精品解析：江西省南昌市南昌中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区12月份考试 高二数学 考试时间：120分钟；命题人：叶淑英；审题人：揭芬芳 一、单选题（共40分） 1. 点到平面的距离为（    ） A. B. 5 C. 3 D. 1 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 设抛物线：（）的焦点为，若点在上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在圆上，直线l过点A且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（    ） A. B. 4 C. D. 5. 给出以下命题，其中正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥ B. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 C. 平面、的法向量分别为，，则∥ D. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 6. 在三棱锥中，M是平面上一点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（     ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在双曲线的左、右支上，且，以为直径的圆过点，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 两个圆相交弦所在直线的方程为 D. 两圆的公共弦长为 10. 如图，点，分别是棱长为1正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ） A. B. C D. 向量在方向上的投影数量为 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 内切圆半径的最大值为 三、填空题（共15分） 12. 若点关于轴对称，则____________. 13 若三点共线，则______． 14. 椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率______. 四、解答题（共77分） 15. 直三棱柱中，，，，分别是的中点． （1）求的值； （2）求证：⊥平面． 16. 已知空间中三点，，，设，． （1）已知向量与互相垂直，求的值； （2）求的面积． 17. 已知圆，直线． （1）判断并证明直线l与圆C位置关系； （2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，试求直线的方程. 19. 已知点在离心率为的双曲线上． （1）求方程； （2）过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区12月份考试 高二数学 考试时间：120分钟；命题人：叶淑英；审题人：揭芬芳 一、单选题（共40分） 1. 点到平面的距离为（    ） A. B. 5 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案. 【详解】点在平面上的射影是， 则点到平面的距离为， 故选：B. 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆一般方程列不等式即可解得. 【详解】要使方程表示圆， 只需，解得：. 故选：A 3. 设抛物线：（）的焦点为，若点在上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：将点的坐标代入抛物线方程求出，则可求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得结果；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求出，从而可求出焦点，然后利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】解法一：因为点在上，所以，得， 所以抛物线的准线方程为. 由抛物线的定义，等于到准线的距离，即， 解法二：因为点在上，所以，得，所以， 所以，所以， 故选：C. 4. 已知点在圆上，直线l过点A且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（    ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在圆上，结合圆的切线的性质，求得直线的斜率，得到直线的方程，进而求得点的坐标，利用两点间距离公式，即可得解. 【详解】由圆，可得圆心， 因为为切点，所以，所以直线的斜率为， 所以的方程为，即直线， 令，可得，再令，可得，即， 则. 故选：C. 5. 给出以下命题，其中正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥ B. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 C. 平面、的法向量分别为，，则∥ D. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间位置关系的向量证明逐项分析判断. 【详解】对A：∵，则，故或，A错误； 对B：对于平面可得， 若向量是平面的法向量，则，解得， 故，B错误； 对C：显然不存在实数，使得成立，则不共线，故与不平行，C错误； 对D：∵，则，故，D正确. 故选：D 6. 在三棱锥中，M是平面上一点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量的减法运算对已知关系进行变形，结合向量四点共面结论列方程求. 【详解】根据向量的减法运算可得， 又， 所以， 所以， 所以， 又M是平面上一点，所以， 所以， 所以， 所以，，， 所以，，， 故选：B. 7. 已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（     ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， . 由椭圆的定义得： ， 当点Q在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在双曲线的左、右支上，且，以为直径的圆过点，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意画出图形，可得四边形为矩形，设，即可表示出、、，再在直角三角形中利用勾股定理求出，即可求出离心率. 【详解】解：易知四边形为矩形，设，则，，， 在中，，即，解得， 所以，，在中，即， 所以. 故选：C 二、多选题（共18分） 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 两个圆相交弦所在直线的方程为 D. 两圆的公共弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆的方程可确定圆心和半径，根据圆心距和两圆半径关系可确定两圆相交；根据圆的几何性质可知AB正误；根据相交弦所在直线求法和垂径定理可得CD正误. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径； 由圆的方程知：圆心，半径； 则两圆圆心距， ，两圆相交； 对于A，两圆相交，当为两圆同一个公共点时，，即，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，两圆方程作差可得相交弦所在直线方程：，C正确； 对于D，圆心到相交弦所在直线的距离， 两圆公共弦长为，D正确. 故选：BCD. 10. 如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【详解】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 内切圆半径的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆方程可得，即可得离心率；对于B：分析可知以为直径的圆与椭圆没有交点，即可判断B；对于C：整理可得，结合的范围分析判断；对于D：利用等面积法可得，进而分析的面积的最值即可. 【详解】不妨设分别是左、右焦点. 对于选项A：由椭圆方程可得，，，所以椭圆的离心率为，故A正确； 对于选项B：因为，可知以为直径的圆与椭圆没有交点，所以不存在点使得，故B错误； 对于选项C：由于对有，，从而 所以不可能以为最小值，故C错误； 对于选项D：设内切圆半径为，则，故. 当且仅当点为短轴顶点时，取到最大值，所以内切圆半径的最大值为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题（共15分） 12. 若点关于轴对称，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间中点关于坐标轴对称得解. 【详解】因为点关于轴对称, 所以， 所以， 故答案为：2 13. 若三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解. 【详解】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 14. 椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据的中点M为双曲线的左顶点得，根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可得，再由可得答案. 【详解】因为的中点M为双曲线的左顶点，所以， 椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足， 所以，可得， 所以，代入可得， 则椭圆的离心率. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 直三棱柱中，，，，分别是的中点． （1）求的值； （2）求证：⊥平面． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值； （2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直. 【小问1详解】 直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，， ∴，，，，， 所以； 【小问2详解】 求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 16. 已知空间中三点，，，设，． （1）已知向量与互相垂直，求的值； （2）求的面积． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的充要条件可得； （2）先由向量夹角公式求得的余弦，进而求得正弦，再利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，， 因为向量与互相垂直，所以，解得． 所以的值是5． 【小问2详解】 由（1）可得． 故， 所以． 17. 已知圆，直线． （1）判断并证明直线l与圆C的位置关系； （2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程． 【答案】（1）直线与圆相交，证明见解析； （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）由题可得，由得直线恒过定点， 再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 因为直线的方程为， 所以， 由得，， 所以直线恒过定点， 因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交； 【小问2详解】 因为圆的方程为， 所以点的坐标为，半径为2， 因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故, 所以，故圆心到直线的距离， 直线斜率不存在时，直线的方程为， 因为点到直线的距离为1， 所以直线满足条件，即直线的方程可能为， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 故直线的方程为或. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，试求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过已知点以及向量数量积的条件，结合椭圆中的关系，求解椭圆的标准方程即可. （2）先分析特殊情况（直线与轴垂直），再设出直线的斜截式方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，结合线段长度的比例关系建立方程，求解直线的斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 根据题意作图如下： 设，椭圆过点， 所以有，， 又，则， 所以，则，所以， 整理得，因为， 所以解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 根据题意作图如下： 若，则. 当直线与轴垂直时，其方程为， 则，，不满足题意. 设直线的方程为，代入椭圆方程得， 整理得，即. 设，则①，②. 因为，在直线上，且在的两侧， 所以，则，所以③. 由①③解得，代入②， 得解得， 所以直线的方程为，即或， 综上，直线的方程是或. 19. 已知点在离心率为的双曲线上． （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1）； （2）证明见解析，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. 【小问1详解】 由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由消去并整理得， ，解得且，， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $