第26章 反比例函数章节复习检测培优卷-2025-2026学年人教版数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年人教版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第26章 反比例函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西来宾·期中）一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于，两点，若是轴上任意一点，点是的中点，连接、、，则的面积为（   ） A． B． C．5 D． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．8 7．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（    ） A．点A与点B关于原点中心对称 B． C．的周长等于的周长 D． 9．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 10．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，的直角边经过原点，顶点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，若点A的坐标为，则的面积为 ． 12．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则 ． 13．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为 ； （2）若的面积为3，则的值为 ． 15．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图象交于点D，则 ． 16．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，已知点A在反比例函数上，作，使边在x轴上且，点D在上且，连并延长交y轴于点E，若的面积为8，的面积为3，则 ． 17．（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，点（为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为，分别以为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前个直角三角形的面积之和为 ． 18．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形与反比例函数的图象交于两点，轴，轴，，若，则的值是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b和k的值; (2)求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； (3)将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 20．（本题6分）（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 21．（本题8分）（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 22．（本题8分）（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图1，点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、． (1) ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式； (2)直接写出当为何值时，． (3)求的面积： (4)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标． 23．（本题8分）（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数上在第四象限的图象上存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”，请直接写出点的坐标． 24．（本题8分）（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 25．（本题10分）（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 26．（本题10分）（25-26九年级上·全国·期末）如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标； (3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第26章 反比例函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据函数的增减性进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了求反比例函数解析式，两点间的距离公式，一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是掌握以上知识点．根据题意，先求出点和点的坐标，进一步得，再根据两点间的距离公式求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求值． 【规范解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则； 令，则， 即，， ． ， ． 设点，（） ． 解得，或（不符合题意，舍去）， ， 即点， 将点代入得， ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广西来宾·期中）一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的图象及一次函数的图象，熟知反比例函数及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数及一次函数图象与系数的关系，对所给选项依次进行判断即可． 【规范解答】解：A．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意； B．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意； C．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意； D．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于，两点，若是轴上任意一点，点是的中点，连接、、，则的面积为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数的几何意义；连接，，根据轴，则，根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接，， 与同底等高， ， 轴， 轴， 、分别在反比例函数和的图象上， ，， ． 故选：C． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形性质，熟练掌握反比例函数值几何意义是关键． 设点，则点，点，点，根据值的几何意义，可得、的值，求出的值，得到的值，即可求出k的值． 【规范解答】解：设点，则点，点， 点． ，在反比例函数， ． ， ． ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ． 故选：A． 6．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 延长交轴于点，根据平行四边形面积可求出，继而可得点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可． 【规范解答】解：如图，延长交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： C． 7．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了中点坐标，已知比例系数求特殊图形的面积，反比例函数与几何综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先用表示出点的坐标，再用表示出点的坐标，从而可用表示出与到的距离，再求出的面积． 【规范解答】解：∵双曲线经过A点， ∴设， ∵E为的中点， ∴E点的横坐标为， E点的纵坐标为， ∵轴，垂足为D，交于点E， ∴点的纵坐标为， ∵双曲线经过B点， ∴点的横坐标为， ∴， 点到的距离为， ∴的面积是， 故选：B． 8．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（    ） A．点A与点B关于原点中心对称 B． C．的周长等于的周长 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数与一下函数的综合，掌握反比例函数，一次函数与几何图形的交点坐标得到线段的关系是解题的关键． 由反比例函数图形课判定A选项；设，则，可得直线的解析式为，则，分别得到线段的值，结合几何图形面积，周长的计算课判定B，C，D选项，由此即可求解． 【规范解答】解：∵反比例函数图象关于原点对称，直线与双曲线交于两点， ∴点A与点B关于原点中心对称，故A选项正确，不符合题意； 设，则， ∵轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴，， ∴B，D选项正确，不符合题意； ∴，，， ∴的周长为， 的周长为， ∴，即的周长不等于的周长，故C选项错误，符合题意； 故选：C ． 9．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】根据已知条件，由平行线等分线段定理可知，令，分别作轴，轴，又可得，设，可得到，，再根据可得到，可得，即，根据三角形面积公式，进一步得到，又根据，，通过等量代换，可得到；运用，根据面积关系，可求得，最后可求得，进而判断正确的选项． 【规范解答】解： 轴，轴，且R为的中点，则令（平行线等分线段定理），作轴，轴，垂足分别为A、B点，同理，设，则，，由得，解得， ，，， ， ①正确； 由，得， ②正确； 由，得，即，，， ， ③错误； ， ④正确， 综上可知①②④正确； 故选：C． 【考点剖析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行线等分线段定理，反比例函数的几何意义等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，的直角边经过原点，顶点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，若点A的坐标为，则的面积为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，勾股定理解三角形，结合图形，设点坐标是解答本题的关键． 根据题意得出点B的坐标为，，设，则，，利用勾股定理求解得出，结合图形即可求解． 【规范解答】解：∵点A的坐标为，点B也在反比例函数图象上， ∴点B的坐标为， ∴，, 设，则，， ∵， ∴，即 解得： ∴， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：5． 12．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，设与轴交于点，由题意得，，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，设与轴交于点， ∵反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理，连接交于点D，先根据矩形的性质得点D是、的中点，，设，则，再得，，然后根据勾股定理得，即，解方程即可得解． 【规范解答】解：如图，连接交于点D， ∵四边形为矩形， ∴点D是、的中点，， 设，则， ∴， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为 ； （2）若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查已知图形的面积求值，反比例函数的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键 （1）根据题意将点A代入即可得出结果； （2）由（1）得出点坐标，进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【规范解答】解：（1）点在双曲线上， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图象交于点D，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、及其系数k的几何意义，中点坐标公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和利用中点坐标公式求点的坐标是解题的关键． 通过设点的坐标，利用中点性质得到点的坐标，求得，再结合反比例函数的系数k的几何意义得到，最后通过面积的和差求出． 【规范解答】解：设， ∵， ∴是的中点， ∴， ∵轴，在反比例函数上， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，已知点A在反比例函数上，作，使边在x轴上且，点D在上且，连并延长交y轴于点E，若的面积为8，的面积为3，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的几何意义，连接、，根据已知得出，，进而求得，根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【规范解答】解：连接、， ，的面积为3， ，， 的面积为8， ， ， ， ∴， 又∵ ∴轴，则， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限，． ． 故答案为． 17．（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，点（为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为，分别以为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前个直角三角形的面积之和为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及数字类变化规律，正确得出是解题关键． 根据反比例函数图像上点的坐标特征可得，，，，即可得出，，，，进而可得，分别求出和的值即可得答案． 【规范解答】解：设前个直角三角形的面积分别为、、、、， ∵点、、、、在图象上，且横坐标分别为1、2、3、、n， ∴，，， ，，， ， ，，， ∴当时，， 当时，， ∴ ． 18．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形与反比例函数的图象交于两点，轴，轴，，若，则的值是 ． 【答案】8 【思路引导】设，根据边轴，边轴，得到，根据题意，，结合反比例函数的性质解答即可． 【规范解答】解：设， ∵边轴，边轴， ∴， 根据题意，，，， ∵， ∴， ∴， 过点A作轴于点D， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， 解得 ， 故答案为：8． 【考点剖析】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，正切函数的应用，线段的表示法，熟练掌握性质，正切函数的应用是解题的关键． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b和k的值; (2)求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； (3)将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【思路引导】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，正确地理解题意是解题的关键． （1）把点代入求得，把代入得到的值即可； （2）解方程组得到，于是根据函数图象可得到不等式的解集； （3）设，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：把点代入得， ， ∴， 把代入得； （2）解：由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∴联立得 解得或， ∴， ∴由函数图象可知不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，，， ， ， 解得， ∵将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C． ∴， ∴． 20．（本题6分）（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【思路引导】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，即可求出答案； （3）求出反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，根据图象的位置关系即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得， 故答案为： （2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴， ∴的面积； （3）联立得到解得或， ∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点， 由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或． 21．（本题8分）（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的下方的部分，再确定这部分对应的取值范围即可； （3）设直线与轴相交于点，求出的坐标，利用，确定底和高后计算即可． 【规范解答】（1）解：把点代入反比例函数中，得， 则反比例函数的解析式为． 当时，， 所以点的坐标为 把点，点代入一次函数中， 得， 解得， 所以一次函数的解析式为． （2）由图象可得不等式的解集为或． （3）设一次函数与轴相交于点，当时，，即点的坐标为     即． 22．（本题8分）（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图1，点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、． (1) ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式； (2)直接写出当为何值时，． (3)求的面积： (4)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标． 【答案】(1)1；； (2) (3) (4)的坐标为或 【思路引导】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式即可求出，再把点的坐标代入函数解析式即可求出，根据待定系数法求出直线的解析式； （2）根据函数图象即可解答； （3）先得点的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （4）设点的坐标为，用含的式子表示出，然后利用建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【规范解答】（1）解：将的坐标代入，得． 反比例函数的解析式为． 将的坐标代入，得． 把和代入，得：， 解得：， 故直线的解析式为：， （2）解：由（1）知和， 结合图象可得，当时，． （3）解：令，，令，， ， ． （4）解：设点的坐标为，则点F的坐标为， ． ，， ， 整理得：． 解得：， 的坐标为或． 23．（本题8分）（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数上在第四象限的图象上存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或； (3)或． 【思路引导】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先求出点、坐标，再求出三角形面积继而得到，设点，则，根据面积列出方程解答即可； （3）①当时，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，先证明，求出点坐标，得到直线解析式，然后联立直线解析式和反比例函数，即可得到答案；②当时，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，连接，交于点，先求得点坐标，接着求得的表达式，然后联立和反比例函数，即可求得答案． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，； ， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为：， ∵，在直线图象上， ， ∴， ∴一次函数解析式为：； （2）解：如图： 在中，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则， ∴， 整理得：， ∴或， ∴或； （3）解：①当时，如图，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为， ∵， ， ， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线解析式为代入， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得，或（不符合题意，舍去）， ∴； ②当时，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，连接，交于点，由①可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线为，代入，， ，解得 ∴的解析式为， 联立，解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 综上：或． 【考点剖析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，分割法求面积，旋转的性质，综合性强，难度大，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 24．（本题8分）（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上；②存在，该菱形的面积为或或 【思路引导】（1）在中，当时，，当时，，解得，即可得出点、的坐标，从而得出，，过点作轴于，证明，得出，，求出，即可得出点的坐标； （2）①作轴于，则，证明，得出，，求出，待定系数法得出反比例函数的解析式为，由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上，分两种情况求解即可；②设正方形沿轴正方向平移个单位，则直线的解析式为，当时，联立可得，结合，求出（负值不符合题意，舍去），从而得出直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度，求出点的坐标为，，再结合菱形的性质，计算即可得解；当时，正方形的边与反比例函数有两个交点；当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点，此时再结合菱形的性质分两种情况：当时，则，当时，则，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 如图，过点作轴于， ， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图，作轴于， ， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵正方形沿轴正方向平移，得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， ∴由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，则，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； 综上所述，正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； ②存在， 由①可得，当点在反比例函数的图象上时，正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形， 设正方形沿轴正方向平移个单位，此时直线的解析式为， 当时， ∵正方形的边与反比例函数只有一个交点， ∴联立可得：， ∴, 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即， 由解得， ∴， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，由菱形的性质可得，垂直平分， ∴点与点关于对称，此时， ∵，， ∴此时该菱形的面积为； 当为边时，此时，，即，不满足题意； 当时，正方形的边与反比例函数有两个交点， 当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点， 在中，当时，，解得，即， ∵点在上， ∴设， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，（负值不符合题意，舍去）， 当时，，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 综上所述，在坐标平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，该菱形的面积为或或． 【考点剖析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25．（本题10分）（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【思路引导】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，再根据解析式求出交点的坐标． 把点代入直线中，求出点的坐标，再把点的坐标代入求出反比例函数的解析式即可； 根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点的坐标，设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值． 【规范解答】（1）解：把点代入直线中， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 把点的坐标代入比例函数中， 可得：， 反比例函数的解析式是； （2）解：如下图所示，连接、， 解方程组， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， ，， 设点的坐标是， 则中边上的高是，中边上的高是， ，， ， ， 解得：，， 点的坐标是； （3）解：的值为定值， 点在反比例函数图象上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 是第一象限反比例函数图象上一动点， 设点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是, 当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ，， ． 26．（本题10分）（25-26九年级上·全国·期末）如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标； (3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为，点F的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【思路引导】（1）由可得两点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；再由点A在反比例函数的图象上，由待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）易得直线的解析式为，作轴于点G，轴于点H，交直线于点，设，则，则可表示出，，，从而求得，则，当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长．作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点，则可得，，当三点共线时，的值最小，且可求得最小值；再由待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点F的坐标； （3）过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T，则由易证，从而得，从而得到，并求得直线的解析式为，由此可得点R的坐标，待定系数法求得直线的解析式，与反比例函数联立，求得x的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 把上述两点坐标分别代入一次函数中，得， 解得：, ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴， 把点A的坐标代入中，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把点B的坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为． 如图1，作轴于点G，轴于点H，交直线于点， 设，则，易知所求点P在点B的左侧． ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长． ∵， ∴， 如图1，作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点， 由轴对称的性质可得，， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为． 由待定系数法得直线的解析式为， 当时，， ∴，即此时点F的坐标为． （3）解：如图2，过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T， 则， ∴， ∴， 由旋转知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 设直线与直线交于点R． ∵，， ∴轴， ∴． 又∵． ∴， ∴， 作于点K，则， ∴点R的横坐标为， 当时，，即， ∴直线的解析式为． 联立解得或， ∴点Q的坐标为或． 【考点剖析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $