第1章 直角三角形的边角关系 单元培优检测题 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

《直角三角形的边角关系》单元培优检测题 （时间：120分钟 满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题4分，共40分） 1．计算：2sin30°＝（　　） A．1 B． C．2 D．2 2．sin80°的值可能是（　　） A．0.38 B．0.55 C．0.98 D．1.12 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则sinA的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，则BC的长是（　　） A．18 B．16 C．12 D．6 5．已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（　　） A． B．tanθ＞1 C．sinθ＞cosθ D．sinθ＜tanθ 6．如图的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB夹角为23°，它的示意图如图②所示．若AC长为a米，则窗角C到窗框AB的距离CD的大小为（　　） A．米 B．米 C．acos23°米 D．asin23°米 8．在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为a，若cosa，则这条射线是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 9．两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（　　） A．a米 B．米 C． 米 D．a（tanβ﹣tanα）米 10．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，若，则tan∠CAD的值（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每题4分，共24分） 11．若，则锐角α＝　 　 ． 12．若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 　 　 ． 13．已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 　 　 °． 14．在△ABC中，∠C＝90°，∠A的余弦值是，AC＝12，那么AB的长为　 　 ． 15．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanB＝4，点P是边AC上一点，将△BCP沿着BP翻折，点C落在点E处，连接AE，如果AE∥BP，设PE与边AB交于点M，那么的值是　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的点，且∠B＝2∠ADE，AE＝BD，若BC＝6，，则BD的长为　 　 ． 三．解答题（共6小题，共56分） 17．计算： （1）2sin30°+cos30°tan60°+sin230°+cos230°； （2）． 18．如图，AD是△ABC的中线，，，． （1）BC的长为 　 　 ； （2）求∠ADC的值． 19．根据以下项目化材料，完成任务 项目名称 海滨度假区“安全沙滩椅”项目化研究——靠背顶端高度安全验证 项目意义 七宝二中九年级某个小组针对海滨度假区沙滩椅进行研究，通过测算验证靠背高度安全性，可以排查侧翻风险，保障游客们安全，同时也助力提升度假区服务品质与游客满意度． 素材一 根据《户外休闲设施安全规范》及沙滩场景特性，沙滩椅靠背顶端距地面的安全高度范围为大于等于60cm，小于等于80cm（该范围能避免因重心过高遇海风侧翻，同时保障成人、老年人起身时手部可稳定借力）． 素材二 这个小组选取某款沙滩椅（如图1），结合其结构画出示意图（如图2）． 素材三 如图2，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm． 素材四 参考数据：sin65.8°＝0.91；cos65.8°＝0.41；tan65.8°＝2.23． 任务一 请根据素材内容判断这款沙滩安全椅是否安全，并说明理由（结果保留一位小数）； 任务二 在实际测量的过程中，有哪些措施可以减少测量数据产生的误差？（写出一条即可）． 20．新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为AB的中点，每个正六边形的边长均为2dm． （1）连接OF，求OF的长； （2）求该置物架所占用墙面的宽度d． 21．如图，是一个手机的支架，由底座、连杆AB、BC、CD和托架组成（连杆AB、BC、CD始终在同一平面内），连杆AB垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆BC的长度为10厘米，连杆CD的长度可以进行伸缩调整． （1）如图，当连杆AB、BC在一条直线上，且连杆CD的长度为9.2厘米，∠BCD＝143°时，求点D到底座的高度（计算结果保留一位小数） （2）如图，如果∠BCD＝143°保持不变，转动连杆BC，使得∠ABC＝150°，假如AD//BC时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆CD的长度（计算结果保留一位小数）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75）． 22．（跨学科融合、运算能力）综合与实践． 【实践主题】探究车辆通过直角弯道的条件． 【查阅资料】车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角为45°的位置（如图1中②的位置），（取） 【案例展示】例如，图2是某巷子的平面图，巷子路面宽4米，转弯处为直角，车辆的车身为长方形ABCD，CD与DE，CE的夹角都是45°，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过． 【解决问题】 （1）长8米，宽3米的消防车　 　 通过该直角弯道；（填“能”或者“不能”） 【深入探究】 （2）在（1）的条件下求出GF的长度． 【路径优化】 （3）为了能使长10米，宽3米的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（以点O为圆心，分别以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM'，请帮助设计者算一算，直接写出ON的最小值为　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C D D D A D B 二．填空题 11．60°． 12．b＜a＜c． 13．30． 14．16． 15．． 16．． 三．解答 17．解：（1）2sin30°+cos30°tan60°+sin230°+cos230° ＝2（）2+（）2 ＝1 ＝3； （2） ＝（）212 1+1 ． 18．解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△ACH中， ∵，， ∴CH＝2， ∴， 在Rt△ABH中， ∵， ∴BH＝6， ∴BC＝BH+CH＝8； （2）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴CD＝4，DH＝2， ∵AH＝2， ∴AH＝DH， 在Rt△ADH中，， ∴∠ADC＝45°． 19．任务一：解：过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA＝114.2°， ∴∠FCQ＝∠CBH＝180°﹣114.2°＝65.8°， ∵FC＝57 ∴FQ＝FC•sin∠FCQ＝57•sin65.8°， 过点A作AP⊥MN于点P， 由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN， ∴∠ANP＝∠FCQ＝65.8°， 又∵AN＝43， ∴AP＝AN•sin∠ANP＝43•sin65.8°， 过C作CH⊥AB于点H， ∵BC＝CE，EB＝16.4， ∴BH＝8.2， ∴CH＝BH•tan∠CBH＝8.2×tan65.8°＝8.2×2.23≈18.29， ∴靠背顶端F点距地面（MN）高度为FQ+AP﹣HC＝57sin65.8°+43sin65.8°﹣18.29＝100×0.91﹣18.29＝72.71≈72.7cm； 因为沙滩椅靠背顶端距地面的安全高度范围为大于等于60cm，小于等于80cm，故这款沙滩安全椅是安全的， 任务二：在实际测量的过程中，为了减少测量数据产生的误差可以采取的措施有多次测量取平均值． 20．解：（1）连接FD并延长交AB的延长线于点 G，作ER⊥DF于点R． ∵EF＝ED， ∴△EFD是等腰三角形， ∵∠CDE＝∠DEF＝120°， ∴， ∴， ∴， ∵∠BCD＝360°﹣120°﹣120°＝120°＝∠ABC， ∴AB∥CD， ∴∠G＝∠CDF＝90°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBG＝60°． 过点C作CH⊥BG，垂足为H， 由三角函数可知，， ∵∠CHG＝∠G＝∠CDG＝90°， ∴四边形CDGH为矩形， ∴， ∴， ∴OF2＝OG2+FG2＝42+（3）2＝43（dm）， ∴OF（dm）； （2）如图3，由题意得：M，M1，M2，M3，M4，M5，M6共线，连接MM6， 过点Q作QN⊥MM6，垂足为N， 则 MM1＝M2M3＝M4M5，M1M2＝M3M4＝M5M6＝2dm， ∴∠NM6Q＝180°﹣120°＝60°，M6Q＝2dm， ∴（dm）， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接OW， 则， ∴△OMW是等边三角形， ∴OM＝OM1＝MW＝2dm， ∴MM1＝2×2＝4（dm）， ∴MN＝3MM1+3M1M2+M6N＝3×4+3×2+1＝19（dm）， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为19dm． 21．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E， ∵∠BCD＝143°， ∴∠ECD＝180°﹣143°＝37°，∠EDC＝90°﹣37°＝53°， 由三角函数可知，EC＝CD•sin∠D＝9.2×0.8＝7.36（cm）， ∴AE＝AB+BC+CE＝10+8.8+7.36＝26.16≈26.2cm， ∴D到底面高度为26.2cm； （2）作BE⊥AD，CF⊥CD，垂足分别为E，F， ∵BC//AD， ∴四边形BEFC为矩形， ∴BE＝CF， ∵∠ABC＝150°， ∴cm， ∴CF＝BE＝4.4cm， ∵∠BCD＝143°，∠BCF＝90°， ∴∠DCF＝143°﹣90°＝53°， 由三角函数可知，CD（cm）， ∴CD的长度为7.3cm． 22．解：（1）作FM⊥EC于点M，则∠FME＝90°，FM＝4m， 由题意得：∠DCE＝∠EDC＝45°， ∴DE＝CE， 由题意得：点G是CD的中点， ∴EG⊥CD，GCCD＝4（m）， ∴∠EGC＝90°， ∴∠FEM＝45°， ∴EF4（m），EG＝GC＝4（m）， ∴FG＝EF﹣EG＝（44）m， ∵44＜3， ∴消防车不能通过该直角拐弯， 故答案为：不能； （2）作FM⊥EC于点M，则∠FME＝90°，FM＝4m， 由题意得：∠DCE＝∠EDC＝45°， ∴DE＝CE， 由题意得：点G是CD的中点， ∴EG⊥CD，GCCD＝4（m）， ∴∠EGC＝90°， ∴∠FEM＝45°， ∴EF4（m），EG＝GC＝4（m）， ∴FG＝EF﹣EG＝（44）m； （3）如图3：若点C、D与点M、M′重合，如图3： ∵OM⊥OM'， ∴∠MOM′＝90°， 由题意得：点G是MM′的中点，OM＝OM′， ∴GMMM′＝5m，OG⊥MM′，∠GOM∠MOM′＝45°， ∴∠OGM′＝90°， ∴OM′＝5（m），OG＝GM＝5（m）， ∴ON′＝（54）m， ∴OF＝ON′＝（54）m， ∴FG＝5﹣（54）＝（9﹣5）m， ∵9﹣53， ∴消防车不能通过， ∴点C、D在上，如图4： 连接OC，设OF长xm，则OG＝（x+3）m，OC＝（x+4）m，∠OGC＝90°，GC＝5m， ∴（x+3）2+52＝（x+4）2， 解得：x＝9． ∴ON＝OF＝9， 故答案为：9． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 23:02:54；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $