27.2.2 相似三角形的性质 教案2024-2025学人教版数学九年级下册

课时教学设计 27.2.2相似三角形的性质 本课目标 1. 经历探究和证明相似三角形的性质的过程，发展几何直观、空间想象和推理能力. 2.会运用相似三角形的性质解决简单的问题，发展推理能力. 重点 探究和运用相似三角形的性质（对应线段的比、面积的比与相似比的关系） 难点 提出相似三角形的性质的猜想 教学过程设计 (一）情境引入，提出问题 问题1 对于相似三角形，我们已研究了它的定义与判定, 根据已有的研究几何图形的经验, 我们还需研究什么? 可以从哪些角度来研究? 师生活动: 学生思考交流. 追问1 相似三角形的性质主要是研究三角形的几何要素之间的关系，三角形有哪些几何要素? 师生活动: 学生互相补充，列举出几何要素---基本要素(边，角)和相关要素(高、中线、角平分线，周长，面积）. 追问2 从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质? 追问3 其他几何要素具有哪些关系？如何探究？ 师生活动: 学生回答相似三角形的对应角相等，对应边成比例，并写出猜想的性质. 如果学生列出猜想的性质有难度，教师可再追问: 全等三角形可以看作相似比为1的三角形，全等三角形对应高的比是多少? 相似三角形呢? 相似三角形其他对应几何量的比与相似比有什么关系? 再引导学生回顾探究图形性质的方法：画图---观察---实验---猜想---证明. 设计意图: 基于相似三角形研究的基本框架提出研究的问题，学会学习. (二)探究思考，形成新知 问题2 如果△ABC 与△A'B'C'相似，且相似比为k，那么它们对应边上的高有什么关系？你能证明你的猜想吗？ 师生活动：学生在学习单上先画出对应边上的高，再通过观察、度量得出猜想. 设计意图：经历探究图形性质的过程，发展几何直观、空间想象能力和抽象能力. 追问1：要想证明这一结论，我们首先要做什么？ 师生活动 : 引导学生结合图形，写出已知和求证，再加以证明. 追问2 △ABC 与△A'B'C'的对应高是哪两个三角形的对应边? 这两个三角形相似吗? 如何证明? 师生活动：学生先独立思考，最后展示学生的证明过程，由其他学生补充完善. 由于证明过程包含了两组相似三角形，教师需要引导学生认识它们与要证结论之间的关系. 设计意图: 发现并证明相似三角形对应高的关系, 发展抽象能力和推理能力. 问题3 如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似比? 师生活动: 学生先猜想再证明. 让学生说出证明思路. 追问 如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，对应线段的比呢？你是如何理解对应线段的？试举例说明． 师生活动: 学生猜想，教师利用《几何画板》软件验证. 设计意图: 类比相似三角形对应高的比等于相似比，得到对应中线、角平分线的比等于相似比，进而归纳出对应线段的比等于相似比. 《几何画板》软件辅助演示，直观形象，有利于学生归纳得出一般结论. 问题4 如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长有什么关系? 师生活动: 学生自主探究，教师指导: 将△ABC中的每条边用△A'B'C' 的每条边表示，然后得出结论. 设计意图: 求周长的比可以看作相似三角形对应线段的比等于相似比的应用. 问题5 如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，△ABC 与△A'B'C'的面积比是多少? 师生活动: (1)教师分析: 我们已经知道，相似三角形对应线段的比等于相似比，可将三角形的面积转化为对应线段. (2)由学生写出问题5的推理过程. (3)教师板书: 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 设计意图: 用推理和运算的方法得到三角形面积比与相似比的关系 （三）辨别应用，巩固新知 例1 如图1，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC 的边BC 上的高是6，面积是, 求△DEF 的边EF上的高和面积.图1 师生活动: 师生一起分析: 先判定△ABC 和△DEF 相似，再利用相似三角形的性质求解. 设计意图: 让学生综合运用相似三角形的判定和性质求三角形线段的长度和面积. （四）迁移综合，发展能力图2 例2 如图2，△ABC的面积为100，周长为80，AB=20，D是AB上一点，BD=12.过点D作DE//BC，交AC于点E . (1)求△ADE的周长和面积; (2)点E作EF//AB，EF交BC于点F，求△EFC和四边形DBFE的面积. 师生活动：学生先独立思考,然后师生共同完成例题的分析和书写. 设计意图: 先确定相关的相似三角形，再通过周长的比、面积的比与相似比的关系求解. （五）回顾小结，概括提升 回顾本节课的学习，回答下列问题: 1.我们研究了相似三角形哪些几何量之间的关系? 它们各是什么关系? 2.我们是如何证明相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方的? 3.我们如何理解对应线段之比等于相似比 目标检测 (一)选择题 1. 已知△ABC ∽△DEF，且AB : DE=1:2, 则△ABC的边BC上的中线与△DEF的边EF上的中线之比为（ ）. A. 1:2 B. 1:4 C. 2:1 D. 4:1 2. 在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC 的周长是16，面积是12, 则△DEF的周长、面积分别为（ ）. A. 8, 3 B. 8，6 C. 4,3 D. 4,6 (二)填空题 3. 已知△ABC和△DEF相似，且面积比为4:25，则△ABC和△DEF的相似比为 . 4.已知两个相似三角形周长的比为1:2， 它们的面积和为25，则较大三角形的面积为 . (三)解答题 5.如图，ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE : AB=3:2，S△BEF=4，求S△CDF . (第5题) 答案： 1. A; 2.A; 3.2:5; 4.20; 5.16/9. 设计意图：第1-5题，检测目标2. 学科网（北京）股份有限公司 $$