精品解析：浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高二上学期第二次联考数学试题

舟山市五校联盟2025学年第一学期第二次联考 高二数学试题卷 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 3. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 5. 圆和圆的交点为，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段中垂线方程为 D. 6. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为 A. B. C. D. 7. 若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点，的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数为105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为87 11. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等边三角形，则 B. 若，则存在两个不同的点P C. 若A，O，P共线，则与x轴平行 D. 若A，O，P共线，则的最小值为2 Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的半径为3，则__________. 13. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________. 14. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 16. 等差数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）若，求n的最小值． 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格.甲､乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为.甲､乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响. （1）甲､乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？ （2）求甲､乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率. 19. 动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舟山市五校联盟2025学年第一学期第二次联考 高二数学试题卷 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 2. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】双曲线的渐近线方程为，进而求的值，并可得结果. 【详解】在双曲线中，得， 则渐近线方程为，所以. 于是. 故选：D 4. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的通项公式代入求解即可. 【详解】． 故选：D. 5. 圆和圆的交点为，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段中垂线方程为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程； 对于B，由弦长公式计算即可； 对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断； 对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断. 【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得， 即公共弦所在直线方程为，故错误； 对于B，设到直线：的距离为， 则有， 则弦长公式得：，故错误； 对于C，由题意可知线段中垂线为直线， 又因为，， 所以直线的方程为，故错误； 对于D，由，解得或， 取， 所以 所以， 所以，故正确. 故选：D. 6. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：本题中汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的；遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此汽车在这三处遇红灯停车的概率分别为：.汽车在这三处遇红灯停车一次有以下三种情况： （1）甲红灯，乙丙绿灯：； （2）乙红灯，甲丙绿灯：； （3）丙红灯，甲乙绿灯：； 所以汽车在这三处遇红灯停车一次的概率为.故选D. 考点：互斥事件，对立事件，独立事件. 【思路点晴】本题是随机事件中互斥事件、对立事件、独立事件的综合应用．既要知道汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的，因此汽车通过三处的概率就等于通过每处的概率之积；又要知道遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此根据题目中给出的遇绿灯通行的概率可以算出遇红灯停车的概率．汽车在这三处遇红灯停车一次是由几个互斥事件组成，因此这一事件的发生的概率等于这几个互斥事件发生的概率之和． 7. 若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点，的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的概念，求出曲线上一点到两焦点的距离，根据三角形边长关系，判断各选项是否符合要求. 【详解】在椭圆中，，当时，， 在椭圆中，，则， 则，此时不存在，所以A错误； 在椭圆中，，则， 则，此时不存在，所以B错误； 在双曲线中，，当时，， 在双曲线中，，则， 则，此时存在，所以C正确； 在双曲线中，，则， 则，此时不存在，所以D错误； 故选：C. 8. 如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出轴截面图形，根据几何关系即可求解． 【详解】如图所示，，，， 则， ∴，即， 而，即， ∴， ∴． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得. 【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误； ，故B错误； 当时，，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 10. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数为105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为87 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,根据频率之和为1计算即可；对于B,根据众数的定义判断即可；对于C,根据频数和频率的关系计算即可；对于D,根据百位分数的计算公式求解即可. 【详解】根据频率和等于1得：， ，A正确； 由频率分布直方图可知，众数为75，B正确； 总体中成绩落在内的学生人数为：，C错误； 上面各组对应的频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1， 故第80百分位数在内，设第80百分位数约为，则： ， ，D正确； 故选：ABD. 11. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等边三角形，则 B. 若，则存在两个不同的点P C. 若A，O，P共线，则与x轴平行 D. 若A，O，P共线，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的性质，求得A点横坐标，即可得，进而判断A；设直线：，联立直线与抛物线方程，求以为直径的圆的表达式，令，即可求解P点个数，进而判断B；若A，O，P共线，可求P点坐标，根据根与系数关系可得B点纵坐标，从而判断C；，利用基本不等式即可求解，进而判断D. 【详解】由题，抛物线的焦点F为， 不妨令， 对A选项，若为等边三角形， 则， 根据抛物线的性质可知，此时AP与y轴垂直， 故点A的横坐标为3，所以，故A正确； 对B选项，由题可知，直线的斜率不为0， 令直线：， 联立直线与抛物线方程有， 所以， ， 所以以为直径的圆的方程为：， 令，则， 整理可得，故只有一个点P可使，故B错误； 对C选项，若A，O，P共线， 则直线AP：，令，则， 由B选项可知，， 所以点B的纵坐标为，所以与x轴平行，故C正确； 对D选项，由C选项， ， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD. Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的半径为3，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解. 【详解】将圆的方程转化为， 因为圆的半径为3，所以，即. 故答案为：. 13. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将等差数列之比转换为它的前n项和的比即可得解. 【详解】由 ， 因为为整数且，所以. 故答案为：. 14. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【小问1详解】 因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 16. 等差数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）若，求n的最小值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解； （2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：设的公差为d， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：由，可得， 根据二次函数的性质且，可得单调递增， 因为，所以当时，， 故n的最小值为12． 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格.甲､乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为.甲､乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响. （1）甲､乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？ （2）求甲､乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率. 【答案】（1）甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式可求得甲､乙成绩合格的概率，由此得解； （2）利用对立事件及互斥事件的概率公式即可求解 【小问1详解】 设“甲在第一轮测试中的成绩合格”，“甲在第二轮测试中的成绩合格”， “乙在第一轮测试中的成绩合格”，“乙在第二轮测试中的成绩合格”， 则“甲同学在本次测试中成绩合格”，， “乙同学在本次测试中成绩合格”，. 因为，所以甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大. 【小问2详解】 设“甲在本次测试中成绩合格”，“乙在本次测试中成绩合格”， 则， “甲､乙两人中至少有一人在本次测试中合格”， 19. 动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1）或. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线距离公式列式化简即得. （2）①联立的方程与抛物线方程，用表示并建立不等式求出范围；②利用斜率坐标公式，结合二次函数性质求出范围. 【小问1详解】 依题意，，化简得， 所以曲线的方程为：或. 【小问2详解】 ①由（1）可知，或， 当时，由，得，而，，无解； 当时，由，得，由，解得， 所以的取值范围为. ②直线的斜率，由①知，且， 令，则，则， 当，即时，， 当，时，， 所以直线的斜率取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $