专题27.1 图形的相似（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题27.1 图形的相似 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：比例的性质 1 知识点梳理02：比例线段 2 知识点梳理03：平行线平分线段成比例 2 知识点梳理04：黄金分割 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：比例的性质 3 考点2：比例线段 3 考点3：成比例线段 3 考点4：相似图形 4 考点5：相似多边形 4 考点6：相似多边形的性质 5 考点7：由平行判断成比例的线段 6 考点8：由平行截线求相关线段的长或比值 8 考点9：黄金分割 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 14 知识点梳理01：比例的性质 ①基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0） ②合比性质：⇔＝；（b、d≠0） ③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔＝k．（b、d、…、n≠0） 知识点梳理02：比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点梳理03：平行线平分线段成比例 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 知识点梳理04：黄金分割 黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 考点1：比例的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·期末）若，则 ． 【变式训练1】（22-23九年级下·河南驻马店·期中）在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 考点2：比例线段 【典例精讲】（22-23九年级下·上海·期中）直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，图中曲线是地形图中等高线同一条曲线上点的海拔是一样的，如果线段在图中被量得的长是，那么两个地点，间的实际直线距离为 图中表示等高线数据的单位为 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏扬州·期末）若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 考点3：成比例线段 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏淮安·月考）下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（   ） A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果 a，b，c，d是成比例线段，并且，，那么 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·陕西榆林·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A． B． C． D． 考点4：相似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）下列图形不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个圆 C．两个等腰直角三角形 D．两个正方形 【变式训练1】（24-25九年级下·重庆江北·月考）下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·河北·模拟预测）用打印机将如图所示的六边形放大，关于放大后的六边形，下列说法错误的是（   ） A．的对应角也放大 B．放大后内角和不变 C．各对应边放大的比例一样 D．周长也放大 考点5：相似多边形 【典例精讲】（24-25九年级下·江西上饶·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【变式训练1】（23-24九年级下·全国·单元测试）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【变式训练2】（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   考点6：相似多边形的性质 【典例精讲】（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形四边形．则的度数为 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 考点7：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（24-25九年级下·上海虹口·月考）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 【变式训练1】（2026·江西·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图（1），在线段上找一点D，使得将分成两个等腰三角形； (2)如图（2），在的边上找一点F，使得． 【变式训练2】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，直线交轴、轴于、两点．连接，． (1)若点A的横坐标为2， ①求反比例函数的关系式： ②与相等吗？说明理由． (2)是否为定值，若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 考点8：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（2024·河北石家庄·一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·期中）如图，已知在等腰直角中，，，是边上一点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，且，设．    (1)求证：； (2)设四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)取线段的中点，问边上是否存在点同时满足：①；②？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说出理由． 【变式训练2】（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 考点9：黄金分割 【典例精讲】（24-25九年级下·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【变式训练1】（2024·江西·模拟预测）黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，相邻两片叶子错开的角度是按照图1所示的黄金比来排列的．如图2，为满足上述规律的某植物，设相邻两片叶子错开的角度为α，则α的度数约为 （结果保留到）． 【变式训练2】（2024九年级下·江西九江·专题练习）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 2．（2024·山西吕梁·中考真题）如图，在中，，，为中点，为中点，连接并延长交于点，若，则的长为 ． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，是边上任意一点，连接，F为中点，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，连接，则周长的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 5．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．请仅用无刻度直尺按照要求完成作图，保留作图痕迹．          (1)在图①中确定格点P，连结、使得； (2)在图②中作点C关于直线的对称点Q； (3)在图③中线段上找一点R，连接，使得． 基础夯实 1．（24-25九年级下·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行四边形都相似 B．菱形都相似 C．正方形都相似 D．长方形都相似 3．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海崇明·一模）如果，那么的值为 ． 5．（23-24九年级下·山西太原·期中）五边形五边形，相似比为．若，则 ． 6．（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）如图，四边形四边形，若，则 ． 7．（24-25九年级下·上海闵行·期中）已知，求 ． 8．（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长． 9．（25-26九年级下·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 10．（24-25九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 培优拔高 11．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏常州·三模）如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ． 15．（2023·安徽·二模）如图，反比例函数的图象经过的顶点，边与轴交于点，若，，则 ． 16．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 17．（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是 ． 18．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求b，c的值； (2)连接，过点O作交于D，记的面积分别为，求的值； (3)过点A作的垂线交抛物线于点P，求线段的长． 19．（2024·山东济南·一模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 20．（2024·江苏宿迁·一模）如图，已知抛物线过点 (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线过点和且与抛物线交于另一点，与轴交于点，求证：； (3)若点，分别是抛物线与直线上的动点，轴且，求所有符合条件的点坐标． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 图形的相似 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：比例的性质 1 知识点梳理02：比例线段 2 知识点梳理03：平行线平分线段成比例 2 知识点梳理04：黄金分割 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：比例的性质 3 考点2：比例线段 4 考点3：成比例线段 5 考点4：相似图形 6 考点5：相似多边形 8 考点6：相似多边形的性质 10 考点7：由平行判断成比例的线段 11 考点8：由平行截线求相关线段的长或比值 16 考点9：黄金分割 21 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 30 基础夯实 30 培优拔高 35 知识点梳理01：比例的性质 ①基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0） ②合比性质：⇔＝；（b、d≠0） ③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔＝k．（b、d、…、n≠0） 知识点梳理02：比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点梳理03：平行线平分线段成比例 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 知识点梳理04：黄金分割 黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 考点1：比例的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·期末）若，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，得到，代入计算即可． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：． 【变式训练1】（22-23九年级下·河南驻马店·期中）在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了比例尺的应用，根据实际距离图上距离比例尺求解即可． 【规范解答】解：， ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【规范解答】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意； C、由，设， ∴，故C错误， D、，故D正确 故选：D． 考点2：比例线段 【典例精讲】（22-23九年级下·上海·期中）直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了比例线段． 根据得到，，进而得到，根据计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，图中曲线是地形图中等高线同一条曲线上点的海拔是一样的，如果线段在图中被量得的长是，那么两个地点，间的实际直线距离为 图中表示等高线数据的单位为 【答案】 【思路点拨】本题主要考查比例尺，灵活运用比例尺的定义是解题的关键．先换算单位，再计算． 【规范解答】解：， ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏扬州·期末）若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，比例尺，理解比例尺的概念是解题关键．设地图上的距离为，根据比例尺列方程求解即可． 【规范解答】解：设地图上的距离为， 则， 解得：， 即地图上的距离为， 故答案为：． 考点3：成比例线段 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏淮安·月考）下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（   ） A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了成比例线段的定义，若四条线段、、、满足，则它们成比例，准确分析判断是解题的关键． 分别计算各选项的比值即可判断． 【规范解答】对于选项：，不符合题意； 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，符合题意； 对于选项：，不符合题意； 只有选项是成比例线段； 故选． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果 a，b，c，d是成比例线段，并且，，那么 ． 【答案】12 【思路点拨】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键．根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可． 【规范解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：12． 【变式训练2】（24-25九年级下·陕西榆林·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，四条线段满足，即与的比等于与的比。将已知数值代入比例式，解方程即可求出的值。 【规范解答】解：线段，，，是成比例线段， ， 将，，代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 故选：C． 考点4：相似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）下列图形不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个圆 C．两个等腰直角三角形 D．两个正方形 【答案】A 【思路点拨】本题考查了相似的判定，根据相似图形的判定方法求解即可． 【规范解答】解：A、角不一定相等，边不一定对应成比例，故两个菱形不一定相似，符合题意； B、两个圆的半径对应成比例，则两个圆相似，不符合题意； C、两个等腰直角三角形中，有一个直角，两个的锐角，对应相等，则两个等腰直角三角形相似，不符合题意； D、两个正方形中，四个角都是直角，对应相等，对应边成比例，则两个正方形相似，不符合题意； 故选：A ． 【变式训练1】（24-25九年级下·重庆江北·月考）下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【规范解答】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 【变式训练2】（2025·河北·模拟预测）用打印机将如图所示的六边形放大，关于放大后的六边形，下列说法错误的是（   ） A．的对应角也放大 B．放大后内角和不变 C．各对应边放大的比例一样 D．周长也放大 【答案】A 【思路点拨】本题考查多边形的内角和与相似多边形，根据多边形的内角和与相似多边形的性质进行判断即可． 【规范解答】解：用打印机将如图所示的六边形放大后所得图形与原图形相似， 则对应角相等，对应边及周长均放大，内角和不变， 故选：A 考点5：相似多边形 【典例精讲】（24-25九年级下·江西上饶·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】C 【思路点拨】 本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等和等腰三角形，等边三角形，正方形的性质是解决此题的关键．根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【规范解答】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； C、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意； D、各有一个角是的两个等腰三角形，的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（23-24九年级下·全国·单元测试）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【规范解答】解：①②③的邻边之比分别为：， ∴相似的是②③， 故选：B． 【变式训练2】（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【思路点拨】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 考点6：相似多边形的性质 【典例精讲】（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形四边形．则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似多边形的性质．根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【规范解答】解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的性质可知，然后代入计算求解即可，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【规范解答】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练2】（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 【答案】195 【思路点拨】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 考点7：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（24-25九年级下·上海虹口·月考）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 【答案】(1)动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒 (2) ； 不会平行于，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查分式方程的应用和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉平行线对应线段成比例，利用动态的思想列出代数式． （1）设动点Q的速度为x厘米/秒，则动点P的速度为厘米/秒，根据题意列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，利用平行线的性质得到，即有和，即可求得； ②设点P点出发后t秒时，则，，利用平行线的性质得和，结合，即有，经过计算等式不成立，即不存在． 【规范解答】（1）解：设动点Q的速度为x厘米/秒， 根据题意得： ， 解得：，（不合题意舍去） 经检验是原方程根， ∴动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒． （2）解：①∵点Q到达中点， ∴， ∵动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒， ∴， ∵，， ∴， 则，， ∴； ②设点P点出发后t秒时，则，， ∵， ∴，， 若，则， ∴ 解得：此方程无解， ∴不会平行于． 【变式训练1】（2026·江西·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图（1），在线段上找一点D，使得将分成两个等腰三角形； (2)如图（2），在的边上找一点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了利用网格作图，直角三角形斜边中线定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）借助网格中的平行线，利用对应线段成比例，确定线段中点，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行作图即可； （2）由勾股定理得出,确定为等腰三角形，利用矩形对角线的交点确定的中点，利用三线合一得出角平分线和高线，利用网格构成的直角三角形确定,利用余角定理即可确定． 【规范解答】（1）解：如图(1)，点D即为所求. （2）解：如图(2)，点F即为所求． 【变式训练2】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，直线交轴、轴于、两点．连接，． (1)若点A的横坐标为2， ①求反比例函数的关系式： ②与相等吗？说明理由． (2)是否为定值，若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②相等，理由见解答 (2)为定值 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练应用一线三垂直模型构造全等三角形是解答本题的关键． （1）①通过构造得到，进而通过点坐标表示出点的坐标，再代入反比例函数表达式求出值即可． ②根据平行线分线段成比例得到和，然后分别求出和关于的表达式并进行比较即可； （2）同理（1）求出和关于的表达式，然后得到，再结合一次函数表达式推出，即可求出为定值． 【规范解答】（1）解：如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，两条平行线交于点， 在四边形中，， 四边形是矩形， 根据作图可得：， 在和中， ， ， ①设点坐标为，则． ∴点坐标为． ， 解得：， 故反比例函数关系式为； ②由可得：， 由可得：，则， 由可得：，则， ∴． （2）解：设点， 由（1）可知． ∴， 对于直线，令； 令， ∴， ∵， ∴， ∴，即： ∴，同理得：． ∴， ∴， 故为定值． 考点8：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（2024·河北石家庄·一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设点P表示的数是，根据平行线分线段成比例列出方程，解出的值即可． 【规范解答】解：设点P表示的数是， 图中的虚线相互平行， 根据平行线分线段成比例可得，， 解得：， 点P表示的数是． 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·期中）如图，已知在等腰直角中，，，是边上一点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，且，设．    (1)求证：； (2)设四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)取线段的中点，问边上是否存在点同时满足：①；②？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说出理由． 【答案】(1)见解析 (2)，定义域为 (3)存在， 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、二次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作，交于点，证明≌，即可得解； （2）过点作，垂足为点，根据求出解析式，该函数的定义域即根据边的长度来设定； （3）以点为圆心，为直径作，过点作，垂足为点，若与相切，则有成立，据此列方程即可． 【规范解答】（1）证明：过点作，交于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （2）解：过点作，垂足为点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为中点，为的中位线， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 即所求的函数解析式为：，定义域为； （3）解：存在，，理由如下： 如图，以点为圆心，为直径作，过点作，垂足为点， 若与相切，则有成立；    ∵，， ∴， ∵要使能与相切，必须有：， ∴， 解得：， ∴当时，点能同时满足①②． 【变式训练2】（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【思路点拨】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【规范解答】解：如图，延长交的延长线于点G． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 考点9：黄金分割 【典例精讲】（24-25九年级下·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【规范解答】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 【变式训练1】（2024·江西·模拟预测）黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，相邻两片叶子错开的角度是按照图1所示的黄金比来排列的．如图2，为满足上述规律的某植物，设相邻两片叶子错开的角度为α，则α的度数约为 （结果保留到）． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是黄金分割的含义，根据黄金分割的含义可得：，进一步求解即可． 【规范解答】解：根据题意，得， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式训练2】（2024九年级下·江西九江·专题练习）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，则，根据黄金分割得到，代入即可求解． 【规范解答】解：设，则， ∵点P为的黄金分割点（）， ∴， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，，计算求解即可． 【规范解答】， ，则， 又∵已知点是线段的黄金分割点，， ， ， 解得：． 故答案为：． 2．（2024·山西吕梁·中考真题）如图，在中，，，为中点，为中点，连接并延长交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据勾股定理即可求出答案． 【规范解答】解：过点D作，交于H， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 解得（舍去负值）． 故答案为：． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，是边上任意一点，连接，F为中点，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，连接，则周长的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【思路点拨】连接并延长，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，证明以及四边形为正方形，并证明，易得即，即为等腰直角三角形，可知点的运动轨迹在过点且与夹角为的直线上；作点关于直线的对称点，连接，当点在同一直线上时，可有取最小值，即取最小值，此时周长取最小值，然后证明，，利用勾股定理可解得的值，即可获得答案． 【规范解答】解：如下图，连接并延长，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点， ∴，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形，， ∴点的运动轨迹在过点且与夹角为的直线上， 如下图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， 当点在同一直线上时，可有取最小值，即取最小值， 此时周长取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时周长． 故选：C． 5．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．请仅用无刻度直尺按照要求完成作图，保留作图痕迹．          (1)在图①中确定格点P，连结、使得； (2)在图②中作点C关于直线的对称点Q； (3)在图③中线段上找一点R，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据网格特点作出图形即可； （2）取格点G，连接，根据网格特点可判断，取格点M、N，连接交于Q，根据平行线分线段成比例即可判断； （3）取格点M、N，连接，，，交于R，则是等腰直角三角形，然后根据平行线的性质即可得出． 【规范解答】（1）解∶如图，点、即为所求， ； （2）解：如图，点Q即为所求， ； （3）解：如图，点R即为所求， ． 基础夯实 1．（24-25九年级下·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【规范解答】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·四川德阳·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行四边形都相似 B．菱形都相似 C．正方形都相似 D．长方形都相似 【答案】C 【思路点拨】本题考查了命题的真假，相似多边形的判定，根据对应边都成比例，对应角都相等的多边形是相似多边形进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、平行四边形不一定相似，原命题不是真命题，故该选项不符合题意； B、菱形不一定相似，原命题不是真命题，故该选项不符合题意； C、正方形都相似，原命题是真命题，故该选项符合题意； D、长方形不一定相似，原命题不是真命题，故该选项不符合题意； 故选：C 3．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【规范解答】解：、∵， ∴， 即，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故选项正确，符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 故选：． 4．（2025·上海崇明·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查比例的性质，根据比例的性质，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴； 故答案为：2． 5．（23-24九年级下·山西太原·期中）五边形五边形，相似比为．若，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质．利用相似多边形的性质，对应边成比例，据此进行列式计算，即可作答． 【规范解答】∵五边形五边形，相似比为． ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 6．（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）如图，四边形四边形，若，则 ． 【答案】130 【思路点拨】本题考查四边形的内角和及相似的性质．根据四边形的内角和为求出的度数，再根据图形相似的性质即可求出． 【规范解答】解：在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， 故答案为：130． 7．（24-25九年级下·上海闵行·期中）已知，求 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查比例的性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．将所求分式拆分为两个分式之和，并代入已知条件计算即可． 【规范解答】解： ， ． 故答案为 ：． 8．（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 解得BD． 9．（25-26九年级下·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 10．（24-25九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 培优拔高 11．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 12．（2025·江苏常州·三模）如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】如图所示，连接，，，勾股定理求出，然后由M为的中点得到，得到点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，即交于点O，为点M所经过的路线长，然后利用平行线分线段成比例得到为的中位线，进而求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，， ∵在等腰中，直角边， ∴， ∵交于点F，M为的中点， ∴， ∴ ∴点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，即交于点O， ∴为点M所经过的路线长 ∴ ∵D为的中点 ∴ ∴ ∴ ∴为的中位线 ∴ ∴点M所经过的路线长为． 故选：B． 13．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【规范解答】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 14．（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查了三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 构造三角形中位线可以得出，然后按比例设参数，由平行线分线段成比例性质可得． 【规范解答】解：取中点，连接， ∵点、分别为、中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ∵， ∴． 故答案为：7． 15．（2023·安徽·二模）如图，反比例函数的图象经过的顶点，边与轴交于点，若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，作轴于D，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，由平行线分线段成比例定理，三角形面积公式，求出的面积即可． 【规范解答】解：作轴于D， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可． 【规范解答】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【思路点拨】由正方形的性质得，，，，，则，所以，由折叠得，，，则，，可判断正确；所以，则，所以，则四边形是菱形，可判断正确；可证明，，则，求得，，则，可判断正确；再证明，则，所以，可判断正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：四边形是正方形，对角线、交于点， ，，，，， ，， ， 由折叠得，，， ，， 故正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， 故正确， 故答案为：． 18．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求b，c的值； (2)连接，过点O作交于D，记的面积分别为，求的值； (3)过点A作的垂线交抛物线于点P，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）求出，由平行线分线段成比例定理可得，则，进而推出，求出，进而得到，则； （3）设．过点P作轴于点H，则．证明是等腰直角三角形，得到．，则，解方程可得，则． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点， ∴， ∴； （2）解：如图（1）， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ； （3）解：由（1）可知抛物线的表达式为， 如图（2），设． 过点P作轴于点H，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴． 19．（2024·山东济南·一模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是根据切线的性质和平行线分线段成比例定理找边和角之间的关系． 连接，根据切线的性质可知，根据同位角相等，两直线平行，可证，根据平行线的性质可知，根据等边对等角可得，从而可得； 利用勾股定理可以求出，根据可得：，从而可求的长度． 【规范解答】（1）解：如下图所示，连接， 与相切于点， ，， 于点， ， ， ， ， 又， , ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 20．（2024·江苏宿迁·一模）如图，已知抛物线过点 (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线过点和且与抛物线交于另一点，与轴交于点，求证：； (3)若点，分别是抛物线与直线上的动点，轴且，求所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或或 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图2中，设 ，根据构建方程求出t即可解决问题． 【规范解答】（1）解：把点代入， 得到， ， 抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为，将，代入得: 则有， 解得， 直线的解析式为， 令，得到， ， 令， 解得或， ， 如图中，过点作轴于，过作轴于，则， ，， ， 即． （3）如图中，设， 为一边且顶点为，，，的四边形是平行四边形， ，， ， ， 整理得：或， 解得或或或（舍弃）， 或或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $