精品解析：浙江省乐清市智仁乡中学2025-2026学年上学期九年级数学期中监测试卷

智仁乡中学2025年秋期九年级数学期中监测试卷 一、选择题（30分） 1. 若的半径为，点不在内，则的长（ ） A. 大于 B. 不小于 C. 大于 D. 不小于 2. 下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 7. 一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（ ） A. 15 B. 10 C. 4 D. 3 8. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 有最小值0，有最大值3 B. 有最小值﹣1，有最大值0 C. 有最小值﹣1，有最大值3 D. 有最小值﹣1，无最大值 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（18分） 11. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为______个． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 下列说法中正确的是______．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，且一定过圆心；平分弦所对的两条弧的直径平分弦． 14. 若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________． 15. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 16. 已知：如图，圆的半径为，点是圆内的一点，且，以弦为斜边作，使，则弦的长为______． 三、解答题（52分） 17. 已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； （2）若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 19. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 （1）填空：__________，__________． （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） （3）在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 20. 如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 22. 二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． 求这个函数“倍值点”的坐标； 若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 23. 如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 智仁乡中学2025年秋期九年级数学期中监测试卷 一、选择题（30分） 1. 若的半径为，点不在内，则的长（ ） A. 大于 B. 不小于 C. 大于 D. 不小于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要牢记若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，点不在内， ∴的长不小于， 故选：B． 2. 下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度为； B、最小旋转角度为； C、最小旋转角度为； D、最小旋转角度为； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是B． 故选：B． 3. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 故B错误，不符合题意；C正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意， 故选：C． 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 5. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可 【详解】解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为， 故离对称轴越远处的点的函数值越小， 又，，， 距离由近到远依次为、、， 故， 故选：D． 6. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：l=． 故选D． 【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键． 7. 一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（ ） A. 15 B. 10 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的机会是均等的，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可． 【详解】解：根据题意得： 2÷20%=10（个）， 答：可以估算a的值是10； 故选B． 【点睛】考查了利用频率估计概率，解题关键是首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率． 8. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，则，过圆心点， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键． 9. 已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 有最小值0，有最大值3 B. 有最小值﹣1，有最大值0 C. 有最小值﹣1，有最大值3 D. 有最小值﹣1，无最大值 【答案】C 【解析】 【详解】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值． 解答：解：根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3． 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标． 【详解】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， ，， 点为的中点， ， 故选：B． 二、填空题（18分） 11. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为______个． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案． 【详解】解：设绿球的个数为x个，则这个不透明的盒子中共装有个球， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴绿球的个数为12个． 故答案为：12． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 13. 下列说法中正确的是______．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，且一定过圆心；平分弦所对的两条弧的直径平分弦． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理及其推论逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过弦的中点的直径不一定平分弦所对的两条弧；当弦为直径时，过其中点的直径若不垂直于该弦，则不能平分弧，故原说法错误； 弦的垂直平分线必过圆心，且作为直径垂直于弦，根据垂径定理，它平分弦所对的两条弧，故说法正确； 平分弦所对的两条弧的直径必垂直于弦且平分弦，根据垂径定理的推论，故说法正确； 故答案为：． 14. 若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图像确定相应方程的根，二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称是解题关键. 根据二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称，可得答案. 【详解】解：二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线， 关于的一元二次方程的一个解. ∵与关于对称， , 即， ∴. 故答案为：. 15. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 16. 已知：如图，圆的半径为，点是圆内的一点，且，以弦为斜边作，使，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是作辅助线，得出∠OCD=90°． 作于，连接，可推出，进而根据直角三角形的性质得出，从而得出，进而得出，从而得出，根据勾股定理得，进一步得出结果． 【详解】解：作于，连接， ， ， ， ， ， 设 （舍去）， 故答案为 三、解答题（52分） 17. 已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 【小问2详解】 解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； （2）若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】（1）①； ②如图，即为所求． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，图形旋转，利用对称求最短路径等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； ②根据图形绕原点顺时针旋转的坐标变化规律求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小，根据勾股定理求值即可． 【小问1详解】 解：①点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． ②略 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小， 最小值即为的长，由勾股定理得，， 故答案为：． 19. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 （1）填空：__________，__________． （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） （3）在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】（1）0.705，0.701 （2）0.7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【小问1详解】 解：；； 故答案为：0.705，0.701； 【小问2详解】 解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； 【小问3详解】 解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 20. 如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可求证； （）连接，由垂径定理的推论可得，即得，又由（）得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理的推论等，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， 弧弧， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式．熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理可知， 由等腰三角形的性质得到，再由弧，弦关系证明即可． （2）连接，过点作于点，证明为等边三角形，由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． 22. 二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． 求这个函数“倍值点”的坐标； 若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 【答案】（1）这个二次函数的解析式为； （2）这个函数“倍值点”的坐标为或；的最大值与最小值的差为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）把代入得，然后解方程即可； 因为是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，所以，由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， 整理得：， 解得：或， ∴这个函数“倍值点”的坐标为或； ∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点， ∴， 由得，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，取最小值，当时，取最大值， ∴的最大值与最小值的差为． 23. 如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______． 【答案】（1） （2）①8；②反弹后的小球不经过点， 理由为：∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是， ∴反弹后的抛物线的解析式为， 由①得，代入解析式中，得，解得或（舍去）， ∴设反弹后的抛物线的解析式为， 当时，， ∴反弹后的小球不经过点； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用二次函数的顶点式求解抛物线L的解析式即可； （2）①令（1）中解析式的，解方程即可求得点A的横坐标； ②求反弹后抛物线的解析式，取，求得对应的y值即可作出判断； （3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，进而求得反弹后抛物线与直线的交点的横坐标，进而可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线L的解析式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线L的解析式为； 【小问2详解】 解：①令，由得，， ∴点A的横坐标为8； ②略 【小问3详解】 解：联立方程组，解得 （舍去），， ∴点D坐标为， 由题意，设反弹后的抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴反弹后的抛物线解析式为， 联立方程组，解得（舍去），， ∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10， ∴挡板端点横坐标的取值范围为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $