河南省洛阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期数学周练试卷（11.30）

11.30周练 一．选择题 1．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣3 B．k＞﹣2 C．k＞﹣1 D．k＞0 2．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且|AB|＝2，P是圆上任意一点．线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（　　） A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 3．已知F1、F2是椭圆的两焦点，点M在椭圆C上，则的最小值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 4．已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线x2﹣＝1上，若|PF2|＝8，则|PF1|＝（　　） A．6 B．10 C．2 D．6或10 5．已知椭圆，直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于A，B两点，F1，F2分别为椭圆的左、右两个焦点，直线AF2与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（　　） A． B．﹣ C． D． 6．已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为（x﹣1）2+y2＝1和（x+1）2+y2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二．多选题 （多选）7．设椭圆的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列说法中正确的是（　　） A．|PF1|+|PF2|＝4 B．椭圆C的离心率 C．△PF1F2面积的最大值为 D．以线段F1F2为直径的圆与直线x+y﹣2＝0相离 （多选）8．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A，直线l：mx+y﹣3m＝0与C交于点M，N，则（　　） A．直线l恒过点F2（3，0） B．当直线l∥AB时， C．△MNF1的周长为40 D．点B到直线l的最大距离是 （多选）9．已知椭圆C：，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（　　） A．存在P使得 B．cos∠F1PF2的最小值为 C．，则△F1PF2的面积为 D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 三．填空题 10．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y＝0，且C的实轴长为4，则C的方程为 　 　 ． 11．已知椭圆C：+＝1，过点P（2，1）的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为　 　 ． 12．已知椭圆的右焦点为F，M为椭圆Γ上的动点，点N在以MF为直径的圆上，若|ON|的最大值为3（O为坐标原点），则椭圆Γ的短轴长　 　 ． 四．解答题 13．（1）求焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），且过点A（4，﹣1）的双曲线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程． 14．设椭圆的左，右焦点是F1，F2，离心率为，上顶点坐标为． （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求焦点三角形F1PF2的周长和面积． 15．已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若直线y＝x+1与椭圆C相交于A、B两点，且△AOB的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A D B C 二．多选题（共3小题） 题号 7 8 9 答案 ABD ABD BC 一．选择题（共6小题） 1．【解答】解：由题可得2k+4＞k+3＞0，解得k＞﹣1， 所以k的取值范围为{k|k＞﹣1}． 故选：C． 2．【解答】解：连接BQ， 因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以|BQ|＝|PQ|， 因为|AQ|+|PQ|＝|AP|＝4＞|AB|＝2，所以|AQ|+|BQ|＝|AP|＝4＞|AB|＝2， 所以点Q的轨迹是以A，B为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆． 故选：C． 3．【解答】解：根据题意可知，在椭圆中，a＝3，b＝2，， 所以、， 设点M（x，y），其中﹣3≤x≤3，且，故， 所以，， 故， 故当x＝0时，取最小值﹣1． 故选：A． 4．【解答】解：点P在以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线x2﹣＝1上，可得a＝1，c＝＝3． 已知|PF2|＝8，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，即||PF1|﹣8|＝2，∴|PF1|＝6或|PF1|＝10． 由于c﹣a＝2，故|PF1|＝6或10． 故选：D． 5．【解答】解：因为直线y＝kx（k≠0）过原点， 设A（x1，y1），D（x2，y2）， 此时B（﹣x1，﹣y1）， 所以， 因为点均在椭圆上， 所以， 两式作差得， 即， 则． 故选：B． 6．【解答】解：设圆（x﹣1）2+y2＝1和圆（x+1）2+y2＝1的圆心分别为A，B，半径分别为r1，r2． 则椭圆的焦点为A（﹣1，0），B（1，0）． 又|PA|+|PB|＝2a＝4，|PA|+r1≥|PM|，|PB|+r2≥|PN|， 故|PM|+|PN|≤|PA|+|PB|+r1+r2， 当且仅当M，N分别在PA，PB的延长线上时取等号． 此时|PM|+|PN|最大值为|PA|+|PB|+r1+r2＝4+1+1＝6． 故选：C． 二．多选题（共3小题） 7．【解答】解：椭圆， 则a2＝4，b2＝3，c2＝a2﹣b2＝1， 即椭圆的长半轴长a＝2，短半轴长，半焦距c＝1， 对于A，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，A正确； 对于B，椭圆C的离心率，B正确； 对于C，设点P纵坐标为y0，则，△PF1F2的面积，C错误； 对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心（0，0）到直线x+y﹣2＝0距离，直线与圆相离，D正确． 故选：ABD． 8．【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A， 则a2＝10，b2＝1，c2＝9，B（0，1），，F1（﹣3，0），F2（3，0）， 对于A，直线l：mx+y﹣3m＝0可变形为m（x﹣3）+y＝0， 令， 即， 即直线l恒过点F2（3，0）， 即A正确； 对于B，当直线l∥AB时，， 即， 即B正确； 对于C，△MNF1的周长为|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|＝4a＝， 即C错误； 对于D，当直线l⊥BF2时，点B到直线l的距离最大，且最大值为|BF2|＝＝， 即D正确． 故选：ABD． 9．【解答】解：设椭圆C短轴上下顶点分别为D，E， 由题知椭圆C：中，a＝5，b＝4，c＝3， 所以F1（﹣3，0），F2（3，0），A（﹣5，0），B（5，0），D（0，4），E（0，﹣4）， 对于A选项，由于，，， 所以∠F1PF2的最大角为锐角，故不存在P使得，A错误； 对于B选项，记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝10， 由余弦定理：＝， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，B正确； 对于C选项，由于， 由焦点三角形面积公式得到，C正确； 对于D选项，设P（x，y）（x≠±5），A（﹣5，0），B（5，0）， 则，，， 于是，D错误． 故选：BC． 三．填空题（共3小题） 10．【解答】解：由已知得，＝2，2a＝4，所以a＝2，b＝4， 所以双曲线的方程为﹣＝1． 故答案为：﹣＝1． 11．【解答】解：已知椭圆C：+＝1，过点P（2，1）的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点， 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 由中点坐标公式可得， 所以， 由， 两式作差得+＝0， 整理得＝﹣， 即•＝kAB＝﹣， 所以kAB＝﹣， 因此直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2）， 即3x+2y﹣8＝0． 故答案为：3x+2y﹣8＝0． 12．【解答】解：设MF的中点为H，|MF|＝2r，椭圆Γ的左焦点为F1，连接MF1， 则|ON|的最大值为|OH|+r， 而O，H分别为F1F和MF的中点，所以|MF1|＝2|OH|， 从而＝， 解得m＝8， 故椭圆I的短轴长为2＝． 故答案为：4． 四．解答题（共3小题） 13．【解答】解：（1）已知双曲线的焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0）， 设双曲线方程为， 又点A（4，﹣1）在双曲线上， 则， 即m2＝8， 即双曲线的标准方程为； （2）已知所求双曲线与双曲线有相同的渐近线， 不妨设，其中λ≠0， 又点在双曲线上， 则， 即λ＝﹣2， 即所求双曲线的标准方程为：． 14．【解答】解：（1）由题意：离心率为，上顶点坐标为． 知，解得a＝3， ∴椭圆的方程为． （2）由（1）知，∴， 又∵P为椭圆上一点，∴|PF1|+|PF2|＝2a＝6， ∴焦点三角形F1PF2的周长． 在△F1PF2中，由余弦定理，得， 即 ①， 由|PF1|+|PF2|＝6平方，得 ②， ②﹣①，整理得|PF1|•|PF2|＝8， 所以三角形F1PF2的面积． 15．【解答】解：（1）因为椭圆上顶点的坐标为（0，b），左、右顶点的坐标分别为（﹣a，0）、（﹣a，0）， 所以， 即a2＝3b2， 又a2＝b2+c2， 所以， 则椭圆C的离心率； （2）不妨设A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得4x2+6x+3﹣3b2＝0， 此时Δ＝48b2﹣12＞0， 解得， 由韦达定理得，， 所以|AB|＝＝＝， 又原点O到直线AB的距离， 所以△AOB的面积S＝＝＝， 解得b＝1， 故椭圆C的方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $