培优01 三角函数25种重难题型（专项训练）数学人教A版2019必修第一册

培优01 三角函数 题型1 找出终边相同的角 定义：具有相同始边和终边的角（旋转方向或圈数不同，但终边位置一致）。 表示：与角α终边相同的角的集合为 （k为整数）。 示例：30°、390°（30°+360°）、-330°（30°-360°）终边相同。 1．（24-25高一下·辽宁·期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据负角可得，从而可求最大负角. 【详解】由，得. 又，所以角符合条件的最大负角为. 故选：B. 2．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据已知角和选项中的角的度数的差是否为的整倍数即可判断. 【详解】对于A项，因不是的整倍数，故A项错误； 对于B项，因不是的整倍数，故B项错误； 对于C项，因，故C项正确； 对于D项，因不是的整倍数，故D项错误. 故选：C. 题型2 弧度制 角度转弧度： 弧度转角度： 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同的角 C．与都是正数 D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据终边相同的角的定义及三角函数值在各象限的符号可得. 【详解】对于A：如是第二象限角，是第一象限角，，所以A错误； 对于B：因为，所以角与角是终边相同的角，所以B错误； 对于C：因为，所以与是终边相同的角，是第一象限角， 所以是正数，因为是第三象限角，所以是正数，所以C正确； 对于D：将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为，所以D错误. 故选：C. 题型3 扇形的弧长公式和面积公式 设圆的半径为r，圆心角为（弧度制），则该角所对的弧长为： 设扇形的半径为r，圆心角为（弧度制），则扇形面积为： （推导：扇形面积是圆面积的倍，即） 1．（2026高三·全国·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，确定，则，唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定 C．若，确定，则，唯一确定 D．若，确定，则，唯一确定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】利用，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】因为， 对于选项A，若，确定，则唯一确定，所以选项A正确， 对于选项B，若，确定，由知，确定，则，唯一确定，所以选项B正确， 对于选项C，若确定，由，消得到， 又，当时，有两个值，当时，有1个值，当时，无解，所以选项C错误， 对于选项D，若确定，由知，确定，又，所以确定，故选项D正确， 故选：C. 2．（25-26高三上·陕西咸阳·期中）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算 【分析】设与的延长线交于圆心，根据弧长公式结合题意列方程组求出. 【详解】 如图，与的延长线交于圆心，设圆心角，扇形半径， 则，解得， 故选：A. 3．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】连接，根据条件求出半径，再分别求出、扇形和的面积即可. 【详解】连接，设和的交点为， 因点是以为直径的半圆的三等分点，则， 因，则，即为等边三角形， 因，则， 因，则四边形为平行四边形， 因，则四边形为菱形，则， 设圆的半径为，则，， 则， 扇形的面积为，， 则图中阴影部分的面积为， 因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为. 故选：A      4．（2024高三·全国·专题练习）莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案. 【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是， 则．，弓形的周长为． 故选：A 5．（25-26高三上·山西太原·月考）如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】连接，，利用弧长公式得到扇形的半径，从而得到等边三角形的面积，阴影部分的面积用扇形面积与等边三角形面积表示即可求解. 【详解】连接，，因为在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E， 设，则，所以， 因为的长为，所以，即正方形的边长为， 所以的面积，扇形的面积为， 由图形的对称性知，扇形与扇形的面积相等， 所以图中阴影部分的面积. 故答案为： 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 7．（24-25高一下·湖南怀化·期末）为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】（1）利用扇形的弧长公式和面积公式求解解析式即可. （2）利用二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）在扇形中，由题意得，， 由扇形面积公式得扇形的面积为， 扇形的面积为， 故，由弧长公式得的长度为， 的长度为，而园圃的外围周长为50m， 故，解得， 因为圆心角小于，所以， 解得，而，故， 故，该函数的定义域为. （2）由二次函数性质得在内单调递增， 当时，的最大值为， 的长度为， 的长度为. 题型4 由终边上的点求三角函数值 根据终边上的坐标求角的正弦值，余弦值和正切值 1．（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义分角的终边在第一象限和第二象限讨论即可． 【详解】由已知，角的终边与单位圆交点的纵坐标为，代入单位圆， 可得，或． ①若角的终边在第一象限，则， 关于对称点是角的终边与单位圆的交点， 此时； ②若角的终边在第二象限，则， 关于对称点是角的终边与单位圆的交点，， 此时． 故选：B 2．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由已知可得，根据任意角三角函数的定义求解即可. 【详解】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 故选：. 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义解决即可. 【详解】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得 ， 因为，即， 由图知，对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错； 对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错； 对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确； 对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错. 故选：C. 题型5 三角函数比大小 根据三角函数单调性比大小 1．（24-25高二上·云南昆明·月考）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、比较对数式的大小 【分析】利用指对函数单调性比较与中间量的大小，根据角所在象限判断正弦函数值的符号得，进而可判断的大小关系. 【详解】因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减， 所以，且. 由，则， 综上可知. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建福州·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、特殊角的三角函数值、比较对数式的大小 【分析】由特殊角的三角函数值、对数函数、指数函数的单调性判断出各数所在区间，从而比较大小. 【详解】，，， ， 故选：A. 3．（24-25高一下·山东日照·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、比较正弦值的大小、比较余弦值的大小 【分析】利用诱导公式和三角函数的单调性即可比较大小. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，， 因为，则，即，故B错误； 对C，，，故，故C错误； 对D，， ， 因为，则，即，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、比较余弦值的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，再利用性质化简自变量，以及利用单调性，结合特殊值，比较大小. 【详解】函数的定义域为，且，所以函数是偶函数， 当时，是增函数，是减函数，所以在区间是增函数， ，， ，，， 所以， 所以，即. 故选：D 5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、对数函数单调性的应用、比较正弦值的大小、比较余弦值的大小 【分析】先判断为偶函数，得，再判断在区间上单调递增，根据正余弦函数的单调性可得，进而可得. 【详解】由题意的定义域为， ， 故为偶函数，故 当时，， 因，，故，故， 因单调递增，单调递增， 故在区间上单调递增， 因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，，故， 故，故， 故选：C 6．（24-25高一上·上海·课后作业）三个数，，的大小关系是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、比较余弦值的大小 【分析】利用诱导公式及余弦函数的性质判断即可. 【详解】∵，， ∵，，， ∴. 又∵在上是减函数， ∴，即. 故答案为： 题型6 同角三角函数齐次式的相关应用 平方关系：。该公式可变形为，，。 商数关系：，也可变形为。 1．（24-25高三下·湖南长沙·月考）若钝角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先等式两边同乘以分母，左右平方，再根据同角三角函数关系减少未知量，最后结合角的范围求解. 【详解】因为，则， 所以，左右平方得， 化简得，计算得， 所以或，又因为为钝角，所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简即可. 【详解】 ， 因为是第三象限角，所以， 所以原式化简结果为. 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解. 【详解】易知， 故. 故选：B 4．（25-26高一上·北京朝阳·月考）已知，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角的三角函数关系式，首先切化弦，然后利用平方关系化简，可得答案. 【详解】由， 则，整理得， 所以， 则， 即. 故选：C 5．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 6．（25-26高三上·广东梅州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】分子分母同除以，弦化切代入即可. 【详解】由可得， 则原式分子分母同除以，可得， 故选：A. 7．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】先根据的取值范围，判断的符号，再利用平方关系求值. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：B 8．（25-26高三上·江苏·期中）已知为的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据给定条件，结合齐次法将给定等式变形为，进而求解即得. 【详解】由为的一个内角及，得， 则， 整理得，即， 则，解得， 9．（24-25高一上·四川成都·期末）已知是关于的方程的两个实根，且，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、正、余弦齐次式的计算 【分析】由条件结合二次方程根与系数关系可得，，结合的范围可得所以，再由同角关系结合齐次化的方法求结果. 【详解】因为是关于的方程的两个实根， 所以，， 又，所以，故， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以，故， 所以. 故答案为：. ，而，解得. 故选：B 10．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）当时，证明：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、三角函数线的应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）方法一：设点的坐标为，利用完全平方得，根据三角函数定义得证；方法二：利用三角函数的几何表示证明； （2）方法一：等式左边分子分母同乘以，化简即可；方法二：通过证明，可完成证明. 【详解】（1）设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合， 则角的终边与单位圆的交点在第一象限，设点的坐标为． 方法一：易知， 所以，所以． 由三角函数的定义可知，所以． 方法二：如图，过点作轴，垂足为，    则， 由三角形两边之和大于第三边，可知，即． （2）方法一：左边 右边． 方法二 ： ， 因为， 所以． 11．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由同角三角函数关系得，进而利用求解即可. 【详解】解：由，知， 由题意，即， 由，得， 所以. 故选：A. 12．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由条件等式求正、余弦 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 13．（2025高三·全国·专题练习）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【详解】已知等式平方后应用二倍角公式得，同时判断出，，可再利用平方关系求得，代入即得结论． 【分析】∵，① ∴，即， ∴． ∵，且，∴，， ∴，②． ①②变形得， ∴． 故选：A． 14．（2025·湖北黄冈·二模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】先根据已知条件求出与的和、差、积，再利用立方差公式来计算的值． 【详解】已知，将等式两边同时平方可得． 根据完全平方公式展开得． 因为，所以，移项可得，则． 因为，且，所以与异号，又因为在上，所以． ，由于，，则． 因为，，所以，那么． 根据立方差公式． 因为，，，所以． 的值为． 故选：C． 15．（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先根据已知条件求出的值，再结合的取值范围判断与的正负及大小关系，进而求出的值. 【详解】因为， 所以，又，所以， 则，. 故选：D. 16．（23-24高一上·福建福州·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由条件结合同角关系求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 故，又， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：C. 17．（24-25高一上·云南昭通·月考）函数（a，b均为正数）的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用平方关系求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由题意，又， ∴ ，当且仅当，即时等号成立， 所以所求最小值为． 故答案为： 18．（24-25高一上·山东淄博·月考）函数在的零点为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、特殊角的三角函数值、利用平方关系求参数 【分析】用同角三角函数的关系化简函数，令函数值为0，求得的值，再求得的值，得到函数零点. 【详解】， 令，即，解得或， ∵，∴，又，∴或. 故答案为：或. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【难度】0.65 【知识点】利用平方关系求参数、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 题型7 三角函数线的应用 如图中，有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数线的应用 【分析】由三角函数的定义，利用三角函数线即可比较大小. 【详解】如图所示，在平面直角坐标系中,以为圆心作单位圆，分别作出已知角， 则，， ，． 而， ∴， ∴． 故答案为： 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】画三角函数线、三角函数线的应用 【分析】画出三角函数线，结合扇形面积公式，数形结合得解. 【详解】画出的三角函数线，如图所示，则， 设扇形的面积为，则， 又，故. 故选：C. 3．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数定义的其他应用、三角函数线的应用、三角函数新定义 【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项. 【详解】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段. 题型8 条件等式求值 “和差积”问题围绕与的三种形式展开，分别是： 和： 差： 积： 三者通过平方关系紧密关联，核心推导公式如下： 1. 2. 3. （和与差的平方和恒为2） 4. （和与差的平方差为积的4倍） 1．（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由条件等式求正、余弦、利用平方关系求参数 【分析】依题意可得，根据平方关系求出，即可求出，再代入计算可得. 【详解】因为，显然，则， 又，所以， 即，解得或； 当时，不符合题意； 所以，则， 所以. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用平方关系求参数、条件等式求最值 【分析】由进行换元求解． 【详解】令， 所以 ． 故选：B． 3．（24-25高一上·湖北·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用平方关系求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】先化为，再利用基本不等式求得最小值即得． 【详解】，则， 因为， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是8. 故选：B． 4．（24-25高三上·河南安阳·期中）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用平方关系求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值. 【详解】因为，所以. 由，得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的最小值为16. 故选：D. 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数的基本关系，结合角的取值范围，可求角的各种三角函数值. 【详解】因为，所以. 因为 由①得，代入②得：. 整理得：， 结合，所以， 所以， 所以. 故选：B 题型9 诱导公式 公式一：，，，。 公式二：，，。 公式三：，，。 公式四：，，。 公式五：，。 公式六：，。 1．（2025·浙江温州·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·山西·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】因为角的终边上有一点，则， 所以. 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式一、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数终边定义及诱导公式即可求解. 【详解】由题意知角的终边经过点，所以， 所以．故B正确. 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习） . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得： . 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六 【分析】根据题意利用诱导公式结合弦化切可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的值为2. 故答案为：2. 6．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ； . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】由角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， 可得，根据三角函数的定义，可得， 根据诱导公式可知，. 故答案为：；. 7．（24-25高一下·全国·周测）化简 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】应用诱导公式计算化简求值. 【详解】 . 故答案为： 8．（24-25高一下·广东·期中）若锐角，满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】由题意得，再结合三角恒等变换即可求解. 【详解】由题意设，因为， 所以， 所以， . 故选：B. 9．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】先利用公式，由已知及角的范围，求出的值，再使用诱导公式将化简得到，从而得解. 【详解】，， ，，，，. 故选：B 10．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式对目标式合理变形，得到，再结合得到，进而利用同角三角函数的基本关系求出，最后得到即可. 【详解】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以， 解得（负根舍去），可得，故B正确. 故选：B 11．（25-26高三上·广东广州·月考）已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四 【分析】结合的值，确定的范围，根据同角三角函数基本关系求出的值，利用诱导公式，求得. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 12．（24-25高一下·北京西城·期中）已知角为第一象限角，且，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】先利用平方关系求出，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为角为第一象限角，且， 所以， 所以， 故答案为：. 13．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六 【分析】根据题意利用诱导公式结合弦化切可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的值为2. 故答案为：2. 题型10 正弦函数的图象和性质 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. 1．（23-24高一上·浙江温州·月考）设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、y=Asinx+B的图象、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用五点作图法作出，的函数图象，依题意与在上只有1个交点，结合图象即可求出参数的值. 【详解】因为，列表： 1 0 1 2 1 描点、连线，函数图象如下图所示： 因为，且的值只有一个， 所以与在上只有1个交点， 结合图象可知或. 故选：D 2．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象、求函数零点或方程根的个数 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 3．（22-23高一上·山西运城·期末）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象 【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果. 【详解】   函数的图像与函数的图像有公共对称轴，分别做出两个函数的图像如图所示， 由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和为. 故选：C 4．（21-22高三上·云南玉溪·月考）已知函数，，则在上根的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、含绝对值的正弦函数的图象、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据分段函数的解析式分析其性质，结合中对数的函数性质确定函数图象，并将原问题转化为在的交点问题，应用数形结合判断交点的个数即可. 【详解】由题设，对于在上值域为， 1、在上递增，上递减，上递增，上递减；(注意：) 2、，，. 3、由分段函数解析式知：上恒成立，且上递增，上递减，上递增，此时，，(注意：). 对于在上的值域为， 1、在上递减； 2、，. 3、由于，即为偶函数，故在上递增；，. 综上，可得如下图函数图象，在上根等价于在上交点横坐标， ∴由图知：的交点共有5个. 故选：B 5．（2025·福建泉州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定条件，利用正弦函数图像的性质作出两函数图象，再确定在指定区间内交点个数即可. 【详解】函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 在坐标系中，由五点法作图画出两函数在上的图象，如图：    观测图象知，函数与在上的图象有8个交点. 故选：D 6．（24-25高一下·辽宁·期末）已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】画出在区间内的图象，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，从而得到，求出答案. 【详解】当时，，当时，，当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图象， 可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同， 所以需满足，所以. 7．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】令，设的两根分别为，结合正弦函数的图象与性质，转化为上的零点问题，结合二次函数的图象与性质，分三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程在上恰有两个不同的实数根， 令，可得， 设的两根分别为，则，所以同号， 结合正弦函数的图象与性质， 可得上的零点有三种情况： 当时，即，解得或（舍去）， 此时，即，可得或，符合题意； 当时，则满足，即，解得（舍去）； 当时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】由函数的定义域，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为的定义域是， 对于函数，有，可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 9．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、正弦函数对称性的其他应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据题意求出函数时可得，然后根据三角函数的性质求出，即可求解. 【详解】由题意知求在区间内的零点， 所以令，得， 又因为， 所以只能是，得， 在区间内，当时，有， 所以共有个零点，故D正确. 故选：D. 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）由图象确定周期和最值得到，，再结合点，即可求解； （2）确定平移后解析式，即可求解. 【详解】（1）设的最小正周期为T， 由图可知，，，即， 且，所以， 此时， 将代入得，即， 且，则， 可得，解得， 所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到； 再将横坐标变为原来的2倍，得； 因为，， 所以函数在区间内的值域为． 11．（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知函数． (1)求曲线的对称轴方程； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由函数， 令，得， 所以曲线的对称轴方程为． （2）因为，可得． 令，则， 因为， 所以在上的值域为． 12．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知函数. (1)求函数最大值、最小值以及相应的值； (2)若，求函数的单调增区间. 【答案】(1)处取得最大值,处取得最小. (2)，， 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）直接利用正弦函数的最值，求函数的最大、最小值以及相应的值； （2）利用正弦函数的单调增区间，求出函数的函数的单调增区间，然后求出在的范围即可． 【详解】（1）由题意得，在中， ， 当，即时, 此时，函数有最大值为； 当，即时, 此时，函数有最小值为， 综上，在处取得最大值,函数在处取得最小. （2）当，解得， 即函数区间单调递增， 所以在范围内，函数的增区间，，. 题型11 正弦函数的单调性及参数取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据周期可求得，再结合三角函数的单调区间即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以函数， 所以有， 解得单调递增区间为. 故答案为： 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求sinx的函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据已知可得，再将变形，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】由， 得， 所以， 所以， 即，所以， 则由不等式可得， 又在上单调递增， 则由，可得，解得. 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 3．（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B 4．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】依题意可得，即可求出的大致范围，再由的范围求出的范围，再确定左端点的范围，从而得到，解得即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以，即，又，所以，解得， 由，则， 又，所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 5．（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由可求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，即可求得的最大值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上递增，则， 故，解得，故的最大值为. 故选：D. 6．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】通过整体代入法表示出函数的单调区间，结合已知列不等式组求解可得. 【详解】由，， 得， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，结合得. 故选：A 题型12 正弦函数的值域及参数取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）方法一  分离常数，得，再由三角函数及反比例函数的性质求解即可； 方法二  利用三角函数的有界性，由题意可得，且，再由求解即可； （2）化简得，令，结合基本不等式及反比例函数的性质求解即可. 【详解】（1）方法一  分离常数法 ， ， ， ， 的值域为. 方法二  利用三角函数的有界性 由，得， 所以， 由， 得， 当，即时，不等式无解； 当，即时，解得. 故的值域为. （2）利用分离参数结合换元求解. . 令，则. 当时，. 当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以， 所以或 此时函数的值域为. 故函数的值域为. 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 3．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论． 【详解】∵，∴时，， ∵在区间内有最大值，但无最小值， 令，结合图象， ∴，解得． 故选：B． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】由题设可得，即，再由及区间最值、余弦型函数的图象列不等式求参数范围. 【详解】由函数的图象经过点， 所以，由于，则，则． 由，可得， 因为在上有且只有两个最值点，则， 所以. 故选：A 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，函数的值域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先利用对数的运算法则，把原函数化成，再利用换元法结合二次函数的值域求法求出的范围，最后利用对数函数的单调性求函数值域. 【详解】因为. 设，，则， 因为，所以， 所以，所以， 又. 所以. 因为函数在上单调递增， 所以. 故答案为： 6．（24-25高二上·云南楚雄·月考）已知函数，若存在，使得，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数值域，判断等式成立的条件，进而根据函数最值，列出不等式，求出参数范围，求出结果. 【详解】由题意可知，当时，即存在，使， 当时，， 所以，解得． 故答案为：． 7．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据三角函数的最值及对称中心得出周期进而得出的关系，再结合单调性得出的范围即可得出最大值. 【详解】因为， 所以时，取得最值,是图象的对称中心，则， 所以， 又因为在区间上单调，所以， 所以当时，取得最大值为． 故答案为：. 8．（25-26高三上·河南南阳·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】（1）根据平移得到的解析式，再用整体法求对称中心的坐标； （2）根据，得到，则即可求解； （3）设，则，则在上恒成立，再由二次函数最值可知等价于，再解不等式即可． 【详解】（1）由题意可得， 令，解得， 则曲线的对称中心的坐标是； （2）因为，所以， 则， 故在上的值域为； （3）由（1）知，设，则， 所以关于的不等式， 对恒成立等价于关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 因为在上单调递增，又，， 所以的取值范围是． 9．（2025高三·全国·专题练习）设，恒成立，求m的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数不等式恒成立问题 【分析】问题化为在上恒成立，应用换元法及对勾函数的性质求右侧值域，即可得参数范围. 【详解】由题设可得，即， 故在上恒成立， 因为，所以，， 所以， 令，则（*）， 令，且在上单调递减（如图），所以的值域为，    故要使（*）式在上恒成立，只需，即． 10．（2025高三·全国·专题练习）如果对任意的恒成立，求的最大值． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、绝对值三角不等式 【分析】由题可得，，，然后分类讨论利用绝对值不等式即可求解. 【详解】因为， 令，，则恒成立， 取可得， 取可得， 取可得， 当同号时，则的最大值为， 当且仅当时取等号； 当异号时，则的最大值为， 当且仅当时取等号； 综上，的最大值为2. 题型13 正弦函数的对称性及参数的取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高三上·河北·期中）已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（   ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】结合正弦型函数性质计算可得对称中心的横坐标，，再计算其中在区间中的个数即可得. 【详解】对于函数，其对称中心的横坐标满足， 故，，解得，， 其在区间上的横坐标可以为，，，，， 于是曲线在区间上有个对称中心. 故选：D. 2．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）函数的图象在区间内的对称轴条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据三角函数的性质，求得对称轴的方程，令，求得的范围，结合，即可求解. 【详解】由函数，令，解得 再令，解得， 因为，所以，即函数的图象在内有7条对称轴. 故选：D. 3．（25-26高三上·山西·月考）已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据正弦函数的性质列式计算即可求解. 【详解】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增， 故，解得，即. 当时，， 由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得. 综上所述，，则的取值范围是. 故选：B. 4．（25-26高三上·福建莆田·月考）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】结合题意，根据余弦函数的奇偶性、对称性、单调性求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，而，则， 此时， 由是图象的一条对称轴， 所以，则， 又在区间上单调，则，即，则或6， 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意； 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意. 综上所述，或6. 故选：B. 5．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据对称性可得，根据单调性，对分类讨论，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】由于函数的图象关于点中心对称，故，故， 当时，时，，显然不符合在上单调递减； 当时，时，，故，解得, 综上. 故选：A 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据三角函数的对称性求得的可能取值，再根据单调性确定正确答案. 【详解】由于的图象关于对称， 所以， 因为，所以或. 若，则， 所以在上单调递减，不合题意； 若，则， 所以在上单调递增，符合题意. 故选：C 7．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数，若在区间上恰有三个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】首先求的范围，再根据端点的基本范围，结合零点的情况，列式求解. 【详解】由，则，， 此时， 若函数的三个零点都在轴的负半轴，则，不等式的解集为， 若函数的零点有2个负零点，1个是原点，则，不等式的解集为， 若函数的零点1个是负零点，1个是原点，1个正零点，则，不等式的解集为， 若函数的零点1个是原点，2个正零点，则，得. 所以的取值范围是. 故答案为： 8．（22-23高三上·甘肃兰州·月考）已知函数． (1)求的最大值和最小值； (2)若函数在上存在零点，求实数的取值围． 【答案】(1)最大值为3，最小值为 (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解. 【详解】（1）对于函数 ， 所以当，即时， 当，即时， （2）因为函数在存在零点， 即方程在上有解， 当时，可得，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 9．（2025·浙江丽水·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】分析可知函数关于直线对称，分和两种情况，结合函数的对称性分析求解即可. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称， 可知函数关于直线对称， 若，则函数关于直线对称，符合题意； 若，设， 则函数的对称轴所对应的值（）必为函数的对称轴， 又因为函数的对称轴为轴， 则，解得； 综上所述：或. 结合选项可知：A正确，BCD错误. 故选：A. 10．（25-26高三上·江苏盐城·月考）若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】确定函数的最小正周期，根据题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 由于函数在上至少有五个不同的零点， 故需满足，即， 即的最小值为， 故选：B 11．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据三角函数的对称性求得的可能取值，再根据单调性确定正确答案. 【详解】由于的图象关于对称， 所以， 因为，所以或. 若，则， 所以在上单调递减，不合题意； 若，则， 所以在上单调递增，符合题意. 故选：C 题型14 正弦函数的奇偶性以及奇偶性求参 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（   ） A．1 B．-2 C．-1 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、由奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列方程求解. 【详解】函数为R上的偶函数，得，， 则，， 即，而不恒为0， 于是，而，所以. 故选：C 2．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据，化简求得的值即可. 【详解】函数，定义域为， 由于为偶函数，即， 则， 化简为, 即，则， 因为不恒为0，所以. 故选：B 3．（24-25高二下·河北·期末）若函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、求sinx的函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性；再根据函数的性质将不等式转化为关于的二次不等式，求解即可. 【详解】要使函数有意义， 须满足，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数. 又因为， 函数，，在上均为减函数， 所以在定义域上是减函数. 则不等式可化为 即， 所以，解得. 故选：D. 4．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含sinx的函数的奇偶性、求含cosx的函数的单调性、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】首先明确函数的定义域，并且利用诱导公式化简解析式，然后利用奇偶性的概念验证奇偶性；再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性. 【详解】因为的定义域为，并且 ， 又， 所以为偶函数； 设、，并且，则，， 所以，，， 于是， 即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误. 故选：A. 5．（25-26高三上·全国·期中）已知函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、由奇偶性求参数 【分析】先确定定义域，分析对数部分的奇偶性，结合的奇偶性推出正弦部分需为偶函数，利用偶函数性质列方程求解，进而得到其最小值. 【详解】先确定函数定义域：由得，定义域关于原点对称. 令，则，故是奇函数. 因为奇函数，故需为偶函数. 偶函数满足，即， 利用正弦函数性质， 得， 解得. 由，当时，取最小值. 故选：D 6．（2025·河南·一模）若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出的值，可得出函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可得出正数的最小值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 则函数. 因为函数满足，所以函数是奇函数， 则，解得， 而，因此最小可取. 故选：D. 7．（2025·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为函数为奇函数， 所以有，则， 所以， 故选：B 8．（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 9．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的最小正周期为，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求函数值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据给定条件，利用周期可得，再利用奇函数的性质求出，进而求出函数值. 【详解】依题意，，由为奇函数， 得，且，解得， 由，得，解得，因此，， 所以. 故选：B 题型15 三角函数不等式 利用三角函数单调性列出相关不等式并求解 1．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、解余弦不等式 【分析】分和讨论化简，解三角不等式得解. 【详解】当，即，时， ， 所以，即，解得，， 当，即，时， ， 所以，即，解得，， 综上，的解集为. 故答案为：. 2．（24-25高三下·河北保定·开学考试）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解余弦不等式 【分析】借助余弦函数的性质列出不等式计算即可得. 【详解】因为，所以， 即，所以的解集是. 故选：B. 3．（2026高三·全国·专题练习）函数y＝ 的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、解余弦不等式 【分析】根据余弦函数的图象解不等式即可得函数定义域. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 由，即， 由图象及函数的周期性和单调性可知的解集为， 从而函数的定义域为：. 故答案为：. 4．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、解余弦不等式、求含cosx型的函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·开学考试）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、解正弦不等式、解余弦不等式 【分析】利用对数函数的定义与性质，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】对于，有， 解，得且， 解，得， 综上，， 所以的定义域为. 故答案为：. 题型17 余弦函数的图象和性质 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. 1．（25-26高三上·四川内江·期中）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】对A，根据条件，直接求出最小正周期，即可判断正误；对B，根据条件得，再由奇偶函数的定义，即可求解；对C，根据选项条件求得，再利用的性质，即可求解；对D，利用的性质，求出的对称轴，即可求解. 【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以A正确， 对于B，因为，则， 令，又，所以为偶函数，故B正确， 对于C，当时，，由的性质知，在上不单调，所以C错误， 对于D，由，得到，令，得， 所以的图象关于直线对称，故D正确， 故选：ABD. 2．（24-25高一下·四川德阳·期中）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是函数的对称轴 D．在上的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】首先求出函数图象平移后的函数解析式，然后根据余弦函数的周期、单调性、对称轴、最值等性质对每个选项进行求解和判断. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得函数的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等． 函数的图象向左平移个单位长度后得： ，最小正周期为，A正确； 时，单调递减. 为的单调递减区间， 当时，递减区间为，故B错误； 令，得， 当时，，故C正确； ，，， 最小值为，故 D正确. 故选：. 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与在上有相同的单调性 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的最小正周期 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦函数的零点，单调性，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，若，则，由余弦函数性质可知，在上单调递减， 又，由余弦函数性质可知，在上单调递减， 即与在上有相同的单调性，B选项正确； C选项，根据余弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，C选项错误； D选项，根据周期公式，的周期均为，D选项正确. 故选：BD 4．（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 【答案】(1)，． (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、解余弦不等式、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． 【详解】（1），令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； （2），∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； （3）由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． 5．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为. 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据周期公式可求出函数的最小正周期，由可求出函数的减区间； （2）先由求出的范围，然后根据正弦函数的性质可求出其最值. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间是. （2）由，得， 则当，即时， 当，即时， ， 所以函数在上的最大值为，此时； 最小值为，此时. 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知函数，当时，的最大值为． (1)求函数在上的单调区间； (2)若且满足，求的取值集合． 【答案】(1)单调递增区间为，减区间． (2)． 【难度】0.65 【知识点】已知三角函数值求角、求cosx型三角函数的单调性、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）结合余弦函数性质求函数的递增区间和递减区间，再求区间上的单调区间； （2）结合余弦函数性质求函数在上的最大值的表达式，列方程求，方程可化为，结合余弦函数性质解方程即可. 【详解】（1）令，，得，， 所以函数的递增区间为，， 令，，得，， 所以函数的递减区间为，， 因为， 所以的单调递增区间为，减区间． （2）由，可得， 所以， 所以当时，， 所以函数在上的最大值为，此时， 所以．解得． 所以，可得， 则，或，， 即，或，， 又，可解得，，，， 所以的取值集合为． 题型18 余弦函数的单调性及参数的取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】令，结合余弦函数的递增区间列出不等式即可求出的取值范围. 【详解】由题可知在上单调递增， 令， 余弦函数的递增区间， 则，即， ，仅满足，代入可得：. 故的取值范围为. 故答案为： 2．（25-26高三上·江西·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】根据定义域，求得的范围，根据余弦函数的单调性，可得，列出不等式组，分析计算即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为的单调递增区间为， 所以， 所以，解得，， 因为且存在，所以， 解得，由，得， 所以，即的取值范围是. 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 4．（24-25高一下·河南·期末）已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含cosx的函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据已知得，由正余弦函数的性质依次判断各项的正误，即可得. 【详解】由已知得，易知，故是周期函数，故①正确； 当时，，，故②错误； 结合解析式，知在上单调递减，在上单调递减，而，故③错误． 故选：B 5．（2024·湖南·模拟预测）已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求含cosx的函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】由周期公式求出，即可得到函数解析式，再检验是否满足在上单调递减，最后求出函数的零点. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 解得或， 当时，由，可得， 显然在上单调递增，则在上单调递增，不符合题意， 当时，由，可得， 显然在上单调递减，则在上单调递减，符合题意， 所以， 令，解得， 即的零点为，当时为. 故选：D 6．（2025高三·全国·专题练习）已知点在函数的图象上，直线是曲线的对称轴，若在单调，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】由题设确定函数的最小正周期，进而求得，结合是曲线的对称轴，即可得. 【详解】由函数在单调，得的最小正周期， 易知点是曲线的对称中心，又直线是曲线的对称轴， 而，结合周期性，则不妨设或， 则符合，此时； 或，不符合题意，故， 由直线是曲线的对称轴，得，， 而，所以. 故选：D 7．（24-25高一下·四川德阳·月考）函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】求出函数的单调减区间，利用为前者的子集可求的取值范围. 【详解】令，故， 所以函数的减区间为， 因为在上为减函数， 故存在，使得，因为， 所以，所以，故， .则的最大值为. 故选：B. 8．（24-25高三下·上海·月考）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 题型19 余弦函数的值域及参数的取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ） A． B． 或 C． 或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含cosx的二次式的最值 【分析】利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可. 【详解】，，，分别作出它们的图象如下，              要使得关于x的方程在内有解，必须. 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意， 综上，或. 故选：D 3．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，在处取得最小值，则（    ） A．     B．1 C．3 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含cosx的二次式的最值 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求出取得最小值的，再利用诱导公式求解. 【详解】当时，，， 则当，即时，函数取得最小值，因此， 此时，所以. 故选：A 4．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】通过换元将关于的函数转化为关于的二次函数，利用二次函数单调性求解的范围，再根据以及余弦函数图象的对称性求出的范围. 【详解】令，因为的值域是，所以，此时函数可转化为. 对于二次函数，对称轴为. 所以在区间上为增函数. 令，移项可得.解得，. 因为，所以取. 又因为在上递增，要使，则的范围是，即. 已知，根据函数图像的对称性可知，在一个周期内，满足的的范围是.结合区间性质知道，a的取值为. 故选：C. 5．（25-26高三上·河南·期中）若函数在区间上的值域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据余弦函数的性质及已知区间的值域有、，即可得. 【详解】由上函数的值域为，故， 所以，故，则. 故选：B 6．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知函数（）在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】问题化为在内有且仅有一个最小值，结合余弦函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题设在区间内有且仅有一个最小值，此时， 故在内有且仅有一个最小值，则， 所以，则的最大值为11. 故选：A 7．（24-25高一下·河南驻马店·期中）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正余弦函数的最值结合可得，从而可求出，进而可得出答案. 【详解】由三角函数的值域可知，，所以，所以， 当且仅当时取等号，此时, 所以，， 所以． 故选：C． 8．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D 9．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】求cosx（型）函数的最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据已知条件得出，从而得出，平移变化得到，分析在上的单调性，得到最大值点在区间左端，从而求解. 【详解】已知函数，最小值，最大值， 且的最小值为. 函数取最大值和最小值时，相位差为的奇数倍， 故最小相位差为，对应最小距离： . 验证：时，取最大值时，如； 取最小值时，如. 距离为，符合条件. 所以 的图象向右平移,得. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象， 得. 当时，计算角的范围：， 在上，在上递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：1. 10．（24-25高一下·广东中山·月考）已知函数在上的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据条件，利用余弦函数的性质可得，即可求解. 【详解】因为，， 又函数在上的值域为， 若，由余弦函数图象可知，存在，使，不合题意，所以， 由，得到， 由余弦函数图象可知，，解得， 故答案为：. 11．（24-25高一下·河南·月考）已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据的范围求出的范围，结合余弦函数的性质列不等式可求结论. 【详解】当时，， 因为在区间内既有最大值，又有最小值， 所以或，解得或. 故答案为：. 题型20 余弦函数的对称性及参数的取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上有且仅有2个零点 C．是奇函数 D．当时， 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、求cosx（型）函数的最值、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦函数的对称性结合求得，进而得到周期可判断A；通过求在区间上的零点可判断B；求出的解析式，根据正弦函数的性质判断C；在区间上单调性求得的范围可判断D. 【详解】对于A，函数的图象关于直线对称，则， 即，，因为，所以取，则， 则的最小正周期为．故A正确； 对于B，，令，得，，所以， 当时，；当时，；当时，． 所以在区间，上只有1个零点．故B不正确； 对于C，因为， 所以为奇函数．故C正确； 对于D，当时，，所以在区间上单调递减， 又，所以．故D不正确. 故选：AC. 2．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、正弦函数对称性的其他应用、cosx（型）函数对称性的其他应用、求零点的和 【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得. 【详解】由可得， 则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标. 对于函数，其最小正周期为， 当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3, 当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3. 类似可得函数在区间上的图象变化情况. 如图分别作出和在上的图象如下. 由图可知，两函数在上的图象关于直线对称， 故两者的交点与也关于直线对称， 故 即函数的所有零点的和为 故选：C. 3．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据题意，得到，得到函数是上的偶函数，结合有且仅有一个零点，得到，列出方程，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 则， 所以函数是上的偶函数， 因为函数在上有且仅有一个零点，所以，即，解得． 故选：D． 题型21 正切函数的图象和性质 正切函数的性质与图象 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 1．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦函数图象的应用、画出正切函数图象、求函数零点或方程根的个数 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、正切函数图象的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可. 【详解】在同一坐标系内，作，图象，如图，      由图象可排除AB选项， 又, ， ， 所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点， 所以C错误，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间. 题型22 正切函数的单调性及参数的取值范围 利用正切函数的单调性列出相关不等式，从而得到参数的取值范围 1．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求含tanx的函数的单调性、复合函数的单调性、比较函数值的大小关系、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得. 【详解】设，则在上单调递增， 可化为， 由对勾函数的性质可知： 当时，单调递减，当时，单调递增， 由得， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 又，， 因为在上单调递增，故， 因，（因为）， 又，则，即， 故，故， 故选：B. 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、求含tanx的函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性的定义，判定各选项中的函数是否满足条件即可. 【详解】对于A中，函数在定义域内是奇函数，但是在每一个周期内是增函数， 不是定义域上恒单调递增，A错误； 对于B中，函数在定义域内既是奇函数又是增函数，B正确； 对于C中，函数定义域为不关于原点对称，不具有奇偶性，C错误； 对于D中，的定义域为R，且，所以为奇函数， 但为周期函数，不是定义域R上的严格增函数，D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·北京顺义·期末）给出下列四个结论，其中正确的是（    ） A．若为第一象限角，且，则 B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值为 D．函数的最小正周期为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的定义域 【分析】AC，可通过特殊值验证判断，B通过整体代换可判断，D由周期公式可判断； 【详解】对于A，，满足第一象限角，而，错； 对于B，由，可得，故定义域为，对； 对于C：当时，函数值为：，错； 对于D：由周期公式可知最小正周期为，错； 故选：B 4．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 5．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 6．（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 题型23 正切函数的对称性及参数的取值范围 利用正切函数的性质列出相关不等式并求出参数的取值范围 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解正切不等式、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答. 【详解】， 作出的图象，如图，观察图象，    对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：D. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据对称中心可得，结合最值分析可知当且仅当为y轴右侧的前2个最值点时，取到最小时，结合余弦函数运算求解即可. 【详解】因为的图象关于点对称可得，则， 又因为，则，可知，解得， 故． 令，解得， 可知的最值点为， 又因为的最大值为2，最小值为，且， 可知当且仅当为y轴右侧的前2个最值点时，取到最小时， 令，可得， 所以的最小值为． 故选：B. 3．（2021·浙江·模拟预测）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数、求正切（型）函数的周期、由正切型函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果. 【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 要使该图象关于原点对称，则，，所以，， 又，所以当时，取得最大值，最大值为． 故选：A 【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题. 题型24 三角函数的周期性 周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是. 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】设函数的最小正周期为，由题意可得，可得出关于的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则该函数的最大值为，最小值为， 且， 所以，、中一个为函数的最大值，一个为函数的最小值， 设函数的最小正周期为，则， 即，可得，所以，的可能取值为. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】由求出，结合周期可得答案. 【详解】函数的最小正周期，由题可得， 分别在同一周期内取得最小值的自变量的两侧，且， ， 由得，解得， 由得，或 解得，或， 因为，若，则，所以； 若，则，所以，即的取值范围是． 故选：C. 4．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知是的一个周期，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】由题可得,求出的最小正周期，从而得到，根据,解得，即可求出的最小值. 【详解】由题可得,所以的最小正周期, 已知是的一个周期， 则，所以 因为，即, 因为，则, 所以,解得， 又因为，所以时，取最小值为： 故选：B 5．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数与，在区间上，这两个函数图象交点横坐标之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】由诱导公式转化为正弦值相等，再由正弦函数的性质求出交点横坐标满足或，即可得解. 【详解】因为，当时， 则或者， 即或，又， 则交点横坐标分别是，，，，， 所以交点横坐标之和为. 故选：B. 6．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】先利用正弦函数的周期性得到，进而得出，再利用换元法结合正弦函数性质求解最大值即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，得到， 因为，所以，得到， 令，则可化为， 由正弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减，可得， 即在区间上的最大值为，故B正确. 故选：B 7．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】利用三角函数的性质，求得函数，进而求得函数在区间上的值域. 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 题型25 三角恒等变换 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； 两角和与差的正切公式及其变形 ①； ②两角和与差正切公式变形 ； 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂扩角公式和升幂缩角公式 降幂公式：；. 升幂公式：；； ； 半角公式 ；； ． 辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下：= 其中. 其他常用变式 万能公式：； 和差化积公式：；； ；． 积化和差公式： ；； ；． 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 2．（2024·安徽安庆·三模）已知函数（，）两个相邻的零点为，，距离y轴最近的对称轴为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求15°等特殊角的余弦 【分析】由已知求得解析式，根据两角和的余弦公式计算即可． 【详解】由题意，知，又，所以； 又距离轴最近的对称轴为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：A． 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用和两角和差余弦公式可化简得，结合两角和差正切公式可构造方程组求得. 【详解】，即， ， 整理可得：，， ，， 由得：或， 又，. 故选：C. 4．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求值型问题 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 5．（25-26高三上·天津南开·月考）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由题意得，令，可得，求得或，求得所以或，再由在上有且仅有一个零点，求得，进而得到时，化简得到，结合三角函数的周期性，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 即， 令，可得， 整理得，解得或， 则或， 所以或， 当，可得， 由函数在上有且仅有一个零点，可得，即， 若，当时，，可得， 此时或，使得，不符合题意； 若，当时，；当时，， 当时，可得，函数在上无零点； 当时，可得，当且仅当时，，符合题意， 所以，则， 可得， ， ， ， 又由， 所以. 故选：B. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解． 【详解】由题可知， ， 由于均为锐角，且，故， 同理有， 故，所以， 故选：A． 7．（24-25高二上·云南楚雄·月考）已知是方程的两个实根，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据韦达定理，列出方程，再根据两角和的正切公式，求出参数值. 【详解】由韦达定理，可得，(*)， 因， 将(*)代入上式，得，解得. 故选：A． 8．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，进行化简求值，即可得到答案. 【详解】由， ， 所以，原式． 故选：B． 9．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，且，则（   ） A． B． C．或-1 D．1或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用二倍角公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 即，得， 因此，或，又时，, 所以或， 又因为时，所以，所以. 故选：A 10．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据诱导公式，两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可. 【详解】由已知， 又，则，即， 所以，则， 所以，即， 又， 所以， 故选：D. 二、填空题 11．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求15°等特殊角的余弦 【分析】利用两角和的余弦公式化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则 ＝ ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】把和拆成含与的形式，用余弦和差公式展开合并，转化为正切乘积得结果. 【详解】由 得到： 展开后计算得到   ， 即. 最后两边同时除以，即可得出. 故答案： 13．（25-26高三上·北京·期中）如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点． （1）若，，则扇形的面积为 ； （2）若，点的纵坐标为时，则点的纵坐标为 ． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、利用定义求某角的三角函数值 【分析】（1）求出，利用扇形的面积公式可求得结果； （2）求出，结合两角差的正弦公式可求得点的纵坐标的值. 【详解】（1）由题意可知， 此时扇形的面积为； （2）因为，，则，所以， 因为，所以，故， 由题意可知，点的纵坐标为， 则， 故点的纵坐标为 . 故答案为：（1）；（2）. 14．（2025·上海黄浦·一模）如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点A，B，C，D，则该展览区的最大面积约为 平方米（精确到1平方米）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】应用三角换元得出，再应用面积公式结合三角恒等变换化简，最后应用辅助角公式及正弦的值域计算求解. 【详解】设，又因为，所以, 所以，所以， 所以， ， 进而得出 为锐角， 当时，. 故答案为：2136 15．（2025·四川成都·一模）在锐角中，若，则的最小值是 【答案】8 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，于是得到，再利用基本不等式即可推得，从而得到的最小值. 【详解】由，得， 因为为锐角三角形，所以均大于0， 所以， 又 ， 所以， 解得，当且仅当，即，即时取等号，解得或， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 16．（2025·四川成都·二模）已知满足，则的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】根据切弦互化得，进而整理得，再根据展开整理得，最后利用展开求解即可. 【详解】解：由得，即， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以 故答案为： 17．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，若，则 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求角型问题 【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得，即可求角的大小. 【详解】由， 所以，又， 所以，而， 所以. 故答案为： 三、解答题 18．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）法一，根据三角函数定义可得，，继而利用诱导公式化简，即可求得答案；法二，利用三角函数定义可得，继而利用诱导公式和同角的三角函数关系化简，可得答案； （2）利用三角函数定义以及同角的三角函数关系以及两角和的余弦公式，即可求得答案. 【详解】（1）法一：由角终边上一点，得， 故 法二：由角终边上一点，得， 故； （2）由角终边上一点，得， 因为，， 所以， 则 19．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，是第三象限角，求的值． （2）已知是锐角，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）逆用正弦差角公式得到，从而得到，从而利用正弦和角公式计算出答案； （2）先计算出，，利用凑角法和余弦差角公式进行求解. 【详解】（1）， 故， 又是第三象限角，故， 故 . （2）都是锐角，，，故， 所以，， 所以 20．（25-26高二上·河北保定·期中）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 【答案】(1)； (2), 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用条件先判定角的范围，结合同角三角函数的平方关系计算即可； （2）利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 而，所以，即， 则， 结合上知，而， 所以； （2）由上易知： ， 又， 因为，所以. 21．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【详解】（1）根据两角差的正切公式，，解得， （2）注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 三角函数 题型1 找出终边相同的角 定义：具有相同始边和终边的角（旋转方向或圈数不同，但终边位置一致）。 表示：与角α终边相同的角的集合为 （k为整数）。 示例：30°、390°（30°+360°）、-330°（30°-360°）终边相同。 1．（24-25高一下·辽宁·期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 题型2 弧度制 角度转弧度： 弧度转角度： 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同的角 C．与都是正数 D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为 题型3 扇形的弧长公式和面积公式 设圆的半径为r，圆心角为（弧度制），则该角所对的弧长为： 设扇形的半径为r，圆心角为（弧度制），则扇形面积为： （推导：扇形面积是圆面积的倍，即） 1．（2026高三·全国·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，确定，则，唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定 C．若，确定，则，唯一确定 D．若，确定，则，唯一确定 2．（25-26高三上·陕西咸阳·期中）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D．  4．（2024高三·全国·专题练习）莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（    ）    A． B． C．6 D． 5．（25-26高三上·山西太原·月考）如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 7．（24-25高一下·湖南怀化·期末）为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 题型4 由终边上的点求三角函数值 根据终边上的坐标求角的正弦值，余弦值和正切值 1．（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（   ） A． B． C． D． 题型5 三角函数比大小 根据三角函数单调性比大小 1．（24-25高二上·云南昆明·月考）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东日照·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，设，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）三个数，，的大小关系是 . 题型6 同角三角函数齐次式的相关应用 平方关系：。该公式可变形为，，。 商数关系：，也可变形为。 1．（24-25高三下·湖南长沙·月考）若钝角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京朝阳·月考）已知，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东梅州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏·期中）已知为的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·四川成都·期末）已知是关于的方程的两个实根，且，则 . 10．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）当时，证明：； （2）求证：． 11．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025高三·全国·专题练习）若，，则（ ） A． B． C． D． 14．（2025·湖北黄冈·二模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·福建福州·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·云南昭通·月考）函数（a，b均为正数）的最小值为 ． 18．（24-25高一上·山东淄博·月考）函数在的零点为 ． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 题型7 三角函数线的应用 如图中，有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型8 条件等式求值 “和差积”问题围绕与的三种形式展开，分别是： 和： 差： 积： 三者通过平方关系紧密关联，核心推导公式如下： 1. 2. 3. （和与差的平方和恒为2） 4. （和与差的平方差为积的4倍） 1．（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高一上·湖北·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 4．（24-25高三上·河南安阳·期中）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型9 诱导公式 公式一：，，，。 公式二：，，。 公式三：，，。 公式四：，，。 公式五：，。 公式六：，。 1．（2025·浙江温州·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习） . 5．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 6．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ； . 7．（24-25高一下·全国·周测）化简 . 8．（24-25高一下·广东·期中）若锐角，满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 9．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·广东广州·月考）已知，则 . 12．（24-25高一下·北京西城·期中）已知角为第一象限角，且，则 ． 13．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 题型10 正弦函数的图象和性质 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. 1．（23-24高一上·浙江温州·月考）设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 2．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（22-23高一上·山西运城·期末）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．（21-22高三上·云南玉溪·月考）已知函数，，则在上根的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2025·福建泉州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁·期末）已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 7．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ． 8．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 11．（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知函数． (1)求曲线的对称轴方程； (2)求在上的值域． 12．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知函数. (1)求函数最大值、最小值以及相应的值； (2)若，求函数的单调增区间. 题型11 正弦函数的单调性及参数取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为 . 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 4．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型12 正弦函数的值域及参数取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域. (1)； (2). 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，函数的值域为 ． 6．（24-25高二上·云南楚雄·月考）已知函数，若存在，使得，则的最小值为 ． 7．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 8．（25-26高三上·河南南阳·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 9．（2025高三·全国·专题练习）设，恒成立，求m的取值范围． 10．（2025高三·全国·专题练习）如果对任意的恒成立，求的最大值． 题型13 正弦函数的对称性及参数的取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高三上·河北·期中）已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（   ） A．6 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）函数的图象在区间内的对称轴条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高三上·山西·月考）已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·福建莆田·月考）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 5．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．1 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数，若在区间上恰有三个零点，则的取值范围为 ． 8．（22-23高三上·甘肃兰州·月考）已知函数． (1)求的最大值和最小值； (2)若函数在上存在零点，求实数的取值围． 9．（2025·浙江丽水·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A． B． C．2 D． 10．（25-26高三上·江苏盐城·月考）若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 题型14 正弦函数的奇偶性以及奇偶性求参 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（   ） A．1 B．-2 C．-1 D．2 2．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二下·河北·期末）若函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 5．（25-26高三上·全国·期中）已知函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·一模）若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的最小正周期为，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 题型15 三角函数不等式 利用三角函数单调性列出相关不等式并求解 1．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ． 2．（24-25高三下·河北保定·开学考试）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）函数y＝ 的定义域为 ． 4．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 . 5．（24-25高一下·上海·开学考试）函数的定义域为 . 题型17 余弦函数的图象和性质 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. 1．（25-26高三上·四川内江·期中）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 2．（24-25高一下·四川德阳·期中）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是函数的对称轴 D．在上的最小值为 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与在上有相同的单调性 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的最小正周期 4．（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 5．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知函数，当时，的最大值为． (1)求函数在上的单调区间； (2)若且满足，求的取值集合． 题型18 余弦函数的单调性及参数的取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 2．（25-26高三上·江西·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 4．（24-25高一下·河南·期末）已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024·湖南·模拟预测）已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知点在函数的图象上，直线是曲线的对称轴，若在单调，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川德阳·月考）函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8．（24-25高三下·上海·月考）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 题型19 余弦函数的值域及参数的取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ） A． B． 或 C． 或 D．或 3．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，在处取得最小值，则（    ） A．     B．1 C．3 D． 4．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南·期中）若函数在区间上的值域为，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知函数（）在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 7．（24-25高一下·河南驻马店·期中）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 9．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为 ． 10．（24-25高一下·广东中山·月考）已知函数在上的值域为，则的取值范围是 ． 11．（24-25高一下·河南·月考）已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是 . 题型20 余弦函数的对称性及参数的取值范围 正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上有且仅有2个零点 C．是奇函数 D．当时， 2．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型21 正切函数的图象和性质 正切函数的性质与图象 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 1．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 题型22 正切函数的单调性及参数的取值范围 利用正切函数的单调性列出相关不等式，从而得到参数的取值范围 1．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京顺义·期末）给出下列四个结论，其中正确的是（    ） A．若为第一象限角，且，则 B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值为 D．函数的最小正周期为 4．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型23 正切函数的对称性及参数的取值范围 利用正切函数的性质列出相关不等式并求出参数的取值范围 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·浙江·模拟预测）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型24 三角函数的周期性 周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知是的一个周期，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数与，在区间上，这两个函数图象交点横坐标之和为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 7．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 题型25 三角恒等变换 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； 两角和与差的正切公式及其变形 ①； ②两角和与差正切公式变形 ； 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂扩角公式和升幂缩角公式 降幂公式：；. 升幂公式：；； ； 半角公式 ；； ． 辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下：= 其中. 其他常用变式 万能公式：； 和差化积公式：；； ；． 积化和差公式： ；； ；． 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 2．（2024·安徽安庆·三模）已知函数（，）两个相邻的零点为，，距离y轴最近的对称轴为，则（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津南开·月考）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 6．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 7．（24-25高二上·云南楚雄·月考）已知是方程的两个实根，则（　　） A． B． C．4 D． 8．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（    ） A．0 B． C．2 D． 9．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，且，则（   ） A． B． C．或-1 D．1或 10．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知，满足，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为 ． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则 ＝ ． 13．（25-26高三上·北京·期中）如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点． （1）若，，则扇形的面积为 ； （2）若，点的纵坐标为时，则点的纵坐标为 ． 14．（2025·上海黄浦·一模）如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点A，B，C，D，则该展览区的最大面积约为 平方米（精确到1平方米）． 15．（2025·四川成都·一模）在锐角中，若，则的最小值是 16．（2025·四川成都·二模）已知满足，则的值为 ． 17．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，若，则 三、解答题 18．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，，求的值． 19．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，是第三象限角，求的值． （2）已知是锐角，，，求的值． 20．（25-26高二上·河北保定·期中）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 21．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $