精品解析：江苏省苏州园区金鸡湖学校2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

2025-2026学年第一学期期中考试 初二年级数学学科 2025.11 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚，保持答题卷卷面清洁． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：A、右边含分式，不是整式； B、左边是单项式，不是多项式； C、满足定义； D、是整式乘法； 故选：C． 4. 如图，已知，要使，不能添加的条件是（ ） A. 平分 B. 平分 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、、，注意：用判定全等时，角必须是两边的夹角，、不能判定全等；熟练掌握并灵活运用适当的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐一判定即可得答案． 【详解】解：A．添加平分，则，利用不能使，故该选项符合题意， B．添加平分，则，利用能使，故该选项不符合题意， C．添加，利用能使，故该选项不符合题意， D．添加，利用能使，故该选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度，即可得出结果． 【详解】解：点表示的数为，点表示的数为， ， ，， ， 点表示的数为， 故选：D． 6. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提．由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得于， ， ， 又，， ， ， 故选：B． 8. 公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明，推出，再利用勾股定理构建方程求出可得结论． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形边长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形，以弦图为背景的计算题，根据正方形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题（本答题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 10. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，先将化简，再令其被开方数与的被开方数相等，建立方程求解． 【详解】解：， 被开方数为， 是最简二次根式与是同类二次根式， 可得：， 解得：． 故答案为：． 11. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 12. 若，且n为正整数，则n的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算；通过计算的平方值，并与相邻整数的平方比较，确定其整数范围． 【详解】， ，， 由于， 因此， 所以． 故答案为：． 13. 已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，用勾股定理解三角形，判断三边能否构成直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据线段垂直平分的性质得出，从而可用表示出，再证明是直角三角形，，从而可利用勾股定理求得，进而求得． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是边上的角平分线，过点作，垂足为，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，过点作于点，由，可得，根据勾股定理求出，由角平分线的性质得到，利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， 平分，，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识．将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，连接，作直线，交直线于点，交直线于点，由旋转可知，，，证明得到，推出，点在直线上运动，当时有最小值，求出，得到，推出． 【详解】解：如图，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，连接，作直线，交直线于点，交直线于点， 直线，垂足为点， ， 由旋转可知，，， ， ， ， ， ， 点在直线上运动，当时有最小值， 在中，，， ， ， 在中，，， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，满分68分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文案说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的乘法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 将下列多项式分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用分式的运算规则将分式进行化简，然后将x值带入即可． 【详解】解：原式 代入 原式 【点睛】本题考查分式的基础运算，掌握运算规则且细心是本题关键． 21. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵为的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，为的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 23. 为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，某施工队计划对一条长度为1200米的河道进行清淤施工，在完成了其中一段长度为240米的河道清淤后，由于清淤设备的升级，现每天完成清淤施工的河道长度是原计划的倍，因此，实际整个施工过程比原计划提前4天完成全部任务．该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为多少米？ 【答案】该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为60米 【解析】 【分析】设该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为米，根据题意列方程（完成清淤施工长度每天完成清淤施工施工天数）求解即可． 【详解】解：设该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为60米． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意列出方程是解题的关键，注意：分式方程需检验． 24. 阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： （1）用“配方法”分解因式： （2）用“分组分解法”分解因式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法与分组分解法，因式分解； （1）根据配方法因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 25. 如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度；（将计算结果化至最简） （3）连接、，若，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：、分别是、边上的高， ， 是线段的中点， ，， ， 是线段的中点， ； （2） （3） 证明：，、分别是、边上的高， ， ， ，是线段的中点， ，， ，， ，， ， 由（1）得， 是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据是线段的中点，得到，，推出，结合是线段的中点，即可得证； （2）由，，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）由题意可得，进而得到，由，是线段的中点，得到，，推出，，根据三角形的外角性质可得，，进而求出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，是线段的中点， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 26. 我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则______，______； （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，正确理解“十字分式方程”的定义是解题的关键． （1）根据“十字分式方程”的定义进行求解即可； （2）根据题意得，、，通过提公因式和完全平方公式进行化简计算即可； （3）关于x的“十字分式方程”转换为关于的 “十字分式方程”，再进行化简求值即可． 【小问1详解】 解：可化为， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意得，的两个解分别为，， 则、， ； 【小问3详解】 解：可化为， 设，则原方程可化为， 令的解为、， 由于可得，， 则、， ， 由于， 则， 解得、， ∵， 即、， 则、， 因此，． 27. 如图1，四边形是长方形，，，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，交于点．将沿所在直线翻折得到，其中点是点的对应点． （1）如图2，连接，若，直接写出的长为______； （2）连接，若是以为腰的等腰三角形时，求的长； （3）如图3，连接，若的延长线正好经过点，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）的长为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可推出、都是等腰直角三角形，得到，，求出，得到，根据折叠的性质推出，利用勾股定理求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，即可求解； （3）由折叠可得，，，证明，得到，设，则，，根据勾股定理求出，得到，，过点作于点，利用等面积法求出，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 、都是等腰直角三角形， ，， ， ， 由折叠可得，，， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当时， 由折叠可得， ， 设，则， ， ， 解得， ； 当时，过点作于点， ，， ， 由折叠可得，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 由折叠可得，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， ，， 如图，过点作于点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 初二年级数学学科 2025.11 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚，保持答题卷卷面清洁． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，要使，不能添加的条件是（ ） A. 平分 B. 平分 C. D. 5. 如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（本答题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 10. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 11. 若分式的值为0，则x的值是______． 12. 若，且n为正整数，则n的值为______． 13. 已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是______． 14. 如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为______． 15. 如图，在中，，，是边上的角平分线，过点作，垂足为，则的长为______． 16. 如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，满分68分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文案说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 将下列多项式分解因式： （1） （2） 19. 解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 23. 为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，某施工队计划对一条长度为1200米的河道进行清淤施工，在完成了其中一段长度为240米的河道清淤后，由于清淤设备的升级，现每天完成清淤施工的河道长度是原计划的倍，因此，实际整个施工过程比原计划提前4天完成全部任务．该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为多少米？ 24. 阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： （1）用“配方法”分解因式： （2）用“分组分解法”分解因式： 25. 如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度；（将计算结果化至最简） （3）连接、，若，求证：是等边三角形． 26. 我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则______，______； （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 27. 如图1，四边形是长方形，，，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，交于点．将沿所在直线翻折得到，其中点是点的对应点． （1）如图2，连接，若，直接写出的长为______； （2）连接，若是以为腰的等腰三角形时，求的长； （3）如图3，连接，若的延长线正好经过点，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $