，， 可变车道为自东向西方向， 自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2， ，， ， 自西向东方向更拥堵． （3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，， 当时，， ，解得， 经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长春中考复习专题-一次函数应用 一、行程问题（双图像） 1．（吉林省长春市朝阳2025年毕业年级第一次模拟练习数学）小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示． (1)______，______． (2)求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间． 2.（2025年吉林省长春力旺实验初级中学九年级下学期中考联考模拟考试数学）“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．清明节假期，小力和姐姐同时从家出发骑自行车沿着同一路线去净月潭公园游玩，小力先以250米/分钟的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后，再以某一速度匀速到达净月潭公园，姐姐则始终以190米/分钟的速度骑行，两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示（速度调整时间忽略不计）．请结合图象，解答下列问题： (1)小力休息后骑行的速度比休息前骑行的速度______（填“快”或“慢”）； (2)求线段的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，请直接写出时间的取值范围． 3.（2025年吉林省长春市五十二中赫行实验学校中考四模数学）甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为千米的高山，已知两个登山队选择同一条登山路线．两个登山队的登山高度h（千米）与登山时间t（时）的部分函数图象如图所示． (1)__________； (2)当时，求出乙登山队登山高度h与登山时间t的函数关系式； (3)若登山高度超过2千米时，这两个登山队继续按原行进速度同一路线登山，直接写出先到达山顶的那个登山队攀登这座山所用的时间． 4．（2025年4月吉林省长春市南湖实验中学中考数学模拟）为全面打造“艺美郓城”美育品牌，逐步形成具有郓城特色的美育体系．某校学生展示花鼓表演，在笔直的跑道两端有A、两地相距米，甲队从A地跑到地，乙队从地跑到A地．已知乙队的速度是甲队的倍，两队同时出发，乙队到达A地后分钟甲队到达地．如图表示的是甲、乙两队离地的距离（米）与时间（分钟）之间的函数图象． (1)甲队每分钟跑______米； (2)请分别求出甲、乙两队的函数关系式，并求出甲、乙两队相遇时的值； (3)求甲、乙两队相距米时的值． 5．（2025年4月吉林省第二实验高新学校中考模拟数学）某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________； (2)甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式； (3)若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时． 二、行程问题（单图像） 6．（2025年吉林省长春市南湖实验中学5月中考模拟数学）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地后立即开始装卸货物，用时30分钟，装卸货物结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为80千米/时．两车之间的距离（千米）与慢车的行驶时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)快车从甲地驶向乙地的过程中速度为___________千米/时； (2)求图中线段所表示的函数表达式： (3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求快车到达甲地还需多长时间． 7．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考二模数学）小王开车从家出发去上班，从出发开始每隔1千米出现一个路口，路口处有红绿灯，汽车以10米/秒的速度匀速行驶到第一个路口时，显示为红灯，等待了20秒，切换为绿灯通过．为了尽快通过第二个路口，车辆立即加速以另一速度匀速行驶．在到达第二个路口前，汽车从家出发行驶的路程（米）与行驶的时间（秒）之间的函数图象如图所示． (1)的值为______； (2)当汽车在第一个路口出发后，求与的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； (3)当汽车从家出发行驶到1450米时，小王从某地图软件显示的信息得知，第二个路口绿灯还剩40秒，若按此速度行驶，小王能否无需等红灯直接通过第二个路口？请说明理由． 8．（吉林省长春市七校2024-2025学年九年级下学期5月阶段质量检测数学）据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． (1)填空：无人机上升时的速度是________，________； (2)求段的函数表达式； (3)无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 三、注水放水问题 9．（吉林省长春市吉大尚德学校九年级下学期第一次模拟数学）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的倍，其中游泳池内剩余的水量与换水时间上之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）该游泳池清洗需要　　　　小时． （2）求排水过程中的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）若该游泳馆在换水结束分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午进入该游泳馆游泳，并说明理由． 10．（2025年吉林省长春市绿园区九年级中考一模数学）某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题： (1)求线段所表示的函数关系式； (2)当x的值为多少时，恰好停止注水． 11．（吉林省长春市2024-2025学年 下学期初中学业水平考试模拟试题 ）有一个现有水量为的蓄水池，分别有一个进水管和出水管，单位时间内进水量和出水量都是一定的．若只打开进水管，水量与时间（）之间的关系如图1中，若只打开出水管，水量与时间（）之间的关系如图1中． (1)进水管每小时的进水量为______，出水管每小时的出水量为______． (2)若前4个小时，水池只进水不出水，接下来的4个小时既进水又出水，再接下来的2个小时只出水不进水． ①请在图2中画出蓄水量与时间之间的函数图像． ②当水池的蓄水量不小于时，直接写出的取值范围． 四、充电放电问题 12．（吉林省长春市绿园区2024-2025学年九年级下学期大练习）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为_____千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 13．（2025年吉林省长春五十二中赫行实验学校中考模拟预测数学）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． (1)与的函数关系式为______；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 14．（2025年吉林省长春市汽开实验学校中考数学二模）近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %； (2)求段的函数解析式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 五、其他问题 15．（2025年吉林省长春市九台区初中毕业生模拟考试数学）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 16．（吉林省长春市南关区2024-2025学年下学期九年级中考二模数学）图①是王老师常用的一款单肩包，其肩带由单层部分、双层部分和调节扣构成．通过调节扣（调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短双层部分的长度，使肩带的长度（单层部分与双层部分长度的和）加长或缩短．小红为研究王老师这款单肩包单层部分的长度（厘米）与双层部分的长度（厘米）之间的关系，进行了4次测量，下表是测量得到的数据． 10 20 30 40 130 110 90 70 (1)根据表中与的对应值，在图②给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式：如果不在同一条直线上，请说明理由： (3)按照王老师的身高和习惯，肩带的长度调为138厘米为最佳肩带长，此时单层部分的长度为________厘米． 17．（吉林省长春市朝阳区博硕学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟考试）图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如表所示的数据． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104    (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； (2)求y与x之间的函数解析式； (3)某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16．求该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 18．（2025年吉林省长春市第八十七中学中考三模数学）千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易． 【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据． x（厘米） 4 12 20 24 28 36 y（斤） 0 1 2 2.5 3 4 【问题解决】 (1)在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来． (2)根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． (3)已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：， 则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式） 根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？ 19．（025年吉林省长春市中考二模数学试题）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 20．（2025年吉林省长春市第一〇八学校九年级5月中考模拟数学）启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 (1)与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） (2)在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． (3)根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 学科网（北京）股份有限公司 $