河南省洛阳市第一高级中学英才部2025-2026学年高二上学期数学周练试卷（12.7）

官)洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 洛一高英才部2024级数学周练试卷 2025.12.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. ,已知椭圆C土1>b>0)的右焦点为，，离心率为，过马的直线/交C于4B两点， 若△AFB的周长为4√3，则C的方程为 4+上 331 83+y2-1 2*41 5+ 京后=1(a>0,>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于AB两 2.已知双曲线y 点.设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d和d,,且d+d,=6,则双曲线的方程为 ,=1 Bxy -=1 -=1 -=1 412 124 39 93 知，g是双曲线冫冷Q>0b>0的两焦点，以线段召为边作三角形M四2，若边M 中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 A.4+2V5 B.3-1 C.3+1 D.W3+1 2 4.已知直线I交椭圆二+二-1于AM、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若A5MN的重心恰为椭 2016 圆的右焦点，则直线1的方程为 A.5x+6y-28=0B.6x-5y-28=0 C.6x+5y-28=0 D.5x-6y-28=0 5.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足，则线段PP的中 点M的轨迹方程为 4+上-10y>0) BE+上=10y>0) c上+=10y>0) D兰+=10w>0) 164 168 164 168 6已知箱园C等+芳-a6>0的左、右顶点分别为44，且以线段4私为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为 第1页共4页 冒洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 BV② D 3 3 3 3 7.已知A(0,1),B(1,2),C在T:x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC的面积 A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 8,设E,E是双曲线，0二a>0.b>0的左、石焦点，O是坐标原点，过马作C的一条渐近线 的垂线，垂足为P.若PE=√61OPI,则C的离心率为 A.5 B.2 C.5 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点4，，01,0，P为椭圆兰+二-1上的动点，则P4+1PO的 43 A.最大值为4+√5 B.最大值为4+√5C最小值为4-√3 D.最小值为4-√5 10.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0),B(0,2),则 A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，PB=3V2 D.当∠PBA最大时，|PB=3W2 双曲线C名片a>0h>0的左、右焦点分别是尽、R,左、右顶点分别为4,4，以5g为 直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且∠V4M= 6，则 1∠44-8 B.M4=2MAC.的离心率为V3D.当a=√2时，四边形AMA的面积为8√ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.设双曲线C。a>0.b>0的左右焦点分别为，R,过，作平行于y轴的直线交C于4B两减 若|EA=13,ABF10,则C的离心率为 1以设点P在辅服r号+茶=1止，只只为椭国r,的为个生点，线膜RP交箱园，号+若=1小点Q, 若△F,PQ的周长为8，则线段FQ的长度为 第2页共4页 洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 姓名 班级 分数 14.己知双曲线c:女- a b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，E.点A在C上，点B在y轴上， 2 FA⊥FB,EA=-二F,B，则C的离心率为 答题卡 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 12. 13. 14. 四、解答题：本题共2小题，共27分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 5.已知椭圆C。+总=a>b>0)的腐心率为2，长轴长为4 (1)求C的方程； (2)过点(0，-2)的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为√2，求|AB|. 第3页共4页 看洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 16已知双由线R芹卡=a>060)的两条湖近线分别为4：y-2x,4y-2x (1)求双曲线E的离心率； (2)如图，O为坐标原点，动直线1分别交直线，I,于A,B两点(A,B分别在第一，四象限)，且△OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线1有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的 方程；若不存在，说明理由， y 1.u 第4页共4页洛陽市第一高級中學 UOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 洛一高英才部2024级数学周练答案2025.12.7 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D B A D A C BD ACD ACD 12. 3 13.√4+1 14.35 5 7.【解析】设曲线上一点为(a,b),则ad2-b2=1,则a=Vb2+1, 2--1,AB方程为y-1=x,即x-y+1=0, 根据点到直线的距离公式，(a,b)到AB的距离为口-b+-V+1-b+1P+1-b+1 √2 2 设fb)=VB2+1-b= b2+1+b 由于b≥0，显然(b)关于b单调递减，f(b)ms=f(O),无最小值， 即△ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值， 又AB一定，故面积有最大值，无最小值. 故选A, 8.【法1】不妨设一条渐近线的方程为y=。x,则到y=bx的距离d=bc=b, a a √a2+b2 在Rt△F,PO中，|F,O=c,所以PO=a,所以|PF=V6a, 又|FO=c,所以在△FPO与Rt△F,PO中，根据余弦定理得 os∠poR=+c2-(W6a 2ac =-co8∠PoR,=-0, 即3a2+c2-(N6a)2=0,得32=c2.所以e=C=5.故选C. 【法2】IPo=a,IPE=V6a,1PE=V6a, 由中线长定理得，21OP+2 FOPAPFP+PFP, 2a2+2c2=6a2+b2,c2=3a,e=v5. 9.【解析】Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为Q'(-1,0), PA+PO=PA+(4-PO)=4+P4-PO. :PA-PQ川的取值范围是[-40'A01],即[-5，√]， 第1页共？页 洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 所求最大值为4+√，最小值为4-√5，选B,D. 10.【解析】圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4， 直线AB的方程+y=1为，即x+2y-4=0, 42 圆心M到直线AB的距离为5+2x5-4_15、4,所以点P到直线AB的距离的最小值为 √12+22 55 11W5 5 4<2,最大值为小5-4<10，A逅项正确，8选政错灵.如下图所示， 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM,可知PM⊥PB, |BM=V(0-5)2+(2-5)=V34,MP=4,由勾股定理可得BP=VBM-MP=3W2,CD正确. 故选ACD 11.【解析】不妨设渐近线为y=bx,M在第一象限，V在第三象限， 2 对于A,由双曲线的对称性可得4MA,N为平行四边形，故∠AMA=π-刀-云，故A正确： 66 对于B, 【方法1】因为M在以FF,为直径的圆上，故FM⊥F,M且MO=c, x号+=c2 设M(x,),则 %b 6故4上44， ,故 xo=a xo a 由4得AA-石枚u4-u45,即u4-2,放刀结误： 第2页共？页 冒洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 M 【方法2】因为mAM04-合c2-+b,则coAM04名 又因为以FF,为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N,则OM=c, 则若过点山往x轴作垂线，垂足为H,则o列=cCa=QA,则点：与4，(0重合，则4上x轴， 则MA,=Vc2-d2=b A(H 【方法3】在△OM4,利用余弦定理知，M4,P=oM+OA,P-2pMpA,|cos∠MOA,, 即MA,f=c2+a2-2ac.a-b,则A,=b, 则△44M为直角三角形，且∠44石，则24=4，故B错误： 对于C, 【方法1】因为M0=4+MA),故4MO=M4+2MAM4+M4, 由B可知A,=a,4=256, 3 e2受片的.- 第3页共7页 ◎洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 故离心率e=√13，故C正确： 【方法2】因为 -品5，名2，则：台昏--aw=正，放cE确 AA,2a 2 对于D,当a=√2时，由C可知e=√3，故c=√26， 故万=26，故四边形44为2SAA=2×26x25=85,故D正确， 故选ACD 12.【解析】由题可知A8,B三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入弋 有培则a5ae分，到-咨1o,hg公5 0 又4-4=2a,得A=4E+2a=2a+5=13,解得a=4,代入=5得B=20, 故+6-3派：即-6，所以e台月故答案为号 F 13.【解析】25-20=14-9，F,F是两个椭圆的公共焦点，由椭圆定义知 IPOl+IPF E10-10FlOF,24-11, 10+2W14-21Or月P91+|PF+|QF,=8,线段F2的长度为V14+1. 14.【法1】依题意，设AF=2,则B=3m=BA=2a+2, 在Rt△ABE中，9m2+(2a+2m)2=25m2, 则(a+3)(a-)=0,故a=m或a=-3(舍去)， 所以AF=4aAF=2a,B=BF=3a,则AB=5a, w水调会 第4页共7页 冒洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 所以在△AFE,中，cos∠FAF,= 16a2+4a2-4c24 2×4a×2a 5 整理得5c2-9m,故e=S=3V5 B 【法2】依题意，得F(-c,0),F(c,0),令A(x。,y),B(0,t). 因为-，所以(%-cy)--e小，则%c%-子. 又原1死，所以d-R-昏0c0-0r-0,则：=c, 25c4 9m396=l,则25c_16c 义点4在C上，则9，-9。=1'整理得25C4r 9r39%9-1, 所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16ac2=9a(c2-2), 整理得25c4-50c2+9a=0, 则(5c2-9a2)5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2, 又e>l,所以e=35或e-5(舍去，故e=35 5 15.【解析】(1)因为长轴长为4，故a=2. 因为椭圆离心率为兰，故。=， 故五=，故椭圆方程为￡+上=1 42 (2)由题设直线AB的斜率不为0，故可设直线1的方程为x=t(y+2). +2y=4得+22+4ry+4r-4=0, 「x=ty+2) 由 设A(x,),B(x,y2), 则△=48-t2)>0,即-√2<t<√2， 第5页共7页 看洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 4t2 4t2-4 且y+y=- 产+24=产+2 故sae分24Ky-y1v0+y灯-4g-1316@ +2 解得1=士V6 3 32-16×2 3 32 16.【解析】(1)因为双曲线E的渐近线分别为4：y=2x,4,:y=2x,所以b=2,e=V5 2)【法1】由1)知双曲线E的方程为二广=1，设直线1与轴交于点C. a24a2 当1Lx轴时，直线1与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC=a,AB=4a,且△OAB的面积恒为8， “ABHOCH8,a=2,双曲线E的方程为兰y -1. 416 置行在满足条件的双曲线￡，则双曲线的方程只能为石1， 以下证明，当直线1的斜率存在时，双曲线E:士-上=1也满足条件， 416 设直线1的方程为y=:+m,依题意k>2,或k<-2.则C(0, 设A(,),B(x2,y)· 八三心+m它，同理得⅓，则 y=2x 2+k }0Cy十0，m-4-0 y=kx+m 号上=14-)x-2h㎡-16=0,4-<0,4=4m+404-kX0m2+16 、416 =-16(4k2-m2-16)=0,存在总与直线1有且只有一个公共点的双曲线. 法2】由)知双面线E的方程为等1，设直线7的方程为x=0+D 设a8.m分1 21,同理为1 -2t m<21y=2x9为12m 1+2m 第6页共？页 洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 设直线1与x轴交于C,则C(t,0), saoc1n8,广-40-m, x=my+f x2 y2 →(42-1)y2+8y+4(t2-a2)=0,4m2-1<0. a ia=1 直线1与双曲线E有且只有一个公共点，则△=64m2t2-16(4m2-1)(t-2)=0,即 4m2a2+t-2=0,即4ma2+41-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0, =4,若存在满足条件的双曲线E,则双曲线E的方程只能为父上 4161. 【法3】当直线1不与x轴垂直时，设直线1的方程为y=x+,A(x,),B(x2,2)· 依题意得k>2或k<-2. y=kx+m 2-y2=0→(4-)x2=2kmx=m=0，龙=442 S,ae=5 Ai∠A0B=8,in∠AOB=4, 以G+配+少mAOB=8,化简得x三4，(4，m=4 y=kx+m x2y2,→(4-k2)x2-2hx-m2-4=0,4-k2<0. a ia=1 △=4k2m2+4(4-k2)(2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4, 当1⊥x轴时，由△AOB的面积等于8可得1：x=2, 又易知1：x=2与双曲线二-二-1有且只有一个公共点。 416 综上所述，存在总与1有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为兰-广 4161. 第7页共？页看洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 洛一高英才部2024级数学周练答案2025.12.7 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D B A D A C BD ACD ACD 12. 3 13.V14+1 14.3V5 2 5 7.【解析】设曲线上一点为(a,b),则a2-b2=1,则a=Vb2+1, 2=1=1,4B方程为y-1=x,即x-y+1=0, 1-0 根据点到直线的距离公式，(a,b)到AB的距离为口-b+1_B+1-b+1VB+1-b+1 V2 √2 设f(b)=Vb2+1-b= 1 b2+1+b 由于b≥0，显然f(b)关于b单调递减，f(b)mx=f(0),无最小值， 即△ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值， 又AB一定，故面积有最大值，无最小值。 故选A. 8.【法1】不妨设一条渐近线的方程为y=。x,则5，到y=bx的距离d=bc=b, va2+b2 在Rt△FP0中，|F,0=c,所以PO=a,所以PF=V6a, 又FO=c,所以在△FPO与Rt△F,PO中，根据余弦定理得 osEP0R-d+c6N6a-ms∠P0g=-8, 2ac 即3a2+c2-(6a)2=0,得3a2=c2.所以e=C=V3.故选C. 【法2】IP0=a,IPE=V6a,IPF,=6a, 由中线长定理得，2OP2+2|FO2=PF2+|PFP, 2a2+2c2=6a2+b2,c2=3a2,e=V3 9.【解析】Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为Q'(-1,0), 第1页共8页 管洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 |PA|+|PQ=PA|+(4-|PQ'D=4+|PA|-|PQ'I. :PA-PQ'I的取值范围是[-|A0',A9门，即[-V5,V5], 所求最大值为4+√5，最小值为4-√5，选B,D. 10.【解析】圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4， 直线AB的方程+=1为，即x+2y-4=0, 圆心M到直线4B的距离为5+2x54-=15>4,所以点P到直线AB的距离的最小值为 V12+22V55 15-4<2,最大值为15+4<10，A选项正确，B选项错误如下图所示， 5 5 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM,可知PM⊥PB, BM=V0-5)2+(2-5)2=V34,MP=4,由勾股定理可得BP=VBM-MP=3V2,CD正确. 故选ACD b 1.【解析】不妨设渐近线为”=日，M在第一象限，N在第三象限， 对于A,由双曲线的对称性可得4M4,N为平行四边形，故∠AM4,=元-5亚=严，故A正确： 66 对于B, 【方法1】因为M在以FF,为直径的圆上，故FM⊥F,M且MO=c, x+=c2 设M(x,yo),则 ,故 xo=a Yob %=b3故M4,144, xo a 由A得∠44=吾，放MA=M4x5,即wA-25MA枚8错误： 第2页共8页 膏洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 M ON F 【方法2】因为am∠M04-名，c=g2+6,则eos∠w04=是 又因为以F,F,为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N,则OM=C, 则若过点M往x轴作垂线，垂足为H,则OH川=c.a=a=OA,,则点H与4，(H)重合，则MA,1x轴， 则MA,=Vc2-a2=b. 【方法3】在△OMA,利用余弦定理知，MA,=OM+OA2-2OMOA,cos∠M0A2, 即MA,=c2+a2-2ac.a=b2,则MA|=b, 则△44M为直角三角形，且∠AM4=石，则2M4=5MA,故B错误： 对于C, 【方法1】因为Mo=(MA+MA),故4Mo=M4+2MA.M4+MA, 由B可知MA=b,M4|=2y56, 3 第3页共8页 洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 故4c2=b2+462+2xb 3 25bx5_13b2=3c2-a),即c2=13a2, -b× 323 3 故离心率e=√13，故C正确； 【方法2】因为 名5，则片2，则-后+号-+=，枚c正确 。b2 44l2a 对于D,当a=√2时，由C可知e=3,故c=√26， 故h=2V6,故四边形NM4为256=2x×26×25=85,故D正确， 故选ACD. 12.【解析】由题可知4,8，月三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=℃代入。-广 分1 b32 得y=±，即AeBe,,故AB=2沙=10，A=左-=5 a 又4-AF=2a,得AF=AF+2a=2a+5=13,解得a:4,代入分=5得b2=20, a 故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e=￡=6=3 a=故答案为 13.【解析】：25-20=14-9，∴F,F2是两个椭圆的公共焦点，由椭圆定义知 |PQ1+|PF2=10-|QE,1QE=2W14-|QEI, 10+2W14-2QEHP9+|PF|+|QE=8,线段F2的长度为V14+1. 14.【法1】依题意，设AF=2m,则BF=3m=BF,AF=2a+2m, 在Rt△ABF,中，9m2+(2a+2m)2=25m2, 则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m（舍去)， 第4页共8页 )洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 所以AE=4a,AF=2a,BF=BF=3a,则AB=5a, 故coS∠FAF,= AF4a 4 AB 5a 5' 所以在△4f5中，cos∠R4B=16a+4a2-4c2_4 2×4a×2a5 整理得5c2=9a',故e=C-3V5 a 5 y个 【法2】依题意，得F(-c,0),F(C,0),令A(x,yo),B(0,). 因为a-,所以x-6w=-e小，则%=子 又A1FE,所以F西=写号c小--=0，则r-4, a2方=1'整理得25c24 25c42 又点A C上，则9-9 9a96=1,则25c216c2 9096=1, 所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2), 整理得25c4-50c2+9a4=0, 则(5c2-9a2)5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2, 又e>1,所以e-35或e-5(舍去，故e-35 5 5 5 15.【解析】(1)因为长轴长为4，故a=2. 因为椭图商心率为兰，故e=, 故b=2,故椭圆方程为女+上=1 42 第5页共8页 管洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 (2)由题设直线AB的斜率不为0，故可设直线I的方程为x=t(y+2). x=t(y+2) 由 x2+2y2= 得(2+2)y2+412y+412-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则△=4(8-t2)>0,即-√2<t<V2, 4t2 4t2-4 且%+%=产+24=P+2’ 故Sasx2x刘y-%H0+%P-4-l 、132-160=2, t2+2 解得1=±V6 数a-y-点2 2 03=5 2 32 16.【解析】(1)因为双曲线E的渐近线分别为4：y=2x,,:y=-2x,所以=2，e=5. a ②【法1】由@知双商线E的方程为等名-1，设直线内x轴交于点C 当1⊥x轴时，直线I与双曲线E有且只有一个公共点，则OC=a,AB=4a,且△0AB的面积恒为8， EB:0CE8,a=2,双曲线E的方程为父D 416 若存在满足条件的双曲线E,则双由线￡的方程只能为。-广 1 416 以下证明，当直线的斜率存在时，双曲线E:女-广=1也满足条件 416 设直线的方程为y=:+m,依题意k>2,或k<-2.则C(-”,0). k y=kx+m 设A(x,y),B(x2,y2). (y=2x →4=2-k 2m,则 =2m,同理得为=2+k 第6页共8页 管洛陽市第一高級中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 5moC128,m=4- y=kx+m 文_y-1→(4-k)r-2kmr-m2-16=0,4-k2<0,4=4k2m2+44-k2Xm2+16 416 =-16(4k2-m2-16)=0,存在总与直线1有且只有一个公共点的双曲线. 【法2】由@0刻双曲线￡的方程为学女-1，设直线的方程为x=侧+， 设，以.m分2x月2m 1 x=my+t 2t,同理y2= -2t 1+2m 设直线1与x轴交于C,则C(t,0), sa号ocI%为r70+n8,产=40-m) x=my+t x2y2,→(4m2-10y2+8my+42-a)=0,4m2-1<0. a24a1 直线1与双曲线E有且只有一个公共点，则△=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,即 4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+41-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0, 口=4，若存在满足条件的双曲线E,则双曲线E的方程只能为女-上=1. 416 【法3】当直线1不与x轴垂直时，设直线1的方程为y=kx+m,A(x,y),B(x2,y2). 依题意得k>2或k<-2. y=kx+m .-m2 14x2-y2=0 →(4-k2)x2-2k-m2=0,6=4-k’ ⑧B-0 A0B sin ZA0B=8,sin∠A0B4 以+居+sn∠A0B=8,化简得，=4，=4，m=4 y=kx+m x2y2,→(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,4-k2<0. a24a1 第7页共8页 洛陽市第一高额中學 LUOYANG NO.I SENIOR HIGH SCHOOL 自強厚德追求卓越 △=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4, 当1⊥x轴时，由△4OB的面积等于&可得1：x=2, 又易知1：x=2与双曲线女二=1有且只有一个公共点. 416 综上所述，存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为。艾-1. 416 第8页共8页 洛一高英才部2024级数学周练试卷 2025.12.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知椭圆的左右焦点为,，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为 2.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 3.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 4.已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰为椭圆的右焦点，则直线的方程为 5.已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 6.已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 7.已知，在上，则的面积 有最大值，但没有最小值 没有最大值，但有最小值 既有最大值，也有最小值 既没有最大值，也没有最小值 8.设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知点为椭圆上的动点，则的 最大值为 最大值为 最小值为 最小值为 10.已知点在圆上，点,，则 点到直线的距离小于 点到直线的距离大于 当最小时， 当最大时， 11.双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则 的离心率为 当时，四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点，若，则的离心率为___________． 13.设点在椭圆上，为椭圆的两个焦点，线段交椭圆于点.若的周长为8，则线段的长度为 ． 姓名___________班级_______________分数____________________ 14.已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 12.__________________. 13._________. 14.___________. 四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知椭圆离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 16.已知双曲线的两条渐近线分别为，. (1)求双曲线的离心率； (2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $