2025-2026学年人教版九年级上册数学期末测试卷二

2025-2026学年人教版九年级上册期末测试二 考试范围：九上；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（      ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 2．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 4．将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，与的边相切于点，与，分别交于点，，点是优弧上一点，若，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．度数不确定 8．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（ ） A．1 B． C． D． 10．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 12．已知点与点关于原点对称，则 ； ． 13．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在弧上，，则弧的长为 ． 14．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是 ． 15．如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为 ． 16．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为 ． 三、解答题：本大题共9小题，共72分。 17．解方程： (1) (2) 18．如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 19．在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 20．DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； (2)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； (3)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 21．如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 22．如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 23．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某商家在网络平台上进行直播销售板栗为了提高大家购买的积极性，该商家每天在直播中拿出元现金作为红包发给购买者已知该板栗的成本价格为元kg，每日销售量单位：kg与销售单价单位：元kg的关系满足，销售单价不低于成本价且不高于元kg设该商家销售板栗的日获利为单位：元． (1)求日获利单位：元与销售单价单位：元kg之间的函数表达式． (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大最大日获利为多少元 (3)当时，网络平台将向该商家收取元的相关费用，若把销售单价定为元kg时日获利最大，求的值． 24．如图，是半圆的直径，是半圆上一点，连接并延长到，使，连接，，交半圆于点，已知． (1)如图①，过点作于点，求证：是半圆的切线； (2)如图②，当时，求与半圆重合的面积； (3)如图③，若点是的内心，则当点在半圆上时，求的度数． 25．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 《2025-2026学年人教版九年级上册期末测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B B B B C C B 1．C 【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的， ∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴ 该事件是随机事件． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 故答案为：C． 4．B 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据二次函数图象的平移规律“上加下减”，向上平移时，在整个函数表达式后加上平移单位，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线 向上平移2个单位长度， ∴新解析式为， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 由对称轴可知， ，故②错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故③正确； 由图象可知时，此时只有一个解， 方程有两个相同的实数根，故④错误， 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，运用圆周角定理及圆内接四边形的性质求角的度数是解题关键，根据圆内接四边形的性质可求出的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， 是的直径， ， ； 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，求出，由得；根据外角的性质得到，由三角形内角和定理得，求出；由点是优弧上一点，可知度数不确定，即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； 又， ∴， ∴，故选项B错误，符合题意； ∵点是优弧上一点， ∴度数不确定，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 8．C 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，   ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 9．C 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意列表得出所有等可能结果以及满足题意的结果数是解题的关键． 将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表如下： A B C D E A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E） 由表知，共有25种等可能结果，其中他获得奖品的有16种结果， 所以他获得奖品的概率为． 故选：C． 10．B 【分析】作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，根据垂径定理可证，从而证明，得出，，根据圆内接四边形的性质得，设，则， ，，求出，在中，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后在中根据求出即可求解． 【详解】如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴性质，熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴另一个交点的横坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标特征、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组即可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 即 由得， 代入得， 解得， 将代入得， 解得． 故答案为：；． 13． 【分析】本题主要考查垂径定理、圆周角定理、弧长公式，解题的关键在于根据网格确定圆心．先根据垂径定理，利用网格特点作和的垂直平分线，进而确定圆心和半径，然后根据圆周角定理求出弧所对的圆心角的度数．最后利用弧长公式计算弧的长度即可． 【详解】解：根据网格，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，则点即为所在圆的圆心，连接，如图所示， 则半径， ∵， ∴， ∴的长． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，把第一个转盘分为相同的三部分，一部分为红，另两部分为蓝，再利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出一个转出红色，另一个转出蓝色的所占结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为 共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， 可配成紫色的概率是， 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查切线长定理，知识点是“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”．解题方法是利用切线长定理将的周长转化为的长度关系；解题关键是识别相等的切线长，易错点是忽略切线长的等量转换．解题思路：根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】由切线长定理： ． 的周长为： 已知周长为，且，故，解得． 故答案为：8． 16．4 【分析】本题考查二次函数以一次函数的综合应用，涉及二次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数的最值的求解是解决本题的关键． 先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过设点的坐标，将四边形的面积表示为关于点横坐标的函数，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：连接，过点作轴交于点， 令，则，因式分解可得， 解得，， 所以，， 那么． 令，则，所以． 设直线的解析式为， 把，代入可得， 将代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 设，则． 所以． ， 其中． ． 则． 对于二次函数， 可得． 把代入， 可得． 故答案为：4． 17．(1) (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解题方法和解题步骤是关键． （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ， ， ， 解得：， 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 19．(1)该抛物线对应的函数表达式为； (2)小罗此次射门不能射入球门内，理由见解析． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 20．(1)50，，见解析 (2)720人 (3) 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． 【详解】（1）解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：50，； （2）解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 21．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 设的半径为， ， ， ∵， ∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积． 22．(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关知识是解题关键． （1）连接，由直径可得，从而得到，再利用圆周角定理，得到，由平行线的性质得出，即可证明结论； （2）由角平分线的性质得到，由等腰直角三角形的性质，得到，再结合三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， 平分， ， ， ， ，即， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：是的平分线， ， ，， ， ，， ， ． 23．(1)（） (2)当销售单价定为 28 元/kg 时，日获利最大，最大日获利为 46400 元． (3)a=2 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据日获利每千克获利×销售量即可列出函数关系式； （2）根据题意，利用二次函数的顶点式求得（1）中的函数最大值即可； （3）根据题意列出此时的与的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值时，进而求得． 【详解】（1）解： （）， ∴， （2）解： ， ，对称轴为， 时，取得最大值，最大值为元， 答：当售价为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元． （3）解：当元时，网络平台将向商家收取元/（）的相关费用， 此时， ， 此时对称轴为：， ， ， 依题意把销售单价定为29元，日获利最大， 即， 解得． 24．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查圆的综合知识，切线的判定，不规则图形的面积的求法，三角形的内心，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，作出正确的辅助线是做题的关键． （1）先连接，再利用三角形的中位线的性质定理，可得，最后得出即可证明； （2）连接，，，判定，和是等边三角形，再利用等边三角形的性质求出高，最后根据与半圆重合的面积即可求出答案； （3）根据三角形内心的定义，得出角的关系式，再通过设，利用四边形的内角和求出的值，进一步判定为等边三角形，最后根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图， 连接， ，， 点，点分别为，的中点， ． ， ． 是半圆的半径， 是半圆的切线． （2）解：如图， 连接，，， 过点作于点． 是半圆的直径， ． ， ． ， ， 是等边三角形， ． ，， 和是等边三角形， ， ． ， ，，， 与半圆重合的面积． （3）解：当点在半圆上时， 点是的内心，是半圆的直径， ，，， ，． ，， ， ． 设， 则， ． 由四边形的内角和为可得， ， 解得，， ， 为等边三角形， ， ． 答：当点在半圆上时，的度数为． 25．(1) (2)四边形的最大面积为，此时 (3)存在，F点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，中点坐标，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 利用两点式求函数的解析式即可； 求出直线的解析式为，设，，则四边形的面积的面积的面积，然后利用二次函数的性质，求得答案； 设，，根据对角线分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴不妨设， 将点代入，得， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为，代入，， ， ∴， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∵，， ∴， 四边形的面积的面积的面积， ∵， 当时，四边形的最大面积为，此时； （3）解：存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴、的中点为， 不妨设， 设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图所示： 连接, ∵四边形是平行四边形， ∴、的中点为， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述：F点坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $