5.2.1三角函数的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2 三角函数的概念 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念 1、复习回顾 1. 1弧度的角： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1rad的角 2. 角度制与弧度制的换算 3. 关于扇形的公式 LOGO 1、复习回顾 4.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ O b a M P c LOGO 2、探究新知 如图，单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置形成一个角，借助角的大小变化我们可以刻画点P的位置变化情况.       y x 【建立直角坐标系】以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y). 【分析变量】 弧度数 角的大小 P点坐标(x,y) 点P的位置 以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆. LOGO 2、探究新知 时， 时， 时， LOGO 2、探究新知 知识点一、三角函数的定义（第1定义） 设 是一个任意角，， 它的终边与单位圆交于点 规定:（1）纵坐标叫做的正弦函数，记作，即 ； （2）横坐标叫做的余弦函数，记作 ，即 （3）比值叫做的正切函数，记作 ，即 三角函数 sinα cosα tanα 定义域 LOGO 2、探究新知 知识点一、三角函数的定义（第1定义） 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们统称为三角函数. 通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 LOGO 2、探究新知 （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 横坐标的比值. 的横坐标， 正切就是 交点的纵坐标与 . （2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当 的终边在 横坐标等于0， 无意义，此时 轴上时，点P 的 （3）由于角的集合（弧度制）与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. x y o 的终边 LOGO 3、典例分析 例1.求下列角的正弦、余弦和正切值： 解： （1）如图在直角坐标系中，作 得的终边与单位圆的交点坐标为 LOGO 3、典例分析 例1.求下列角的正弦、余弦和正切值： 解： （2）∵ 当时， 在直角坐标系中， 角的终边与单位圆的交点坐标为 （3）∵ 当 时， 在直角坐标系中， 不存在. x y O 角的终边与单位圆的交点坐标为 题型一　三角函数定义的直接应用 LOGO 3、典例分析 sinα cosα tanα 知识点二、特殊角的三角函数值 题型一　三角函数定义的直接应用 LOGO 3、典例分析 例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的 坐标为（x,y），点P与原点的距离为r。求证： 三角函数的定义（第2定义） LOGO 3、典例分析 知识点三、三角函数的定义（第2定义） R R 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离|OP|是r()． LOGO 3、典例分析 x y O 【拓展】三角函数线 A B P M T 单位圆中， 正切线 作用：可借助三角函数线段的长度来比较对应三角函数值的大小。 LOGO 2、探索新知 口诀：“一全正二正弦；三正切四余弦。” 正 余 切 纵 横 比 LOGO 3、典例分析 例3角θ为第三象限角的充要条件是 证： 知 θ的终边在第三或第四象限或与Y轴的非正半轴重合 θ的终边在第一或第三象限 故角θ为第三象限角. 充分性：由 必要性：因为角θ为第三象限角，则终边上点的横纵坐标均为负值，所以 LOGO 2、探索新知 思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一种 三角函数值有何关系？ ？ 知识点四、诱导公式（公式一） 终边相同的角的同一 三角函数值相等 其中 作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值 . LOGO 3、典例分析 例4 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） （4） 解： （1）因为 是第三象限角，所以 ； （3）因为 = ， 而 是第一象限角，所以 ； （2）因为 是第四象限角，所以 . （4）因为 = ， 而 的终边在 轴上，所以 ； 题型三　三角函数值符号的判断 LOGO 3、典例分析 口诀：负化正，大化小；小化锐，锐求值 题型四　诱导公式一的应用 LOGO 4、课堂练习 题型一　三角函数定义的直接应用 例1 在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求。 【过程评价】1 若角的终边与单位圆交点A坐标为，求= 。 学案大书P81 LOGO 4、课堂练习 题型二　已知终边上一点求三角函数值 例2 若角终边过点，则 。 【过程评价】2变 若角终边过点， 则。 常用勾股数： 3，4，5， 5，12，13 6，8，10 7，24，25 8，15，17 9，12，15 9，40，41 学案大书P81 LOGO 4、课堂练习 题型三　三角函数值符号的判断 例1若 且,则角是第 象限角。 学案大书P82 3拔高练若三角形的两个内角满足 则此三角形是 三角形（填锐角、直角或钝角中一个）。 LOGO 4、课堂练习 题型四　诱导公式一的应用 例2若化简下列各式 学案大书P82 LOGO eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) eq \f(x,r) 三角函数 定义 定义域 名称 sin α eq \f(y,r) 正弦 cos α 余弦 tan α eq \f(y,x) ___________________ 正切 $