5.4 第3课时 追及问题与盈余不足问题 课件 2025--2026学年冀教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 5.4 第3课时 追及问题及盈余不足问题 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 情景导入 2.行程问题中常见的量都有什么？   路程 速度 时间 3.行程问题中常见的量之间的数量关系是什么？ 1.行程问题常见题型？ 相向而行---相遇问题 同向而行---追击问题 知识回顾 Administrator (A) - 设计逻辑： 引入背景：通过提问行程问题常见题型，激活学生对行程问题相关知识的回忆。 概念梳理：明确行程问题中的基本要素，为进一步学习追击及等积变形问题打下基础。 教学提示： 引导回忆：引导学生回顾已学的行程问题知识，为新课内容做好铺垫。 基础强化：强调路程、速度、时间三个基本要素及其关系，确保学生对基础知识有深刻理解。 想一想： 阿基米德为了帮助国王辨别皇冠的真假，需要测量皇冠的体积，确定皇冠的密度，聪明的阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？ h r = 情景导入 Administrator (A) - 设计逻辑： 激发兴趣：通过阿基米德测量皇冠体积的故事，激发学生对数学问题解决的兴趣。 启发思考：引导学生思考如何利用已知条件解决问题，培养解决问题的思维。 教学提示： 故事讲解：讲述阿基米德的故事，增加课堂趣味性，提高学生学习积极性。 思考引导：鼓励学生思考阿基米德如何利用排水法测量皇冠体积，引导学生理解等积变形的概念。 追及问题 小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学．一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现 他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他． 问爸爸追上小明用了多长时间？ 获取新知 一起探究 Administrator (A) - 设计逻辑： 问题提出：通过小明和爸爸的追击问题，引出追击问题的概念和求解方法。 思路分析：分析追击问题中的关键要素，建立追击问题的数学模型。 教学提示： 问题具体化：将追击问题具体化，帮助学生理解追击问题的实际情况。 思路指导：指导学生如何根据已知条件，利用速度和时间的关系建立方程。 分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等. 解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示. 据题意，得 180x＋80x=80×5. 答：爸爸追上小明用了4分钟． 解得 x=4. 80×5 80x 180x 1、追击问题=速度差×追击时间=路程差；2、识别相遇问题和追及问题的方法：看方向（相反是相遇，相同是追及）。 dell (d) - 用图示来揭示用“同一个量的不同表示”来列方程，进而解决实际问题的过程. 归纳总结 追及问题： 1.同地不同时：(1) (2) (a为慢者先走的时间） 2.同时不同地：(1) (2) Administrator (A) - 设计逻辑： 知识整合：对追击问题的知识点进行整合，帮助学生形成完整的知识体系。 方法总结：总结追击问题的解题方法，为解决类似问题提供参考。 教学提示： 知识串联：帮助学生将追击问题的知识点进行串联，形成系统的认识。 方法指导：指导学生如何运用总结的解题方法解决其他追击问题。 追及问题解题思路： 追及问题中的等量关系： 速度差×追及时间=追及路程 其中追及时间指快者和慢者共同行驶的时间， 追及路程指慢者先行驶的路程. 追及问题 Administrator (A) - 设计逻辑： 解题思路：总结追及问题的解题思路，强调速度差、追及时间和追及路程之间的关系。 等量关系：明确追及问题中的等量关系，为解题提供理论依据。 教学提示： 思路强调：强调追及问题的解题思路，帮助学生形成清晰的解题步骤。 关系明确：明确速度差与追及时间的关系，指导学生如何根据这一关系建立方程。 例1 某学校七年级学生进行了一次徒步行走活动.带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多久才能追上队伍？此时，队伍已走了多远？ 分析：小王追上队伍，就是小王和队伍走过的路程相等. 即 小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程. 列方程时，量的单位要统一,20min= h. 例题讲解 Administrator (A) - 设计逻辑： 实际应用：通过学校徒步行走活动的例子，将追及问题应用到实际情境中。 问题解决：指导学生如何根据实际问题列出方程，并求解。 教学提示： 情境模拟：模拟实际情境，帮助学生理解追及问题的实际应用。 问题指导：指导学生如何根据已知条件列出方程，并求解。 解：设小王要用xh才能追上队伍，这时队伍行走的时间为（ ）h.依题意，得 解得 答：小王要 h才能追上队伍.此时，队伍已行走了2km. 例2 甲、乙两地相距100km，一列慢车与一列快车同时从甲、乙两地出发，慢车每小时行驶65km，快车每小时行驶85km，快车行驶几小时后追上慢车？ 分析：快车与慢车同时出发，即它们行驶的时间相等. 快车追上慢车，比慢车多行驶的距离即为甲、乙两地的距离. 即：快车行驶路程=慢车行驶路程+100km. 解：设快车出发xh能追上慢车. 依题意，得 解得 x=5. 答：快车出发5h能追上慢车. Administrator (A) - 设计逻辑： 问题分析：通过快车追慢车的例子，分析追及问题中的关键要素。 方程建立：指导学生如何根据追及问题建立方程，并求解。 教学提示： 问题分析：指导学生如何分析追及问题，明确快车和慢车的关系。 方程求解：指导学生如何建立方程，并求解以找到快车追上慢车的时间。 获取新知 一起探究 盈不足问题 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少名学生，共有多少本图书？ 【分析】如果设这个班有x名学生，则图书的本数可以表示为___________本 或___________本. 根据图书的本数可以列方程解决. 解：设这个班有x名学生，根据题意列方程得： 解得：x=45 所以3x+20=3×45+20=155 答：这个班有45名学生，共有155本图书. 赵玉梅 (赵) - 设计逻辑： 问题拓展：通过余缺问题和等积变形问题，拓展学生对一元一次方程应用的认识。 数学思想：融入数学建模思想，指导学生如何将实际问题转化为数学问题。 教学提示： 问题探究：引导学生探究余缺问题和等积变形问题，提高学生的问题解决能力。 建模指导：指导学生如何建立数学模型，运用一元一次方程解决实际问题。 例题讲解 例3 某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400kg，那么余下化肥800kg；如果每公顷施肥500kg，那么缺少化肥300kg；这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？ 【分析】设这块麦田有x公顷，根据题意可得化肥的总数可表示为400x+800，或500x﹣300，根据化肥的总数不变可得方程． 解：设这块麦田有x公顷，根据题意可得：400x+800＝500x﹣300， x＝11．现有化肥数：400x+800＝5200．答：这块麦田是11公顷，现有化肥5200千克． 对于第2个问题，可分设几问，如：化肥为ykg时，由“每公顷施肥400kg，余下800kg”，用含y的代数式表示麦田公顷数是什么？由“每公顷施肥500kg，余下300kg”，用含y的代数式表示麦田公顷数是什么？二者之间有什么关系？怎样列关于y的方程？ 例4 把一个底面直径为40mm、高为300mm的圆柱形塑料杯装满水，再把水倒入一个底面直径为50mm的圆柱形玻璃杯中（没有溢出）.求这个玻璃杯中水的高度. 例题讲解 等积变形问题 等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变 1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( 　　) A.6 cm　　　B.7 cm　　　C.8 cm　　　D. 9 cm B 随堂演练 2.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ） A.12cm B.18cm C.24cm D.30cm D 3.甲、乙两人练习赛跑，从同一地点出发，甲每秒跑7米，乙先跑1秒，结果甲用10秒追上乙，在这个过程中下列说法正确的是(　　) A．乙跑了1秒 B．乙跑了11秒 C．甲跑了11秒 D．甲比乙跑的路程少 B 4.一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 解：设这一支牙膏能用x次. 依题意，得 π×2.52×10×36＝π×32×10x. 解得 x=25. 答：这一支牙膏能用25次. 5.若干辆汽车装运一批货物，若每辆车装运3.5吨，则这批货物还有2吨运不走，若每辆车装运4吨，那么装完这批货物后，有一辆汽车只装3吨．问这批货物有多少吨？有多少辆汽车？ 解：设有x辆汽车，依题意列方程得： 3,5x+2=4x-1 解得x=12 所以4x-1=4×12-1=47 答：这批货物有47吨，有12辆汽车. 6．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？ [解析] 木桶内水面下降的圆柱体体积＝铁质小小圆柱体体积． 解：设木桶内水面下降xcm.由题意得： 解方程得： 答：木桶内水面下降 7.A、B两车分别停靠在相距115千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行30千米，A车出发1.5小时后B车再出发.若两车同向而行（B车在A车前面），请问B车行了多长时间后被A车追上？ 解：设B车行驶了xh后被A车追上. 由题意，得 1.5×50+50x-30x=115. 解得 x=2. 答：B车行驶了2h后被A车追上. 【分析】本题中涉及的等量关系为： A车先行路程 + A车后行路程 - B车路程 = 115千米. 列方程解决余缺、追及问题、几何问题 追及问题 等积变形问题 同地不同时 同时不同地 等长变形 等积变形 余缺问题 根据总数不变列方程 课堂小结 Administrator (A) - 设计逻辑： 知识点回顾：回顾本课时学习的追击问题、余缺问题和等积变形问题的关键知识点。 作业布置：布置相关练习，巩固学生在课堂上学到的知识。 教学提示： 重点回顾：强调追击及等积变形问题中的重点和难点，确保学生能够掌握。 作业指导：提供作业指导，帮助学生在课后能够独立完成练习。 $