5.7三角函数的应用（第1课时）（课件）-2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版必修第一册）

该高中数学课件聚焦三角函数模型在周期变化现象中的应用，通过弹簧振子数据与散点图导入，引导学生从位移变化抽象出y=Asin(ωt+φ)，衔接三角函数图像与性质，搭建数学模型到简谐运动的学习支架，理解参数的物理意义。 亮点是以真实问题驱动，融合学科知识，如交变电流图像分析、漏斗漏沙单摆实验，体现“用数学眼光观察现实世界”。例题结合图像求解析式培养“数学思维”，小结用“数学语言”表达规律，助学生建立模型观念，也为教师提供丰富实例与题型，提升教学效率。

人教版2019高一数学（必修一）第五章 三角函数 5.7三角函数的应用（第1课时） 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 2.实际问题抽象为三角函数模型． 情景导入 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用. 新知探究 问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y（单位：mm)之间的对应数据如下表所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。 t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示． 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A=20;振子振动的周期为0.6s，即=0.6，解得ω= ;再由初始状态(t=0)振子的位移为一20， 可得sin φ=-1，因此φ= .所以振子位移关于时间的函数解析式为 请你查阅资料，了解 振子的运动原理, 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)表示，其中A＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关： 问题2:图(1)是某次实验测得的交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象（频率为50HZ）。将测得的图象放大，得到图(2). （1）求电流i随时间t变化的函数解析式； （2）当 时，求电流i. (1) (2) 解:(1)由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中 表示频率，A表示振幅，φ表示初相. 再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得 sin φ=0.866，因此φ约为 . 所以电流随时间变化的函数解析式是 电流变化的周期为 s，频率为50Hz，即 ，解得ω=100π； 由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5； 10 所以 【例1】已知某函数的表达式为 ，图像如图所示，则当t=0.01 时，y是多少？ 【解】由图像可知A=10， 所以 故 把 代入，得 ，即 因为 ，所以 ，所以 , 所以 典型例题 【例2】弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C两点相距 20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点.求： 【解】(1)设振幅为A，则2A=20cm，即A=10cm. 设周期为T，频率为f，则 (1)振动的振幅、周期和频率. (2)振子在5s内通过的路程及5s时相对平衡位置的位移的大小. 即 (2)振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t=5s=5T内， 通过的路程为5×4A=20A=20×10=200cm=2m 5 s时物体处在B点，所以相对于平衡位置的位移是10cm 典型例题 课本练习 1.某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题： （１）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ （２）写出这个简谐运动的函数解析式. 解：（1）从图像上可以看到， 这个简谐运动的振幅为A=3cm; 周期为 （s）； 频率为 Hz . 解：（2）设这个简谐运动的函数表达式为 1.某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题： （１）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ （２）写出这个简谐运动的函数解析式. 解：周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V． 电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，＋∞). 3.一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式． 题型分类讲解 1.已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期 和初相 分别为( ) A A.， B.， C. ， D. ， 题型1 函数y=Asin(ωx+ φ)描述简谐运动时的基本概念 解析 .的图象经过点, .又, . 2.将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.在漏斗下放纸板， 板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时 匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.它表示了漏斗对平衡位 置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况.如图所示，已知一根长为 的线一端固定， 另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位： ）的函数 关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到 ） ( ) A. B. C. D. √ 解析 由,得 . 由函数的图象可知函数的周期为,所以,即 .故选C. 20 3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置A为始边，OB为终边 的角θ 与时间t(s)满足函数解析式 ，则 当t=0时，角θ的大小及单摆的频率是多少？ 【解】当t=0时， 由函数的解析式可知，函数的周期为 则函数的频率为 4.在两个弹簧上各挂一个质量分别是M1和M2的小球，它们在竖直方向上作 自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移S1(cm)和S2(cm)分别是由 下列两式决定： 则在时间 时，S1与S2的大 小关系如何？ 【解】当 时， 所以此时的关系是 课堂小结 曲线y＝Asin (ωx＋φ)的应用实质上是物理方面的知识．所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行． 三角函数模型是描述周期变化的重要数学模型，主要了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义；同时在问题研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强了我们的应用意识，感受了数学的应用价值。 A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是了 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式f= 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相. ２．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是 （１）当l=25时，求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)； （２）已知 ，要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度应当是多少(精确到0.1cm)？ 解:(1)设最大偏角为θ. 的最大值为3. 最大偏角θ满足 ，根据计算器计算结果可得 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ∴ 线的长度应是 $