空间向量及其应用（第一课时）复习课件-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“立体几何与空间向量”专题，覆盖空间向量的线性运算、基本定理、数量积及其应用等核心考点，依据高考评价体系梳理知识清单，明确概念、定理及坐标表示，分析高频考点权重，归纳基底表示、共线共面判断等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识清单+典型例题+方法归纳”的系统设计，以正四面体向量表示、平行六面体基底应用等真题级例题为载体，培养学生数学思维与空间观念，通过基底分解法、数量积公式应用突破考点，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效组织复习。

立体几何与空间向量 空间向量及其应用 知识清单 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有________和________的量 相等向量 方向________且模________的向量 相反向量 长度________而方向________的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或________的向量 共面向量 平行于______________的向量 大小 方向 相同 相等 相等 相反 平行 重合 同一个平面 知识清单 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在________的有序实数对(x，y)，使p＝________． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．{a，b，c}叫做空间的一个基底． ＝λ 唯一 x＋y x＋y＋z 知识清单 3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量a，b的数量积：a·b＝________________． ∠AOB |a||b|cos〈a，b〉 知识清单 4．空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．   向量表示 坐标表示 数量积 a·b _______________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ____________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) __________________ 模 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识清单 【常用结论】 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 热点命题——1.空间向量的线性运算 例1 (1)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．－a＋b＋c 解析：因为M为A1C1与B1D1的交点，所以＝＋＝＋＝＋)＝＝－a＋b＋c. 热点命题——1.空间向量的线性运算 (2)如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝＝＝，M是EG和FH的交点，以{}为基底表示，则＝_________________． 解析：因为＝＝＝＝，所以EH∥BD，EH＝BD， 同理FG∥BD，FG＝BD，所以四边形EFGH为平行四边形， 所以＝＝＝ ＝)＝. 热点命题——1.空间向量的线性运算 方法归纳： 用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来． 一般情况下，可以将未知向量先分解为其中一个已知向量与另一个落在另外两个已知向量平面内的未知向量，再用另外两个已知向量表示新的未知向量即可.将立体几何问题转化为平面几何问题进行研究. 热点命题——1.空间向量的线性运算 1　如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点．设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用基底{a，b，c}表示向量. 2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．－a－b＋c C．a－b＋c D．a＋b＋c 热点命题——2.空间向量基本定理的应用 考向1　非正交基底 例2 (1)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析：A：因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除A； B：因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除B； D：因为a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，所以a＋b，a－b，a＋2b共面，不能构成基底，排除D； C：若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底，C正确．故选C． 热点命题——2.空间向量基本定理的应用 例2 (2)小本5．已知{a，b，c}是空间的单位正交基底．若向量p在基底{2(a－b)，b，2b－c}下的坐标为(1，－2，1)，则向量p的大小为(　　) A．3 B． C．9 D．6 解析：由已知可得p＝1×2(a－b)＋(－2)×b＋1×(2b－c)＝2a－2b－c， a2＝1，b2＝1，c2＝1，a·b＝0，a·c＝0，c·b＝0， 所以p2＝(2a－2b－c)2＝4a2＋4b2＋c2－8a·b－4a·c＋4b·c＝9，所以|p|＝3. 热点命题——2.空间向量基本定理的应用 方法归纳： 1.验证三个向量是否可以成为基底的方法：判断三个向量之间能否相互表示. 2.若{a，b，c}是空间的一组基底，则对于空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得． 热点命题——2.空间向量基本定理的应用 考向2　共线、共面向量定理 例2 (1)已知A(1，3，2)，B(－1，4，1)，C(5，y，z)，若∥，则y＋z＝(　　) A．5 B．4 C．1 D．－5 解析：因为A(1，3，2)，B(－1，4，1)，C(5，y，z)， 所以＝(－2，1，－1)，＝(4，y－3，z－2)， 因为∥，所以＝＝，解得y＝1，z＝4， 所以y＋z＝1＋4＝5. 热点命题——2.空间向量基本定理的应用 例2 (2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝)． ①判断三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内． 解析：共面，理由如下： ∵＝)，∴3＝， ∴＝()＋()， ∴＝＝－， ∴共面． 热点命题——2.空间向量基本定理的应用 例2 (2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝)． ①判断三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内． 解析：由①可知共面，且共过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面， ∴点M在平面ABC内． 热点命题——2.空间向量基本定理的应用 方法归纳： 证明三点共线和四点共面的方法： 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O， ＝x＋y＋(1－x－y) 热点命题——2.空间向量基本定理的应用 2 已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　) A．9 B．－9 C．－3 D．3 解析：∵a，b，c三向量共面， ∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb， ∴解得λ＝－9. 解析：因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且＝a，＝b，＝c， 可得＝＝ ＝)－＝－ ＝－a－b＋c， 例3 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示，并求EF的长；(2)求与夹角的大小． 热点命题——3.空间向量的数量积及其应用 例3 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示，并求EF的长；(2)求与夹角的大小． 热点命题——3.空间向量的数量积及其应用 可得||2＝(－a－b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋a·b－a·c－b·c ＝＝， 即||＝，所以EF的长为. (2)求与夹角的大小． 热点命题——3.空间向量的数量积及其应用 解析：由题意得＝＝－ ＝－) ＝－＝－a＋b＋c， 因此·＝－(a＋b－c)·(－)(a－b－c) ＝(a2－b2＋c2－2a·c)＝(1－1＋1－2×)＝0， 即⊥，即与的夹角为90°. 热点命题——3.空间向量的数量积及其应用 方法归纳： 空间向量的数量积运算有两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算． (1)运用公式||2＝ ·，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (2)设非零向量所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两向量的夹角． 热点命题——3.空间向量的数量积及其应用 3　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 解析：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2， a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ＝＝＝a＋b＋c， |＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. ∴线段AC1的长为. 热点命题——3.空间向量的数量积及其应用 (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 解析：设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝，〉|＝. ＝a＋b＋c，＝b－c， ·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2. | |＝＝＝＝， ∴cos θ＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. $