精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高三上学期周测（七）数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学周练（七） 一、单选题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知两个不重合的平面，和直线l，若，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列说法正确的是（    ） A. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B. 若四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C. 若四棱柱的四条对角线长度相等，则该四棱柱为直四棱柱 D. 若四棱柱的四个侧面全等，则该四棱柱为直四棱柱 3. 如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 5. 定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ） ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为E，且圆E是正方形ABCD的内切圆.F为圆E上一点，G为棱BB1上一点（不可与B，B1重合），H为棱A1B1的中点，则（ ） A. |HF|∈[2,] B. △B1EG面积的取值范围为(0,] C. EH和FG是异面直线 D. EG和FH可能是共面直线 10. 记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在常数A、B，使数列是等比数列 D. 对任意常数A、B，数列都是等差数列 11. 已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（ ） A. B. 圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C. 过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D. 在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为______. 13. 欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则__________. 14. 棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点A（x1，y1），将射线OA按逆时针方向旋转后与单位圆O交于点B（x2，y2），＝x1﹣x2． （1）若角为锐角，求的取值范围； （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，c＝3，△ABC的面积为3，求a的值． 16. 如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与夹角的余弦值． 17. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． （1）求证：是直角三角形； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）求平面与平面的夹角余弦值的范围． 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求，的值. （2）若正项数列的前项和为，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学周练（七） 一、单选题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知两个不重合的平面，和直线l，若，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合直线与平面位置关系判断即可得答案. 【详解】解：若，，则或，故充分性不成立； 若，，则或或直线l与平面相交，故必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 2. 下列说法正确的是（    ） A. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B. 若四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C. 若四棱柱的四条对角线长度相等，则该四棱柱为直四棱柱 D. 若四棱柱的四个侧面全等，则该四棱柱为直四棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】通过反例可说明ABD错误；利用线面垂直的判定和直四棱柱定义可确定C正确. 【详解】对于A，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥， 因为顶点在底面的投影不一定是底面的中心； 如图所示三棱锥，其中，，此三棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，若四棱柱有两个侧面垂直于底面，而其它两个侧面与底面不一定垂直，因此该四棱柱不一定为直四棱柱； 如图所示四棱柱，底面为菱形，侧面和底面垂直，但侧面和底面不垂直，此四棱柱不是直四棱柱，B错误； 对于C，若四棱柱的四条对角线长度相等，则该四棱柱为直四棱柱； 如图所示，若，则四边形为矩形，； 同理可得：，又，， 与相交，平面，平面， 又平面，； 四棱柱四条对角线长度相等，， 矩形与矩形全等，，四边形为矩形， ，又，平面，平面， 四棱柱为直四棱柱，C正确； 对于D，若四棱柱的四个侧面全等，则该四棱柱不一定为直棱柱，也可能为斜棱柱； 如图所示四棱柱，底面为正方形，且边长为大正方体棱长的一半，此时四棱柱为斜四棱柱，D错误. 故选：C. 3. 如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量，通过作差比较大小即可. 【详解】因为如果为各项都大于零组不相等的等差数列， 所以， 对于A，B，， 因为，所以，所以，即，故错误，B正确； 对于C，D，， 因为，所以，大于0或者小于0不能确定， 所以和 大小关系无法确定，故错误， 故选：B. 4. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可知中一个大于1，一个小于1，结合，可知，又，故， 故公比，A错误， ，故B错误， 可知，故无最大值，的最大值为，C错误，D正确， 故选：D 5. 定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则，再由求解． 【详解】由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则， ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及通项公式的应用，属于中档题． 6. 已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定平面，，计算，，，E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆，计算得到答案. 【详解】如图所示，连接交平面于O，连接EO， 平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，故， 同理可得，，平面，故平面， 所以∠AEO是AE与平面所成的角，，所以， 在四面体中，，， 所以四面体为正三棱锥，O为的重心，如下图所示， 所以，， 因为，所以， 又E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆， 所以E在平面内的轨迹围成的图形面积． 故选：D 7. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设数列的公比为.根据等比数列通项公式及前项和公式，结合题中条件可得.由对任意的都成立，可知.记，则求数列的最大项对应的项数即可. 【详解】设数列的公比为. 由得，所以，故. 因为，显然， 所以，得，所以. 因为对任意的都成立，等比数列的各项均为正数， 所以对任意的都成立，所以. 记，则，， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当或时，取得最大值， 所以或，对任意的，都有， 所以正整数的最大值为5. 故选： 8. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ） ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案. 【详解】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确； 对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C， 由题意可得M为母线的中点，则, 故椭圆的长轴长为,②正确； 对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点P到底面距离相等， 则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为， 则设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程，得， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误； 对于④，如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线与底面圆的一个交点为H， 则，则, 设抛物线方程为，则， 即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误， 故正确的命题有2个， 故选：B 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为E，且圆E是正方形ABCD的内切圆.F为圆E上一点，G为棱BB1上一点（不可与B，B1重合），H为棱A1B1的中点，则（ ） A. |HF|∈[2,] B. △B1EG面积的取值范围为(0,] C. EH和FG是异面直线 D. EG和FH可能是共面直线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合点、线、面的位置关系，求最值，判断直线EH、EG和FG的位置关系，由面积公式判断△B1EG面积的范围. 【详解】 A：当为中点时，最小为2，当为中点时，最大为，正确； B：由，错误； C：由图，当在圆上运动过程中，定直线EH和FG可能相交，故不一定为异面直线，错误； D：由题设知面，而在圆上运动过程中FH和面可能相交，故EG和FH可能相交，则EG和FH可能是共面直线，正确. 故选：AD 10. 记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在常数A、B，使数列是等比数列 D. 对任意常数A、B，数列都是等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据与的关系求得可判断A；由可判断B；取可得是公比为1的等比数列，可判断C；当时，根据等差数列定义验证，可判断D. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则，B正确； 对于C，由得， 当时，， 所以，当时，数列是公比为1的等比数列，C正确； 对于D，由上知，当时，若，则， 此时，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 11. 已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（ ） A. B. 圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C. 过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D. 在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据轴截面分析即可；对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C，应用二面角及点到平面距离计算即可；对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可 【详解】对A，圆台上、下底面半径分别为1，4，， 则半径为的球内切于圆台，所以，故A正确； 对B，由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为，则根据扇形弧长，所以，故B正确； 对C，过的截面与底面所成角为60°时，圆面， 所以，到截面距离为，故C错误； 对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为，直径为， 故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点为上下底面的中心，证得平面平面，作，得到平面，得出是直线与平面所成角的平面角，且，进而求得四棱台的高为，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，点分别为上下底面的中心，连接， 在正四棱台中，可得平面， 因为平面，所以平面平面， 在平面内，过点作于点， 因为平面平面，所以平面， 所以是在平面上的射影，所以是直线与平面所成角， 又因为侧棱与底面所成角为，所以， 因为上底面边长为，下底面边长为，所以，且， 则，，所以，则四棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为. 故答案为：. 13. 欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义求出，利用等比数列的求和公式得解. 【详解】由题意可得， 则， 当时，， 则. 故答案为： 14. 棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 所以， ， 因为平面， 所以， 故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点A（x1，y1），将射线OA按逆时针方向旋转后与单位圆O交于点B（x2，y2），＝x1﹣x2． （1）若角为锐角，求的取值范围； （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，c＝3，△ABC的面积为3，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数定义可得，从而可求出，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据为锐角，再利用正弦函数的性质可求出的范围， （2）的关系式，以及可求出角，利用三角形面积公式列出关系式，将和的值代入求出的值，再利用余弦定理可求出的值 【小问1详解】 由三角函数的定义可知， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以的取值范围为 【小问2详解】 由，得， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 由余弦定理得， 所以 16. 如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与夹角的余弦值． 【答案】（1）在三棱台中，设的中点为，连接，由为的中点， 得，又平面，平面，则平面， 由为梯形的中位线，得，又平面，平面， 则平面，而，平面，平面， 因此平面平面，又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面平行、面面平行的判定推理得证. （2）取的中点，的中点，利用几何法求出异面直线的夹角余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接、、、、， 由，是中点，得四边形是平行四边形， 则，又是中点，是中点，则， 即就是异面直线与夹角， 又底面，与都是等腰直角三角形，， 则，， ，因此， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 17. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可知，，列出不等式组，解之可得，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1）得，当为偶数时，，当为奇数时，，结合和恒成立问题依次计算即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 由，可知，，即 因为为整数，所以， 结合不等式组解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知. 当为偶数时， . 又，即对任意偶数都成立，所以. 同理，当为奇数时， ， 又，即对任意奇数都成立， 易知当奇数时，函数取得最小值-15， 故. 综上，. 18. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． （1）求证：是直角三角形； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）求平面与平面的夹角余弦值的范围． 【答案】（1）设平面平面PCD， 由于，平面ADC，平面ADC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设平面PAB平面PCD，由面面垂直的性质定理以及线面平行的性质定理即可得PE⊥PF，则△PEF是直角三角形； （2）求出P到平面ABCD的最大距离即可得四棱锥P―ABCD体积最大值； （3）利用空间向量法可求平面PEF与平面PBC夹角余弦值的表达式，再利用换元法以及导数的知识可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，，因此P是以EF为直径半圆上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD， 因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为， 四棱锥体积最大为． 【小问3详解】 设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m． 设平面PEF与平面PBC夹角为． 以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，并设． 平面PEF的一个法向量为， ，， 设平面PBC的法向量为，因此，可取， ，不妨设， ，，因此随增大而增大，因此． 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求，的值. （2）若正项数列的前项和为，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 【答案】（1） （2） （ⅰ）因为，所以要证，即证 又，所以即证， 因为数列为正项数列，所以可设，不等式化为， 设，则恒成立， 故函数在上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，则原命题得证； （ii）先证明，即证， 设， 则， 又设函数，则，所以时，， 则函数在上单调递增，故， 即当时，恒成立，所以， 所以， 所以，则在上单调递增， 所以，则所证不等式成立， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以当时，， 又当时，， 故. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求，，结合切线方程可得，的值； （2）（i）结合指数与对数的关系，要证转换为，设，不等式化为，构造函数，求导确定单调性与最值即可得结论；（ii）先证明，即证，构造函数即可得证，从而可得，结合等比数列的前项和即可证得结论. 【小问1详解】 ， 由题意可得，则， 又，切点在切线上， 所以，则，所以，解得； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤： (1)作差或变形； (2)构造新的函数h(x)； (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $