（易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（八大专题36个易错点）-2025-2026学年六年级上册数学期末复习（人教版）

该小学数学讲义通过目录框架系统梳理六年级上册八大专题36个易错点，以“专题—易错点—专练”结构呈现知识脉络，如分数乘除法突出计算法则与实际问题分率对应，圆专题聚焦周长面积公式混淆等核心难点，构建清晰的知识联系。 讲义亮点在于“易错点靶向突破”设计，每个易错点配套梯度专练，如分数乘法实际问题结合“绿水青山”情境培养应用意识，位置与方向画图题强化空间观念，数与形规律题发展抽象能力，助力分层教学，教师可精准定位学生薄弱点，提升复习效率。

常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级上册数学 （八大专题36个易错点） 目录 专题一分数乘法 3 易错点1：计算分数与整数相乘时，不能将分子与整数进行约分 3 易错点2：计算分数与分数相乘时，约分后不能将分子与分子相加，分母与分母相加 4 易错点3：计算分数与小数相乘时，应灵活选取计算方法，能约分的先约分再计算 5 易错点4：计算时，注意分数混合运算的运算顺序 8 易错点5：解决实际问题时，要找准所求量对应的分率 14 专题二位置与方向（二） 17 易错点1：确定物体的相对位置时，要找准参照点或相反方向判断错误。 17 易错点2：画图时弄错观测点。 20 易错点3：描述方向时，先说正方向，再说偏离的方向。 30 专题三分数除法 39 易错点1：没有理解倒数的意义。 39 易错点2：没有掌握分数除法的计算法则，导致计算出错。 41 易错点3：转化乘法后，未能正确约分。 42 易错点4：在进行分数乘除法计算时，混淆了乘、除法。 44 易错点5：实际问题中的单位“1”判断错误。 49 专题四比 53 易错点1：比的意义理解错误，比的后项有的时候可以是0。 53 易错点2：将比的基本性质与分数的基本性质混淆 55 易错点3：求比值与化简比概念混淆。 57 易错点4：化简不同单位的比时，未先统一单位。 60 易错点5：在解决问题时,要注意已知量对应的份数。 63 专题五圆 65 易错点1：混淆了半圆与圆的对称轴数量。 65 易错点2：误以为半圆的周长就是圆周长的一半，而忽略了还有一条直径。 68 易错点3：圆的周长与面积公式混淆。 70 易错点4：圆环面积计算时半径混淆。 73 易错点5：组合图形求阴影部分面积时思路不清。 75 易错点6：已知周长求面积（或反之）时，半径的桥梁作用。 79 专题六百分数（一） 81 易错点1：百分数不可以表示具体的数量,后面不能加单位名称。 81 易错点2：百分数与小数、分数互化不熟练。 83 易错点3：求“一个数是另一个数的百分之几”时，找错标准量。 85 易错点4：求“一个数比另一个数多（或少）百分之几”：（1）找错单位“1”；（2）弄错是“除以哪个数”。 87 易错点5：百分数应用题中“量”与“率”不对应。 89 专题七扇形统计图 92 易错点1：被扇形统计图中的表面信息迷惑、误导。 92 易错点2：混淆三种统计图的特征。 97 易错点3：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 100 易错点4：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 107 专题八数学广角—数与形 113 易错点1：观察图形规律不系统，归纳公式错误。 113 易错点2：在“数”的问题中，无法用“形”来直观理解和解决。 118 易错点3：解决复杂递推问题时，混淆“项数”与“数量”。 121 专题一分数乘法 易错点1：计算分数与整数相乘时，不能将分子与整数进行约分 【易错专练1】             【答案】；；40； 【易错专练2】             【答案】；；；12 【易错专练3】认真算一算。                           【答案】；6；；15 ；；； 【易错专练4】计算。                                                      【答案】；；； ；；；9 【易错专练5】计算。                                                          【答案】；；6；16 ；8；8； 易错点2：计算分数与分数相乘时，约分后不能将分子与分子相加，分母与分母 相加 【易错专练1】计算下列各题。                           【答案】；；；；    ；；； 【易错专练2】直接写得数。                                                                        【答案】；；；； ；；8；； 【易错专练3】计算。                                                                      【答案】9；； ；； 【易错专练4】计算。                                                                           【答案】；；； ；；； 【易错专练5】计算下面各题。                           【答案】；；；； 2；；； 易错点3：计算分数与小数相乘时，应灵活选取计算方法，能约分的先约分再计 算 【易错专练1】（    ）或（    ）（填小数）（    ）。 【答案】12；；0.5；1.2 【分析】计算（）时，可以把2.4化成分数再计算，也可以把化成小数再计算。 【解答】 因此或。 【易错专练2】计算。                         【答案】1.5；1.5； 3.5；0.14 【易错专练3】我会算。                           【答案】1.2；10.4；6.28；1； 1.5；0.75；2；4.5 【易错专练4】计算。                                                    【答案】0.3；2.7；6.3；5.6 1.6；；；1 【易错专练5】计算。                                                                                     【答案】；； ；0.26；0.3 【分析】、、、先将小数化成分数，再按分数乘分数的法则计算即可。 根据乘法结合律进行计算即可。 按从左到右的顺序进行计算即可。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1.3×0.2 ＝0.26 ＝ ＝0.3 易错点4：计算时，注意分数混合运算的运算顺序 【易错专练1】仔细算一算，怎样简便就怎样计算。      【答案】8；28 【分析】，利用乘法交换律进行简算； ，利用乘法分配律进行简算。 【解答】 【易错专练2】下面各题怎样简便就怎样算。                                           【答案】37；8； ； 【分析】（1）根据乘法分配律，进行简便运算。 （2）把第二个看作，再根据乘法分配律，进行简便运算。 （3）把2016转换为，再根据乘法分配律，进行简便运算。 （4）把转换为，再根据乘法分配律，进行简便运算。 【解答】 【易错专练3】我会算。（怎样简便怎样算）                【答案】；；15；12 【分析】，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，先把算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错专练4】计算下面各题。（能简算的要用简便方法计算）                   【答案】；23；5 5；； 【分析】利用乘法的交换律，可以先将和7相乘，正好等于1，据此简便计算； 利用乘法的分配律，将36分别与括号里面的数相乘，正好整数和分母可以约分； 利用乘法的交换律，将两个分数相乘，整数和分数相乘可以使整数和分母约分； 利用乘法的分配律，提出公因数，再将剩下的数相减即可； 将2009转化为2008＋1，再利用乘法的分配律，将括号里面的数分别与相乘，最后相加简便计算； 先算括号里面的减法和加法，异分母分数的减法通分转化为同分母分数的加减法计算，再相乘。 【解答】 ＝23 ＝5 【易错专练5】我会算。（怎样简便怎样算）                   【答案】；11；42   ；；1 【分析】×－×，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（－），再进行计算； 24×（－），根据乘法分配律，原式化为：24×－24×，再进行计算； （×34）×（13×），去掉括号，原式化为：×34×13×，再根据乘法交换律，原式化为：×13×34×，再根据乘法结合律，原式化为：（×13）×（34×），再进行计算； ×2＋×，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（2＋），再进行计算； ×28，把28化为27＋1，原式化为：×（27＋1），再根据乘法分配律，原式化为：×27＋×1，再进行计算； ＋－＋，根据带符号搬家，原式化为：－＋＋，再根据加法结合律，原式化为：（－）＋（＋），再进行计算。 【解答】×－× ＝×（－） ＝×1 ＝ 24×（－） ＝24×－24× ＝21－10 ＝11 （×34）×（13×） ＝×34×13× ＝×13×34× ＝（×13）×（34×） ＝7×6 ＝42 ×2＋× ＝×（2＋） ＝× ＝ ×28 ＝×（27＋1） ＝×27＋×1 ＝8＋ ＝ ＋－＋ ＝－＋＋ ＝（－）＋（＋） ＝0＋1 ＝1 易错点5：解决实际问题时，要找准所求量对应的分率 【易错专练1】习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，种植沙枣的棵数又是沙柳棵数的，这个区域种植沙枣树多少棵？ 【答案】400棵 【分析】将胡杨棵数看作单位“1”，胡杨棵数×沙柳对应分率＝沙柳棵数；再将沙柳棵数看作单位“1”，沙柳棵数×沙枣对应分率＝沙枣棵数，据此列式解答。 【解答】800×× ＝500× ＝400（棵） 答：这个区域种植沙枣树400棵。 【易错专练2】某校五年级同学去“红色纪念馆”开展研学旅行，接受革命传统文化和红色文化的熏陶。全程用时小时，其中路上用去的时间占总时间的，休息的时间占总时间的，剩下的是参观学习时间。参观学习时间是多少小时？ 【答案】小时 【分析】把全程用的总时间看作单位“1”，路上用去的时间、休息的时间分别占总时间的、，单位“1”已知，用总时间乘、，求出路上用去的时间、休息的时间； 再根据减法的意义，用总时间减去路上用去的时间，再减去休息的时间，即是参观学习的时间。 【解答】×＝（小时） ×＝（小时） －－ ＝－－ ＝（小时） 答：参观学习时间是小时。 【易错专练3】按照中国移动的收费标准，国内长途漫游通话费的标准大约是0.6元/分钟，开通“长话无忧”后，长途通话费只有原来的。淘气的爸爸每月的手机费大约180元，其中是长途通话费，开通“长话无忧”后，淘气的爸爸每月可节约手机费多少元？ 【答案】40元 【分析】先把淘气的爸爸每月的手机费看作单位“1”，其中是长途通话费，根据分数乘法的意义列式180×，求出淘气爸爸每月长途话费； 再把开通“长话无忧”后每月长途话费看作单位“1”；开通“长话无忧”后，长途通话费只有原来的，节约的手机费是开通“长话无忧”后手机费的（1－），单位“1”已知，用开通“长话无忧”后手机费×（1－），即可求出淘气的爸爸每月可节约手机费，据此解答。 【解答】180××（1－） ＝180×× ＝60× ＝40（元） 答：开通“长话无忧”后，淘气的爸爸每月可节约手机费40元。 【易错专练4】端午节这天，社区要发放给居民540个粽子，上午发放了这些粽子的，下午比上午多发放，下午发了多少个粽子？ 【答案】270个 【分析】分析题目，把粽子的总数量看作单位“1”，先根据求一个数的几分之几是多少用乘法，用粽子总数量乘求出上午发放的粽子数量；再把上午发放的粽子数量看作单位“1”，下午发放的数量是上午的（1＋），据此用上午发放的粽子数量乘（1＋）求出下午发放的粽子数量即可。 【解答】540××（1＋） ＝216×（1＋） ＝216× ＝270（个） 答：下午发了270个粽子。 【易错专练5】森林公园的门票每张60元。“旅游节”期间，门票降价了，旅游人数比平时增加了。“旅游节”期间该森林公园的收入是增加了还是减少了？ 【答案】增加了； 【分析】已知“旅游节”门票降价了，实际门票的价格是原来价格的1－，根据平时森林公园的门票每张60元，用乘法计算出实际门票价格；又已知旅游人数比平时增加了，把平时旅游人数看作单位“1”，实际旅游人数是原来的1＋。再根据单价×数量＝总价，计算出降价后的门票收入，最后与原来的门票收入比较即可。 【解答】60×（1－）×（1＋） ＝60×× ＝48× ＝64（元） 64＞60 答：“旅游节”期间该森林公园的收入是增加了。 专题二位置与方向（二） 易错点1：确定物体的相对位置时，要找准参照点或相反方向判断错误。 【易错专练1】如果地在地的南偏东方向上，那么地在地的（    ）方向上。 A．北偏西 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏东 【答案】A 【分析】根据方向的相对性，它们的方向相反，角度相等，距离相等；据此解答（答案不唯一）。 【解答】如果地在地的南偏东方向上，那么地在地的北偏西50°方向上。 故答案为：A 【易错专练2】小明家在学校的东偏南75°方向，那么学校在小明家的（    ）方向。 A．南偏东75° B．北偏西25° C．西偏北75° D．东偏南25° 【答案】C 【分析】根据方向的相对性：方向相反，角度相同。即与东相对的是西，与南相对的是北，据此选择即可。 【解答】小明家在学校的东偏南75°方向，那么学校在小明家的西偏北75°（或北偏西15°）方向。 故答案为：C 【易错专练3】小明家在超市北偏东40°方向，那么超市在小明家（    ）方向。 A．南偏西40° B．南偏西50° C．南偏东50° D．南偏东40° 【答案】A 【分析】小明家在超市北偏东40°方向，坐标中向上为北方，向右为东方，向左为西方，向下为南方，，即小明家在超市的右上角40°，与正上方的角度为40°。超市位于小明家的方向，即左下方，与正下方角度为40°，即南偏西40°，据此可得出答案。 【解答】小明家在超市北偏东40°方向，那么超市在小明家南偏西40°。 故答案为：A 【易错专练4】超市在学校东偏南30°方向，那么学校在超市的（    ）方向上。 A．西偏北30° B．西偏北60° C．南偏东30° D．南偏东60° 【答案】A 【分析】根据位置的相对性（方向相反，度数不变）来解答本题；如：我在你的西偏南40°方向上，你就在我的东偏北40°方向上。 【解答】因为：东与西相对，南与北相对，超市在学校东偏南30°方向，所以学校在超市的西偏北30°方向上。 故答案为：A 【易错专练5】小红家在小强家北偏东42°的方向上，小强家在小红家（    ）的方向上。 A．南偏西42° B．北偏东48° C．南偏西48° D．北偏东42° 【答案】A 【分析】小红家在小强家北偏东42°的方向上，是以小强家为观测点；小强家在小红家的方向是以小红家为观测点； 根据位置的相对性可知，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同，距离相同； 由此可知，北偏东42°相对的是南偏西42°，南和西之间的夹角是90°，90°－42°＝48°，所以南偏西42°方向，还可以说成西偏南48°方向。 【解答】90°－42°＝48° 小红家在小强家北偏东42°的方向上，小强家在小红家南偏西42°或西偏南48°的方向上。 故答案为：A 【易错专练6】超市在学校北偏东30°方向上，学校在超市（    ）方向上。 A．东偏北30° B．南偏西30° C．西偏南30° 【答案】B 【分析】根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，距离相等，据此解答。 【解答】超市在学校北偏东30°方向上，学校在超市南偏西30°方向上。 故答案为：B 【易错专练7】如图，奶奶家在超市的西偏北40°方向300m处，奶奶从家去超市，要向（    ）。 A．东偏南50°方向走500m B．北偏西50°方向走300m C．南偏东40°方向走500m D．东偏南40°方向走300m 【答案】D 【分析】图中是按照“上北下南、左西右东”的方向绘制的，奶奶家在超市的西偏北40°方向300m处，根据方向的相对性，以奶奶家为观测点，超市在奶奶家东偏南40°（或南偏东50°）方向，距离不变。据此解答。 【解答】由分析可知： 奶奶家在超市的西偏北40°方向300m处，奶奶从家去超市，要向东偏南40°（或南偏东50°）方向走300m。 故答案为：D 【易错专练8】北斗卫星导航系统是中国自主研发的卫星导航系统之一。根据我国北斗卫星定位显示：台风中心位于M市南偏西方向，还可以说成台风中心位于M市（    ）方向。 A．北偏东 B．东偏北 C．东偏南 D．西偏南 【答案】D 【分析】由于南偏西35°方向，是从南往西偏30°，也可以把这两个方向反着说，即西偏南的方向，正南和正西之间夹角是90°，由于从西往南偏，那么角度是90°－35°＝55°，据此即可选择。 【解答】由分析可知： 北斗卫星导航系统是中国自主研发的卫星导航系统之一。根据我国北斗卫星定位显示：台风中心位于M市南偏西方向，还可以说成台风中心位于M市西偏南55°方向。 故答案为：D 【易错专练9】在地图上万达广场在虎英公园的北偏西50°方向上，那么虎英公园在万达广场的（    ）方向上。 A．南偏东40° B．北偏东40° C．南偏东50° D．北偏东50° 【答案】C 【分析】根据方向的相对性：方向相反，角度相同。即北相反是南，西相反是东，据此选择即可。 【解答】据分析可知，在地图上万达广场在虎英公园的北偏西50°方向上，那么虎英公园在万达广场的南偏东50°方向上。 故答案为：C 【易错专练10】小明家在体育馆的东偏南30°方向上，则体育馆在小明家（    ）方向上。 A．南偏东30° B．西偏北30° C．北偏西30° D．西偏北60° 【答案】B 【分析】根据方向的相对性：方向相反，角度相同。即东相反是西，南相反是北，据此选择即可。 【解答】据分析可知，小明家在体育馆的东偏南30°方向上，则体育馆在小明家西偏北30°方向上。 故答案为：B 易错点2：画图时弄错观测点。 【易错专练1】海面上有一座灯塔，凤凰岛在灯塔的北偏西30°方向30千米，清凉岛在灯塔的南偏东50°方向20千米处，你能在图中表示出凤凰岛、清凉岛的位置吗？ 【答案】见详解 【分析】分析题目，先根据图上的1厘米等于实际的10千米分别算出实际的30千米和20千米画在图上的长度，再以灯塔为观测点，根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法确定出方向，并结合给出的角度及距离确定具体的位置，据此作图即可。 【解答】30÷10＝3（厘米） 20÷10＝2（厘米） 在图中表示出凤凰岛、清凉岛的位置，作图如下： 【易错专练2】A楼在B楼正北方向600m处，C楼在B楼东偏北40°方向900m处。请你在下图中分别画出A楼和C楼的位置。 【答案】见详解 【分析】根据地图方向的规定“上北下南，左西右东”，以B楼为观测点即可确定A楼、C楼的方向，再根据图上1cm表示实际300m，用A楼、C楼与B楼的实际距离分别除以300m，即可分别求出A楼、C楼与B楼的图上距离，从而画出A楼、C楼的位置。 【解答】600÷300＝2（cm）     900÷300＝3（cm）    【易错专练3】台球是很多人喜欢的项目。请根据描述在图中标出各个球的位置。 1号球在白球南偏东30°方向10厘米处； 2号球在白球的北偏西50°方向30厘米处； 3号球在白球的南偏西70°方向20厘米处。 【答案】见详解 【分析】（1）图中1厘米表示实际距离10厘米，以白球为观测点，根据地图“上北下南，左西右东”的规定，在白球的南偏东30°方向画一条1厘米长的线段，线段的另一个端点就是1号球的位置。 （2）30÷10＝3（厘米），同样以白球为观测点，在北偏西50°方向画一条3厘米的线段，并标出2号球的位置。 （3）20÷10＝2（厘米），在白球的南偏西70°方向画出2厘米长的线段，标出3号球的位置。 【解答】 【易错专练4】画一画，标一标。 （1）超市在学校北偏西60°方向，距学校1200米。 （2）书店在学校东偏北70°方向，距学校900米。 （3）电信局在学校东偏南30°方向，距学校300米。 （4）小明家在学校西偏南45°方向，距学校600米。 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【分析】根据题意可知，1厘米表示300米，先分别计算出学校到超市、书店、电信局、小明家的图上距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以学校为观测点，分别画出超市、书店、电信局、小明家的位置，据此解答。 【解答】（1）1200÷300＝4（厘米） 如下图： （2）900÷300＝3（厘米） 如下图： （3）300÷300＝1（厘米） 如下图： （4）600÷300＝2（厘米） 如下图： 【易错专练5】请你在下面的平面图上标出下面建筑的位置。 （1）少年宫在学校的西偏北30°方向上，距离学校600米。 （2）邮电局在学校的南偏西40°方向上，距离学校800米。 （3）医院在学校的东偏南45°方向上，距离学校1000米。 （4）超市在医院的正北方向，距离医院400米。 【答案】见详解 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离200米； 在学校的西偏北30°方向上画600÷200＝3厘米长的线段，即是少年宫； 在学校的南偏西40°方向上画800÷200＝4厘米长的线段，即是邮电局； 在学校的东偏南45°方向上画1000÷200＝5厘米长的线段，即是医院； 在医院的正北方向上画400÷200＝2厘米长的线段，即是超市。 【解答】如图： 【易错专练6】根据下面的描述，在平面上标出扎西和卓玛家的位置。以学校为观测点，扎西家在学校的北偏东45度方向800米处，卓玛家在学校的西偏北30度方向600米处。 【答案】见详解 【分析】由图可知，图上1厘米表示实际距离100米，则扎西家与学校的图上距离为800÷100＝8厘米；卓玛家与学校的图上距离为600÷100＝6厘米；以学校为观测点，按照“上北下南，左西右东”分别在平面上标出扎西和卓玛家的位置，据此解答即可。 【解答】 【易错专练7】请在下面的平面图上标出各场所的位置。 （1）儿童乐园在人工湖的东偏北30°方向300米处。 （2）影视城在人工湖的北偏西40°方向200米处。 （3）水上世界在人工湖的南偏东20°方向400米处。 （4）丛林探险在人工湖的正西方向500米处。 【答案】图见详解 【分析】（1）以人工湖为观测点，儿童乐园在人工湖的东偏北30°方向，长度是300米处，300÷200＝1.5，即图中1.5段长度； （2）以人工湖为观测点，影视城在人工湖的北偏西40°方向，长度是200米，200÷200＝1，即图中1段长度； （3）以人工湖为观测点，水上世界在人工湖的南偏东20°方向，长度是400米，400÷200＝2，即图中2段长度； （4）以人工湖为观测点，丛林探险在人工湖的正西方向，长度是500米，500÷200＝2.5，即图中2.5段长度；据此作图。 【解答】由分析作图如下： 【易错专练8】根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）图书馆在学校的北偏西30°方向300米处。 （2）派出所在学校的东偏北45°方向500米处。 （3）银行在学校的南偏西45°方向400米处。 （4）邮局在学校的东偏南20°方向600米处。 【答案】见详解 【分析】图上通常是按照“上北下南、左西右东”的方向绘制的，图上用一段线段代表200米，计算出各个地点需要用几段线段表示与学校的距离。以学校为观测点，确定各个地点对于学校的方向，以及方向之间的角度和计算出的线段长度来作图。 【解答】（1）300÷200＝1.5（段） （2）500÷200＝2.5（段） （3）400÷200＝2（段） （4）600÷200＝3（段） 如图所示： 【易错专练9】操作。 （1）体育场在东东的北偏东45°方向1000米处。 （2）火车站在东东的南偏西70°方向1500米处。 （3）东东家在广场的西偏北50°方向1000米处。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）根据题意可知，1厘米表示500米，计算出体育场到东东家的图上距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以东东家为观测点，画出体育场的位置； （2）计算出火车站到东东家的图上距离，再以东东家为观测点，画出火车站的位置； （3）计算出东东家到广场的图上距离；再根据方向的相对性：根据方向的相对性，它们的方向相反，角度相等，距离相等；以东东家为观测点，确定出广场的位置，再画出广场的位置，据此解答。 【解答】（1）1000÷500＝2（厘米） 如下图： （2）1500÷500＝3（厘米） 如下图： （3）90°－50°＝40° 广场在东东家东偏南50°（或南偏东40°）方向1000米处。 1000÷500＝2（厘米）如下图： 【易错专练10】根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）学校在图书馆的北偏西45°方向1000米处。 （2）超市在图书馆的东偏南30°方向2000米处。 【答案】见详解 【分析】先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合题中角度找出方向，最后根据两地之间的距离确定各场所的位置。 （1）以图书馆为观测点，在图书馆正北偏西45°方向上截取1000÷500＝2个单位长度，标出角度并在终点处标注学校； （2）以图书馆为观测点，在图书馆正东偏南30°方向上截取2000÷500＝4个单位长度，标出角度并在终点处标注超市。 【解答】根据分析作图如下： 易错点3：描述方向时，先说正方向，再说偏离的方向。 【易错专练1】根据下图所给的信息，请你说一说小明从家到电影院的具体路线。 【答案】见详解 【分析】根据“上北下南，左西右东”及角度信息和距离描述从家到电影院的路线即可。 【解答】小明从家出发先向西偏南40°方向走150米到达游乐场，再向正西方走200米到达广场，接着向西偏北35°方向走350米到达超市，然后向正南方走100米到达书亭，最后再向西偏南15°方向走200米到达电影院。 【点评】本题考查方向和位置，明确“上北下南，左西右东”及角度信息是解题的关键。 【易错专练2】根据图中信息描述路线。 古丝绸之路积淀了以和平合作、开放包容、互学互鉴、互利共赢为核心的丝路精神。下图是古丝绸之路的部分路线示意图。请描述从敦煌出发到马鲁的路线。 【答案】见详解 【分析】图上方位是“上北下南，左西右东”，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”来确定目的地在观测点的哪个方向，然后确定行走的路线，注意三个要素：观测点（即参照物）、方向、距离。据此即可解答。 【解答】答：从敦煌出发，向南偏西方向60°方向走500千米到达楼兰；再向西偏北10°方向走700千米到达和田；再向北偏西60°方向走1500千米到达马鲁。 【易错专练3】下面是某部队行军路线图，请写出从军营到1号目的地的行军路线。 【答案】从军营出发，先向西偏北50°方向走3千米，再向西走3千米，然后向南偏西30°方向走1千米，最后向东偏南45°方向走2千米到达1号目的地 【分析】先根据“上北下南，左西右东”确定行走的方向，再根据给出的角度确定方向对应的角度，最后根据图中给出的距离确定具体的行走路程，据此解答。 【解答】答：从军营出发，先向西偏北50°方向走3千米，再向西走3千米，然后向南偏西30°方向走1千米，最后向东偏南45°方向走2千米到达1号目的地。 【易错专练4】下图是小宇一家规划的周末出游路线。 （1）请你描述小宇从酒店出发游览植物园、科技园、文化馆后到达动物园的出游路线。 （2）在动物园东偏南50°方向，距离动物园1000米处有一家书店，请你在图中用“▲”标记出书店的位置。 【答案】（1）小宇的出游路线为：从酒店出发，向南偏东25°方向走1500米到达植物园，接着向东偏北15°方向走1000米到达科技园，再向北走500米到达文化馆，最后向北偏东45°方向走2000米到达动物园； （2）作图见详解。 【分析】（1）由图可知，从酒店到植物园的方向是南偏东25°，图中酒店到植物园的线段有3段，因为一段代表500米，所以距离为3×500＝1500米，所以从酒店出发，向南偏东25°方向走1500米到达植物园； 从植物园到科技园的方向是东偏北15°方向，植物园到科技园的线段有2段，距离为2×500 ＝1000米，即从植物园向东偏北15°走1000米到达科技园； 从科技园到文化馆的方向是正北方向，科技园到文化馆的线段有1段，距离为1×500＝500米，也就是从科技园向正北方向走500米到达文化馆； 从文化馆到动物园的方向是北偏东45°，文化馆到动物园的线段有3段，距离为4×500＝2000米，即从文化馆向北偏东45°方向走2000米到达动物园。 （2）1000÷500＝2段，在图上动物园东偏南50°方向，画2段即可表示书店的位置。 【解答】（1）小宇的出游路线为：从酒店出发，向南偏东25°方向走1500米到达植物园，接着向东偏北15°方向走1000米到达科技园，再向北走500米到达文化馆，最后向北偏东45°方向走2000米到达动物园； （2）书店的位置如下： 。 【易错专练5】一艘军舰，从起点向东偏北60°行驶72km后向东行驶36km，最后向南偏西30°行驶24km到达终点。 （1）根据描述补充路线图。 （2）根据路线图。写出军舰按原路返回所走的方向和路程。 【答案】（1）作图见详解 （2））军舰按原路返回从终点出发向北偏东30°（或东偏北60°）行驶24km，再向西行驶36km，最后向西偏南60°（南偏西30°）行驶72km到达起点。 【分析】（1）先确定观测点，再根据上北下南，左西右东确定方向，根据图上1单位距离表示实际距离12km，用实际距离除以12得到图上距离，据此作图。 （2）根据方向的相对性：方向相反，角度相同，距离相等。例如向南偏西30°行驶24km到达终点，相反即从终点出发向北偏东30°行驶24km，据此选择即可。 【解答】（1）（段） （段） （段） 据分析作图如下： （2）军舰按原路返回从终点出发向北偏东30°（或东偏北60°）行驶24km，再向西行驶36km，最后向西偏南60°（南偏西30°）行驶72km到达起点。 【易错专练6】住在幸福小区的黄老师每天骑共享单车去实验小学教育集团上班，下面是她上班的路线图。 （1）请你描述黄老师上班时所走的路线。 （2）学校上午8：00上课，她7：45从家出发，如果骑车速度为18千米/时。她会迟到吗？请列式说说你判断的理由。 【答案】（1）见详解 （2）会；理由见详解 【分析】（1）用方向和距离结合来描述路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。 （2）将各段路程相加求出总路程，根据终点时间－起点时间＝经过时间，求出7：45到8：00的经过时间，再根据速度×时间＝路程，求出这段时间可以行驶的路程，与总路程比较即可。 【解答】（1）黄老师从幸福小区出发，先向北偏东40°或东偏北50°方向走1200米到少年宫，再向南偏东50°或东偏南40°方向走1500米到第一中学，再向北偏东60°或东偏北30°方向走1500米到百货商场，最后向正东方向走1800米到实验小学。 （2）1200＋1500＋1500＋1800＝6000（米） 8：00－7：45＝15（分钟） 15分钟＝小时 18×＝4.5（千米） 4.5千米＝4500米 6000＞4500 答：她会迟到。 【易错专练7】操作。 （1）周末阳阳骑车从新华书店去万达广场购物，根据路线图描述阳阳骑车去购物所走的路线。 （2）阳阳10：30分从万达广场骑车回家，如果每分钟骑行500米，在每个路口等待1分钟，阳阳什么时间可以回到家？ 【答案】（1）阳阳骑车从新华书店向东偏南30°（或南偏东60°）骑9千米到超市，再向西偏南40°（或南偏西50°）骑6千米，到达万达广场。 （2）11：12 【分析】（1）先确定观测点，根据上北下南左西右东的方向，以及角度、距离，即可解答； （2）先求出从万达广场骑车回家的路程，再根据时间＝路程÷速度，求出从万达广场骑车回家的时间，再加上两个路口等待的时间得到经过的时间，最后根据到达时间＝开始时间＋经过时间，即可解答。 【解答】（1）阳阳骑车从新华书店向东偏南30°（或南偏东60°）骑9千米到超市，再向西偏南40°（或南偏西50°）骑6千米，到达万达广场。 （2）500米＝0.5千米 （6＋9＋5）÷0.5 ＝20÷0.5 ＝40（分钟） 40＋2＝42（分钟） 10时30分钟＋42分钟＝11时12分钟 答：阳阳11：12可以回到家。 【易错专练8】豆豆上学。 （1）看图描述豆豆从家到学校的路线。 （2）学校8：00开始上课。一天早上，豆豆7：30从家出发走到商场时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学。如果豆豆每分钟走60米，他会迟到吗？ 【答案】（1）见详解 （2）不会迟到 【分析】（1）根据图上的方向和距离以及夹角的度数描述出上学的线路即可； （2）将每段的路程相加，除以速度即可求出时间；这天比平时多走了2个300米，先计算出多用的时间，再加上原来用的时间即可求出这天用的时间，然后判断出到校的时间，再与8：00比较即可。 【解答】（1）豆豆每天从家到学校，先向正东方向走300米到商场，再向东偏南45°方向走150米到公园，接着从公园向东偏北60°方向走200米到医院，再向正东方向走310米到广场，最后从广场向东偏北20°方向走180米到学校。 （2）8时－7时30分＝30分 （300＋150＋200＋310＋180）÷60 ＝（450＋200＋310＋180）÷60 ＝（650＋310＋180）÷60 ＝（960＋180）÷60 ＝1140÷60 ＝19（分钟） 300×2÷60＋19 ＝600÷60＋19 ＝10＋19 ＝29（分钟） 7时30分＋29分＝7时59分 此时还不到8：00，所以他不会迟到。 答：豆豆不会迟到。 【易错专练9】12路公共汽车从起点站出发，先向西偏北40°行驶3千米走到A站，然后再向正西行驶5千米到达B站，最后向西偏南50°行驶4千米到达终点站。 （1）根据上面的描述，把12路公共汽车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，描述12路公共汽车原路返回时所行驶的方向和路程。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据地图上的方位是“上北下南、左西右东”，根据题意可知，图上1个单位长度表示1千米，据此画出12路公共汽车行驶的线路图即可； （2）根据方向的相对性，写出公共汽车原路返回的行驶路线。 【解答】（1）作图如下： （2）12路公交车从终点站返回起点：先向东偏北50°行驶4千米到达B点，再向正东行驶5千米达A点，然后向东偏南40°行驶3千米到达起点。 【易错专练10】根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）小东家在广场西偏南35°方向900米处。 （2）小丽家在广场北偏西20°方向600米处。 （3）张强家在广场东偏北30°方向1200米处。 （4）说一说张强从家出发先到广场再到小东家的路线。张强从家出发，沿（    ）方向走（    ）米，到达广场，然后改变方向，沿（    ）方向走（    ）米，到达小东家。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 （4）西偏南30°；1200；西偏南35°；900米 【分析】以广场为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离300米。 （1）在广场的西偏南35°方向上画900÷300＝3厘米长的线段，即是小东家。 （2）在广场的北偏西20°方向上画600÷300＝2厘米长的线段，即是小丽家。 （3）在广场的东偏北30°方向上画1200÷300＝4厘米长的线段，即是张强家。 （4）写出张强从家出发先到广场再到小东家的路线，确定路线时，注意起始点与目的地，起始点是观测点，在地图上按照“上北下南，左西右东”确定方向，用方向、角度和距离描述路线。 【解答】（1）（2）（3）如图： （4）张强从家出发，沿西偏南30°方向走1200米，到达广场，然后改变方向，沿西偏南35°方向走900米，到达小东家。 【点评】本题考查方向与位置的知识，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置以及描述路线图。 专题三分数除法 易错点1：没有理解倒数的意义。 【易错专练1】分母是6的最小真分数的倒数是（ ）；0.75和（ ）互为倒数。 【答案】6 【分析】真分数：分子小于分母的分数（且分子、分母均为正整数），真分数的值小于1。分母是6的真分数：分子可以是1、2、3、4、5，对应的分数为、、、、。分子越小，分数值越小，因此分母是6的最小真分数是。乘积为1的两个数互为倒数，求分数的倒数只需交换分子和分母的位置（0没有倒数）。 求小数的倒数，需先将小数化为最简分数。0.75是两位小数，可化为，约分后为（分子分母同时除以25）。交换的分子和分母，即可得到0.75的倒数。 【解答】分母是6的真分数：、、、、，最小是。 的倒数是6。 0.75＝ 交换的分子和分母，即。 分母是6的最小真分数的倒数是6；0.75和互为倒数。 【易错专练2】若a、b互为倒数，则2024－3ab＝（ ）；若a没有倒数，b的倒数是它本身，则2024－3ab＝（ ）。 【答案】2021 2024 【分析】若a、b互为倒数：根据倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，所以当a、b互为倒数时，ab＝1。然后代入（2024－3ab）即可解答。 因为0没有倒数，所以由a没有倒数可知a＝0，又因为1的倒数是它本身，所以由b的倒数是它本身可知b＝1，代入（2024－3ab）即可解答。 【解答】若a、b互为倒数：ab＝1。 2024－3ab＝2024－3×1＝2024－3＝2021 若a没有倒数，b的倒数是它本身：a＝0，b＝1。 2024－3ab＝2024－3×0×1＝2024－0＝2024 【易错专练3】的分数单位是（ ），当a等于（ ）时，这个数的倒数是最小的质数。 【答案】 5 【分析】分数单位的定义是：把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数，叫做分数单位。对于分数，它是把单位“1”平均分成了10份，所以它的分数单位是。 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。最小的质数是2。一个数的倒数是2，那么这个数就是2的倒数，即（因为互为倒数的两个数乘积为1，2×＝1）。所以题目中要等于，可列等式：＝。然后根据等式的性质，等式两边同时乘10即可解答。 【解答】它是把单位“1”平均分成了10份，它的分数单位是。 最小的质数是2，2的倒数是。 ＝ ×10＝×10 a＝5 的分数单位是，当a等于5时，这个数的倒数是最小的质数。 【易错专练4】下面是一个正方体的平面展开图。每个面上都填有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么mn的值为（ ）。 【答案】/0.5 【分析】由正方体的平面展开图可知，2与m相对，1与n相对；已知相对的两个面上的数互为倒数，即这两个面的乘积为1，据此求出m、n的值，再把m、n的值代入mn中，计算出mn的乘积即可。 【解答】从图中可知，2与m相对，1与n相对； 2×m＝1，则m＝1÷2＝； 1×n＝1，则n＝1÷1＝1； 当m＝，n＝1时，mn＝×1＝。 所以mn的值为（）。 【易错专练5】的倒数是（ ），和（ ）互为倒数。 【答案】/ 6 【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数。求倒数的方法：求一个分数的倒数，就把这个分数的分子和分母交换位置。 【解答】由分析可得：的倒数是，和6互为倒数。 易错点2：没有掌握分数除法的计算法则，导致计算出错。 【易错专练1】直接写得数。                                            【答案】；；； 18；； 【易错专练2】算一算。                           【答案】；；；； ；；； 【易错专练3】直接写出得数。                                                        【答案】；；；；   ；0；；； 【易错专练4】直接写出得数。                                                                    【答案】12；；； ；；；2.7 【易错专练5】直接写得数。 ×＝         ÷＝         －＝         ×＝ ÷＝        ÷＝         ＋＝         ÷＝ 【答案】；；； ；6；； 易错点3：转化乘法后，未能正确约分。 【易错专练1】直接写出得数。                                                            【答案】；；；0 ；；； 【易错专练2】直接写出得数。                                                                                  【答案】；；1；5； 1；1；3； 【易错专练3】直接写得数。                                                                    【答案】；63；；1；1 ；；；；27 【易错专练4】直接写得数。                           【答案】；；；1.2； ；；4；0 【易错专练5】直接写得数。 ＝       ×2.4＝       ＝       ×10＝       ×0＝ ÷2＝       ÷14＝       8÷＝       ＝       ＝ 【答案】；2；；；0； ；；10；； 易错点4：在进行分数乘除法计算时，混淆了乘、除法。 【易错专练1】计算下面各题。                  【答案】；；78 【分析】，先算除法，再算乘法，除以一个数等于乘这个数的倒数； ，将小数化成分数，先算乘法，再算除法； ，将除法改成乘法，小数化成分数，利用乘法交换律，交换后边两个乘数的位置，再从左往右算。 【解答】 【易错专练2】计算：                   【答案】； 【分析】（1）先把除法转化成乘法，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （2）先把除法转化成乘法，再根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； 【解答】（1） （2） 【易错专练3】脱式计算。                    【答案】；6；24 【分析】（1）按照从左到右的顺序，先将除法转化为乘法，即÷＝×＝，然后×＝。 （2）同样先将除法转化为乘法，3÷＝3×＝8，8×＝6。 （3）依次进行除法运算，÷＝×＝，÷＝×＝24。 【解答】（1） ＝ ＝ （2） ＝8× ＝6 （3） ＝ ＝24 【易错专练4】下面各题，怎样简便就怎样算。                                                                   【答案】；；； ；；84 【分析】三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。叫做乘法结合律。 两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，叫做乘法交换律。 ，从左往右依次计算即可； ，先把除法化为乘法，然后从左往右依次计算即可； ，先把除法化为乘法，然后从左往右依次计算即可； ，先把除法化为乘法，然后从左往右依次计算即可； ，先把除法化为乘法，然后从左往右依次计算即可； ，先把除法化为乘法，然后去掉括号，再根据乘法交换律和乘法结合律，将算式变为进行计算即可。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错专练5】脱式计算。                                               【答案】6； ； 【分析】12×÷，先计算乘法，再计算除法； ÷÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，约分，再进行计算； ××，约分，再进行计算； ×÷×，把除法换算成乘法，原式化为：×××，再根据乘法交换律，原式化为：×××，再进行计算。 【解答】12×÷ ＝× ＝6 ÷÷ ＝×× ＝ ＝ ×× ＝ ＝ ×÷× ＝××× ＝××× ＝1×× ＝× ＝ 易错点5：实际问题中的单位“1”判断错误。 【易错专练1】食堂有一些大米，第一周吃掉总数的，第二周吃了180千克，这时剩下的大米和吃了的大米一样多，食堂原有大米多少千克？ 【答案】1200千克 【分析】已知“剩下的大米和吃了的大米一样多”，说明吃了的大米占总数的。第一周吃掉总数的，吃了的大米总共占总数的，那么第二周吃的180千克大米占总数的分率为：（）。 已知180千克大米占总数的（），根据“总数＝部分量÷对应分率”，把数据代入计算即可解答。 【解答】“剩下的大米和吃了的大米一样多”，说明吃了的大米占总数的。 ＝ ＝ ＝ ＝1200（千克） 答：食堂原有大米1200千克。 【易错专练2】北京颐和园是世界上保存最完整的古代皇家园林之一。据颐和园工作人员统计，某天游览时租用讲解器的人数比游览总人数的少200人，未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，租用讲解器和未租用讲解器的人数分别是多少？ 【答案】租用讲解器的有200人，未租用讲解器的有1000人。 【分析】根据题目信息：租用讲解器的人数比总人数的少200人，可知未租用讲解器的人数是总人数的多200人，又知未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，则总人数的比多人，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可求出总人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算求出总人数的再减200可得租用讲解器的人数，再用总人数减租用讲解器的人数可得未租用讲解器的人数。 【解答】（200－40）÷[－（1－）] ＝160÷[－] ＝160÷[－] ＝160÷ ＝ ＝1200（人） 1200×200 ＝ ＝200（人） 1200－200＝1000（人） 答：租用讲解器的有200人，未租用讲解器的有1000人。 【点评】要先找出一个具体数量占总人数的几分之几，据此求出总人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算对应分率的人数即可。 【易错专练3】一本故事书，小华从第一页开始看起，第一天看了总页数的多3页，第二天看了余下的少4页，还剩122页没有看。这本故事书一共有多少页？ 【答案】240页 【分析】本题可进行倒推，从题意可知，第二天看了余下的少4页，说明剩下没有看的比余下的多4页，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用除法求出第一天看后余下的页数，同理第一天看了后余下的比总页数的少3页，用除法可求出这本故事书的总页数。 【解答】 ＝ ＝ ＝177（页） ＝ ＝ ＝240（页） 答：这本故事书一共有240页。 【易错专练4】兄弟四人一起去买一台电视机，老大带的钱是另外3个人的总数的一半，老二带的钱是另外3个人的总钱数的，老三带的钱是另外3个人总钱数的，老四带去910元，那么这台电视机多少钱？ 【答案】4200元 【分析】从题意可知：以4人带的总钱数为单位“1”，老大带的钱是总数的，老二带的钱是总钱数的，老三带的钱是总钱数的，老四带去910元，占总钱数的（1－－－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用老四带的钱÷（1－－－），即可求出这台电视机的价钱（4人带的总钱数）。 【解答】910÷（1－－－） ＝910÷（1－－－） ＝910÷ ＝910× ＝4200（元） 答：这台电视机4200元。 【易错专练5】围棋起源于中国，春秋战国时期曾有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，此后又流传到欧美各国，围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现。盒子里现有黑白两种颜色的围棋子共361枚，乐乐拿出白棋子的，明明拿出37枚黑棋子，剩下的白棋子数和黑棋子数正好相等。原有黑、白棋子各多少枚？ 【答案】黑棋子181枚，白棋子180枚 【分析】把原有白棋子数量看作单位“1”。拿出37枚黑棋子后，剩下棋子总数为361－37＝324枚；此时剩下的白棋子是原来白棋子的1－＝，且剩下白棋子数和黑棋子数相等，那么剩下棋子总数相当于原来白棋子数量的1＋＝，即324枚对应的分率是，用324÷计算出单位“1”的量，也就是白棋子的数量，最后用总数量减去白棋子的数量就是原有黑棋子的数量。 【解答】（361－37）÷[1＋（1－）] ＝324÷[1＋] ＝324÷[＋] ＝324÷ ＝324× ＝36×5 ＝180（枚） 361－180＝181（枚） 答：原有黑棋子181枚，白棋子180枚。 专题四比 易错点1：比的意义理解错误，比的后项有的时候可以是0。 【易错专练1】在2024年6月11日的世预赛中，韩国足球队以1∶0胜中国足球队，说明在特殊情况下，比的后项可以是0。（ ） 【答案】× 【分析】根据数学中“比”的定义，比的后项相当于除法中的除数，除数不能为0，因此比的后项也不能为0。体育比赛中的比分“1∶0”是记录得分情况的一种方式，属于特定领域的表达，与数学中的“比”含义不同。 【解答】数学中的“比”表示两个数相除的关系，因此比的后项不能为0。足球比赛中的“1∶0”仅表示双方得分结果，并非数学中的比。原说法错误。 故答案为：× 【易错专练2】从甲地到乙地，客车行完全程要2小时，货车行完全程要3小时，客车与货车的速度比是3∶2。（ ） 【答案】√ 【分析】假设从甲地到乙地的路程为6，已知客车行完全程要2小时，货车行完全程要3小时，根据“速度＝路程÷时间”分别计算出各自的速度，写出对应的比即可。 【解答】6÷2＝3 6÷3＝2 所以客车与货车的速度比是3∶2。 故答案为：√ 【易错专练3】从学校到邮局，甲用7分钟，乙用8分钟，甲、乙的速度比是7∶8。（ ） 【答案】× 【分析】分析题目，把学校到邮局的路程看作“1”，根据速度＝路程÷时间求出甲、乙的速度，再根据比的意义写出甲、乙的速度比，最后根据比的基本性质把结果化成最简整数比并判断即可。 【解答】1÷7＝ 1÷8＝ 甲的速度∶乙的速度 ＝∶ ＝（×56）∶（×56） ＝8∶7 即从学校到邮局，甲用7分钟，乙用8分钟，甲、乙的速度比是8∶7。 故答案为：× 【易错专练4】加工一种机器零件，甲需要6分钟完成，乙需要5分钟完成，甲乙两人的工作效率之比是5∶6。（ ） 【答案】√ 【分析】将加工这种零件这项工作看作单位“1”，工作总量÷工作时间＝工作效率，用单位“1”分别除以6分钟和5分钟，求出甲和乙的工作效率，从而求出甲乙的工作效率之比。 【解答】甲工作效率：1÷6＝ 乙工作效率：1÷5＝ 甲乙工作效率之比：∶＝（×30）∶（×30）＝5∶6 甲乙两人的工作效率之比是5∶6。原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练5】2024年小明和小环的年龄比是2∶3，到2030年小明和小环的年龄比仍是2∶3。（ ） 【答案】× 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变。据此可知：从2024年到2030年，经过2030－2024＝6年，小明和小环的年龄分别增加了6岁，设2024年小明和小环的年龄分别是2岁和3岁，求出6年后的年龄比即可判断。 【解答】设2024年小明和小环的年龄分别是2岁和3岁。 2030－2024＝6（年） （2＋6）∶（3＋6） ＝8∶9 原题说法错误。 故答案为：× 易错点2：将比的基本性质与分数的基本性质混淆 【易错专练1】如果3∶7的前项乘3，要使比值不变，后项应是（ ）；如果前项加9，要使比值不变，后项应加（ ）。 【答案】21 21 【分析】已知3∶7的前项乘3，要使比值不变，根据比的基本性质，后项也应乘3，即7×3＝21。如果前项加9，则前项变为3＋9＝12。因为12÷3＝4，所以相当于前项乘4。要使比值不变，后项也应乘4，即7×4＝28。那么后项应加28－7＝21。 【解答】3∶7的前项是3，后项是7。 7×3＝21 3＋9＝12 12÷3＝4 7×4＝28 28－7＝21 如果3∶7的前项乘3，要使比值不变，后项应是21；如果前项加9，要使比值不变，后项应加21。 【易错专练2】在中，如果比的后项加上21，要使比值不变，前项应加上（ ）。 【答案】9 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。 【解答】在3∶7中，如果比的后项加上21，即7＋21＝28，28÷7＝4，相当于后项乘4，要使比值不变，前项应乘4，即3×4＝12，12－3＝9。 因此，要使比值不变，前项应加上9。 【易错专练3】如果把4∶5的前项加上8，要使比值不变，后项应该（ ）。 【答案】乘3 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，据此可以先算出前项加上8之后相当于给前项乘了几，则后项也应该乘这个数，据此解答。 【解答】4＋8＝12 12÷4＝3 5×3＝15 15－5＝10 如果把4∶5的前项加上8，要使比值不变，后项应该乘3或加上10。 （答案不唯一） 【易错专练4】与1.5化成最简整数比是（ ），比值是（ ）；如果这个最简整数比的前项增加3，要使比值不变，后项应该增加（ ）。 【答案】1∶5 0.2 15 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数不为0的数，比值不变，据此即可化简；根据比值的求法：用比的前项÷比的后项，得到的结果即是比值；最后一个空根据比的基本性质填空即可。 【解答】∶1.5 ＝（×10）∶（1.5×10） ＝3∶15 ＝（3÷3）∶（15÷3） ＝1∶5 比值：1∶5＝1÷5＝0.2 前项增加3，此时变为：1＋3＝4，相当于1×4＝4，前项乘4，那么后项也应该乘4，即4×5＝20，20－5＝15 与1.5化成最简整数比是1∶5，比值是0.2；如果这个最简整数比的前项增加3，要使比值不变，后项应该增加15。 【易错专练5】一个比的比值是2，后项是0.7，前项是（ ）；把这个比的前项加上2.8，要使比值不变，后项应加上（ ）。 【答案】1.4 1.4 【分析】比值：比的前项除以比的后项所得的结果是这个比的比值，所以比的前项＝比值×比的后项。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 用比的前项加上2.8，求出比的前项扩大到原来的几倍，接着用比的后项乘相同的倍数再减去原来的后项，即可求出后项应加上几。据此填空即可。 【解答】2×0.7＝1.4，所以这个比是1.4∶0.7 1.4＋2.8＝4.2，4.2÷1.4＝3，即前项乘3，要使比值不变，后项也应该乘3 0.7×3＝2.1，2.1－0.7＝1.4 一个比的比值是2，后项是0.7，前项是1.4；把这个比的前项加上2.8，要使比值不变，后项应加上1.4。 易错点3：求比值与化简比概念混淆。 【易错专练1】把下面各比化成最简整数比，要写化简过程。 45∶15               【答案】3∶1；3∶10 【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比。 【解答】45∶15 ＝（45÷15）∶（15÷15） ＝3∶1 ∶ ＝（×18）∶（×18） ＝3∶10 【易错专练2】先把下面各比化成最简单的整数比，再求出比值。                           39∶21 【答案】2∶3； 2∶7； 13∶7； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此把各比化成最简单的整数比。比的前项除以后项就是比值，据此求出各比的比值。 【解答】 【易错专练3】求比值。      【答案】； 【分析】求比值的结果是一个数，求比值直接用比的前项÷后项即可。 【解答】     【易错专练4】化简比。 150∶85            0.6∶          0.6∶0.16 【答案】30∶17；15∶4；15∶4 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变。据此解答。 【解答】150∶85       ＝（150÷5）∶（85÷5） ＝30∶17 0.6∶ ＝（0.6×25）∶（×25） ＝15∶4 0.6∶0.16 ＝（0.6×100）∶（0.16×100） ＝60∶16 ＝（60÷4）∶（16÷4） ＝15∶4 【易错专练5】求比值。 72∶48          2.8∶1.4      ∶ 【答案】1.5；2； 【分析】用比的前项除以后项即可求出比值。据此解答。 【解答】72∶48   ＝72÷48 ＝1.5   2.8∶1.4   ＝2.8÷1.4 ＝2 ∶ ＝  ÷ ＝× ＝ 易错点4：化简不同单位的比时，未先统一单位。 【易错专练1】求比值。 0.4千米∶75米＝ 【答案】 【分析】根据比值的定义，用比的前项除以后项即可，注意单位的换算：1千米＝1000米。 【解答】0.4千米∶75米 ＝（0.4×1000）米∶75米 ＝400∶75 ＝400÷75 ＝ 0.4千米∶75米＝ 【易错专练2】化简比。 500克∶千克＝ 【答案】5∶4 【分析】先统一单位为克，再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。前项与后项同时除以100，即可得解。 【解答】500克∶千克 ＝500克∶400克 ＝500∶400 ＝ ＝5∶4 【易错专练3】求下面各比的比值。 0.8米∶24厘米          45分∶1小时          150克∶0.5千克 【答案】；； 【分析】用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。 比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再根据比值的意义求解。 【解答】（1）0.8米∶24厘米 ＝（0.8×100）厘米∶24厘米 ＝80∶24 ＝80÷24 ＝ （2）45分∶1小时 ＝45分∶（1×60）分 ＝45∶60 ＝45÷60 ＝ （3）150克∶0.5千克 ＝150克∶（0.5×1000）千克 ＝150∶500 ＝150÷500 ＝ 【易错专练4】化简单位不统一的比。 （1）750厘米∶45分米＝ （2）1.2千克∶180克＝ （3）320平方分米∶0.8平方米＝ 【答案】（1）5∶3 （2）20∶3 （3）4∶1 【分析】（1）先根据1分米＝10厘米将45分米化成450厘米，再化简即可； （2）先根据1千克＝1000克将1.2千克化成1200克，再化简即可； （3）根据1平方米＝100平方分米将0.8平方米化成80平方分米再进行化简即可。 【解答】（1）750厘米∶45分米 ＝750厘米∶450厘米 ＝（750÷150）∶（450÷150） ＝5∶3 （2）1.2千克∶180克 ＝1200克∶180克 ＝（1200÷60）∶（180÷60） ＝20∶3 （3）320平方分米∶0.8平方米 ＝320平方分米∶80平方分米 ＝（320÷80）∶（80÷80） ＝4∶1 【易错专练5】把下面各比化成最简单的整数比。 ∶        120m∶km          2.7L∶30mL 【答案】25∶12；4∶25；90∶1 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此解答。 【解答】∶            ＝（×30）∶（×30）     ＝25∶12           120m∶km ＝120m∶0.75km ＝120m∶750m ＝（120÷30）∶（750÷30） ＝4∶25 2.7L∶30mL ＝2700mL∶30mL ＝（2700÷30）∶（30÷30） ＝90∶1 易错点5：在解决问题时,要注意已知量对应的份数。 【易错专练1】小林用一根长84厘米的木条制作一个长方形画框，画框长与宽之比是9∶5，这个画框的面积是多大？ 【答案】405平方厘米 【分析】长方形周长公式为：周长＝2×（长＋宽），已知木条长（即周长）为84厘米，则长与宽的和为：84÷2＝42厘米。长与宽的比是9∶5，总份数为9＋5＝14份。每份长度为：42÷14＝3厘米，则长为：3×9＝27厘米；宽为：3×5＝15厘米；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，把数据代入计算即可。 【解答】84÷2＝42（厘米） 9＋5＝14（份） 42÷14＝3（厘米） 3×9＝27（厘米） 3×5＝15（厘米） 27×15＝405（平方厘米） 答：这个画框的面积是405平方厘米。 【易错专练2】小学四、五、六年级的同学在创新设计大赛中成绩优异，平均每个年级交了80件作品，四、五、六年级的作品数量比是2∶3∶5，六年级比五年级多交了多少件作品？ 【答案】48件 【分析】根据平均每个年级交80件作品，先求出三个年级的总作品数为80×3＝240件。再按四、五、六年级的作品数量比2：3：5分配总数量，六年级比五年级多的件数对应比例差（5－3）份，计算每份量后相乘即可。 【解答】80×3＝240（件） 2＋3＋5＝10（份） 240÷10＝24（件） 5−3＝2（份） 24×2＝48（件） 答：六年级比五年级多交了48件作品。 【易错专练3】一种什锦糖是由水果糖、奶糖和酥糖三种糖配制而成的。其中水果糖、奶糖和酥糖三种糖的比是3∶4∶6，如果这三种糖各有20千克，当奶糖全部用完时，水果糖还剩下多少千克？酥糖已经增加了多少千克？ 【答案】水果糖还剩下5千克，酥糖已经增加了10千克。 【分析】根据比的分配，当奶糖用完时，计算出每份的重量，进而求出水果糖和酥糖的使用量，再与原有数量比较得出剩余和增加量。 【解答】20 ÷ 4 ＝ 5（千克） （千克） （千克） 答：水果糖还剩下5千克；酥糖已经增加了10千克。 【易错专练4】正在规划建设的潮白河国家森林公园是京翼首个跨界共建的国家森林公园，一侧在北京通州，另一侧在河北廊坊，总面积约是104平方千米，通州一侧与廊坊一侧公园的面积比是15∶11，通州一侧的公园面积约是多少平方千米？ 【答案】60平方千米 【分析】已知两个公园的面积比为15∶11，且面积之和为104平方千米，运用按比分配原则，总的有（15＋11）份，其中通州一侧面积占了其中的15份，运用分数乘法计算得出答案。 【解答】根据题意得：通州一侧与廊坊一侧公园的面积比是15∶11，则根据按比分配原则，通州一侧公园占了其中的15份，面积为： （平方千米） 答：通州一侧的公园面积约是60平方千米。 【易错专练5】杭州亚运会门票电子票可抽取金牌票、银牌票、铜牌票、通用票四种电子纪念票。若被抽取的电子纪念票总票数有8000张，金牌票和铜牌票共占总票数的，而且金牌票数与铜牌票数的比是1∶3，这批电子纪念票中铜牌票有多少张？ 【答案】1200张 【分析】分析题目，把被抽取的电子纪念票总票数看作单位“1”，先根据求一个数的几分之几是多少用乘法求出金牌票和铜牌票的总张数；再用金牌票和铜牌票的总张数除以（1＋3）即可求出一份是多少张，最后用一份的张数乘铜牌票的份数即可得到铜牌票的张数。 【解答】8000×＝1600（张） 1600÷（1＋3） ＝1600÷4 ＝400（张） 400×3＝1200（张） 答：这批电子纪念票中铜牌票有1200张。 专题五圆 易错点1：混淆了半圆与圆的对称轴数量。 【易错专练1】如图，这个图形的对称轴有（    ）条。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 这个图形的对称轴有3条。 故答案为：B 【易错专练2】下面的图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此画出各个选项的对称轴，找出对称轴条数最多的是哪个即可。 【解答】画出选项各个图形的对称轴，如图所示： A．有四条对称轴。 B．有三条对称轴。 C．有两条对称轴。 D．有一条对称轴。 所以对称轴条数最多的是A。 故答案为：A 【易错专练3】下面图形有（    ）条对称轴。 A．2 B．4 C．无数 【答案】B 【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；折叠的这条直线叫做这个图形的对称轴，据此解答。 【解答】如图： 图形有4条对称轴。 故答案为：B 【易错专练4】如图有（    ）条对称轴。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 有2条对称轴。 故答案为：B 【易错专练5】下面图形中，不是轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】要判断一个图形是否为轴对称图形，需看能否找到一条直线，使图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分完全重合。据此逐一分析。 【解答】A．如图：，能找到一条直线，沿此直线对折，图形两侧部分可完全重合，所以该图形是轴对称图形； B．如图：，能找到一条直线，沿此直线对折，图形两侧部分可完全重合，所以该图形是轴对称图形； C．尝试寻找后发现不存在一条直线，能让该三角形沿其对折后两侧完全重合，所以该图形不是轴对称图形。 故答案为：C 易错点2：误以为半圆的周长就是圆周长的一半，而忽略了还有一条直径。 【易错专练1】一个半圆的直径为3厘米，它的周长是（ ）厘米。 【答案】7.71 【分析】根据半圆周长是圆周长一半加直径，即半圆周长＝πd÷2＋d。代入数据计算即可。 【解答】3×3.14÷2＋3 ＝4.71＋3 ＝7.71（厘米） 一个半圆的直径为3厘米，它的周长是7.71厘米。 【易错专练2】把一个周长是18.84cm的圆，剪成两个等半圆，每个半圆的周长是（ ）cm。 【答案】15.42 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径；直径＝周长÷π，代入数据，求出圆的直径；再根据半圆的周长：周长＝圆的周长÷2＋直径，代入数据，即可解答。 【解答】18.84÷3.14＝6（cm） 18.84÷2＋6 ＝9.42＋6 ＝15.42（cm） 把一个周长是18.84cm的圆，剪成两个等半圆，每个半圆的周长是15.42cm。 【易错专练3】一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm。 【答案】20.56 【分析】如下图，在长8cm、宽5cm的长方形中画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长8cm；根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【解答】3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 这个半圆的周长是20.56cm。 【易错专练4】把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加。每个半圆的周长是（ ）。 【答案】20.56 【分析】一个圆被分成两个相等半圆，周长增加了两个直径的长度，因此可得到圆的直径是8厘米，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据C＝πd解答。 【解答】d：16÷2＝8（厘米） 半圆周长：3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 【点评】解题关键是弄清楚一个圆剪成两个相等半圆周长增加2个直径的长。 【易错专练5】一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是（ ）厘米，分针扫过的面积是（ ）平方厘米。 【答案】37.68 226.08 【分析】30分钟分针刚好走半圈，分针扫过的是半径12厘米的半圆，根据圆的周长公式计算出针尖走过的路程，根据圆的面积公式计算扫过的面积即可。 【解答】根据分析： 圆的周长的一半＝2×3.14×12÷2 ＝6.28×12÷2 ＝75.36÷2 ＝37.68（厘米） 半圆的面积＝3.14×122÷2 ＝3.14×144÷2 ＝452.16÷2 ＝226.08（平方厘米） 一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是37.68厘米，分针扫过的面积是226.08平方厘米。 易错点3：圆的周长与面积公式混淆。 【易错专练1】列看图按要求计算。 求出下图的周长和面积。      【答案】周长：12.56厘米；面积：12.56平方厘米 【分析】根据图示，圆的半径为2厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【解答】圆的周长：C＝2πr C＝2×3.14×2 ＝12.56（厘米） S＝πr2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 因此圆的周长为12.56厘米，面积为12.56平方厘米。 【易错专练2】求下列图形的周长和面积。 【答案】； 【分析】已知圆的直径是6cm，根据圆的周长公式即可求出周长；根据圆的面积公式即可求出面积。 【解答】周长：（cm） 半径：6÷2＝3（cm） 面积：（cm2） 所以圆的周长为18.84cm，面积为28.26cm2。 【易错专练3】求下面各图形的周长和面积。（单位：分米） 【答案】25.12分米，50.24平方分米；51.4分米，157平方分米 【分析】圆的周长公式：，圆的面积公式：。半圆的周长是圆周长的一半加一条直径的长度，半圆的面积是圆面积的一半。据此解答即可。 【解答】3.14×8＝25.12（分米） （分米） （平方分米） 【易错专练4】看图按要求计算。 求出下图周长。     【答案】178.5m 【分析】由图可知，其周长由两部分构成：一部分可看作是以直径为25m圆的周长，根据圆的周长=πd（d为圆的直径）计算出圆的周长；另一部分则由长为50m，宽为25m长方形的两条长构成，用长方形的长乘2即可；再将圆的周长和两条长求和，即可计算图形周长。 【解答】3.14×25＋50×2 ＝78.5＋100 ＝178.5（m） 所以图形周长为178.5m。 【易错专练5】求下图的周长。 【答案】7.14cm 【分析】观察图形可知，这个图形的周长包括以2cm为半径的圆周长的和两条半径。根据圆的周长＝2πr，代入数据计算求出圆的周长，再除以4求出圆周长的，最后加上两条半径即可解答。 【解答】2×2×3.14÷4＋2×2 ＝3.14＋4 ＝7.14（cm） 则图形的周长是7.14cm。 易错点4：圆环面积计算时半径混淆。 【易错专练1】求阴影部分的面积。 【答案】75.36dm2 【分析】图中阴影部分的面积是圆环的面积，用大圆面积减去小圆面积就是圆环的面积。 【解答】3.14×72－3.14×52 3.14×49－3.14×25 ＝153.86－78.5 ＝75.36（dm2） 【易错专练2】求下面图形涂色部分的面积。 【答案】21.98cm2 【分析】本题是求圆环（涂色部分）的面积，由图可知外圆的半径为4cm，内圆的半径为3cm。根据圆的面积公式S＝πr2（S表示面积，π通常取3.14，r表示半径），分别求出外圆和内圆的面积，再用外圆的面积减内圆的面积即可得到涂色部分的面积。 【解答】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2） 50.24－28.26＝21.98（cm2） 图形涂色部分的面积是21.98cm2。 【易错专练3】求图中阴影部分的面积。 【答案】251.2cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求出阴影部分的面积。 【解答】3.14×（122－82） ＝3.14×（144－64） ＝3.14×80 ＝251.2（cm2） 阴影部分的面积是251.2cm2。 【易错专练4】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】50.24cm2 【分析】由图可知：大圆半径为5cm，小圆半径为3cm，然后根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【解答】3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 所以阴影部分的面积是50.24cm2。 【易错专练5】图中外圆直径为。求阴影部分的面积。 【答案】 【分析】阴影部分是个圆环，根据圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式计算即可。 【解答】 阴影部分的面积是。 易错点5：组合图形求阴影部分面积时思路不清。 【易错专练1】计算下面图形中阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】13.76cm2 【分析】根据阴影面积＝正方形面积－圆的面积计算，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝，正方形边长为8厘米，圆的半径是8÷2＝4（cm），据此解答。 【解答】8×8＝64（cm2） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 64－50.24＝13.76（cm2） 阴影面积是13.76cm2。 【易错专练2】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】6.72平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2÷2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【解答】2×2＝4（厘米） （4＋9）×2÷2 ＝13×2÷2 ＝13（平方厘米） 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 13－6.28＝6.72（平方厘米） 阴影部分的面积是6.72平方厘米。 【易错专练3】求涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】20.52cm2 【分析】首先，观察图形可知，涂色部分的面积等于半圆的面积减去三角形的面积。 其次，确定半圆的半径，已知半圆的直径是12cm，所以半径 cm。 然后，计算半圆的面积，根据圆的面积公式（取3.14），半圆面积为圆面积的一半，即。 接着，计算三角形的面积，三角形的底是12cm，高是半圆的半径6cm，根据三角形面积公式（为底，为高），可得其面积为。 最后，用半圆的面积减去三角形的面积，即可得到涂色部分的面积。 【解答】计算半圆的半径： （cm） 计算半圆的面积： （cm2） 计算三角形的面积： （cm2） 计算涂色部分的面积： （cm2） 所以涂色部分的面积是20.52cm2。 【易错专练4】计算阴影部分的面积。（单位：dm） 【答案】7.85dm2；27.44dm2 【分析】（1）阴影部分的面积等于内直径（d2）是4 dm，外直径（d1）是（4＋1＋1）dm的圆环的面积的一半，圆环的面积＝π[（d1÷2）2－（d2÷2）2]，据此列式计算； （2）据图可知，阴影部分的面积等于长是（4＋6）dm宽是4 dm的长方形的面积减去半径是4 dm的圆的面积的，长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式计算。 【解答】4＋1＋1＝6（dm） 3.14×[（6÷2）2－（4÷2）2]÷2 ＝3.14×[32－22]÷2 ＝3.14×[9－4]÷2 ＝3.14×5÷2 ＝15.7÷2 ＝7.85（dm2） 阴影部分的面积是7.85dm2。 （4＋6）×4－3.14×42× ＝10×4－3.14×16× ＝40－50.24× ＝40－12.56 ＝27.44（dm2） 阴影部分的面积是27.44dm2。 【易错专练5】求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】6.28平方厘米；4.56平方厘米 【分析】第一个涂色部分面积是半径为（2÷2＝1）厘米的两个圆的面积，根据圆的面积即可求解； 由图可知，第二个涂色部分面积是从直径是4厘米的圆面积中减去了两条直角边都是4厘米的三角形面积。 【解答】（1） （平方厘米） 第一个涂色部分面积是6.28平方厘米。 （2） ＝4×3.14－16÷2 ＝12.56－8 ＝4.56（平方厘米） 第二个涂色部分面积是4.56平方厘米。 易错点6：已知周长求面积（或反之）时，半径的桥梁作用。 【易错专练1】淘气用一根30米长的铁丝测一棵树的直径，在树干上绕了10圈后还剩1.74米，已知这棵树的横截面是一个圆，这棵树的半径大约是多少米？ 【答案】0.45米 【分析】由题意可知，铁丝绕这棵树10圈的长度是（30－1.74）米，再除以10求出树干一圈的周长，然后根据“”求出这棵树的半径，据此解答。 【解答】（30－1.74）÷10 ＝28.26÷10 ＝2.826（米） 2.826÷3.14÷2 ＝0.9÷2 ＝0.45（米） 答：这棵树的半径大约是0.45米。 【易错专练2】小强用一根长25.12米的绳子，正好绕树干10圈，这根树干的横截面的半径是多少米？ 【答案】0.4米 【分析】根据题意，先用绳子的全长除以10，求出绳子绕树干一圈的长度，也就是树干的周长； 再根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，据此求出树干的横截面的半径。 【解答】周长：25.12÷10＝2.512（米） 半径：2.512÷3.14÷2 ＝0.8÷2 ＝0.4（米） 答：这根树干的横截面的半径是0.4米。 【易错专练3】赵明的智能手表通过GPS测出他绕圆形花坛走了10圈，总距离为188.4米。花坛的半径是多少米？ 【答案】3米 【分析】先求出绕花坛走一圈的距离也就是圆形花坛的周长，根据r＝C÷π÷2求出半径即可解答。 【解答】（米） （米） 答：花坛的半径是3米。 【易错专练4】把一根长为10米的绳子，在一个圆盘上绕了三圈，还剩下0.58米，这个圆盘的半径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】用绳子的总长度减去剩下绳子的长度，即可求出三圈绳子的长度，除以3即可求出一圈绳子的长度，即这个圆盘的周长，根据圆的周长公式：C＝，代入数据即可求出这个圆盘的半径。 【解答】（10－0.58）÷3÷2÷3.14 ＝9.42÷3÷2÷3.14 ＝1.57÷3.14 ＝0.5（米） 答：这个圆盘的半径是0.5米。 【点评】此题的解题关键是求出圆盘的周长，再根据圆的周长公式求解。 【易错专练5】为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？ 【答案】0.5米 【分析】先算出绕树干6圈所用绳子的长度，然后除以6，就可以得到树干1圈的长度，也就是树干的周长，再根据r＝C÷π÷2，代入数据计算，就可以求出这棵树的树干的半径，据此解答。 【解答】（20－1.16）÷6 ＝18.84÷6 ＝3.14（米） 3.14÷3.14÷2＝0.5（米） 答：这棵树的树干的半径是0.5米。 专题六百分数（一） 易错点1：百分数不可以表示具体的数量,后面不能加单位名称。 【易错专练1】水果店运进水果的质量为吨也就是20%吨。（ ） 【答案】× 【分析】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，又叫百分率或百分比；百分数表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，所以后面不带单位名称。而分数除了可以表示倍比关系，还可以带上单位名称表示具体数量。 【解答】虽然＝0.2＝20%，吨可以表示为0.2吨，但不能表示为20%吨，因为百分数不表示具体的数量，后面不能带单位。 水果店运进水果的质量为吨也就是0.2吨。 原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练2】小亮说：“暑假期间我参加了许多项体育锻炼，体重下降了10%千克”。（ ） 【答案】× 【分析】百分数表示两个数之间的倍数关系，不能带有单位名称。体重的下降量若用百分数表示，应不带单位；若用具体数值表示，则需带单位。 【解答】百分数只表示两个量之间的倍数关系，并不表示具体的实际数量，因此百分数后面不能添加单位。可以说“体重下降了10%”或“体重下降了2千克”。 故答案为：× 【易错专练3】千克也可以说成23%千克。（ ） 【答案】× 【分析】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，它表示的是两个数之间的倍比关系，不能带单位名称。 【解答】由分析可得：千克表示具体的重量，而23%是一个百分数，只能表示分率，不能表示具体的量。因此，“千克”不能写成“23%千克”，原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】一根绳子长1米，用去米，还剩80%米。（ ） 【答案】× 【分析】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，不能带单位名称。用去的长度是米，剩下的长度应为1－＝米，即0.8米。虽然0.8米等于原长的80%，但“80%米”的表述错误，因为百分数后不能加单位。 【解答】1－＝（米） 将转化为百分数形式：＝ 80% 但“80%米”的写法错误，百分数仅表示比率，不可附加单位。因此题目说法错误。 故答案为：× 【易错专练5】一根绳子长100米，截去30米，还剩70%米。（ ） 【答案】× 【分析】一根绳子长100米，截去30米，求还剩多少米，用减法解答；百分数是一种特殊的分数，表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，所以后面不带单位名称。 【解答】100－30＝70（米） 一根绳子长100米，截去30米，还剩70米；百分数后面不能带单位。 所以原题说法错误。 故答案为：× 易错点2：百分数与小数、分数互化不熟练。 【易错专练1】将下列各分数化为百分数。 ＝           ＝              ＝ 【答案】170%；55.6%；137.5% 【分析】先把分数化为小数，再把小数化为百分数，据此解答。 【解答】＝1.7＝170% ≈0.556＝55.6% ＝1.375＝137.5% 【易错专练2】把前两个百分数化成分数，后两个百分数化成小数。 42%＝         2.5%＝         160%＝         0.5%＝ 【答案】；；1.6；0.005 【分析】百分数化分数时，先改写成分母是100（或1000…）的分数，再约分； 百分数化小数时，小数点向左移两位，再去掉百分号。 【解答】42%＝＝＝；2.5%＝＝＝；160%＝1.6；0.5%＝0.005 【易错专练3】把下面的小数或分数写成百分数的形式。     3.82        0.625 【答案】80%；382%；37.5%；62.5% 【分析】分数化小数，直接用分子÷分母，小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可。 【解答】＝4÷5＝0.8＝80% 3.82＝382% ＝3÷8＝0.375＝37.5% 0.625＝62.5% 【易错专练4】把下面的百分数改成小数，小数和整数改成百分数。 22%＝                  0.5%＝                100.8%＝ 0.44＝                  1.01＝                  8＝ 【答案】0.22；0.005；1.008 44%；101%；800% 【分析】百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 小数或整数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号。 【解答】22%＝0.22            0.5%＝0.005          100.8%＝1.008 0.44＝44%            1.01＝101%           8＝800% 【易错专练5】把下面各数化成百分数。（除不尽的，百分号前保留一位小数） 0.47＝        5.03＝        ≈        ＝ ＝         0.83＝        5＝          0.92＝ 【答案】47%；503%；69.2%；40% 12%；83%；500%；92% 【分析】小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号。 分数化成百分数，先把分数化成小数，用分子除以分母即可，再把小数化成百分数。 【解答】0.47＝47% 5.03＝503% ＝9÷13≈0.692＝69.2% ＝2÷5＝0.4＝40% ＝3÷25＝0.12＝12% 0.83＝83% 5＝500% 0.92＝92% 易错点3：求“一个数是另一个数的百分之几”时，找错标准量。 【易错专练1】青坡庄今年要栽300棵松树，已经栽了180棵，没栽的占总棵数的百分之几？ 【答案】40% 【分析】用要栽的松树的总棵数－已经栽的棵数，求出没栽的棵数，再用没栽的棵数÷要栽松树的总棵数×100%，即可解答。 【解答】（300－180）÷300×100% ＝120÷300×100% ＝0.4×100% ＝40% 答：没栽的占总棵数的40%。 【易错专练2】一次数学检测，六（2）班有40人参加了考试，只有2人没有及格，该班学生这次数学检测的及格率是多少？（只列式，不计算。） 【答案】（40－2）÷40×100% 【分析】分析题目，先用参加考试的人数减去没有及格的人数即可得到及格的人数，再根据及格率＝及格的人数÷总人数×100%即可列式计算及格率。 【解答】列式为：（40－2）÷40×100%。 （40－2）÷40×100% ＝38÷40×100% ＝0.95×100% ＝95% 答：该班学生这次数学检测的及格率是95%。 【易错专练3】六年级举行“弘扬革命精神，游红色革命基地”活动。六年级两个班一共有90人，六（1）班3人请假，六（2）班6人请假，六年级参加本次活动的出勤率是多少？ 【答案】90% 【分析】根据题意，结合“出勤率＝出勤人数÷总人数×100%”这一公式可知，先算出出勤人数，即（90－3－6）人，再用出勤人数除以90再乘100%，计算即可。 【解答】（90－3－6）÷90×100% ＝81÷90×100% ＝0.9×100% ＝90% 答：六年级参加本次活动的出勤率是90%。 【易错专练4】李师傅二月份加工的产品中，经检验，有190件合格，10件不合格。李师傅加工的这批产品的合格率是百分之几？ 【答案】95% 【分析】分析题目，先根据产品的总数量＝合格的数量＋不合格的数量求出产品的总数量，再根据合格率＝合格的数量÷产品的总数量×100%列式计算即可。 【解答】190÷（190＋10）×100% ＝190÷200×100% ＝0.95×100% ＝95% 答：李师傅加工的这批产品的合格率是95%。 【易错专练5】北京时间2024年2月19日凌晨，多哈游泳世锦赛落幕，中国队以23金位居总奖牌榜榜首，断层领先。中国队在此次世锦赛中共获得33枚奖牌，获得银牌的数量比金牌少15枚，获得铜牌的数量约是奖牌总数的百分之几？（百分号前保留整数） 【答案】 【分析】根据题意得：总奖牌数是33枚，金牌数是23枚，银牌比金牌少15枚，可计算出银牌有8枚，再用33枚减去金牌和银牌数量，可得出铜牌数量。铜牌数量÷总奖牌数×100%，可计算得到答案。 【解答】铜牌的数量约是奖牌总数的： 答：铜牌的数量约是奖牌总数的6%。 易错点4：求“一个数比另一个数多（或少）百分之几”：（1）找错单位“1”；（2）弄错是“除以哪个数”。 【易错专练1】某网站开通半年，已有30万的点击量，原来预计有25万的点击量。 【答案】20% 【分析】已有30万的点击量，原来预计有25万的点击量，用实际点击量30与预计点击量25的差除以预计点击量再乘100%计算即可。 【解答】（30－25）÷25×100% ＝5÷25×100% ＝0.2×100% ＝20% 答：实际点击量比预计点击量高20%。 【易错专练2】一辆货车负责把纸运往仓库。车从造纸厂出发匀速行驶至仓库后又原路返回，返回时因为是空车，前半程速度比去时提高了25%，后半程因天气影响又降速36%，则返程时比去时所用时间多百分之几？ 【答案】2.5% 【分析】假设去时的速度为单位“1”，计算出造纸厂到仓库的路程，回来时前半程用时为，后半程用时为，两端时间相加即可求得回程总时间。 【解答】假设去时的速度为单位“1”，则路程为 返回时前半段所用时间： 返回时后半段所用时间： 答：返程时比去时所用时间多2.5%。 【点评】这道题主要用到速度、时间、路程的关系，即路程＝速度×时间，以及百分比的计算，即，这类问题需要注意“比谁提高或者降低”。 【易错专练3】镇海招宝山景区2023年接待游客68万人次，2024年文化宣传力度进一步加强，游客量达到了81.6万人次。2024年游客量比2023年增长了百分之几？ 【答案】20% 【分析】求2024年游客量比2023年增长的百分比，需先计算增长量，再用增长量除以2023年的游客量，即（2024年游客量－2023年游客量）÷2023年游客量×100%。 【解答】81.6－68＝13.6（万人次） （13.6÷68）×100% ＝0.2×100% ＝20% 答：2024年游客量比2023年增长了20%。 【易错专练4】2023年，芜湖三只松鼠年销售额达80亿元。2024年通过直播电商拓展市场，年销售额增至96亿元。2024年销售额比2023年增长了百分之几？ 【答案】20% 【分析】2023年销售额是80亿元，2024年销售额增至96亿元，用2024年的销售额减去2023年的销售额，即（96－80），用增长量（96－80）除以2023年的销售额80亿元，再乘100%，即可得到增长的百分比。 【解答】（96－80）÷80×100% ＝16÷80×100% ＝0.2×100% ＝20% 答：2024年销售额比2023年增长了20%。 【易错专练5】某种商品4月的价格比3月降了20%，5月的价格比4月又涨了20%。5月的价格和3月比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ 【答案】降了；4% 【分析】把3月价格看作单位 “1”，降价20%后，4月价格就是3月价格的1－20%＝80% ，用3月价格乘80%得到4月价格；又已知5月的价格比4月涨了20%，此时把4月价格看作单位 “1”，那么5月价格是4月价格的1＋20%＝120%，用4月价格乘120%得到5月价格；然后比较5月价格和3月价格判断是涨了还是降了；用高价格减去低价格再除以3月价格（单位“1”），最后乘100%得到变化幅度。 【解答】设3月份的价格是1， 1×（1－20%）×（1＋20%） ＝1×80%×120% ＝1×0.8×1.2 ＝0.8×1.2 ＝0.96 0.96＜1 答：5月份的价格和3月比下降了。 （1－0.96）÷1×100% ＝0.04÷1×100% ＝0.04×100% ＝4% 答：下降了4%。 易错点5：百分数应用题中“量”与“率”不对应。 【易错专练1】由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税两次大幅度下调，第一次降低了40%，第二次在第一次降低的基础上再降低30%。现在这种进口商品实际收取关税5040美元，在没有降税前应收取多少美元的关税？ 【答案】12000美元 【分析】根据题意可把第一次降低后的价格看作是单位“1”，根据第二次在第一次降低的基础上再降低30%，可知第二次是第一次降低后价格的1－30%＝70%，是5040美元，用除法可求出第一次降价后的价格，再把没降税之前的价格看作是单位“1”，根据第一次降低了40%，可知第一次降价后的价格是原价的1－40%＝60%，用除法可求出原来的价格，据此解答。 【解答】5040÷（1－30%）÷（1－40%） ＝5040÷70%÷60% ＝5040÷0.7÷0.6 ＝7200÷0.6 ＝12000（美元） 答：在没有降税前应收取12000美元的关税。 【易错专练2】陈大爷第一次植树200棵，成活率为85%；第二次植树成活率为90%。第一次植树比第二次植树多死了8棵。第二次植树多少棵？ 【答案】220棵 【分析】陈大爷第一次植树200棵，成活率为85%，则死亡的棵数是第一次植树的，用第一次植树棵数乘死亡棵数占第一次植树棵数的分率，求出第一次植树的死亡棵数；用第一次植树的死亡棵数减去8棵，求出第二次植树死亡棵数，用第二次植树死亡棵数除以第二次植树死亡棵数占第二次植树棵数的分率，求出第二次植树棵数。 【解答】第二次死亡棵数： （棵） 第二次植树棵数： （棵） 答：第二次植树220棵。 【点评】本题考查百分数，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。 【易错专练3】一桶油，第一次取出它的20%，第二次取出它的15%还多6千克，第三次又取出它的还少2千克，这时桶内还剩12千克。这桶油原来一共有多少千克？ 【答案】64千克 【分析】从“它的20%、它的15%、它的”可知，将这桶油的总千克数看作单位“1”。若第二次只取出它的15%，第三次也只取出它的，那么取了三次后将剩下（12＋6－2）千克，这时剩下的油占原来这桶油的（1－20%－15%）。根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。用剩下油的千克数÷剩下的分率，即可求出这桶油原来一共有多少千克。据此解答。 【解答】根据分析，解答如下： （12＋6－2）÷（1－20%－15%） ＝16÷（1－20%－15%－40%） ＝16÷25% ＝64（千克） 答：这桶油原来一共有64千克。 【易错专练4】2023年12月，受大雪极端天气影响，某蔬菜价格第二周比第一周上涨10%，第三周又比第二周上涨10%。两周以来这种蔬菜的价格共上涨百分之几？ 【答案】21% 【分析】设第一周某蔬菜的价格是10元；把第一周某蔬菜的价格看作单位“1”，第二周的价格是第一周的（1＋10%），用第一周蔬菜的价格×（1＋10%），求出第二周蔬菜的价格；再把第二周蔬菜价格看作单位“1”，第三周蔬菜价格是第二周的（1＋10%），用第二周蔬菜价格×（1＋10%），求出第三周蔬菜价格；再用第三周蔬菜价格与第一周蔬菜价格的差，除以第一周蔬菜价格，再乘100%，即可求出两周以来这种蔬菜的价格共上涨的百分之几。 【解答】设第一周某蔬菜价格是10元。 10×（1＋10%）＋（1＋10%） ＝10×1.1×1.1 ＝11×1.1 ＝12.1（元） （12.1－10）÷10×100% ＝2.1÷10×100% ＝0.21×100% ＝21% 答：两周以来这种蔬菜的价格共上涨21%。 【易错专练5】为迎接省文明城市创建，湖滨新区拓宽一条公路，第一天修了15%，第二天比第一天少修了300米，还剩75%。这条公路全长多少米？ 【答案】6000米 【分析】把全长看作单位“1”，第二天的百分率为1－15%－75%＝10%，则第二天比第一天少的百分率为（15%－10%），对应第二天比第一天少修了300米。单位“1”未知，运用除法即可求出这条公路全长多少米。 【解答】1－15%－75%＝10% 300÷（15%－10%） ＝300÷5% ＝6000（米） 答：这条公路全长6000米。 专题七扇形统计图 易错点1：被扇形统计图中的表面信息迷惑、误导。 【易错专练1】下面是小明上个月零用钱的支出情况统计图。你知道小明上个月共花了多少零用钱吗？ 【答案】200元 【分析】将花的零用钱总钱数看作单位“1”，1－早餐费用支出对应百分率－其他支出对应百分率＝学习用品支出对应百分率，学习用品支出钱数÷对应百分率＝花的零用钱总钱数，据此列式解答。 【解答】90÷（1－28%－27%） ＝90÷0.45 ＝200（元） 答：小明上个月共花了200元零用钱。 【易错专练2】小学生体质健康检测综合评价分为优秀、良好、合格和不合格四个等级。某小学六年级学生体质健康检测情况统计如图。 （1）体质健康检测等级为“优秀”的学生人数占总检测人数的（    ）%。 （2）如果该小学六年级体质健康检测等级为“良好”的有126人，那么参加体质健康检测的一共有多少人？ 【答案】（1）28；（2）300人 【分析】（1）把整个圆看作单位“1“，利用1减去良好、合格和不合格占单位“1“的百分率即可求出优秀所占的百分率； （2）已知单位“1“的A%是B，求单位“1“，用B除以A%；据此用良好的人数除以相对应的百分率即可求出总人数。 【解答】（1）1－42%－17.5%－12.5% ＝58%－17.5%－12.5% ＝28% 故体质健康检测等级为“优秀”的学生人数占总检测人数的28%。 （2）126÷42%＝126÷0.42＝300（人） 答：参加体质健康检测的一共有300人。 【易错专练3】下图是50名同学的血型情况。 （1）从图中你能得到哪些信息？至少写出2个信息。 （2）请计算出各种血型分别有多少人：A型血有（    ）人，B型血有（    ）人，AB型血有（    ）人，O型血有（    ）人。 【答案】（1）见详解； （2）14；12；4；20 【分析】（1）扇形统计图中用整个圆表示总数量，圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数量的百分比，通过扇形统计图可以清楚地看出各部分数量与总数量之间，部分数量与部分数量之间的关系；扇形的面积越大，该类血型的人数越多，扇形的面积越小，该类血型的人数越少； （2）把总人数看作单位“1”，A型血的人数＝总人数×A型血的人数占总人数的百分率，B型血的人数＝总人数×B型血的人数占总人数的百分率，AB型血的人数＝总人数×AB型血的人数占总人数的百分率，O型血的人数＝总人数×O型血的人数占总人数的百分率，据此解答。 【解答】（1）观察扇形统计图可知，O型血的人数最多，AB型血的人数最少；B型血的人数是AB型血人数的3倍。（答案不唯一） （2）A型血：50×28%＝14（人） B型血：50×24%＝12（人） AB型血：50×8%＝4（人） O型血：50×40%＝20（人） 所以，A型血有14人，B型血有12人，AB型血有4人，O型血有20人。 【易错专练4】中国海关统计2024年进口商品关税情况（如图），已知服装类关税为400亿元，那么： （1）2024年中国征收的关税总额是多少亿元？ （2）家电类的关税比农产品类关税多多少亿元？ 【答案】（1）2000亿元； （2）100亿元 【分析】（1）把2024年进口商品关税总额看作单位“1”，服装类关税为400亿元，占关税总额的20%，根据已知一个数的百分之几是多少求这个数用除法列式计算即可求出关税总额； （2）先求出家电类的关税比农产品类关税多占关税总额的百分之几，再用关税总额乘对应的百分率即可求出家电类的关税比农产品类关税多多少亿元。 【解答】（1）400÷20%＝2000（亿元） 答：2024年中国征收的关税总额是2000亿元。 （2）2000×（30%－25%） ＝2000×5% ＝100（亿元） 答：家电类的关税比农产品类关税多100亿元。 【易错专练5】如图是某养殖场2014年饲养家禽只数的统计图。养鸭1960只。 （1）三种家禽总数是多少只？ （2）鸡的只数比鸭的只数多多少只？ （3）鹅的只数比鸡的只数少百分之几？ 【答案】（1）5600只 （2）280只 （3）37.5% 【分析】（1）把家禽总只数看作单位“1”，根据统计图可知，养鸭占家禽总只数的35%，对应的养鸭的只数1960只，求单位“1”，用1960÷35%解答。 （2）用家禽总只数×养鸡占家禽总只数的百分比，求出养鸡的只数；再用养鸡的只数－养鸭的只数，即可解答。 （3）用家禽总只数×养鸡占家禽总只数的百分比，求出养鸡的只数；用家禽总只数×养鹅占家禽总只数的百分比，求出养鹅的只数；再用养鹅与养鸡的只数差，除以养鸡的只数，再乘100%，即可解答。 【解答】（1）1960÷35%＝5600（只） 答：三种家禽总数是5600只。 （2）5600×40%－1960 ＝2240－1960 ＝280（只） 答：鸡的只数比鸭的只数多280只。 （3）5600×25%＝1400（只） 5600×40%＝2240（只） （2240－1400）÷2240×100% ＝840÷2240×100% ＝0.375×100% ＝37.5% 答：鹅的只数比鸡的只数少37.5%。 【易错专练6】如图是红领巾广播站每周每个栏目的播音时间分配的统计图，根据下图回答问题。 （1）“精品习作”的播音时间占红领巾广播站每周播音总时间的（ ）%。 （2）“（ ）”播音的时间最少，“（ ）”播音的时间最多。 （3）“故事天地”播音的时间比“校园新闻”多（ ）%。 （4）如果“精品习作”的播音时间是36分钟，红领巾广播站每周播音总时间是（ ）分钟。 【答案】（1）30 （2）每日英语 故事天地 （3）75 （4）120 【分析】（1）从扇形统计图中找出“精品习作”的百分比，即是“精品习作”的播音时间占红领巾广播站每周播音总时间的百分比。 （2）观察扇形统计图，比较各栏目的播音时间所占区域的大小，所占区域最小的，表示这个栏目的播音的时间最少；所占区域最大的，表示这个栏目的播音的时间最多。 （3）先求出“故事天地”播音的时间与“校园新闻”播音时间占总时间的百分比的差，然后再用这个差除以“校园新闻”占的百分比，即可求出“故事天地”播音的时间比“校园新闻”多百分之几。 （4）已知“精品习作”的播音时间是36分钟，占每周播音总时间的30%，把每周播音总时间看作单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出每周播音的总时间。 【解答】（1）“精品习作”的播音时间占红领巾广播站每周播音总时间的（30）%。 （2）“（每日英语）”播音的时间最少，“（故事天地）”播音的时间最多。 （3）（35%－20%）÷20%×100% ＝（0.35－0.2）÷0.2×100% ＝0.15÷0.2×100% ＝0.75×100% ＝75% “故事天地”播音的时间比“校园新闻”多（75）%。 （4）36÷30% ＝36÷0.3 ＝120（分钟） 如果“精品习作”的播音时间是36分钟，红领巾广播站每周播音总时间是（120）分钟。 易错点2：混淆三种统计图的特征。 【易错专练1】要表示某地区一年内月平均气温变化的情况，可以把月平均气温制成（ ）统计图。想清楚地表示部分与总量之间的关系，要选用（ ）统计图。 【答案】折线 扇形 【分析】折线统计图的特点是能清晰反映数据随时间的变化趋势。一年内的月平均气温是随“月份”变化的量，通过折线连接每月气温数据，可直观看出气温的上升、下降或波动规律，因此适合用折线统计图。 扇形统计图通过整个圆表示“总量”，各个扇形的面积占比对应“部分量”占总量的百分比，能直接体现部分与总量的比例关系（如各部分占比多少、是否均衡等），因此适合用于展示部分与总量的关系。 【解答】折线统计图的特点是能清晰反映数据随时间的变化趋势。 扇形统计图能直接体现部分与总量的比例关系。 要表示某地区一年内月平均气温变化的情况，可以把月平均气温制成折线统计图。想清楚地表示部分与总量之间的关系，要选用扇形统计图。 【易错专练2】如果表示六年级近视的学生人数占全年级总人数的百分比情况，选用（ ）统计图；如果记录患者24小时的体温变化情况，可以用（ ）统计图。 【答案】扇形 折线 【分析】扇形统计图可以反映部分占整体的百分比情况；折线统计图可以反映数据的变化情况；条形统计图可以直观地看出数量的多少，便于比较；据此解题。 【解答】由分析可得： 如果表示六年级近视的学生人数占全年级总人数的百分比情况，选用扇形统计图；如果记录患者24小时的体温变化情况，可以用折线统计图。 【易错专练3】气象站要记录某地一天中气温的变化情况，用（ ）统计图比较合适；要反映100毫升牛奶中蛋白质、脂肪、钠、钙等营养成分所占百分比，用（ ）统计图比较合适；要想了解学校各年级人数多少的情况，用（ ）统计图比较合适。 【答案】折线 扇形 条形 【分析】条形统计图能清楚地表示出数量的多少； 折线统计图不仅能表示数量的多少，还能表示数量的增减变化情况； 扇形统计图表示部分与整体之间的关系；据此解答。 【解答】气象站要记录某地一天中气温的变化情况，用折线统计图比较合适；要反映100毫升牛奶中蛋白质、脂肪、钠、钙等营养成分所占百分比，用扇形统计图比较合适；要想了解学校各年级人数多少的情况，用条形统计图比较合适。 【易错专练4】统计梁山县上周的PM2.5的变化情况，选择（ ）统计图最合适；统计梁山森林公园内各种树木占百分比情况，选用（ ）统计图最合适。 【答案】折线 扇形 【分析】（1）分析统计梁山县上周PM2.5变化情况： 折线统计图的特点是通过折线的上升或下降来表示数量的增减变化情况。在统计梁山县上周PM2.5的变化情况时，我们重点关注的是PM2.5数值随时间（上周每天）的变化趋势，所以折线统计图能够清晰直观地展示出PM2.5是如何上升或下降的，符合需求。 （2）分析统计梁山森林公园内各种树木占百分比情况： 扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数。在统计梁山森林公园内各种树木占百分比情况时，我们想要体现的是各种树木数量占树木总数的比例关系，扇形统计图可以很直观地展示出各部分在总体中所占的份额，所以扇形统计图是最合适的。 【解答】由分析可知： （1）统计梁山县上周的PM2.5的变化情况，选择折线统计图，因为它能清晰展示数据的变化趋势。 （2）统计梁山森林公园内各种树木占百分比情况，选用扇形统计图，因为它能直观体现各部分占总体的百分比。 【易错专练5】经过六年的小学数学学习，我们会根据实际情况选用不同的统计图对数据进行搜集、整理、表达。表示你一学期成绩的变化情况用（ ）统计图合适；想了解班上男、女生人数占全班人数的百分比情况用（ ）统计图合适；表示你所在学校各年级人数情况用（ ）统计图合适。 【答案】折线 扇形 条形 【分析】条形统计图可以清楚地看出数量的多少。 折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 扇形统计图表示各部分数量与总数之间的关系。 【解答】表示你一学期成绩的变化情况用（折线）统计图合适； 想了解班上男、女生人数占全班人数的百分比情况用（扇形）统计图合适； 表示你所在学校各年级人数情况用（条形）统计图合适。 【易错专练6】下面几组数据分别选用哪种统计图表示更合适？ （1）柳庄村2014－2018年种植树木总量变化情况统计表。 年份/年 2014 2015 2016 2017 2018 总量/棵 200 240 300 340 400 选用（ ）统计图更合适。 （2）柳庄村2018年种植各种树木所占百分比情况统计表。 树种 香樟 柳树 柏树 松树 其他 百分比 25% 20% 15% 15% 25% 选用（ ）统计图更合适。 （3）柳庄村2018年种植各种树木数量统计表。 树种 香樟 柳树 柏树 松树 其他 总量/棵 180 80 60 60 100 选用（ ）统计图更合适。 【答案】（1）折线 （2）扇形 （3）条形 【分析】（1）对于该表，所选统计图需表明种植树木总量和数量的增减变化情况，因此选择折线统计图更合适。 （2）对于该表，所选统计图需表明种植各树木数量与总数量的占比关系，因此选择扇形统计图更合适。 （3）对于该边，所选统计图需表明种植各种树木的数量，因此选择条形统计图更合适。 【解答】（1）选用折线统计图更合适。 （2）选用扇形统计图更合适。 （3）选用条形统计图更合适。 易错点3：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 【易错专练1】射击队的队员们进行射击训练，每人射靶10次，下面是他们训练的总成绩（单位：环）。先完成下面的统计表，再回答问题。 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 1 75 5 53 9 74 13 92 17 90 2 82 6 79 10 57 14 72 18 87 3 69 7 81 11 89 15 86 19 64 4 80 8 85 12 91 16 88 20 66 射击队员射击训练情况统计表 月    日 成绩/环 合计 超过89 80－89 70－79 60－69 不足60 人数 如果总成绩在80环及以上为“优秀”，不足60环为“不合格”，其余为“合格”。那么这次训练，总成绩达到“优秀”的有（    ）人，“合格”的有（    ）人，“不合格”的有（    ）人。 【答案】统计表见详解 11；7；2 【分析】根据题目要求，总成绩在80环及以上为“优秀”，在60环及以上且80环以下为“合格”，少于60环为“不合格”。需将20名队员的成绩按区间分类统计后合并。 【解答】统计各区间人数： 超过89环：编号13（92）、12（91）、17（90），共3人。 80－89环：编号2（82）、4（80）、7（81）、8（85）、11（89）、15（86）、16（88）、18（87），共8人。 70－79环：编号1（75）、6（79）、9（74）、14（72），共4人。 60－69环：编号3（69）、19（64）、20（66），共3人。 不足60环：编号5（53）、10（57），共2人。 射击队员射击训练情况统计表 11月20日 成绩/环 合计 超过89 80－89 70－79 60－69 不足60 人数 20 3 8 4 3 2 优秀：3＋8＝11（人） 合格：4＋3＝7（人） 不合格：2人 那么这次训练，总成绩达到“优秀”的有11人，“合格”的有7人，“不合格”的有2人。 【易错专练2】下面是六（1）班同学们的口算竞赛成绩。（单位：分） 100 89 94 56 75 69 83 75 98 99 76 85 64 95 60 81 96 74 78 65 85 93 100 77 73 60 67 74 80 84 88 95 63 65 76 88 95 82 89 95 88 75 （1）按分数段填写下表。 分数段/分 90～100 80～89 70～79 60～69 60以下 合计 人数 （2）如果把90～100分定为一等奖，80～89分定为二等奖，70～79分定为三等奖，那么，此次竞赛的获奖率是多少？ 【答案】（1）11；12；10；8；1；42 （2）78.6% 【分析】（1）根据统计表中数据，按分数段数出人数，再填表即可。 （2）先把一等奖、二等奖、三等奖的人数相加，求出获奖的人数，再根据“获奖的人数÷总人数×100%”求出此次竞赛的获奖率。 【解答】（1）填表如下： 分数段/分 90～100 80～89 70～79 60～69 60以下 合计 人数 11 12 10 8 1 42 （2）（11＋12＋10）÷42×100% ＝33÷42×100% ≈0.786×100% ＝78.6% 答：此次竞赛的获奖率是78.6%。 【易错专练3】下面是六（2）班部分同学本次数学测验的成绩情况。（单位：分） 96 98 100 91 86 81 77 94 70 85 83 85 95 60 77 92 90 82 86 60 76 92 93 78 100 78 93 88 84 97 （1）请根据上面的数据，将成绩进行分段整理，制成统计表。 成绩段/分 60－69 70－79 80－89 90－99 100 人数/人 （2）根据上面的分数分段整理统计表，完成下面的统计图。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）整理六（2）班部分同学本次数学测验的成绩可知，60－69分数段的有2人，70－79分数段的有6人，80－89分数段的有9人，90－99分数段的有11人，100分的有2人。据此填写统计表。 （2）表示各分数段学生人数的多少，用条形统计图比较合适。根据各分数段的人数，纵轴上每格表示2人。据此画出不同长度的直条，最后标出数据。 【解答】（1）根据各分数段的人数，填表如下： 成绩段/分 60－69 70－79 80－89 90－99 100 人数/人 2 6 9 11 2 （2） 【点评】本题考查数据的整理、填写统计表和制作条形统计图。根据给出的数据，将成绩进行正确的分段整理是解题的关键。 【易错专练4】六（1）班男同学在体育课上进行拍球游戏，每分拍球个数如下。（单位：个） 60 59 57 58 67 66 62 61 54 64 65 56 68 55 64 59 51 60 62 63 （1）根据上面的数据，完成下面的统计表。 个数段/个 50－54 55－59 60－64 65及65以上 人数 （2）根据六（1）班男同学拍球个数的统计表完成下面的统计图。 【答案】（1）见详解； （2）见详解； 【分析】（1）首先数据整理的方法，分段进行整理数据，然后完成统计表。 （2）由统计表可得：纵坐标代表人数，每格人数为1，横坐标代表分数段，然后结合表格中的数据绘制成条形统计图即可； 【解答】（1）如表： 个数段/个 50－54 55－59 60－64 65及65以上 人数 2 6 8 4 （2） 【点评】此题考查的目的是理解掌握数据整理的方法及应用，并且能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题。 【易错专练5】下表是六（7）班男同学1分钟跳绳测试成绩统计表。（单位：下） 149 119 92 180 185 85 131 160 107 175 184 88 191 116 161 157 95 120 188 135 185 109 114 126 （1）根据上表，统计各段的人数。 六（7）班男同学1分钟跳绳测试成绩统计表 成绩/下 110以下 110～139 140～169 170～199 人数/人 （2）根据统计表完成下面的统计图。 六（7）班男同学1分钟跳绳测试成绩统计图 （3）学校规定，1分钟跳绳达标成绩是110下，六（7）班男同学达标的人数占男同学总人数的__________。 【答案】（1）（2）见详解；（3） 【分析】（1）根据统计表中的数据进行分段计数，即可完成统计表； （2）根据统计结果和条形统计图的绘制方法，绘制条形统计图； （3）用达标的人数除以总人数，即可解答。 【解答】（1） 成绩/下 110以下 110～139 140～169 170～199 人数/人 6 7 4 7 （2） （3）（7＋4＋7）÷（6＋7＋4＋7） ＝（11＋7）÷（13＋4＋7） ＝18÷（17＋7） ＝18÷24 ＝ ＝ 学校规定，1分钟跳绳达标成绩是110下，六（7）班男同学达标的人数占男同学总人数的。 【点评】本题考查统计表的制作，条形统计图的绘制，以及求一个数是另一个数的几分之几。 易错点4：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 【易错专练1】下面是A、B两市2008年上半年降水量情况统计图。 （1）（    ）月份两个城市的降水量相差最大。 （2）（    ）月份两个城市的降水量最接近，相差（    ）毫米。 （3）A市上半年平均每月降水（    ）毫米。 （4）B市第一季度平均每月降水（    ）毫米。 【答案】（1）4； （2）3；15； （3）64； （4）24 【分析】（1）（2）复式折线统计图中，实线表示A市降水量变化情况，虚线表示B市降水量变化情况，两条折线之间的距离越近，两个城市的降水量相差越小，两条折线之间的距离越远，两个城市的降水量相差越大； （3）用这组数据的和除以数据的个数，就是平均数，A市上半年平均每月降水量＝上半年降水量之和÷6； （4）第一季度是1月、2月、3月，B市第一季度平均每月降水量＝（1月降水量＋2月降水量＋3月降水量）÷3，据此解答。 【解答】（1）分析可知，4月份两个城市的降水量相差最大。 （2）25－10＝15（毫米） 分析可知，3月份两个城市的降水量最接近，相差15毫米。 （3）（15＋36＋25＋70＋68＋170）÷6 ＝384÷6 ＝64（毫米） 所以，A市上半年平均每月降水64毫米。 （4）（52＋10＋10）÷3 ＝72÷3 ＝24（毫米） 所以，B市第一季度平均每月降水24毫米。 【易错专练2】小娅家今年开了一家点心店，主营产品是点心和饮料。为了了解近五个月经营状况，她做了以下两幅统计图。 （1）2月份饮料销售额比点心少百分之几？ （2）5月份点心销售额是多少万元？ 【答案】（1）30%； （2）2.6万元 【分析】（1）观察复式折线统计图可知，2月份饮料销售额是3.5万元，2月份点心销售额是5万元，2月份饮料销售额比点心少的百分率＝（2月份点心销售额－2月份饮料销售额）÷2月份点心销售额×100%； （2）把5月份点心和饮料的总销售额看作单位“1”，5月份饮料销售额是7.8万元，占总销售额的75%，5月份点心和饮料的总销售额＝5月份饮料的销售额÷75%，最后减去5月份饮料的销售额求出5月份点心的销售额，据此解答。 【解答】（1）（5－3.5）÷5×100% ＝1.5÷5×100% ＝0.3×100% ＝30% 答：2月份饮料销售额比点心少30%。 （2）7.8÷75%－7.8 ＝10.4－7.8 ＝2.6（万元） 答：5月份点心销售额是2.6万元。 【易错专练3】某品牌电动车2022年3~6月销售情况统计图如下。 （1）完成上面的折线统计图。 （2）从统计图中你获得了哪些信息？ （3）根据2022年3~6月电动车的销售情况，你能给销售经理提出哪些建议？ 【答案】（1）图见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）本图为复式折线统计图，首先明确图例表示的意义，实线段表示的是二轮电动车数量，虚线段表示的是三轮电动车数量；根据各月销售量，在对应处描点，然后连接各点完成统计图； （2）根据描出的复式折线统计图可知，二轮电动车销量逐月增加，三轮电动车销量逐月减少； （3）根据市场需求，为销售经理提出合理建议即可，如应多进二轮电动车，少进三轮电动车。 【解答】（1）如图： （2）从统计图可知：二轮电动车的销售量逐渐增加，三轮电动车的销售量逐渐减少。 （3）根据2022年3~6月电动车的销售情况，我给销售经理提出的建议是：增加二轮电动车的进货量，减少三轮电动车的进货量。 【易错专练4】根据统计图完成下列问题。 传统燃油车以消耗油为主要动力，新能源车以消耗电为主要动力。随着社会的发展，新能源车进入人们的视野，统计近年来新能源车与传统燃油车市场销售情况如下。 （1）描述2018—2022年我国新能源车销售情况的变化趋势。 （2）2022年新能源车销售量欧洲比中国少（    ）%，全球大约销售新能源车（    ）万辆。 （3）有人说：“未来新能源车将会超过传统燃油车。”你认为有可能吗？结合统计图，说说你的理由。 【答案】（1）整体呈现上升趋势 （2）56.7； （3）有可能；理由见详解 【分析】（1）观察折线统计图，虚线表示新能源车销售情况，折线往上表示上升趋势，折线往下表示下降趋势，据此分析。 （2）将中国销售量看作单位“1”，欧洲和中国对应百分率的差÷中国对应百分率＝欧洲比中国少百分之几； 将全球销售新能源车数量看作单位“1”，我国销售量÷对应百分率＝全球销售量。 （3）答案不唯一，结合统计图，说法合理即可。 【解答】（1）2018—2022年我国新能源车销售量整体呈现上升趋势。 （2）（60%－26%）÷60% ＝0.34÷0.6 ≈0.567 ＝56.7% 688.7÷60% ＝688.7÷0.6 ＝（万辆） 2022年新能源车销售量欧洲比中国少56.7%，全球大约销售新能源车万辆。 （3）未来新能源车有可能超过传统燃油车；因为新能源车销售量逐年上升，传统燃油车销售量逐年递减。 【易错专练5】今年3至8月份期间，根据、、三种品牌空调的销售情况制作统计图如下，根据统计图，回答下列问题： （1）3至8月份期间，_____品牌空调销售量最多（填“、或”）；8月份品牌空调销售量有_____台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是_____； （2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台？ （3）小明打算选购一台空调，你建议小明购买哪种品牌的空调？请你写出一条理由。 【答案】（1）B；275；97.2 （2）221台； （3）建议买C品牌空调，销售量从3至8月，逐月上升；并且8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大。（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）观察条形统计图，条形图中中A品牌销售为978台，B品牌销售量为1602台，C品牌销售为1452台，比较大小即可知道销售量最多的品牌；根据折线统计图的数据，找到C品牌对应8月的对应纵轴数值即可得到结果；根据扇形统计图，找到A品牌占比， 。 （2）根据扇形统计图中品牌空调销售量占比，8月份空调的总的销售量＝品牌空调销售额÷A品牌销售占比，其他品牌的空调销售占比为，利用其他品牌销售量＝总销量×其他品牌占比即可求解； （3）从扇形统计图品牌销售量所占的百分比，折线统计图中各品牌每月销售量增长比等方面提出建议即可。 【解答】（1）根据条形统计图，3至8月三种品牌空调销售量，，即，即C品牌的品牌空调销售量最多；根据折线统计图8月份B品牌的销售量为台；根据扇形统计图A品牌所对应的扇形的圆心角是； （2）8月品牌空调销售量为270台，品牌空调占27%，则8月份空调的总的销售量为，则其它品牌的空调有：（台）。 答：8月份其他品牌的空调销售总量是221台. （3）如，建议买品牌空调。销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大；建议买品牌空调。销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快；建议买产品。因为产品3至8月的总的销售量最多。答案不唯一，合理即可。 专题八数学广角—数与形 易错点1：观察图形规律不系统，归纳公式错误。 【易错专练1】小圆片按照下图规律排列，第5堆有（ ）个小圆片，第n堆有（ ）个小圆片。 【答案】22 （4n＋2） 【分析】观察图形可知，每一堆都比上一堆增加4个小圆片，则： 第1堆：有6个小圆片，可将6拆分成6＝4＋2； 第2堆：有10个小圆片，可将10拆分成10＝8＋2＝4×2＋2； 第3堆：有14个小圆片，可将14拆分成14＝12＋2＝4×3＋2； 由此可知规律为：小圆片的数量＝4×第几堆的序号数几＋2； 据此可计算第5堆的小圆片数量和第n堆小圆片数量。 【解答】根据分析可知： 4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（个） 即第5堆有22个小圆片。 4×n＋2＝（4n＋2）个 即第n堆有（4n＋2）个小圆片。 第5堆有22个小圆片，第n堆有（4n＋2）个小圆片。 【易错专练2】用灰、白两种六边形瓷砖有规律地组成图案（如图）。以此规律，第10个图案有（ ）块白瓷砖。 【答案】42 【分析】观察图案规律： 第1个图案：灰瓷砖1块，白瓷砖6块（围绕1块灰瓷砖）； 第2个图案：灰瓷砖2块，白瓷砖6＋4＝10（块）（增加1块灰瓷砖，白瓷砖增加4块）； 第3个图案：灰瓷砖3块，白瓷砖10＋4＝14（块）（再增加1块灰瓷砖，白瓷砖再增加4块）； 由此可得规律：第n个图案的白瓷砖数量＝6＋4×（n－1）。 【解答】第n个图案白瓷砖数＝6＋4（n－1）＝4n＋2 代入n＝10：4×10＋2＝42 【点评】本题的关键是观察“灰瓷砖数量增加时，白瓷砖的变化规律”：每增加1块灰瓷砖，白瓷砖增加4块（因为新灰瓷砖与原有图案共享2块白瓷砖，只需新增4块），从而总结出通项公式，这是图形规律题的核心方法。 【易错专练3】如图：有9个正三角形拼成的六边形，若中间的小正三角形的边长是1，则六边形的周长是（ ）。 【答案】30 【分析】等边三角形的每条边的长度是相等的。六边形的周长指的是六条边的总长度。因为每个三角形都是等边的，从其中一个等边三角形入手，比如右下角的第二小的等边三角形，设它的边长为a，顺时针旋转的等边三角形的边长依次为：a＋1、a＋2、a＋3（如下图），又因为最大的三角形的边长还等于2a，即a＋3＝2a，求解出a的值，那么六边形的周长为：a＋a＋a＋1＋a＋1＋a＋2＋a＋2＋a＋3＝7a＋9，将a代入即可。据此解答。 【解答】设右下角三角形的边长为a，每个三角形的边长都可以表示出来，如图所示： 最大的等边三角形的边长为a＋3，还可以表示为2a a＋3＝2a a＋3−a＝2a−a 2a−a＝3 a＝3 六边形的周长：a＋a＋a＋1＋a＋1＋a＋2＋a＋2＋a＋3＝7a＋9 当a＝3时， 7a＋9 ＝7×3＋9 ＝21＋9 ＝30 所以六边形的周长为30。 【点评】根据图中边长关系，设出右下等边三角形的边长为a，其他的等边三角形分别用含有a的式子表示出来，通过最大的等边三角形的边长可以用两个含有a的式子表示，就可以建立等量关系，列出方程，求出a的值，再用含有a的式子表示出六边形的边长，代入求值即可。 【易错专练4】观察图中图形的构图情况，按照此规律，第5幅图中的个数是 ，第100幅图中的个数是 ，第n幅图中的个数是 。 【答案】16 301 （1＋3n） 【分析】 观察发现，第1幅图的个数是1＋3； 第2幅图的个数是1＋3×2； 第3幅图的个数是1＋3×3； …… 依此类推，第n幅图的个数是1＋3×n＝1＋3n。 【解答】 第5幅图中的个数是1＋3×5 ＝1＋15 ＝16 第100幅图中的个数是1＋3×100 ＝1＋300 ＝301 第n幅图中的个数是1＋3×n ＝1＋3n 【易错专练5】如图是芳芳用小棒摆的4个树状图，按照这个规律继续往下摆，第8个树状图需要（ ）根小棒。 【答案】255 【分析】仔细观察发现，第一幅图有1根；第二幅图有1＋1×2＝3根，第三幅图有1＋3×2＝7根，第四幅图有1＋7×2＝15根，由此可知规律为：前一幅图中的小棒根数×2＋1＝后一幅图中的小棒根数，据此解答。 【解答】第5个树状图需要： 15×2＋1 ＝30＋1 ＝31（根） 第6个树状图需要： 31×2＋1 ＝62＋1 ＝63（根） 第7个树状图需要： 63×2＋1 ＝126＋1 ＝127（根） 第8个树状图需要： 127×2＋1 ＝254＋1 ＝255（根） 所以第8个树状图需要255根小棒。 【易错专练6】探索规律。 将小棒按如下方式摆放。 （1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（ ）根小棒，摆3个八边形需要（ ）根小棒。 （2）摆n个八边形需要（ ）根小棒。 【答案】（1） 15 22 （2）7n＋1 【分析】（1）根据图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒，据此解答。 （2）根据图可知，后一个图形比前一个图形多7根小棒。 摆1个八边形需要8根小棒，可以写成：7×1＋1； 摆2个八边形需要15根小棒，可以写成：7×2＋1； 摆3个八边形需要22根小棒，可以写成：7×3＋1； ……摆n个八边形需要：（7n＋1）根小棒。 【解答】（1）根据分析可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒。 （2）根据分析可知，摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。 易错点2：在“数”的问题中，无法用“形”来直观理解和解决。 【易错专练1】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 【答案】 【分析】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片的面积就是已贴彩色纸片的面积。 【解答】。 【易错专练2】我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是（ ），第四个数是（ ）。 【答案】1 20 【分析】观察可知，第几行就有几个数，每行第一个数和最后一个数都是1，中间的任意一个数都等于该行上面一行相邻两个数的和，由此写出第7行的7个数，即可求得。 【解答】分析可知，第7行的数为1、6、15、20、15、6、1，则第一个数是1，第四个数是20。 【易错专练3】如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度。第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动 次可到达的位置。 【答案】903 【分析】看图可知，点P从0跳动6次到达的位置，6＝1＋2＋3；点P从0跳动21次到达的位置，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6……由此可知，跳动次数为从1开始连续整数的和，是从1开始连续3个整数的和，是从1开始连续（2×3）个整数的和，是从1开始连续（3×3）个整数的和……是从1开始连续（×3）个整数的和，由此可知，是从1开始连续（14×3）个整数的和，即跳动的次数。 【解答】14×3＝42 1＋2＋3＋…＋41＋42 ＝（1＋42）×42÷2 ＝43×42÷2 ＝903（次） 点P从0跳动903次可到达的位置。 【易错专练4】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 （1）（ ）。 （2）（ ）。 （3）（ ）。 【答案】（1）121 （2）256 （3）n2 【分析】观察给出的等式：1＝12；1＋2＋1＝4＝22；1＋2＋3＋2＋1＝9＝32；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42；可以发现规律：从1开始连续加到某一个数m，再倒着连续加到1，所得的和等于m2，即1＋2＋3＋…＋m＋…＋3＋2＋1＝m2。 【解答】（1）观察算式1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到11，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于112，112＝11×11＝121，所以1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝121。 （2）观察算式1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到16，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于162，162＝16×16＝256，所以1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1＝256。 （3）观察算式1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到n，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于n2，所以1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2。 【易错专练5】填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 【答案】；；； （1）发现见详解 （2） 【分析】观察算式与图形之间的联系，寻找出算式中各个分数的分子、分母之间的共同点和相互之间的关系，以及得数与加数之间的关系，从而归纳出规律，最后应用规律解决问题。 【解答】     （1）发现：后一个分数是前一个分数的一半，且每个分数的分子都是1，这样的3个分数相加的和等于最后一个分数乘7。用字母表示规律是：，其中n为非零自然数。 （2） 易错点3：解决复杂递推问题时，混淆“项数”与“数量”。 【易错专练1】如图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，按这样拼下去，10张餐桌可坐多少人？100张呢？n张呢？（写出思考过程及答案。） 【答案】22人；202人；（2n＋2）人；思考过程见详解 【分析】根据题意，一张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，每多一张餐桌多坐2人，第n张餐桌可以坐4＋2×（n－1）人，据此解答。 【解答】根据分析可知： 思考过程：观察可知，1 张桌子坐 4 人，2 张桌子坐 6 人，每多拼一张桌子，多增加 2 个座位。第n张餐桌可以坐（2n＋2）人。 2×10＋2 ＝20＋2 ＝22（人） 2×100＋2 ＝200＋2 ＝202（人） 4＋2×（n－1） ＝4＋2n－2 ＝ 2n＋2（人） 答：按这样拼下去，10张餐桌可坐22人，n张餐桌可坐2n＋2人。 【易错专练2】图①是1个棱长为1厘米的小正方体，图②由5个棱长为1厘米的小正方体堆成，图③由14个棱长为1厘米的小正方体堆成，按照此规律： （1）那么，请你列式计算出图⑥由多少个棱长为1厘米的小正方体堆成？ （2）请你计算图⑩立体图形的表面积？ 【答案】（1）91个 （2）420平方厘米 【分析】（1）第1个图中有1个棱长为1厘米的小正方体，第2个图中有（1＋4）个棱长为1厘米的小正方体，第3个图中有（1＋4＋9）个棱长为1厘米的小正方体，第n个图中有（1＋4＋9＋…＋n2）个棱长为1厘米的小正方体，由此解答本题； （2）第1个图形的表面积是棱长是1厘米的正方体的表面积，第2个图形的表面积是长、宽都是（1×2）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上4个边长是1厘米的正方形的面积，第3个图形的表面积是长、宽都是（1×3）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上（4×2＋4×1）个边长是1厘米的正方形的面积，第n个图形的表面积是长、宽都是（1×n）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上[4×（1＋2＋…n－1）]个边长是1厘米的正方形的面积，由此解答本题。 【解答】（1）1＋4＋9＋42＋52＋62 ＝1＋4＋9＋16＋25＋36 ＝91（个） 答：图⑥由91个棱长为1厘米的小正方体堆成。 （2）（10×1＋10×1＋10×10）×2＋4×（1＋2＋3＋…＋9）×（1×1） ＝（10＋10＋100）×2＋4×45×1 ＝120×2＋180 ＝240＋180 ＝420（平方厘米） 答：图⑩立体图形的表面积是420平方厘米。 【点评】本题考查的是数与形结合的规律的应用，解决本题的关键是找出题中规律。 【易错专练3】用小棒摆五边形，如下图所示。 （1）填表。 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 … （2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？ 【答案】（1）5＋4＋4＋4；4n＋1； （2）481根 【分析】（1）观察图形可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4＋4）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4＋4＋4）根小棒……则摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，据此解答即可； （2）把n＝120代入（1）中所得出的规律中求值即可解答。 【解答】（1）5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝（4n＋1）根 填表如下： 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 5＋4＋4＋4 … 4n＋1 （2）4×120＋1 ＝480＋1 ＝481（根） 答：需要481根小棒。 【易错专练4】小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 【答案】（1）62.5 （2）55.6 （3）不支持；理由见详解 【分析】（1）前四行中，黑色小三角形共有10个，白色小三角形共有6个。求黑色小三角形所占的比例用黑色小三角形个数除以黑、白三角总个数，结果用百分数表示。 （2）根据三角形的排列规律可知，第几行就有几个黑色三角形，白色三角形个数比黑色三角形个数少1，据此规律可知第五行中黑色三角形有5个，白色三角形有4个，两种三角形共有9个，据此解答。 （3）根据三角形的排列规律可知，第行有黑色三角形个，有白色三角形个，那么整个大三角形中黑色三角形总共是个，白色三角形总共是个，据此计算出黑色小三角形占所有三角形个数的百分比，再与50%比较，据此解答。 【解答】（1）10÷（10＋6）×100% ＝10÷16×100% ＝0.625×100% ＝62.5% 故前四行中黑色小三角形所占的比例是62.5%。 （2）5÷（5＋4）×100% ＝5÷9×100% ≈0.556×100% ＝55.6% 故第五行中黑色小三角形所占的比例是55.6%。 （3）黑色三角形： 黑、白三角形： 黑色三角形在整个三角形中的占比： 因为，分子上加上1，那么无论取什么值，都大于（50%）。所以无论画多少行，整个大三角形中黑色小三角形所占的比例都大于50%，故不支持小明的说法。 【点评】本题考查了图形中三角形的排列规律及百分比的计算方法，难点是含有字母算式的计算及化简。 【易错专练5】如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些同样大小的圆。 （1）请观察上图并填写下表。 图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） 圆的个数 （2）你能试着表示出第n个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第18个图形中有多少个圆。 【答案】（1）1；4；9；16；25；36        （2）n2；324个 【分析】（1）通过观察图，可以发现圆的个数依次增加。得出规律如下 图（1）中圆的个数：1＝1×1＝1²； 图（2）中圆的个数：4＝2×2＝2²； 图（3）中圆的个数：9＝3×3＝3²； …… 图（n）中圆的个数：n×n＝n²。 因此可得： 图（4）中圆的个数：4²＝16； 图（5）中圆的个数：5²＝25； 图（6）中圆的个数：6²＝36； （2）由（1）可得，第n个正方形中圆的个数是n²，通过发现的规律计算出第18个图形中有18²个圆，据此解答。 【解答】（1）填表如下： 图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） 圆的个数 1 4 9 16 25 36 （2）n×n＝n² 18²＝18×18＝324（个） 答：第n个正方形中圆的个数是n²，第18个图形中有324个圆。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级上册数学 （八大专题36个易错点） 目录 专题一分数乘法 3 易错点1：计算分数与整数相乘时，不能将分子与整数进行约分 3 易错点2：计算分数与分数相乘时，约分后不能将分子与分子相加，分母与分母相加 4 易错点3：计算分数与小数相乘时，应灵活选取计算方法，能约分的先约分再计算 6 易错点4：计算时，注意分数混合运算的运算顺序 7 易错点5：解决实际问题时，要找准所求量对应的分率 8 专题二位置与方向（二） 10 易错点1：确定物体的相对位置时，要找准参照点或相反方向判断错误。 10 易错点2：画图时弄错观测点。 12 易错点3：描述方向时，先说正方向，再说偏离的方向。 17 专题三分数除法 22 易错点1：没有理解倒数的意义。 22 易错点2：没有掌握分数除法的计算法则，导致计算出错。 23 易错点3：转化乘法后，未能正确约分。 24 易错点4：在进行分数乘除法计算时，混淆了乘、除法。 25 易错点5：实际问题中的单位“1”判断错误。 26 专题四比 28 易错点1：比的意义理解错误，比的后项有的时候可以是0。 28 易错点2：将比的基本性质与分数的基本性质混淆 29 易错点3：求比值与化简比概念混淆。 29 易错点4：化简不同单位的比时，未先统一单位。 30 易错点5：在解决问题时,要注意已知量对应的份数。 31 专题五圆 33 易错点1：混淆了半圆与圆的对称轴数量。 33 易错点2：误以为半圆的周长就是圆周长的一半，而忽略了还有一条直径。 34 易错点3：圆的周长与面积公式混淆。 35 易错点4：圆环面积计算时半径混淆。 36 易错点5：组合图形求阴影部分面积时思路不清。 38 易错点6：已知周长求面积（或反之）时，半径的桥梁作用。 39 专题六百分数（一） 41 易错点1：百分数不可以表示具体的数量,后面不能加单位名称。 41 易错点2：百分数与小数、分数互化不熟练。 41 易错点3：求“一个数是另一个数的百分之几”时，找错标准量。 43 易错点4：求“一个数比另一个数多（或少）百分之几”：（1）找错单位“1”；（2）弄错是“除以哪个数”。 44 易错点5：百分数应用题中“量”与“率”不对应。 45 专题七扇形统计图 46 易错点1：被扇形统计图中的表面信息迷惑、误导。 46 易错点2：混淆三种统计图的特征。 49 易错点3：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 51 易错点4：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 54 专题八数学广角—数与形 57 易错点1：观察图形规律不系统，归纳公式错误。 57 易错点2：在“数”的问题中，无法用“形”来直观理解和解决。 59 易错点3：解决复杂递推问题时，混淆“项数”与“数量”。 62 专题一分数乘法 易错点1：计算分数与整数相乘时，不能将分子与整数进行约分 【易错专练1】             【易错专练2】             【易错专练3】认真算一算。                           【易错专练4】计算。                                                      【易错专练5】计算。                                                          易错点2：计算分数与分数相乘时，约分后不能将分子与分子相加，分母与分母 相加 【易错专练1】计算下列各题。                           【易错专练2】直接写得数。                                                                        【易错专练3】计算。                                                                      【易错专练4】计算。                                                                           【易错专练5】计算下面各题。                           易错点3：计算分数与小数相乘时，应灵活选取计算方法，能约分的先约分再计 算 【易错专练1】（    ）或（    ）（填小数）（    ）。 【易错专练2】计算。                         【易错专练3】我会算。                           【易错专练4】计算。                                                    【易错专练5】计算。                                                                                     易错点4：计算时，注意分数混合运算的运算顺序 【易错专练1】仔细算一算，怎样简便就怎样计算。      【易错专练2】下面各题怎样简便就怎样算。                                           【易错专练3】我会算。（怎样简便怎样算）                【易错专练4】计算下面各题。（能简算的要用简便方法计算）                   【易错专练5】我会算。（怎样简便怎样算）                   易错点5：解决实际问题时，要找准所求量对应的分率 【易错专练1】习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，种植沙枣的棵数又是沙柳棵数的，这个区域种植沙枣树多少棵？ 【易错专练2】某校五年级同学去“红色纪念馆”开展研学旅行，接受革命传统文化和红色文化的熏陶。全程用时小时，其中路上用去的时间占总时间的，休息的时间占总时间的，剩下的是参观学习时间。参观学习时间是多少小时？ 【易错专练3】按照中国移动的收费标准，国内长途漫游通话费的标准大约是0.6元/分钟，开通“长话无忧”后，长途通话费只有原来的。淘气的爸爸每月的手机费大约180元，其中是长途通话费，开通“长话无忧”后，淘气的爸爸每月可节约手机费多少元？ 【易错专练4】端午节这天，社区要发放给居民540个粽子，上午发放了这些粽子的，下午比上午多发放，下午发了多少个粽子？ 【易错专练5】森林公园的门票每张60元。“旅游节”期间，门票降价了，旅游人数比平时增加了。“旅游节”期间该森林公园的收入是增加了还是减少了？ 专题二位置与方向（二） 易错点1：确定物体的相对位置时，要找准参照点或相反方向判断错误。 【易错专练1】如果地在地的南偏东方向上，那么地在地的（    ）方向上。 A．北偏西 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏东 【易错专练2】小明家在学校的东偏南75°方向，那么学校在小明家的（    ）方向。 A．南偏东75° B．北偏西25° C．西偏北75° D．东偏南25° 【易错专练3】小明家在超市北偏东40°方向，那么超市在小明家（    ）方向。 A．南偏西40° B．南偏西50° C．南偏东50° D．南偏东40° 【易错专练4】超市在学校东偏南30°方向，那么学校在超市的（    ）方向上。 A．西偏北30° B．西偏北60° C．南偏东30° D．南偏东60° 【易错专练5】小红家在小强家北偏东42°的方向上，小强家在小红家（    ）的方向上。 A．南偏西42° B．北偏东48° C．南偏西48° D．北偏东42° 【易错专练6】超市在学校北偏东30°方向上，学校在超市（    ）方向上。 A．东偏北30° B．南偏西30° C．西偏南30° 【易错专练7】如图，奶奶家在超市的西偏北40°方向300m处，奶奶从家去超市，要向（    ）。 A．东偏南50°方向走500m B．北偏西50°方向走300m C．南偏东40°方向走500m D．东偏南40°方向走300m 【易错专练8】北斗卫星导航系统是中国自主研发的卫星导航系统之一。根据我国北斗卫星定位显示：台风中心位于M市南偏西方向，还可以说成台风中心位于M市（    ）方向。 A．北偏东 B．东偏北 C．东偏南 D．西偏南 【易错专练9】在地图上万达广场在虎英公园的北偏西50°方向上，那么虎英公园在万达广场的（    ）方向上。 A．南偏东40° B．北偏东40° C．南偏东50° D．北偏东50° 【易错专练10】小明家在体育馆的东偏南30°方向上，则体育馆在小明家（    ）方向上。 A．南偏东30° B．西偏北30° C．北偏西30° D．西偏北60° 易错点2：画图时弄错观测点。 【易错专练1】海面上有一座灯塔，凤凰岛在灯塔的北偏西30°方向30千米，清凉岛在灯塔的南偏东50°方向20千米处，你能在图中表示出凤凰岛、清凉岛的位置吗？ 【易错专练2】A楼在B楼正北方向600m处，C楼在B楼东偏北40°方向900m处。请你在下图中分别画出A楼和C楼的位置。 【易错专练3】台球是很多人喜欢的项目。请根据描述在图中标出各个球的位置。 1号球在白球南偏东30°方向10厘米处； 2号球在白球的北偏西50°方向30厘米处； 3号球在白球的南偏西70°方向20厘米处。 【易错专练4】画一画，标一标。 （1）超市在学校北偏西60°方向，距学校1200米。 （2）书店在学校东偏北70°方向，距学校900米。 （3）电信局在学校东偏南30°方向，距学校300米。 （4）小明家在学校西偏南45°方向，距学校600米。 【易错专练5】请你在下面的平面图上标出下面建筑的位置。 （1）少年宫在学校的西偏北30°方向上，距离学校600米。 （2）邮电局在学校的南偏西40°方向上，距离学校800米。 （3）医院在学校的东偏南45°方向上，距离学校1000米。 （4）超市在医院的正北方向，距离医院400米。 【易错专练6】根据下面的描述，在平面上标出扎西和卓玛家的位置。以学校为观测点，扎西家在学校的北偏东45度方向800米处，卓玛家在学校的西偏北30度方向600米处。 【易错专练7】请在下面的平面图上标出各场所的位置。 （1）儿童乐园在人工湖的东偏北30°方向300米处。 （2）影视城在人工湖的北偏西40°方向200米处。 （3）水上世界在人工湖的南偏东20°方向400米处。 （4）丛林探险在人工湖的正西方向500米处。 【易错专练8】根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）图书馆在学校的北偏西30°方向300米处。 （2）派出所在学校的东偏北45°方向500米处。 （3）银行在学校的南偏西45°方向400米处。 （4）邮局在学校的东偏南20°方向600米处。 【易错专练9】操作。 （1）体育场在东东的北偏东45°方向1000米处。 （2）火车站在东东的南偏西70°方向1500米处。 （3）东东家在广场的西偏北50°方向1000米处。 【易错专练10】根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）学校在图书馆的北偏西45°方向1000米处。 （2）超市在图书馆的东偏南30°方向2000米处。 易错点3：描述方向时，先说正方向，再说偏离的方向。 【易错专练1】根据下图所给的信息，请你说一说小明从家到电影院的具体路线。 【易错专练2】根据图中信息描述路线。 古丝绸之路积淀了以和平合作、开放包容、互学互鉴、互利共赢为核心的丝路精神。下图是古丝绸之路的部分路线示意图。请描述从敦煌出发到马鲁的路线。 【易错专练3】下面是某部队行军路线图，请写出从军营到1号目的地的行军路线。 【易错专练4】下图是小宇一家规划的周末出游路线。 （1）请你描述小宇从酒店出发游览植物园、科技园、文化馆后到达动物园的出游路线。 （2）在动物园东偏南50°方向，距离动物园1000米处有一家书店，请你在图中用“▲”标记出书店的位置。 【易错专练5】一艘军舰，从起点向东偏北60°行驶72km后向东行驶36km，最后向南偏西30°行驶24km到达终点。 （1）根据描述补充路线图。 （2）根据路线图。写出军舰按原路返回所走的方向和路程。 【易错专练6】住在幸福小区的黄老师每天骑共享单车去实验小学教育集团上班，下面是她上班的路线图。 （1）请你描述黄老师上班时所走的路线。 （2）学校上午8：00上课，她7：45从家出发，如果骑车速度为18千米/时。她会迟到吗？请列式说说你判断的理由。 【易错专练7】操作。 （1）周末阳阳骑车从新华书店去万达广场购物，根据路线图描述阳阳骑车去购物所走的路线。 （2）阳阳10：30分从万达广场骑车回家，如果每分钟骑行500米，在每个路口等待1分钟，阳阳什么时间可以回到家？ 【易错专练8】豆豆上学。 （1）看图描述豆豆从家到学校的路线。 （2）学校8：00开始上课。一天早上，豆豆7：30从家出发走到商场时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学。如果豆豆每分钟走60米，他会迟到吗？ 【易错专练9】12路公共汽车从起点站出发，先向西偏北40°行驶3千米走到A站，然后再向正西行驶5千米到达B站，最后向西偏南50°行驶4千米到达终点站。 （1）根据上面的描述，把12路公共汽车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，描述12路公共汽车原路返回时所行驶的方向和路程。 【易错专练10】根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。 （1）小东家在广场西偏南35°方向900米处。 （2）小丽家在广场北偏西20°方向600米处。 （3）张强家在广场东偏北30°方向1200米处。 （4）说一说张强从家出发先到广场再到小东家的路线。张强从家出发，沿（    ）方向走（    ）米，到达广场，然后改变方向，沿（    ）方向走（    ）米，到达小东家。 专题三分数除法 易错点1：没有理解倒数的意义。 【易错专练1】分母是6的最小真分数的倒数是（ ）；0.75和（ ）互为倒数。 【易错专练2】若a、b互为倒数，则2024－3ab＝（ ）；若a没有倒数，b的倒数是它本身，则2024－3ab＝（ ）。 【易错专练3】的分数单位是（ ），当a等于（ ）时，这个数的倒数是最小的质数。 【易错专练4】下面是一个正方体的平面展开图。每个面上都填有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么mn的值为（ ）。 【易错专练5】的倒数是（ ），和（ ）互为倒数。 易错点2：没有掌握分数除法的计算法则，导致计算出错。 【易错专练1】直接写得数。                                            【易错专练2】算一算。                           【易错专练3】直接写出得数。                                                        【易错专练4】直接写出得数。                                                                    【易错专练5】直接写得数。 ×＝         ÷＝         －＝         ×＝ ÷＝        ÷＝         ＋＝         ÷＝ 易错点3：转化乘法后，未能正确约分。 【易错专练1】直接写出得数。                                                            【易错专练2】直接写出得数。                                                                                  【易错专练3】直接写得数。                                                                    【易错专练4】直接写得数。                           【易错专练5】直接写得数。 ＝       ×2.4＝       ＝       ×10＝       ×0＝ ÷2＝       ÷14＝       8÷＝       ＝       ＝ 易错点4：在进行分数乘除法计算时，混淆了乘、除法。 【易错专练1】计算下面各题。                  【易错专练2】计算：                   【易错专练3】脱式计算。                    【易错专练4】下面各题，怎样简便就怎样算。                                                                   【易错专练5】脱式计算。                                               易错点5：实际问题中的单位“1”判断错误。 【易错专练1】食堂有一些大米，第一周吃掉总数的，第二周吃了180千克，这时剩下的大米和吃了的大米一样多，食堂原有大米多少千克？ 【易错专练2】北京颐和园是世界上保存最完整的古代皇家园林之一。据颐和园工作人员统计，某天游览时租用讲解器的人数比游览总人数的少200人，未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，租用讲解器和未租用讲解器的人数分别是多少？ 【易错专练3】一本故事书，小华从第一页开始看起，第一天看了总页数的多3页，第二天看了余下的少4页，还剩122页没有看。这本故事书一共有多少页？ 【易错专练4】兄弟四人一起去买一台电视机，老大带的钱是另外3个人的总数的一半，老二带的钱是另外3个人的总钱数的，老三带的钱是另外3个人总钱数的，老四带去910元，那么这台电视机多少钱？ 【易错专练5】围棋起源于中国，春秋战国时期曾有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，此后又流传到欧美各国，围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现。盒子里现有黑白两种颜色的围棋子共361枚，乐乐拿出白棋子的，明明拿出37枚黑棋子，剩下的白棋子数和黑棋子数正好相等。原有黑、白棋子各多少枚？ 专题四比 易错点1：比的意义理解错误，比的后项有的时候可以是0。 【易错专练1】在2024年6月11日的世预赛中，韩国足球队以1∶0胜中国足球队，说明在特殊情况下，比的后项可以是0。（ ） 【易错专练2】从甲地到乙地，客车行完全程要2小时，货车行完全程要3小时，客车与货车的速度比是3∶2。（ ） 【易错专练3】从学校到邮局，甲用7分钟，乙用8分钟，甲、乙的速度比是7∶8。（ ） 【易错专练4】加工一种机器零件，甲需要6分钟完成，乙需要5分钟完成，甲乙两人的工作效率之比是5∶6。（ ） 【易错专练5】2024年小明和小环的年龄比是2∶3，到2030年小明和小环的年龄比仍是2∶3。（ ） 易错点2：将比的基本性质与分数的基本性质混淆 【易错专练1】如果3∶7的前项乘3，要使比值不变，后项应是（ ）；如果前项加9，要使比值不变，后项应加（ ）。 【易错专练2】在中，如果比的后项加上21，要使比值不变，前项应加上（ ）。 【易错专练3】如果把4∶5的前项加上8，要使比值不变，后项应该（ ）。 【易错专练4】与1.5化成最简整数比是（ ），比值是（ ）；如果这个最简整数比的前项增加3，要使比值不变，后项应该增加（ ）。 【易错专练5】一个比的比值是2，后项是0.7，前项是（ ）；把这个比的前项加上2.8，要使比值不变，后项应加上（ ）。 易错点3：求比值与化简比概念混淆。 【易错专练1】把下面各比化成最简整数比，要写化简过程。 45∶15               【易错专练2】先把下面各比化成最简单的整数比，再求出比值。                           39∶21 【易错专练3】求比值。      【易错专练4】化简比。 150∶85            0.6∶          0.6∶0.16 【易错专练5】求比值。 72∶48          2.8∶1.4      ∶ 易错点4：化简不同单位的比时，未先统一单位。 【易错专练1】求比值。 0.4千米∶75米＝ 【易错专练2】化简比。 500克∶千克＝ 【易错专练3】求下面各比的比值。 0.8米∶24厘米          45分∶1小时          150克∶0.5千克 【易错专练4】化简单位不统一的比。 （1）750厘米∶45分米＝ （2）1.2千克∶180克＝ （3）320平方分米∶0.8平方米＝ 【易错专练5】把下面各比化成最简单的整数比。 ∶        120m∶km          2.7L∶30mL 易错点5：在解决问题时,要注意已知量对应的份数。 【易错专练1】小林用一根长84厘米的木条制作一个长方形画框，画框长与宽之比是9∶5，这个画框的面积是多大？ 【易错专练2】小学四、五、六年级的同学在创新设计大赛中成绩优异，平均每个年级交了80件作品，四、五、六年级的作品数量比是2∶3∶5，六年级比五年级多交了多少件作品？ 【易错专练3】一种什锦糖是由水果糖、奶糖和酥糖三种糖配制而成的。其中水果糖、奶糖和酥糖三种糖的比是3∶4∶6，如果这三种糖各有20千克，当奶糖全部用完时，水果糖还剩下多少千克？酥糖已经增加了多少千克？ 【易错专练4】正在规划建设的潮白河国家森林公园是京翼首个跨界共建的国家森林公园，一侧在北京通州，另一侧在河北廊坊，总面积约是104平方千米，通州一侧与廊坊一侧公园的面积比是15∶11，通州一侧的公园面积约是多少平方千米？ 【易错专练5】杭州亚运会门票电子票可抽取金牌票、银牌票、铜牌票、通用票四种电子纪念票。若被抽取的电子纪念票总票数有8000张，金牌票和铜牌票共占总票数的，而且金牌票数与铜牌票数的比是1∶3，这批电子纪念票中铜牌票有多少张？ 专题五圆 易错点1：混淆了半圆与圆的对称轴数量。 【易错专练1】如图，这个图形的对称轴有（    ）条。 A．4 B．3 C．2 D．1 【易错专练2】下面的图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】下面图形有（    ）条对称轴。 A．2 B．4 C．无数 【易错专练4】如图有（    ）条对称轴。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【易错专练5】下面图形中，不是轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． 易错点2：误以为半圆的周长就是圆周长的一半，而忽略了还有一条直径。 【易错专练1】一个半圆的直径为3厘米，它的周长是（ ）厘米。 【易错专练2】把一个周长是18.84cm的圆，剪成两个等半圆，每个半圆的周长是（ ）cm。 【易错专练3】一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm。 【易错专练4】把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加。每个半圆的周长是（ ）。 【易错专练5】一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是（ ）厘米，分针扫过的面积是（ ）平方厘米。 易错点3：圆的周长与面积公式混淆。 【易错专练1】列看图按要求计算。 求出下图的周长和面积。      【易错专练2】求下列图形的周长和面积。 【易错专练3】求下面各图形的周长和面积。（单位：分米） 【易错专练4】看图按要求计算。 求出下图周长。     【易错专练5】求下图的周长。 易错点4：圆环面积计算时半径混淆。 【易错专练1】求阴影部分的面积。 【易错专练2】求下面图形涂色部分的面积。 【易错专练3】求图中阴影部分的面积。 【易错专练4】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【易错专练5】图中外圆直径为。求阴影部分的面积。 易错点5：组合图形求阴影部分面积时思路不清。 【易错专练1】计算下面图形中阴影部分的面积（单位：cm）。 【易错专练2】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【易错专练3】求涂色部分的面积。（单位：cm） 【易错专练4】计算阴影部分的面积。（单位：dm） 【易错专练5】求涂色部分的面积。（单位：厘米） 易错点6：已知周长求面积（或反之）时，半径的桥梁作用。 【易错专练1】淘气用一根30米长的铁丝测一棵树的直径，在树干上绕了10圈后还剩1.74米，已知这棵树的横截面是一个圆，这棵树的半径大约是多少米？ 【易错专练2】小强用一根长25.12米的绳子，正好绕树干10圈，这根树干的横截面的半径是多少米？ 【易错专练3】赵明的智能手表通过GPS测出他绕圆形花坛走了10圈，总距离为188.4米。花坛的半径是多少米？ 【易错专练4】把一根长为10米的绳子，在一个圆盘上绕了三圈，还剩下0.58米，这个圆盘的半径是多少米？ 【易错专练5】为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？ 专题六百分数（一） 易错点1：百分数不可以表示具体的数量,后面不能加单位名称。 【易错专练1】水果店运进水果的质量为吨也就是20%吨。（ ） 【易错专练2】小亮说：“暑假期间我参加了许多项体育锻炼，体重下降了10%千克”。（ ） 【易错专练3】千克也可以说成23%千克。（ ） 【易错专练4】一根绳子长1米，用去米，还剩80%米。（ ） 【易错专练5】一根绳子长100米，截去30米，还剩70%米。（ ） 易错点2：百分数与小数、分数互化不熟练。 【易错专练1】将下列各分数化为百分数。 ＝           ＝              ＝ 【易错专练2】把前两个百分数化成分数，后两个百分数化成小数。 42%＝         2.5%＝         160%＝         0.5%＝ 【易错专练3】把下面的小数或分数写成百分数的形式。     3.82        0.625 【易错专练4】把下面的百分数改成小数，小数和整数改成百分数。 22%＝                  0.5%＝                100.8%＝ 0.44＝                  1.01＝                  8＝ 【易错专练5】把下面各数化成百分数。（除不尽的，百分号前保留一位小数） 0.47＝        5.03＝        ≈        ＝ ＝         0.83＝        5＝          0.92＝ 易错点3：求“一个数是另一个数的百分之几”时，找错标准量。 【易错专练1】青坡庄今年要栽300棵松树，已经栽了180棵，没栽的占总棵数的百分之几？ 【易错专练2】一次数学检测，六（2）班有40人参加了考试，只有2人没有及格，该班学生这次数学检测的及格率是多少？（只列式，不计算。） 【易错专练3】六年级举行“弘扬革命精神，游红色革命基地”活动。六年级两个班一共有90人，六（1）班3人请假，六（2）班6人请假，六年级参加本次活动的出勤率是多少？ 【易错专练4】李师傅二月份加工的产品中，经检验，有190件合格，10件不合格。李师傅加工的这批产品的合格率是百分之几？ 【易错专练5】北京时间2024年2月19日凌晨，多哈游泳世锦赛落幕，中国队以23金位居总奖牌榜榜首，断层领先。中国队在此次世锦赛中共获得33枚奖牌，获得银牌的数量比金牌少15枚，获得铜牌的数量约是奖牌总数的百分之几？（百分号前保留整数） 易错点4：求“一个数比另一个数多（或少）百分之几”：（1）找错单位“1”；（2）弄错是“除以哪个数”。 【易错专练1】某网站开通半年，已有30万的点击量，原来预计有25万的点击量。 【易错专练2】一辆货车负责把纸运往仓库。车从造纸厂出发匀速行驶至仓库后又原路返回，返回时因为是空车，前半程速度比去时提高了25%，后半程因天气影响又降速36%，则返程时比去时所用时间多百分之几？ 【易错专练3】镇海招宝山景区2023年接待游客68万人次，2024年文化宣传力度进一步加强，游客量达到了81.6万人次。2024年游客量比2023年增长了百分之几？ 【易错专练4】2023年，芜湖三只松鼠年销售额达80亿元。2024年通过直播电商拓展市场，年销售额增至96亿元。2024年销售额比2023年增长了百分之几？ 【易错专练5】某种商品4月的价格比3月降了20%，5月的价格比4月又涨了20%。5月的价格和3月比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ 易错点5：百分数应用题中“量”与“率”不对应。 【易错专练1】由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税两次大幅度下调，第一次降低了40%，第二次在第一次降低的基础上再降低30%。现在这种进口商品实际收取关税5040美元，在没有降税前应收取多少美元的关税？ 【易错专练2】陈大爷第一次植树200棵，成活率为85%；第二次植树成活率为90%。第一次植树比第二次植树多死了8棵。第二次植树多少棵？ 【易错专练3】一桶油，第一次取出它的20%，第二次取出它的15%还多6千克，第三次又取出它的还少2千克，这时桶内还剩12千克。这桶油原来一共有多少千克？ 【易错专练4】2023年12月，受大雪极端天气影响，某蔬菜价格第二周比第一周上涨10%，第三周又比第二周上涨10%。两周以来这种蔬菜的价格共上涨百分之几？ 【易错专练5】为迎接省文明城市创建，湖滨新区拓宽一条公路，第一天修了15%，第二天比第一天少修了300米，还剩75%。这条公路全长多少米？ 专题七扇形统计图 易错点1：被扇形统计图中的表面信息迷惑、误导。 【易错专练1】下面是小明上个月零用钱的支出情况统计图。你知道小明上个月共花了多少零用钱吗？ 【易错专练2】小学生体质健康检测综合评价分为优秀、良好、合格和不合格四个等级。某小学六年级学生体质健康检测情况统计如图。 （1）体质健康检测等级为“优秀”的学生人数占总检测人数的（    ）%。 （2）如果该小学六年级体质健康检测等级为“良好”的有126人，那么参加体质健康检测的一共有多少人？ 【易错专练3】下图是50名同学的血型情况。 （1）从图中你能得到哪些信息？至少写出2个信息。 （2）请计算出各种血型分别有多少人：A型血有（    ）人，B型血有（    ）人，AB型血有（    ）人，O型血有（    ）人。 【易错专练4】中国海关统计2024年进口商品关税情况（如图），已知服装类关税为400亿元，那么： （1）2024年中国征收的关税总额是多少亿元？ （2）家电类的关税比农产品类关税多多少亿元？ 【易错专练5】如图是某养殖场2014年饲养家禽只数的统计图。养鸭1960只。 （1）三种家禽总数是多少只？ （2）鸡的只数比鸭的只数多多少只？ （3）鹅的只数比鸡的只数少百分之几？ 【易错专练6】如图是红领巾广播站每周每个栏目的播音时间分配的统计图，根据下图回答问题。 （1）“精品习作”的播音时间占红领巾广播站每周播音总时间的（ ）%。 （2）“（ ）”播音的时间最少，“（ ）”播音的时间最多。 （3）“故事天地”播音的时间比“校园新闻”多（ ）%。 （4）如果“精品习作”的播音时间是36分钟，红领巾广播站每周播音总时间是（ ）分钟。 易错点2：混淆三种统计图的特征。 【易错专练1】要表示某地区一年内月平均气温变化的情况，可以把月平均气温制成（ ）统计图。想清楚地表示部分与总量之间的关系，要选用（ ）统计图。 【易错专练2】如果表示六年级近视的学生人数占全年级总人数的百分比情况，选用（ ）统计图；如果记录患者24小时的体温变化情况，可以用（ ）统计图。 【易错专练3】气象站要记录某地一天中气温的变化情况，用（ ）统计图比较合适；要反映100毫升牛奶中蛋白质、脂肪、钠、钙等营养成分所占百分比，用（ ）统计图比较合适；要想了解学校各年级人数多少的情况，用（ ）统计图比较合适。 【易错专练4】统计梁山县上周的PM2.5的变化情况，选择（ ）统计图最合适；统计梁山森林公园内各种树木占百分比情况，选用（ ）统计图最合适。 【易错专练5】经过六年的小学数学学习，我们会根据实际情况选用不同的统计图对数据进行搜集、整理、表达。表示你一学期成绩的变化情况用（ ）统计图合适；想了解班上男、女生人数占全班人数的百分比情况用（ ）统计图合适；表示你所在学校各年级人数情况用（ ）统计图合适。 【易错专练6】下面几组数据分别选用哪种统计图表示更合适？ （1）柳庄村2014－2018年种植树木总量变化情况统计表。 年份/年 2014 2015 2016 2017 2018 总量/棵 200 240 300 340 400 选用（ ）统计图更合适。 （2）柳庄村2018年种植各种树木所占百分比情况统计表。 树种 香樟 柳树 柏树 松树 其他 百分比 25% 20% 15% 15% 25% 选用（ ）统计图更合适。 （3）柳庄村2018年种植各种树木数量统计表。 树种 香樟 柳树 柏树 松树 其他 总量/棵 180 80 60 60 100 选用（ ）统计图更合适。 易错点3：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 【易错专练1】射击队的队员们进行射击训练，每人射靶10次，下面是他们训练的总成绩（单位：环）。先完成下面的统计表，再回答问题。 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 1 75 5 53 9 74 13 92 17 90 2 82 6 79 10 57 14 72 18 87 3 69 7 81 11 89 15 86 19 64 4 80 8 85 12 91 16 88 20 66 射击队员射击训练情况统计表 月    日 成绩/环 合计 超过89 80－89 70－79 60－69 不足60 人数 如果总成绩在80环及以上为“优秀”，不足60环为“不合格”，其余为“合格”。那么这次训练，总成绩达到“优秀”的有（    ）人，“合格”的有（    ）人，“不合格”的有（    ）人。 【易错专练2】下面是六（1）班同学们的口算竞赛成绩。（单位：分） 100 89 94 56 75 69 83 75 98 99 76 85 64 95 60 81 96 74 78 65 85 93 100 77 73 60 67 74 80 84 88 95 63 65 76 88 95 82 89 95 88 75 （1）按分数段填写下表。 分数段/分 90～100 80～89 70～79 60～69 60以下 合计 人数 （2）如果把90～100分定为一等奖，80～89分定为二等奖，70～79分定为三等奖，那么，此次竞赛的获奖率是多少？ 【易错专练3】下面是六（2）班部分同学本次数学测验的成绩情况。（单位：分） 96 98 100 91 86 81 77 94 70 85 83 85 95 60 77 92 90 82 86 60 76 92 93 78 100 78 93 88 84 97 （1）请根据上面的数据，将成绩进行分段整理，制成统计表。 成绩段/分 60－69 70－79 80－89 90－99 100 人数/人 （2）根据上面的分数分段整理统计表，完成下面的统计图。 【易错专练4】六（1）班男同学在体育课上进行拍球游戏，每分拍球个数如下。（单位：个） 60 59 57 58 67 66 62 61 54 64 65 56 68 55 64 59 51 60 62 63 （1）根据上面的数据，完成下面的统计表。 个数段/个 50－54 55－59 60－64 65及65以上 人数 （2）根据六（1）班男同学拍球个数的统计表完成下面的统计图。 【易错专练5】下表是六（7）班男同学1分钟跳绳测试成绩统计表。（单位：下） 149 119 92 180 185 85 131 160 107 175 184 88 191 116 161 157 95 120 188 135 185 109 114 126 （1）根据上表，统计各段的人数。 六（7）班男同学1分钟跳绳测试成绩统计表 成绩/下 110以下 110～139 140～169 170～199 人数/人 （2）根据统计表完成下面的统计图。 六（7）班男同学1分钟跳绳测试成绩统计图 （3）学校规定，1分钟跳绳达标成绩是110下，六（7）班男同学达标的人数占男同学总人数的__________。 易错点4：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 【易错专练1】下面是A、B两市2008年上半年降水量情况统计图。 （1）（    ）月份两个城市的降水量相差最大。 （2）（    ）月份两个城市的降水量最接近，相差（    ）毫米。 （3）A市上半年平均每月降水（    ）毫米。 （4）B市第一季度平均每月降水（    ）毫米。 【易错专练2】小娅家今年开了一家点心店，主营产品是点心和饮料。为了了解近五个月经营状况，她做了以下两幅统计图。 （1）2月份饮料销售额比点心少百分之几？ （2）5月份点心销售额是多少万元？ 【易错专练3】某品牌电动车2022年3~6月销售情况统计图如下。 （1）完成上面的折线统计图。 （2）从统计图中你获得了哪些信息？ （3）根据2022年3~6月电动车的销售情况，你能给销售经理提出哪些建议？ 【易错专练4】根据统计图完成下列问题。 传统燃油车以消耗油为主要动力，新能源车以消耗电为主要动力。随着社会的发展，新能源车进入人们的视野，统计近年来新能源车与传统燃油车市场销售情况如下。 （1）描述2018—2022年我国新能源车销售情况的变化趋势。 （2）2022年新能源车销售量欧洲比中国少（    ）%，全球大约销售新能源车（    ）万辆。 （3）有人说：“未来新能源车将会超过传统燃油车。”你认为有可能吗？结合统计图，说说你的理由。 【易错专练5】今年3至8月份期间，根据、、三种品牌空调的销售情况制作统计图如下，根据统计图，回答下列问题： （1）3至8月份期间，_____品牌空调销售量最多（填“、或”）；8月份品牌空调销售量有_____台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是_____； （2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台？ （3）小明打算选购一台空调，你建议小明购买哪种品牌的空调？请你写出一条理由。 专题八数学广角—数与形 易错点1：观察图形规律不系统，归纳公式错误。 【易错专练1】小圆片按照下图规律排列，第5堆有（ ）个小圆片，第n堆有（ ）个小圆片。 【易错专练2】用灰、白两种六边形瓷砖有规律地组成图案（如图）。以此规律，第10个图案有（ ）块白瓷砖。 【易错专练3】如图：有9个正三角形拼成的六边形，若中间的小正三角形的边长是1，则六边形的周长是（ ）。 【易错专练4】观察图中图形的构图情况，按照此规律，第5幅图中的个数是 ，第100幅图中的个数是 ，第n幅图中的个数是 。 【易错专练5】如图是芳芳用小棒摆的4个树状图，按照这个规律继续往下摆，第8个树状图需要（ ）根小棒。 【易错专练6】探索规律。 将小棒按如下方式摆放。 （1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（ ）根小棒，摆3个八边形需要（ ）根小棒。 （2）摆n个八边形需要（ ）根小棒。 易错点2：在“数”的问题中，无法用“形”来直观理解和解决。 【易错专练1】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 【易错专练2】我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是（ ），第四个数是（ ）。 【易错专练3】如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度。第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动 次可到达的位置。 【易错专练4】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 （1）（ ）。 （2）（ ）。 （3）（ ）。 【易错专练5】填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 易错点3：解决复杂递推问题时，混淆“项数”与“数量”。 【易错专练1】如图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，按这样拼下去，10张餐桌可坐多少人？100张呢？n张呢？（写出思考过程及答案。） 【易错专练2】图①是1个棱长为1厘米的小正方体，图②由5个棱长为1厘米的小正方体堆成，图③由14个棱长为1厘米的小正方体堆成，按照此规律： （1）那么，请你列式计算出图⑥由多少个棱长为1厘米的小正方体堆成？ （2）请你计算图⑩立体图形的表面积？ 【易错专练3】用小棒摆五边形，如下图所示。 （1）填表。 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 … （2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？ 【易错专练4】小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 【易错专练5】如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些同样大小的圆。 （1）请观察上图并填写下表。 图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） 圆的个数 （2）你能试着表示出第n个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第18个图形中有多少个圆。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $