5.7三角函数的应用（第2课时）（课件）-2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版必修第一册）

该高中数学课件聚焦三角函数的应用，核心知识点为用三角函数模型描述周期变化现象并解决实际问题。课堂导入通过匀速圆周运动、简谐运动等理想化周期现象引入，衔接前期三角函数图像与性质知识，借助温度变化曲线、港口水深等课本例题及阻尼器、筒车等拓展题型，构建从实例观察到模型抽象再到应用解决的学习支架。 其亮点在于融合多个真实情境案例，通过数据收集、散点图分析、函数拟合培养学生用数学眼光观察周期现象的能力，借助方程求解、不等式分析发展数学思维，课堂小结以知识结构图梳理“实际问题—数据—模型—解决问题”流程，助力学生形成数学建模意识。教师可利用典型例题和分层练习提升教学针对性，学生能在应用中深化对三角函数的理解与迁移能力。

人教版2019高一数学（必修一）第五章 三角函数 5.7三角函数的应用（第2课时） 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 2.实际问题抽象为三角函数模型． 情景导入 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确的描述它们的运动变化．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化特点，这些现象也可以借助三角函数近似的描述． 课本例题 例1.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足y=Asin(ωx+φ)+b． （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式． 解:(1)由图5.7-3可知，这段时间的最大温差是20℃. (2)由图5.7-3可以看出，从6~14时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ)+b的半个周期的图象，所以 A=(30-10)=10，b=（30+10）=20 因为，所以ω= 将A=10，b=20， ω=，x=6，y=10代入①式，可得φ= 综上，所求解析式为 y=10sin（+）+20，x∈[6，14] 一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围. 例2.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）． (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需 0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析:观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表5.7-2中的数据画出散点图，如图5.7-4.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深.根据数据可以确定A，ω，φ，h的值. 解:(1)以时间x(单位:h)为横坐标，水深y(单位:m)为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图5.7-4).根据图象，可以考虑用函数y=Asin(ω x+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:A=2.5，h=5，T=12.4， φ =0;由T=，得 所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y=2.5sinx+5 近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(表5.7-3): (2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5m，所以当y≥5.5时就可以进港.令2.5sin+5=5.5，sin 如图5.7-5，在区间[0，12]内，函数2.5sin+5的图象与直线y=5.5有两个交点A，B，因此≈0.2014，或Π≈0.2014 由计算器可得 0.2013579208≈0.2014 解得 ≈0.397 5，≈5.802 5. 由函数的周期性易得: ≈12.4+0.3975=12.797 5， ≈12.4+5.802 5=18.202 5. 因此，货船可以在零时30分左右进港，5时45分左右出港;或在13时左右进港，18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在xh时货船的安全水深为ym，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6~8时之间两个函数图象有一个交点(图5.7-6). 借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为(7.016，3.995)，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货并驶离港口. 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术. 课本练习 1.图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 周期 后，乙点的位置将移至何处？ 乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处． 2.从出生之日起，人的情绪、体力、智力等状况就呈周期性变化，根据心理学统计，人体节律分为体力节律，情绪节律，智力节律三种，这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天．每个节律周期又分为高潮期，临界日，低潮期三个阶段．节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力，情绪，智力曲线，并预测本学期期末考试期间，你在体力，情绪，智力方面会有怎样的表现，需要注意哪些问题？ 解答：由题可知，三个节律曲线的函数模型为y＝Asin ωx的形式， 为了研究的方便，我们可以统一设A＝10， 象进行分析． 数得到三个自变量， 计算从出生日到本学期期末考试三天的天 观察相应变量区间的三个节律曲线的函数图 以出生日为自变量1， 由节律的时间周期分 别为23天，28天，33天可得相应解析式中的ω值分别为　　　　 ． 题型分类讲解 1.［江苏扬州中学2024高一月考］阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第 一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图①.由物理学知识可知，某阻 尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位： ）的 函数关系为 ，如图②，若该阻尼器在摆动过程中连续三次位移为 的时间分别为，，，且， ，则在一 个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于 的总时间为( ) C 图① 图② A. B. C. D. 题型1 知模型求参数 解析 因为,,所以,所以最小正周期 , 又,所以,则.由可得 , 所以 ,,可得, . 因为 , 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于的总时间为 .故选C. 14 2.（多选）［甘肃白银部分学校2025高一期末联考］已知一正弦电流（单位：A）随时间 （单位：）变化的函数,, 的部分图象如图所示，则( ) AB A. B. C. D.在一个周期内，电流不超过的时长为 15 解析 对于A，由题图可知 ，故A正确. 对于B，由，得，则 ，故B正确. 对于C，由题图可知函数的图象过点，故 ， 则，得 . 因为，所以 ，故C错误. 对于D，由，得 ， 则或 ， 或 ， 所以在一个周期内，电流不超过的时长为，故D错误.故选 . 16 3.［广东深圳部分学校2025高一期末联考］已知某地区某天的温度（单位：）随时间 （单位：）的变化近似满足函数关系， ，且这天的 最大温差为，则___；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为___ . 4 6 解析 ，其最小正周期 ， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差，又 ，故 ，解得 . 令，即，，又 ，则 ，则或 ，解得 ， 则一天中需要降温的时长为 . 17 4.（多选）［江苏淮安2025高一期末］筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环 保，至今还在农业生产中使用（图①），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车 的工作原理（图②）.若一半径为2米的筒车水轮的圆心 距离水面1米（图③），已知水轮按逆时 针转动，每分钟匀速转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图③中点的位置）开始计时，点 距水面的高度（在水面上时为正值，在水面下时为负值）（单位：米）与时间 （单位：秒）的 关系可以用,,, 表示.下列结论正确的有( ) 题型2 三角函数模型的应用 图① 图② 图③ A. B.点 第一次到达最高点需用时5秒 C.点再次接触水面需用时10秒 D.当点 运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 √ √ 18 解析 由题意可得解得又，所以 ， 当时，，解得，因为，所以 ， 所以 ，A错误； 令，得，则 ,，解得,，又 , 所以的最小值为5，即点 第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点再次接触水面需用时 （秒），C正确； 当时，，故点距水面的高度为2米，D错误.故选 . 19 5.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且每12分钟旋转一周，它的最低点 离地面2米.设风车开始旋转时其翼片的一个端点 在风车的最低点，求： （1）点离地面距离（米）与时间 （分）之间的函数关系式. 【解】不妨设,,, 由题意得解得, ,又,则 . 当时,,即,取 .因此, . （2）在第一圈的什么时间段，点 离地面的高度超过14米？ [答案] 由题意令,即,则 . 又因为,所以 . 所以在第一圈的4分钟到8分钟内,点 离地面的高度超过14米. 20 归纳总结 解三角函数应用问题的一般步骤 第一步,阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什 么,求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步,搜集整理数据,建立数学模型. 根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关 系式,在此基础上将实际问题转化为三角函数问题,从而将实际问题数学化,即建立三角函数模型. 第三步,利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答,求得结果. 第四步,将所得结论转译成实际问题的答案. 21 6.［陕西西安长安区一中2025高一期末］近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银 山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，摸索出 以虹鳟、鲟鱼等养殖为主的方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域 内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边 上，且 ，米，设 . （1）求扇形 的面积； 【解】依题意，，扇形半径 米，则扇形的面积为 平方米. （2）求矩形的面积，当 为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值. [答案] 在中， ， ， 在中， ，则 ， 于是 ，则矩形的面积 ，所以 . 由，得，则当，即时， ， 所以当时，取得最大值，最大值为 平方米. 22 课堂小结 生活中哪类问题可以利用三角函数模型解决？利用三角函数解决实际问题的一般步骤是怎样的？你能够将本节课所学内容画出一个知识结构图吗？其中涉及到哪些数学思想？通过本节课的学习，你还有哪些收获？ 实际问题 三角函数模型 解决三角函数问题 联系实际解决问题 周期性 收集数据画散点图 观察图形函数拟合 周期性 $