专题26.1 反比例函数（知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

本讲义聚焦反比例函数核心知识点，系统梳理定义（三种形式）、与反比例关系的区别联系、解析式求解（待定系数法）、图像性质（双曲线、对称性、象限分布）、k的几何意义（矩形及三角形面积），并延伸至实际应用与函数综合问题，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于22个考点细分设计，典例精讲与变式训练结合，配套中考真题及分层练习。通过概念辨析培养抽象能力（数学眼光），综合题训练推理能力（数学思维），实际问题（如沙尘暴风速模型）建立模型意识（数学语言），课中助力针对性教学，课后帮助学生分层巩固、查漏补缺。

专题26.1 反比例函数 （知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：反比例函数的定义 2 知识点梳理02：反比例关系与反比例函数的区别与联系 2 知识点梳理03：求反比例函数的解析式 2 知识点梳理04：在实际问题中建立反比例函数模型 3 知识点梳理05：反比例函数的图象 3 知识点梳理06：反比例函数的性质 4 知识点梳理07：反比例函数y＝ (k ≠ 0)中k的几何意义 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：用反比例函数描述数量关系 5 考点2：根据定义判断是否是反比例函数 6 考点3：根据反比例函数的定义求参数 7 考点4：求反比例函数值 8 考点5：由反比例函数值求自变量 9 考点6：判断(画)反比例函数图象 10 考点7：已知反比例函数的图象，判断其解析式 11 考点8：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 12 考点9：已知双曲线分布的象限，求参数范围 13 考点10：判断反比例函数的增减性 14 考点11：判断反比例函数图象所在象限 15 考点12：已知反比例函数的增减性求参数 16 考点13：比较反比例函数值或自变量的大小 17 考点14：已知比例系数求特殊图形的面积 18 考点15：根据图形面积求比例系数(解析式) 19 考点16：求反比例函数解析式 21 考点17：反比例函数与几何综合 23 考点18：反比例函数、二次函数图象综合判断 26 考点19：一次函数与反比例函数图象综合判断 28 考点20：一次函数与反比例函数的交点问题 31 考点21：一次函数与反比例函数的实际应用 33 考点22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 36 中考真题 实战演练 38 难度分层 拔尖冲刺 43 基础夯实 43 培优拔高 50 知识点梳理01：反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2. 反比例函数的三种形式 ① y＝；② y＝kx－1；③ xy＝k.(其中k为常数，k ≠ 0) 特别提醒： 形如y＝＋1，(x＋1)y＝3，y＝(x＋1)－1等的函数都不是反比例函数. 知识点梳理02：反比例关系与反比例函数的区别与联系 1. 如果xy＝k(k为常数，k ≠ 0)，那么x与y这两个量成反比例关系，这里的x和y既可以是单项式，也可以是多项式. 2. 反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数y＝(k 为常数，k ≠ 0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 知识点梳理03：求反比例函数的解析式 1. 确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y＝(k为常数，k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值，即可求出k的值，从而确定其解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 知识点梳理04：在实际问题中建立反比例函数模型 1. 有些实际问题可以用反比例函数来表示. 求函数的解析式时，首先要确定两个相关变量之间是否满足反比例关系，若满足可直接设函数的解析式为y＝(k ≠ 0)，求出k的值后，一定要将其代入设定的函数解析式y＝中. 2. 建立反比例函数模型的一般步骤 知识点梳理05：反比例函数的图象 1. 图象的画法(描点法) (1)列表：选取自变量的一些值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值． (2)描点：根据表中提供的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点． (3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸. 2. 图象的特点 (1)反比例函数y＝(k为常数，k ≠ 0)的图象是双曲线. (2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限． (3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴 相交 (4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x和直线y＝－x). 如图26.1-3. 知识点梳理06：反比例函数的性质 反比例函数的性质主要是指它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示 反比例函数 y＝(k ≠ 0) k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y 随x的增大而增大 知识点梳理07：反比例函数y＝ (k ≠ 0)中k的几何意义 1. k的几何意义 与两坐标轴围成的矩形的面积 与坐标轴围成的三角形的面积 图示 条件 如图，过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P(x，y)作x轴，y轴的垂线PM，PN，分别交x轴，y轴于点M，N 如图，过双曲线y＝(k≠0)上任意一点E(x，y)作EF垂直于x轴， 垂足为F， 连接EO 结论 S矩形PMON＝|k| S△EOF＝ 推导过程 ∵ ∴ xy＝k. ∴ S矩形PMON＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k| ∵ ∴ xy＝k. ∴ 考点1：用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题关键是将点代入各函数表达式，结合函数性质及的条件判断是否符合． 分别将点点，，代入四个选项中的函数表达式，根据函数性质求出a、b的值或关系，结合这一条件判断该函数是否符合要求． 【规范解答】A．对于函数，把代入得，即；把代入得，此时的值前后不一致，所以该函数不符合条件，不符合题意； B．函数，它是一次函数，随的增大而增大，把代入得；把代入得；把代入得．此时的值不相等，且，不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意； C．对于函数，它是二次函数，图象开口向下，对称轴为轴，即．点和关于轴对称，把或代入得；把代入得．满足，该函数符合条件，符合题意； D．对于函数，它是二次函数，图象开口向上，对称轴为轴，即．把或代入得；把代入得．不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了列反比例函数解析式，根据三角形面积公式，即可得到函数解析式． 【规范解答】解：由三角形面积公式，得：， 所以y与x之间的函数关系式为， 故选A． 考点2：根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（23-24九年级下·广东汕尾·月考）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键，根据反比例函数定义通过检查各选项，即可得到答案． 【规范解答】解：A：，是正比例函数，此项错误； B：，x的指数为，不是，此项错误； C：，是反比例函数，此项正确； D：，可化为，是一次函数，此项错误； 故选：C． 【变式训练】（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【规范解答】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 考点3：根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【规范解答】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且， ∴， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 考点4：求反比例函数值 【典例精讲】（23-24九年级下·广东广州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握点的坐标满足反比例函数解析式． 将点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出纵坐标的值． 【规范解答】解：根据题意：把代入， 得：． 故答案为：6． 【变式训练】（2025·重庆江北·模拟预测）已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数中解答即可． 【规范解答】解： 点和点都在反比例函数的图象上 ， 解得． 故选：D． 考点5：由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏淮安·期末）已知反比例函数的图像经过点，则m的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了由反比例函数值求自变量，根据题意，把代入，得，再解得m的值，即可作答． 【规范解答】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴把代入，得， ∴， 故答案为：3 【变式训练】（2025·海南·模拟预测）已知点在双曲线上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质．将点代入，即可求解． 【规范解答】解：依题意，， 解得：， 故选：A． 考点6：判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（23-24九年级下·广东汕尾·月考）反比例函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图像，熟练掌握该知识点是解题的关键．直接根据判断即可． 【规范解答】解：∵中， ∴反比例函数经过二、四象限， 只有B符合． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，根据一次函数的性质和反比例函数的性质判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴的图象经过二、四象限， ∵， ∴的图象在一、三象限． 故选： D． 考点7：已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【规范解答】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 【变式训练】（2025·陕西西安·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为 ．（写出符合图象特征的一个值即可） 【答案】9（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，根据当时，k值越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【规范解答】解：根据图象，， 故k的值可以为9， 故答案为：9（答案不唯一）． 考点8：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【答案】16 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【规范解答】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）在函数、、的图象中，具有沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合的性质的图象有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查正比例函数、反比例函数和二次函数所具有的性质及其图象的特点． 先分别判断函数、、的图象形状，然后沿某条直线翻折，看直线两旁的部分能够互相重合． 【规范解答】解：函数是正比例函数，其图象是一条直线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合； 函数是反比例函数，其图象是双曲线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合； 函数是二次函数，其图象是抛物线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合． 故选：D． 考点9：已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【规范解答】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏泰州·月考）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 考点10：判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的系数判断图象所在象限，以及在每一象限内的增减性． 先根据反比例函数判断函数所在象限，再分析各点所在象限的函数值正负，最后根据同一象限内的增减性比较函数值大小． 【规范解答】解：∵反比例函数（）的图象经过点、、， ∴（∵）， ， ， ∴． 又∵在第二象限内，随的增大而增大，且， ∴当从增大到时，值增大，即， ∴， 故选：D． 【变式训练】（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【规范解答】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 考点11：判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（23-24九年级下·广东汕尾·月考）下列关于反比例函数，的说法正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． 随的增大而减小 C．图像位于第一、第三象限 D．图像位于第二、第四象限 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图像与性质，由反比例函数的性质，当比例系数时，图像位于第二、第四象限，且在每个象限内随的增大而增大，即可求解． 【规范解答】解： ，且 ， ， 反比例函数图像位于第二、第四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 选项A未指定象限，表述不严谨，选项B、C错误，选项D正确， 故选：D． 【变式训练】（2024·湖南·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第 象限． 【答案】二、四 【思路点拨】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限是解答本题的关键．直接将点代入求出k的值,然后根据k的正负即可解答． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限． 故答案为：二、四． 考点12：已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（2025·四川成都·模拟预测）已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围． 【规范解答】解：∵两点在双曲线上，且， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式训练】（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 【答案】B 【思路点拨】本题考查反比例函数的性质及点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的图像与性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A．将代入得， ∴点C的坐标为， 故A正确； B．由题意可知， ， ， ， ， 故B错误； C．若，则， ∴的图象关于x轴对称，故C正确； D．当时，， ∵反比例函数的函数值随的增大而增大， ∴当时，，故D正确． 故选：B． 考点13：比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·北京·开学考试）点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了反比例函数值的大小，根据反比例函数的增减性求解即可． 【规范解答】解：∵反比例函数中，， ∴图象在二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大， ∵点与点都在反比例函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2025·陕西·模拟预测）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则 ．（填“”“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查的是反比例函数性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可解答． 【规范解答】解：∵反比例函数中， ∴ ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴都在第四象限， ∴． 故答案为：． 考点14：已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了反比例函数中的几何意义．理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据中的几何意义来求解即可． 【规范解答】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级下·四川乐山·期末）如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，由反比例函数k的几何意义可得出，和，然后相加即可得出答案． 【规范解答】解：∵A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C， ∴，，， ∴四边形， 故选D. 考点15：根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【答案】(1)； (2)4或． 【思路点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标． （1）根据的面积为2，可求出点的坐标，即可求解． （2）分情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：的面积为2，反比例函数的图象经过第一象限， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：设正方形为， 当顶点在反比例函数的图象上时，点与点重合，即． 把代入，得， 点的坐标为， ， ； 当顶点在反比例函数的图象上时，， 点的坐标为， ． 整理，得， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为4或． 【变式训练】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据题意可得，则，进而根据k的几何意义，即可求解． 【规范解答】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， 两点关于原点对称， ， ， ， ∵双曲线在一、三象限， ， 故选：B． 考点16：求反比例函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． 利用待定系数法即可求出的值，可得答案． 【规范解答】解：将代入解析式中得， ， 即， 故答案为：． 【变式训练】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数的图象都经过点． (1)求点A的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用待定系数法求解是解题的关键． （1）先根据反比例函数的图象经过点求出的值，得到点的坐标，再把点的坐标代入一次函数解析求出值，即可得到一次函数的表达式； （2）在第一象限内找到一次函数图象在反比例图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象经过点， ， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：由函数图象可得在第一象限内时，． 考点17：反比例函数与几何综合 【典例精讲】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【规范解答】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 【变式训练】（23-24九年级下·四川内江·月考）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点P，作轴，垂足为B， (1)求m的值； (2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接，，若，求点M的坐标； ②过点M作交的延长线于点D，若，求点M的坐标． 【答案】(1)24 (2)①点M的坐标为；②点M坐标为 【思路点拨】本题考查的是反比例函数与几何综合、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可； （2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【规范解答】（1）解：代入到，得， 解得， ∴， 代入到，得， ∴m的值为24； （2）解：①如图，过点M作轴于点N， 对于，当时，，当时，， ∴点A坐标为， 点C坐标为， ∵轴，点P坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，反比例函数的解析式为， 设点M的坐标为，则，， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； ②如图，过点P作过交BP的延长线于点G，作于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴ ∵点M在反比例函数的图象上的一点 ∴， 解得：，， ∵点M在点P的右侧， ∴， ∴点M坐标为． 考点18：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南岳阳·月考）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 【变式训练】（2025·湖北·三模）平移是重要的初等变换，如：向右平移1个单位可以得到；依据上述规律，可知方程的实数根的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，根据题意可得原方程的实数解个数等价于方程的实数解个数，则等价于二次函数与反比例函数交点的个数，分析出两个函数的增减性和经过的象限即可得到答案． 【规范解答】解；∵， ∴， ∴， ∴方程的解的个数与方程的实数解个数相同， 二次函数的图象经过一、二象限，且顶点为原点，在第一象限内y随x增大而减小，在第二象限内y随x增大而减小， 反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时， ，， 当时， ，， ∴当时，一定存在一个x的值使得和的函数值相同， 又∵在第二象限内，中，y随x增大而增大，中，y随x增大而减小， ∴在第二象限内，两个函数只有1个交点， ∴方程只有一个实数解， ∴方程只有一个实数解， 故选：D． 考点19：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质及两函数图象交点的应用，解题的关键是利用正比例函数和反比例函数的对称性确定两函数在第三象限的交点横坐标，再结合图象判断时的取值范围． 先根据正比例函数（）过一、三象限，反比例函数（）过一、三象限，可知两函数图象的交点关于原点对称；由第一象限交点A的横坐标为4，可得第三象限交点的横坐标为-4；再分象限观察图象，第一象限中当时，第三象限中当时，综合得的取值范围． 【规范解答】解：∵，， ∴正比例函数的图象过一、三象限，反比例函数的图象过一、三象限，且两函数图象的交点关于原点对称．   已知两函数在第一象限交于点A（横坐标为4），则第三象限的交点横坐标为．观察图象：在第一象限，当时，；在第三象限，当时，，故时的取值范围是或． 故选：D． 【变式训练】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【思路点拨】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【规范解答】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 考点20：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是联立方程，根据方程无实数解的条件确定的取值范围． 联立反比例函数与正比例函数的方程，得到关于的二次方程，根据方程无实数解的条件来确定的取值范围． 【规范解答】解：联立反比例函数和正比例函数，可得， 进一步变形为， 反比例函数与正比例函数的图象没有交点， 方程无实数解，且， ， 解得：． ∵，则， 综上所述：. 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·四川内江·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 考点21：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【思路点拨】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【规范解答】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 【变式训练】（24-25九年级下·重庆·月考）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【思路点拨】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 考点22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（2025九年级下·四川甘孜·专题练习）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数和反比例函数图象的性质： （1）根据反比例函数的解析式求出A和B的坐标，代入一次函数的解析式求出k和b即可； （2）根据即可求解； （3）数形结合即可求解． 【规范解答】（1）解：点的横坐标是，点A在上， ∴点A的纵坐标为，即， ∵点的纵坐标都是，点B在上， ∴，解得B的横坐标为4，即， 将代入，得， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）解：对于， 令，则， ∴ ，， ； （3）解：由图可知，使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的范围是：或． 【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 【答案】(1)1 (2) (3)3 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入一次函数解析式，即可求出的值． （2）将点坐标代入反比例函数的解析式即可解决问题． （3）分别求出点和点的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【规范解答】（1）解：将点坐标代入得，， 故答案为：1． （2）解：由（1）知，点的坐标为． 将点坐标代入得，， 则反比例函数的解析式为． （3）解：将代入得，， 所以点的坐标为． 将代入得，， 所以点的坐标为， 所以的面积为：． 1．（2024·全国·中考真题）已知点、、、是函数图像上的点，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再将、、代入解析式，得到的大小关系． 【规范解答】将代入反比例函数， ， 解得， 所以反比例函数解析式为， ， ， ， 故选：C． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【规范解答】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线 与反比例函数 的图象分别交于点和，则 的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，根据反比例函数的图像和正比例函数的图像均关于原点对称，进而得到点和关于原点对称，求出的值，进而求出的值，进行求解即可． 【规范解答】解：∵直线 与反比例函数 的图像均关于原点对称， ∴两个图像的交点也关于原点对称，即点和关于原点对称， ∴， ∴，， 把分别代入和中，得， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（2024·上海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有曲线的图象． 在该图象上有点和点，点在轴上．连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的几何应用，先求出反比例函数的解析式，进而可得，过点作轴于，过点作轴于，由等腰三角形的性质可得，即得，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 过点作轴于，过点作轴于，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 5．（2024·安徽黄山·中考真题）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，B为的中点，连接． (1)若，求k的值； (2)若点B在反比例函数的图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)的面积不发生变化．理由见解析 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数，熟练利用题中的关系表示出各点坐标是解题的关键． （1）先求得点坐标，再用待定系数法即可解答； （2）设点，再表示出两点坐标，利用三角形面积公式即可解答． 【规范解答】（1）解：设点B的坐标为， 为的中点，轴， ∴点C的坐标为，点A的坐标为． ， ，解得． 经检验，是分式方程的解， 点B的坐标为， 代入，解得． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 设点B的坐标为 为的中点，轴， ∴点C的坐标为，点A的坐标为． ∴，点B到的距离为a， 的面积， 的面积不发生变化． 基础夯实 1．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质．根据正比例函数的性质，反比例函数的性质判断即可． 【规范解答】解：正比例函数中，函数图象经过二、四象限； 反比例函数中，函数图象经过一、三象限； 只有A符合． 故选：A． 2．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A，B两点，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． 根据交点判断即可． 【规范解答】解：由图可知，若，则的取值范围是或， 故选：D． 3．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）已知点，，都在反比例函数图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．把点、、的坐标分别代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【规范解答】解：点，，都在反比例函数图象上， ，，． ， 故选：C． 4．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）一元二次方程有两个相等的实数根，点，是反比例函数上的两个点，若，则 （填“”或“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相关知识．先由一元二次方程有两个相等的实数根求得的值，再根据反比例函数的性质，结合点的横坐标符号判断纵坐标的大小． 【规范解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 反比例函数为， 点，在反比例函数上，且， 当时，；当时，； ， 故答案为：． 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活应用k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义和的面积为的面积减去的面积即可解决问题． 【规范解答】解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点， 点B是反比例函数的图象上一点， ∴， ∴， 故答案为：2． 6．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）已知反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，在第三象限内，随的增大而减小，由，结合函数解析式求的取值范围即可． 【规范解答】解：对于反比例函数， 当时，函数图象在第三象限，随的增大而减小， 当时，， 因此，当时，函数值的取值范围是， 故答案为：． 7．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的标准形式为（其中为常数且），因此函数的指数必须为，据此即可求解． 【规范解答】解：函数是反比例函数， 其指数部分应满足， 解得， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·广东汕尾·月考），直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． (1)求点B的坐标； (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是熟练掌握两个函数的性质． （1）先根据直线方程求解出点A的坐标，再由可求解，由此可得点B的坐标； （2）先利用直线方程求解出点C的坐标，再将点C代入反比例函数中即可求解． 【规范解答】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令， 解得， ∴，即， ∵， ∴， ∴点B的坐标为． （2）解：∵轴，B的坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， ∴，解得， ∴点， ∴将点代入中， ∴， 解得 ∴反比例函数的解析式为． 9．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为． (2) 【思路点拨】（1）先利用反比例函数图象上的点求出反比例函数表达式，再将点代入一次函数求出其表达式； （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再以为底，点横坐标为高，利用三角形面积公式求解． 【规范解答】（1）解：对于反比例函数，把代入， 得，解得， 反比例函数表达式为， 对于一次函数，其中，把代入， 得，解得， 一次函数表达式为． （2）解：如图所示，过点作轴于点： 点的坐标为， ， 在一次函数中，令，得， ，则， ． 10．（24-25九年级下·四川内江·期末）如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数表达式； (2)过点作轴交轴于点，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵轴交y轴于点P，， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：或． 培优拔高 11．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【规范解答】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 12．（23-24九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，假设点B的坐标，先表示出点C的坐标，再利用几何性质表示出点A的坐标，利用反比例函数定义求解即可． 【规范解答】解：过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，如图： 设 是等腰直角三角形 轴 ，点C的纵坐标为 四边形是矩形 ，， 点G的横坐标为 点A是反比例函数的图象上一点 解得或（舍去） ． 故选：A． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，作轴于点，点为上任意一点，当时，与轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，先求出，结合题意可得，令交轴于点，求出从而可得点的纵坐标为，求出，待定系数法求出直线解析式为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：令，整理得：， 解得，， ，， 轴于点， ， 如图：令交轴于点， ， ∵，，， ， ， ， 在中，当时，， ， 轴于点， ∴轴， ∵， ∴轴，即点的纵坐标为， 在反比例函数中，当时，， ， 设直线的解析式为，代入点坐标得：， 解得， 直线解析式为：， 当时，， 与轴交点坐标为． 故选：C． 14．（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为 ． 【答案】16 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数解析式的求法及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征并设出点的坐标进行推导是解题的关键． 设点的坐标，利用反比例函数表达式表示出点的坐标，求出的长度；再求出直线的解析式，结合轴得到点的坐标，求出的长度，最后利用三角形面积公式计算． 【规范解答】解：设（）． ∵ 轴，在上， ∴ ， ∴ ． 设直线的解析式为，将代入得：， 解得， ∴ 直线的解析式为． ∵ 轴， ∴ 的纵坐标为，将代入得：，解得， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 15．（2025·广东东莞·一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查的是反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：设， 直线轴， ，B两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， 又点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， ， ． 故答案为：3． 16．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点，则的面积等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质． 设点P坐标为，则A，B两点纵坐标均为，求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：设点P坐标为， 则A，B两点纵坐标均为， ∵过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点， ∴，， 即，， ∴ ． 故答案为：． 17．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，函数和的部分图象与直线分别交于A，B两点，如果的面积是2.5，则k的值为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握坐标系中三角形面积求法是关键． 设点，，根据三角形面积公式代入数据计算即可． 【规范解答】解：设点，， 的面积是2.5， ， 解得：． 故答案为：． 18．（2023·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路点拨】本题考查了求反比例函数的表达式，求一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入中求解，即可得到反比例函数的表达式，进而求出点，再将点代入一次函数中求解，即可求出一次函数的表达式； （2）记直线交轴于点，利用一次函数求出，再根据求解，即可解题； （3）根据一次函数图象与反比例函数图象交点情况，直接写出当一次函数值小于反比例函数值的x的取值，即可解题． 【规范解答】（1）解：由题知，反比例函数过点，， ， 反比例函数的表达式为； ， ， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：记直线交轴于点， 当时，， ， ，， ； （3）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， 结合图象可知，一次函数值小于反比例函数值的x的取值是或； 故答案为：或． 19．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数与正比例函数的图像交于和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)12 (3)或 【思路点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）将点代入中来求解； （2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点B的坐标，再利用对称轴求出点C的坐标，最后利用三角形面积公式求解； （3）根据反比例函数与正比例函数的图像交于和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【规范解答】（1）解：把点代入，得， ∴， ∴该反比例函数得解析式为； （2）解：∵与的图像交于点， ∴， 即， ∴ ∵与的图像交于点和点B， ∴， 解得：，， ∴ ∴， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 20．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，在该函数的图像上，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题重点考查了待定系数法求反比例函数的解析式，设反比例函数解析式为，把已知的一对的值代入解析式，得到一个关于待定系数的方程，解这个方程求出待定系数，最后将所求得的待定系数的值代回所设的函数解析式，同时考查了反比例函数的图像的性质，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数解析式的求解和反比例函数图像的性质是本题求解的关键． （1）将图像上的点代入解析式，即可求出，进而完成求解． （2）根据，两点横坐标，得到，即，完成求解． 【规范解答】（1）解：反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 答：反比例函数的解析式为． （2）解：∵，点，在该函数的图像上， ∴，且都在第三象限， ∴， ∴． 答：与的大小为． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1 反比例函数 （知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：反比例函数的定义 2 知识点梳理02：反比例关系与反比例函数的区别与联系 2 知识点梳理03：求反比例函数的解析式 3 知识点梳理04：在实际问题中建立反比例函数模型 3 知识点梳理05：反比例函数的图象 3 知识点梳理06：反比例函数的性质 4 知识点梳理07：反比例函数y＝ (k ≠ 0)中k的几何意义 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：用反比例函数描述数量关系 5 考点2：根据定义判断是否是反比例函数 5 考点3：根据反比例函数的定义求参数 6 考点4：求反比例函数值 6 考点5：由反比例函数值求自变量 6 考点6：判断(画)反比例函数图象 6 考点7：已知反比例函数的图象，判断其解析式 7 考点8：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 8 考点9：已知双曲线分布的象限，求参数范围 8 考点10：判断反比例函数的增减性 8 考点11：判断反比例函数图象所在象限 9 考点12：已知反比例函数的增减性求参数 9 考点13：比较反比例函数值或自变量的大小 9 考点14：已知比例系数求特殊图形的面积 9 考点15：根据图形面积求比例系数(解析式) 10 考点16：求反比例函数解析式 11 考点17：反比例函数与几何综合 12 考点18：反比例函数、二次函数图象综合判断 13 考点19：一次函数与反比例函数图象综合判断 13 考点20：一次函数与反比例函数的交点问题 14 考点21：一次函数与反比例函数的实际应用 15 考点22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 16 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 21 知识点梳理01：反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2. 反比例函数的三种形式 ① y＝；② y＝kx－1；③ xy＝k.(其中k为常数，k ≠ 0) 特别提醒： 形如y＝＋1，(x＋1)y＝3，y＝(x＋1)－1等的函数都不是反比例函数. 知识点梳理02：反比例关系与反比例函数的区别与联系 1. 如果xy＝k(k为常数，k ≠ 0)，那么x与y这两个量成反比例关系，这里的x和y既可以是单项式，也可以是多项式. 2. 反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数y＝(k 为常数，k ≠ 0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 知识点梳理03：求反比例函数的解析式 1. 确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y＝(k为常数，k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值，即可求出k的值，从而确定其解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 知识点梳理04：在实际问题中建立反比例函数模型 1. 有些实际问题可以用反比例函数来表示. 求函数的解析式时，首先要确定两个相关变量之间是否满足反比例关系，若满足可直接设函数的解析式为y＝(k ≠ 0)，求出k的值后，一定要将其代入设定的函数解析式y＝中. 2. 建立反比例函数模型的一般步骤 知识点梳理05：反比例函数的图象 1. 图象的画法(描点法) (1)列表：选取自变量的一些值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值． (2)描点：根据表中提供的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点． (3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸. 2. 图象的特点 (1)反比例函数y＝(k为常数，k ≠ 0)的图象是双曲线. (2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限． (3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴 相交 (4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x和直线y＝－x). 如图26.1-3. 知识点梳理06：反比例函数的性质 反比例函数的性质主要是指它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示 反比例函数 y＝(k ≠ 0) k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y 随x的增大而增大 知识点梳理07：反比例函数y＝ (k ≠ 0)中k的几何意义 1. k的几何意义 与两坐标轴围成的矩形的面积 与坐标轴围成的三角形的面积 图示 条件 如图，过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P(x，y)作x轴，y轴的垂线PM，PN，分别交x轴，y轴于点M，N 如图，过双曲线y＝(k≠0)上任意一点E(x，y)作EF垂直于x轴， 垂足为F， 连接EO 结论 S矩形PMON＝|k| S△EOF＝ 推导过程 ∵ ∴ xy＝k. ∴ S矩形PMON＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k| ∵ ∴ xy＝k. ∴ 考点1：用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 考点2：根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（23-24九年级下·广东汕尾·月考）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 考点3：根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【变式训练】（24-25九年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点4：求反比例函数值 【典例精讲】（23-24九年级下·广东广州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【变式训练】（2025·重庆江北·模拟预测）已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 考点5：由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏淮安·期末）已知反比例函数的图像经过点，则m的值为 ． 【变式训练】（2025·海南·模拟预测）已知点在双曲线上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 考点6：判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（23-24九年级下·广东汕尾·月考）反比例函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点7：已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·陕西西安·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为 ．（写出符合图象特征的一个值即可） 考点8：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）在函数、、的图象中，具有沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合的性质的图象有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点9：已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式训练】（24-25九年级下·江苏泰州·月考）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 考点10：判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 考点11：判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（23-24九年级下·广东汕尾·月考）下列关于反比例函数，的说法正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． 随的增大而减小 C．图像位于第一、第三象限 D．图像位于第二、第四象限 【变式训练】（2024·湖南·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第 象限． 考点12：已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（2025·四川成都·模拟预测）已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【变式训练】（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 考点13：比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（24-25九年级下·北京·开学考试）点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是 ． 【变式训练】（2025·陕西·模拟预测）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则 ．（填“”“”或“”）． 考点14：已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【变式训练】（23-24九年级下·四川乐山·期末）如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 考点15：根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【变式训练】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点16：求反比例函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是 ． 【变式训练】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数的图象都经过点． (1)求点A的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时． 考点17：反比例函数与几何综合 【典例精讲】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 【变式训练】（23-24九年级下·四川内江·月考）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点P，作轴，垂足为B， (1)求m的值； (2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接，，若，求点M的坐标； ②过点M作交的延长线于点D，若，求点M的坐标． 考点18：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南岳阳·月考）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·湖北·三模）平移是重要的初等变换，如：向右平移1个单位可以得到；依据上述规律，可知方程的实数根的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点19：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 考点20：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 【变式训练】（24-25九年级下·四川内江·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 考点21：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【变式训练】（24-25九年级下·重庆·月考）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 考点22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（2025九年级下·四川甘孜·专题练习）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 1．（2024·全国·中考真题）已知点、、、是函数图像上的点，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线 与反比例函数 的图象分别交于点和，则 的值为 ． 4．（2024·上海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有曲线的图象． 在该图象上有点和点，点在轴上．连接，若，则的面积为 ． 5．（2024·安徽黄山·中考真题）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，B为的中点，连接． (1)若，求k的值； (2)若点B在反比例函数的图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 基础夯实 1．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A，B两点，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 3．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）已知点，，都在反比例函数图象上，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）一元二次方程有两个相等的实数根，点，是反比例函数上的两个点，若，则 （填“”或“”或“”） 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 6．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）已知反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 7．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）若函数是反比例函数，则 ． 8．（23-24九年级下·广东汕尾·月考），直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． (1)求点B的坐标； (2)求反比例函数的解析式． 9．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的面积． 10．（24-25九年级下·四川内江·期末）如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数表达式； (2)过点作轴交轴于点，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 培优拔高 11．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，作轴于点，点为上任意一点，当时，与轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为 ． 15．（2025·广东东莞·一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 16．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点，则的面积等于 ． 17．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，函数和的部分图象与直线分别交于A，B两点，如果的面积是2.5，则k的值为 ．    18．（2023·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 19．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数与正比例函数的图像交于和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图像，直接写出不等式的解集． 20．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）如图，反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，在该函数的图像上，试比较与的大小． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $