5.6.函数y=Asin(ωx+ φ)（课件）-2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版必修第一册）

人教版2019高一数学（必修一）第五章 三角函数 5.6.函数y=Asin(ωx+ φ) 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行交换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象． 2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式． 3．求函数解析式时φ值的确定． 情景导入 我们知道，单位圆上的点，以(1,0)为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画.对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题. 新知探究 问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。 5.6.1匀速圆周运动的数学模型 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律． 思考 与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M从点P0运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t． 下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型． 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质． 5.6.2 的图像 一般地，函数y=Asin(x+φ)(A>0，>0)的图象，可以用下面的方法得到:先画出函数 y=sinx的图象;再把正弦曲线向左(或右)平移| φ |个单位长度，得到函数y=sin(x+ φ)的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(x+ φ)的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y=Asin(x+ φ)的图象. 这一过程的步骤如下: 补全步骤2和3的函数及图象. 从上述步骤可以清楚地看到，参数是如何对函数图象产生影响的. 课本例题 例1.画出函数的简图. 解：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图所示. 例1.画出函数的简图. 下面用“五点法”画函数在一个周期内的图象. 令，则.列表，描点画图. 例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120，转盘直径为110，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动五后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差(单位：)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1). 分析:摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画. 解:如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心0为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. (1)设t=0min时，游客甲位于点P(0，一55)，以OP为终边的角为一;根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得 H=55sin( )+65，0≤t≤30. (2)当t=5时， H=55sin( )+65=37.5. 所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m. （3）如图5.6-10，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB=，经过t min后甲距离地面的高度为（），点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，利用 可得当(或)，即(或)时，的最大值为.所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 课本练习 描点画图： 描点画图： 描点画图： 描点画图： （B）向左平行移动 个单位长度 （C）向右平行移动 个单位长度 （D）向左平行移动 个单位长度 （A）向右平行移动 个单位长度 C 2(1).为了得到函数 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ） （A）横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变 （D）纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变 2.(2)为了得到函数 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ） B 2(3).为了得到函数 的图象，只要把 图象上所有的点（ ） （A）横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变 （D）纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变 C 3. 函数 y=sin(x)的图象与正弦曲线有什么关系? 4.函数 y=sin(x+ ),x∈[0，+∞)的图象与正弦曲线有什么关系? 解：通过正弦曲线的平移、伸缩而得到 解：向左平移个单位长度，只保留x∈[0，+∞)的部分图象即可 题型分类讲解 1.用“五点法”作函数 在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是( ) A A. B. C. D. 题型1“五点法”作函数y=Asin(ωx+ φ)的图象 解析 令,得,故第四个关键点的坐标为 .故选A. 2.［河北沧州2025高一期末］已知函数 . （1）求 的单调递减区间； 【解】令 ， 解得 ， 则的单调递减区间是, . （2）用“五点法”画出 在一个周期内的图象. [答案] 0 0 4 0 0 则 在一个周期内的图象如图所示. 37 3.［陕西西安部分学校2025期末联考］将函数图象上所有的点向左平移 个单 位长度，得到函数的图象，则 ( ) C A. B. C. D. 题型2 平移变换 解析 由题意得 .故选C. 4.［湖南郴州2025高一期末］将函数的图象向左平移 个单位长度后， 得到的图象，则 的最小值为___. 解析 的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象， 从而 ,，解得 ,，又，故当时， 取得最小 值，最小值为 . 38 题型3 伸缩变换 5.［四川成都2025高一月考］将函数的图象向右平移 个单位长度，再将所得 图象的每个点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则 ( ) A A. B. C. D. 解析 将函数的图象向右平移 个单位长度， 可得函数 的图象， 将函数 的图象的每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变， 可得函数 的图象， 所以 .故选A. 39 6.（多选）［广东深圳实验学校2024高一期末］记函数的图象为 ，为了得到 函数 的图象，可能用到的变换方式有( ) BCD A.将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.将所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 C.将所有点向右平移 个单位长度 D.将所有点向右平移 个单位长度 解析 有两种变换方式，方式一：将图象上所有的点向右平移 个单位长度,得到 的图象, 再将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到 的图象. 方式二：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到 的图象, 再将的图象上所有点向右平移 个单位长度,得到 的图象. 所以可能用到的变换方式有,没有A.故选 . 40 7.［天津南开中学2025高一质量检测］函数且， 的图象如图 所示，则函数 的解析式为( ) A A.， B.， C.， D.， 题型4 利用图象确定函数解析式 解析 把点与点的坐标代入中，可得解得 因 此， ,故选A. 41 8.［广东珠海一中等六校2025联考］将函数 的图象上所有点的横坐标变为原 来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数 单调递减的是 ( ) C A. B. C. D. 题型5 函数y=Asin(ωx+ φ)的图象与性质的综合 解析 依题意可得， ， 由 , ， 解得 , . 观察选项可知，只需写出在 上单调递减的区间即可. 易知当时，，由选项可知只有, ， 可得在上，函数 单调递减.故选C. 42 9.已知函数，如图，，是直线 与曲线的两个交点.若， 则 _____. 解析 设,,由可得 , 由可得 或 , , 由图可知,,即,解得 . 因为,所以 ,,即 , ,所以, , 所以或 , 又因为,所以,所以 . 43 10.［山西名校联合体2025高一期末联考］已知函数 的图象如图所示. （1）求函数 的解析式； 【解】由题图知，函数的最大值为，最小值为 ，则, ，所以, ， 所以 .因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 ， 可得 .由题图知，当时， 取得最小值，所以， 解得 ，又 ，所以 ，所以 . （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若，求函数 的值域. [答案] 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，可得 的图象， 再向右平移个单位长度，可得 的图象. 当时，, ，当， 即时，函数取得最小值，最小值为 ，当,即时， 函数取得最大值，最大值为 ，故函数的值域为, . 44 11.（原创）先使函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 ，然后将 所得图象沿轴向左平移个单位长度得到的函数图象与的图象相同，则 的表达式 为( ) D A. B. C. D. 易错点1 图象平移变换错误 解析 方法一：正向变换 的图象的图象 , 即的图象,所以 .令,则 ,所以 , 即 .故选D. 方法二：逆向变换 的图象 的图象 的图象.故选D. 45 易错警示 “先平移再伸缩”“先伸缩再平移”是图象变换考查的重点,也是易错点,一定要明确左右平移变 换的对象始终是自变量 . 方法二中函数图象向右平移个单位长度,是将自变量减去,即将换成 ,其余的量不变；横坐 标伸长到原来的2倍,即将换成 ,其余的量不变. 12.［河南驻马店2025高一月考］为了得到函数的图象，只需把函数 图 象上所有的点( ) D A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度 易错点2 看错图像变换的方向致错 解析 易知 ，又因为 ， 因此只需将图象上所有的点向右平移 个单位长度即可.故选D. 易错警示 三角函数图象变换问题一定要注意函数的名称是否一样,函数名称不一样时,一定要先化为同名函 数再变换,并且要分清是将的图象进行变换得到的图象,还是将的图象变换得到 的图象. 47 13.函数的部分图象如图所示，试求函数 的 表达式. 【解】由题图知,函数的最小正周期 ,所以,所以 . 又图象过点,所以当时,,由“五点法”作图得 ,解得 ,故所求函 数的表达式为 . 易错点3 知图写式中求参数错误 48 易错警示 在利用“五点法”画正弦型函数图象时,图象中五个关键点的横坐标自左到右分别是由 取 0,, ,, 解得的,三个函数值为零的点自左到右对应的 的值为0, , ,不能随便乱取, 这一点很容易出错.在本题中,由函数图象知,点 是图象中的第二个函数值为零的点,从而 只能对应在一个周期内五个值中的 ,而不能是0或 . 49 课堂小结 所有的点向左( >0) 或向右( <0)平行移动 |  | 个单位长度 y=sinx y=sin(x+) y=sinx y=sinx 横坐标缩短(>1)或 伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变 y=sinx y=Asinx 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1）列出下表： 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（2）令 ，则 .列出下表： 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（3）令 ，则 .列出下表： 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（4）令 ，则 .列出下表： $