期末复习专题：动态问题中的相似2025-2026学年浙教版数学九年级上册

2025年浙教版九年级第一学期期末复习专题：动态中的相似问题 1.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？ 2.如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P以1cm/s的速度从C点向B点运动，到达B点后停止运动，设点P、点Q同时出发，同时停止运动，设运动时间为ts． （1）若点Q以1cm/s的速度从B点沿BA方向向A点运动，当t为何值时，△BPQ与△ABC相似； （2）若点Q以1cm/s的速度从A点沿AB方向向B点运动，当△BPQ的面积等于▱ABCD面积的，求t的值． 3.如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当期中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：AP＝　 cm ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求运动时间是多少？ 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，点E为边AD上一点，ED＝1cm，连接BE．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）． （1）用含t的代数式表示：BP＝ t cm，BQ＝ 　 　 cm； （2）连接PQ，若存在某一时刻t，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△ABE相似，请求出此时t的值． 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． （1）根据题意知：CQ＝t （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？ （3）当运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？ 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝10m，BC＝24m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向B点移动．设P、Q两点移动的时间为t（0＜t＜13）秒． （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）探究：在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 7.如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 8.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？ （2）△APQ的面积能否为6个平方单位？若能，求出t的值；若不能，请说明． 9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停． （1）若P、Q同时出发，经过几秒钟； （2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似． 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．点P从点A出发，沿AC以每秒1个单位的速度向终点C运动；点Q从点C出发，沿C﹣B﹣A以每秒2个单位的速度向终点A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止．点P、Q同时出发，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜8）． 求： （1）用含t的代数式表示CP的长； （2）当t为何值时，PQ⊥AB； （3）当t＝4时，求PQ的长． 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜2.5）． （1）CQ＝ t cm，CP＝ 　 　 cm（用含t的式子表示）； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 12.如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒． （1）x为何值时，PQ∥BC； （2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由． 13.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时△ABC∽△PBQ？ 14.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动t（s）． （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2； （2）设四边形APQC的面积为S（cm2），当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？ （3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？ 15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．经过几秒，△MCN与△ABC相似？ 16.如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，AB＝6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么： （1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2； （2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AC向点C匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也停止运动． （1）经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒后，△PCQ与△ABC相似？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙教版九年级第一学期期末复习专题：动态中的相似问题 1.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？ 【解答】解：设同时运动ts时两个三角形相似， 当△PCQ∽△BCA，则，t＝0.8； 当△PCQ∽△ACB，则，t＝2． 答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似． 2.如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P以1cm/s的速度从C点向B点运动，到达B点后停止运动，设点P、点Q同时出发，同时停止运动，设运动时间为ts． （1）若点Q以1cm/s的速度从B点沿BA方向向A点运动，当t为何值时，△BPQ与△ABC相似； （2）若点Q以1cm/s的速度从A点沿AB方向向B点运动，当△BPQ的面积等于▱ABCD面积的，求t的值． 【解答】解：（1）∵点P以1cm/s的速度从C点向B点运动，点Q以1cm/s的速度从B点沿BA方向向A点运动，运动时间为ts． ∴PC＝tcm，BQ＝tcm， ∴BP＝（6﹣t）cm； ①若，∠B＝∠B，则△BPQ∽△ABC， ∴，即8（6﹣t）＝6t， 解得：； ②，∠B＝∠B，则△BPQ∽△ABC， ∴，即6（6﹣t）＝8t， 解得：； 综上所述，当t或时，△BPQ与△ABC相似； （2）过点A作AF⊥BC交BC的延长线于点F，过点Q作QE⊥CF，如图， ∴QE∥AF， ∴， ∵点Q以1cm/s的速度从A点沿AB方向向B点运动， ∴AQ＝tcm，BQ＝（8﹣t）cm， 即， ∴， ∴， S▱ABCD＝BC×AF＝6×AF， ∵， ∴， 即（6﹣t）（8﹣t）＝24， 整理得：t2﹣14t+24＝0， 解得：t＝2或12（不合题意，舍去）， ∴当△BPQ的面积等于▱ABCD面积的，t的值为2． 3.如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当期中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：AP＝　2tcm ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求运动时间是多少？ 【解答】解：（1）∵点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动， ∴AP＝2tcm， 故答案为：2tcm； （2）∵点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动， ∴AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝16﹣3t， ∵∠BAC＝∠PAQ，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ∴或， ∴或， ∴t＝4或． 答：当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求运动时间是4s或s． 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，点E为边AD上一点，ED＝1cm，连接BE．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）． （1）用含t的代数式表示：BP＝ t cm，BQ＝ 　（5﹣t）　 cm； （2）连接PQ，若存在某一时刻t，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△ABE相似，请求出此时t的值． 【解答】解：（1）由题意得，AB＝CD＝3cm，DE＝1cm，BC＝AD＝5cm，AE＝4cm，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠PBQ， 由勾股定理得，BE5（cm）， ∵BP＝tcm，QC＝tcm， ∴PE＝（5﹣t）cm，BQ＝（5﹣t）cm． 故答案为：t，（5﹣t）； （2）当∠BPQ＝90°＝∠A时，△BPQ∽△EAB， ∴，即，解得t， 当∠PQB＝90°＝∠A时，△BPQ∽△EBA， ∴，即，解得t， 综上所述，当t或t时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似． 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． （1）根据题意知：CQ＝t （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？ （3）当运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？ 【解答】解：（1）根据题意得：经过t秒后，CQ＝t； （2）根据题意得：经过t秒后，BP＝2t，则CP＝4﹣2t； 当△CPQ的面积等于△ABC面积的时， 即， 解得：或； 答：经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的； （3）设经过t秒后△CPQ与△CBA相似，可分两种情况进行求解， ①若Rt△ABC∽Rt△QPC，则，即，解得； ②若Rt△ABC∽Rt△PQC，则，即，解得； 由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：当运动的时间为或秒时，△CPQ与△CBA相似． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝10m，BC＝24m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向B点移动．设P、Q两点移动的时间为t（0＜t＜13）秒． （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）探究：在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC26， ∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠PQC＝∠B时，△CQP∽△CBA，则，即，解得t（s）； 当∠PQC＝∠BAC时，△CQP∽△CAB，则，即，解得t（s）； ∴t为s或s时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似； （2）四边形ABQP与△CPQ的面积能相等．理由如下： 作PQ⊥BC于H，如图， ∵PH∥AB， ∴△CPH∽△CAB， ∴，即， ∴PH， 当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时， S△ABC﹣S△CPQ＝S△CPQ，即S△ABC＝2S△CPQ， ∴2••t•10×24， 整理得t2﹣13t+156＝0，Δ＜0，此时方程没有实数根， ∴不存在t的值使四边形ABQP与△CPQ的面积相等． 7.如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 【解答】解：（1）由题意得：AP＝xcm，BQ＝2xcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣x）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 当点Q到达点C时，x＝12÷2＝6，当点P到达点B时，x＝8， ∴当0≤x≤6时，； 当6＜x≤8时，； 即； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠PBQ＝∠BCD＝90°， ∵△BPQ与△BDC相似， ∴分情况讨论： ①当∠BPQ＝∠CDB时，有△QBP∽△BCD， ∴，即， 解得：； ②当∠BPQ＝∠CBD时，有△PBQ∽△BCD， ∴，即， 解得：x＝2， ∴当或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似． 8.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？ （2）△APQ的面积能否为6个平方单位？若能，求出t的值；若不能，请说明． 【解答】解：（1）∵A（0，6）、B（8，0）， ∴OA＝6，OB＝8， ∴， ①当△APQ∽△ABO时， ∴， ∴， ∴， ②当△APQ∽△AOB时， ∴， ∴， ∴； ∴当或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似； （2）不能，理由如下， 作QM⊥x轴于M，QN⊥y轴于N， ∴△ANQ∽△AOB， ∴， ∴， ∴， 当△APQ的面积为6个平方单位时，即． 整理得：2t2﹣10t+15＝0， ∴b2﹣4ac＝100﹣120＝﹣20＜0， ∴此方程无实数根， ∴△APQ的面积不能为6个平方单位． 9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停． （1）若P、Q同时出发，经过几秒钟； （2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似． 【解答】解：（1）设经过t秒钟， 由题意得，AP＝2t，CQ＝t，PC＝8﹣2t， 由题意得，， 整理得，t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2， 则P、Q同时出发，经过2秒钟； （2）设点Q从C点出发2s后，再经过x秒△PCQ与△ACB相似，有两种情形， 由题意得，AP＝2x，CQ＝2+x，则PC＝8﹣2x， ①当△PCQ∽△ACB时，， 即， 解得，x＝1.6， ②当△PCQ∽△BCA时，， 即， 解得，， 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．点P从点A出发，沿AC以每秒1个单位的速度向终点C运动；点Q从点C出发，沿C﹣B﹣A以每秒2个单位的速度向终点A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止．点P、Q同时出发，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜8）． 求： （1）用含t的代数式表示CP的长； （2）当t为何值时，PQ⊥AB； （3）当t＝4时，求PQ的长． 【解答】解：（1）∵点P从点A出发，沿AC以每秒1个单位的速度向终点C运动， ∴AP＝t， 又∵AC＝8， ∴CP＝8﹣t． （2）如图， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10． ∵PQ⊥AB， ∴∠AQP＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△APQ， ∴即， ∴， ∵BC＝6，AB＝10，BC+BQ＝2t， ∴， 解得； （3）如图，当t＝4时，AP＝1×4＝4，如图，作QD⊥AC于点D， ， ∵BC+BQ＝2×4＝8，BC＝6， ∴BQ＝2， ∴AQ＝10﹣2＝8， ∵DQ⊥AC， ∴∠ADQ＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AQD， ∴即， 解得AD＝6.4， 同理可得DQ＝4.8， ∴DP＝AD﹣AP＝6.4﹣4＝2.4， ∴． 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜2.5）． （1）CQ＝ t cm，CP＝ 　（5﹣2t）　 cm（用含t的式子表示）； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝3cm，BC＝4cm， ∴AC＝5cm，AP＝2tcm， ∴PC＝（5﹣2t）cm，CQ＝tcm， 故答案为：t，（5﹣2t）； （2）如图1，∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠PQC＝90°时，△CPQ∽△CAB， ∴， 即， 解得（秒）； 如图2，∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△CBA， ∴， 即， 解得（秒）． 综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似． 12.如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒． （1）x为何值时，PQ∥BC； （2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意：x秒时，AP＝4xcm，BP＝（20﹣4x）cm， CQ＝3xcm，AQ＝（30﹣3x）cm． 当PQ∥BC时，． ∴，即． 整理，得50﹣15x＝0． ∴x． 当x时，PQ∥BC； （2）存在个一时刻，使△APQ∽△CQB． ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C． 当时，△APQ∽△CQB． ∵， ∴． 整理，得9x2﹣10x＝0． ∴x1＝0，（不合题意舍去），x2． 当x时，AP＝4x（cm）． 13.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时△ABC∽△PBQ？ 【解答】解：根据题意：AP＝tcm，BQ＝2tcm，AB＝8cm，BC＝7cm， 则BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm， ∵点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动， ∴（秒）即， ∵△ABC∽△PBQ， ∴，即， ∴16t＝56﹣7t， 解得：（符合题意）， ∴运动时间t为秒时，△ABC∽△PBQ． 14.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动t（s）． （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2； （2）设四边形APQC的面积为S（cm2），当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？ （3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？ 【解答】解：（1）由题意知，BP＝（12﹣2t）cm，BQ＝4tcm， ∴△BPQ的面积为BP•BQ（12﹣2t）•4t＝32， 解得t＝2或4， ∴当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2； （2）由题意知，， 解得：t＝3． ∴当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2． （3）分两种情况： 当△BPQ∽△BAC时， ∴， ∴， 解得t＝3． 当△PBQ∽△CBA时， ∴， ∴， 解得t＝1.2， 综上：当运动3s或1.2s时，△BPQ与△ABC相似． 15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．经过几秒，△MCN与△ABC相似？ 【解答】解：设经过t秒，△MCN与△ABC相似， ∴BN＝tcm，CM＝2tcm， ∴CN＝（6﹣t）cm， ∠MCN＝∠ACB， 当CM：CA＝CN：CB时，△CMN∽△CAB， ∴2t：8＝（6﹣t）：6， ∴t， 当CM：CB＝CN：CA时，△CMN∽△CBA， ∴2t：6＝（6﹣t）：8， ∴t， ∴经过或秒，△MCN与△ABC相似． 16.如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，AB＝6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么： （1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2； （2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°， ∴BO2＝AB2﹣AO2， ∴BO＝6， 在Rt△OPQ中，OQ＝6﹣x，OP＝2x， ∵△OPQ的面积为5cm2； ∴OQ•OP＝5，即（6﹣x）•2x＝5，解得x1＝1，x2＝5； （2）当△OPQ∽△OAB时，，即，解得x＝3秒； 当△OPQ∽△OBA，，即，解得x秒． 综上所述，当x＝3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似． 17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AC向点C匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也停止运动． （1）经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒后，△PCQ与△ABC相似？ 【解答】解：（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的， ∵AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AC向点C匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B匀速运动， ∴PC＝8﹣2x，QC＝x， ∴x（8﹣2x）8×6， 解得x1＝x2＝2， 答：经过2秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的； （2）设经过t秒，△PCQ与△ABC相似， ∵∠C＝∠C， ∴可分为两种情况： ①， 即， 解得t； ②，即， 解得t． 答：经过或秒，△PCQ与△ABC相似． 1 学科网（北京）股份有限公司 $