第7章 锐角三角函数 单元检测题 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

《锐角三角函数》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，那么sinB的值是（　　） A． B． C． D． 2．已知∠α为锐角，且，则∠α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师操纵无人机从B地出发，垂直上升200m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，AB＝BC，DA⊥AB交CB延长线于点D，DE⊥CA，垂足为E．若tan∠C＝k，CD＝1，则AD的值为（　　） A．k B． C．k2 D． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2BC，那么sinA的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C．3 D． 7．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是（　　）cm． A．210 B．120 C．504 D．60 8．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米 9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，，过点A作AD⊥BC于点D，．若E，F分别为AB、BC的中点，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D．4 10．如图，是一幅眼肌运动训练图，其中数字1∼12对应的点均匀分布在一个半径为r的圆上，数字0对应圆心．使用方法：以0，1，2，3，⋯的顺序顺着箭头方向移动眼球，移动一圈后再回到圆心，反复进行．图中以数字0∼12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等，则该线段的长为（　　） A．2rsin75° B．2rsin15° C．rsin75° D．rsin15° 二．填空题（每题4分，共28分） 11．在△ABC中，，则∠C的度数为　 　 ． 12．若一个山坡的坡度为3：4，则在水平方向上每前进120米，就升高　 　 米． 13．如图，每个小正方形的边长为1，点A，B、C均在格点上，则tanC的值是 　 　 ． 14．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是45°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是　 　 米． 15．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为130m的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为α（0°＜α＜90°），则这座金字塔原来的高为 　 　 m（用含α的式子表示）． 16．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？　 　 ．（填是或否）（可能用到的参考数值：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 17．如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 　 ． 三．解答题（共7小题，共62分） 18．计算： （1）sin60°+cos45°+tan30° （2）sin230°﹣2cos30°•tan60°sin245°． 19．在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且CE＝300米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东60°方向且AB＝200米，景点D在景点A的东北方向． （1）求道路AD的长度（结果保留根号）； （2）若甲从景点A出发沿A→D→E的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿B→A→E的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：） 20．在△ABC中，． （1）求AB的长； （2）延长BC至点D，使，连接AD，求∠ADB的度数． 21．下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹E的高度DE＝29cm，水平放置的水槽高度，MN＝9cm，试管长AB＝27cm，固定夹E正好在试管AB靠近开口B的三等分点上，试管倾斜角为12°，直导管BF过水槽端点M．点C，D，N均在一条直线上． （1）BE＝　 　 cm，并求管口B的高度； （2）若∠NMF＝45°，求铁架与水槽之间的距离DN．（参考数据：sin12°取0.21，cos12°取0.98） 22．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某矩形水池中假山露出水面部分的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某学校的矩形水池中有一假山，其露出水面部分的高度为CD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在矩形水池的一组对边上分别取点A，B，使得AB⊥CD于点E，再分别过点A，B作CD的平行线交水面于点M，N，通过皮尺在矩形水池的边缘测得其宽度为10.8米，即AB＝MN＝10.8米； ②在点A处用测角仪测得∠EAD＝11.2°，∠EAC＝33.0°， 在点B处用测角仪测得∠EBD＝14.1°，∠EBC＝39.1°； ③用计算器计算得tan11.2°≈0.20，tan14.1°≈0.25，tan33.0°≈0.65，tan39.1°≈0.81． 请根据表格中提供的信息，求假山露出水面部分的高度CD．（最后结果保留整数） 23．中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市的地标建筑之一．中原福塔分为塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分，福塔顶部桅杆天线高120m．某校“综合与实践”小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并完成实地测量，如下表所示 课题 测量中原福塔的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 方案说明（点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内） 在C处测得桅杆顶部A的仰角为55.4°，测得桅杆底部D的仰角为45°． 距地面高度为40m（EF＝40m）的无人机在F处测得点A的仰角α＝60°，中原福塔底部边缘G处的俯角β＝16.8°． 计算中原福塔的高度 … （1）数学老师说方案一的结果与中原福塔的实际高度误差较小，方案二的结果误差较大．方案二的结果与实际中原福塔的高度相比是偏　 　 （填“大”或“小”），请说明方案二产生较大误差的原因． （2）请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度AB（结果精确到1m．参考数据：sin55.4°≈0.82，cos55.4°≈0.57，tan55.4°≈1.45，） 24．【综合与实践】 新学期，同学们回校布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度AB＝1m，门轴A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被教室黑板墙EB阻挡，EB′⊥EA，门边BC靠在墙B′C′的位置． （1）门打开的最大角度∠BAB′＝ 　 　 ； （2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧PR与墙EA的距离为0.5m，且该矩形课桌PIQR的边PI与教室前墙EB′平行，若要使得开关门不受阻挡，则PI与EB'的距离需大于多少？（结果保留根号） （3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB′E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35cm的圆柱形桶，能放的进吗？请说明理由．（参考数据：，，） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A C A A A A A 二．填空题 11．105°． 12．90． 13．． 14．． 15．65tanα． 16．否． 17．． 三．解答题 18．解：（1）原式； （2）原式 19．解：（1）过A点作AH⊥CE于H点，过B点作BG⊥AH于G点，如图， ∵景点D、E均在景点C的正北方向，景点B在景点C的正西方向， ∴∠ECB＝90°， ∵∠BCH＝∠GHC＝∠BGH＝90°， ∴四边形BCHG为矩形， ∴BG＝CH，GH＝BC＝100米， ∵景点B在景点A的南偏东60°方向，景点D在景点A的东北方向，如图， ∴∠D＝45°，∠ABG＝60°， 在Rt△ABG中，∵∠ABG＝60°， ∴BGAB200＝100（米）， ∴AGBG＝100米， ∴AH＝AG+GH＝100100200（米）， 在Rt△ADH中，∵∠D＝45°， ∴ADAH200200（米）， 即道路AD的长度为200米； （2）在Rt△ADH中，∵∠D＝45°， ∴DH＝AH＝200米， ∵CH＝BG＝100米， ∴EH＝CE﹣CH＝300﹣100＝200（米）， ∴DE＝DH﹣EH＝（200200）米， 在Rt△AEH中，AE400（米）， ∵AD+DE＝200200200≈636.3（米），AB+AE＝200+400＝600（米）， ∴AD+DE＞AB+BE， ∵甲乙两人同时出发，并且他们的速度相同， ∴甲从景点A出发沿A→D→E的路径去景点E所用的时间比乙从景点B出发沿B→A→E的路径去景点E所用的时间多， ∴乙先到达景点E． 20．解：（1）过点A作AK⊥BC于点K， ∵AB＝AC，BC＝6， ∴BK＝CK3， 由三角函数可知，， 设AK＝4x，AB＝5x， 由勾股定理可得，， ∴x＝1， ∴AB＝5，AK＝4； （2）如图， ∵，CK＝3， ∴， ∵AK＝4， 由三角函数可得，， ∴∠ADB＝30°． 21．解：（1）∵固定夹E正好在试管AB靠近开口B的三等分点上，AB＝27cm， ∴， 过B作BP⊥DE于P， 则∠EBP＝12°， ∴PE＝BE•sin12°≈1.89cm， 又DE＝29cm， ∴管口B的高度为29﹣1.89＝27.11cm； 故答案为：9； （2）过M作MG⊥DE于G，过B作BH⊥MG于H， 则四边形DNMG、BPGH都是矩形， ∴MG＝DN，CD＝MN＝9cm，PG＝BH，BP＝GH，∠GMN＝90°， ∵∠NMF＝45°， ∴∠BMH＝45°， ∴∠MBH＝45°＝∠BMH， ∴MH＝BH， ∴BP＝BE•cos12°≈8.82cm， ∴GH＝BP＝8.82cm， 由（1）知DP＝27.11cm， 又DG＝9cm， ∴BH＝PG＝DP﹣DG＝18.11cm， ∴HM＝18.11cm， ∴DN＝MG＝GH+HM＝26.93cm， 即铁架与水槽之间的距离DN为26.93cm． 22．解：设AE＝xm，则BE＝（10.8﹣x）m， 在Rt△ACE中，∠EAC＝33.0°， ∴CE＝AE•tan33°≈0.65xm， 在Rt△BCE中，∠EBC＝39.1°， ∴CE＝BE•tan39.1°≈0.81（10﹣x）m， ∴0.65x＝0.81（10.8﹣x）， 解得x≈5.99， 在Rt△ADE中，∠EAD＝11.2°， ∴DE＝AE•tan11.2°≈0.20xm， ∴CD＝0.65x+0.20x＝0.85x＝0.85×5.99≈5m， 即假山露出水面部分的高度CD为5m． 23．（1）解：根据题意，方案二在解答时，算出来不是BE的长度， BG的长度被忽略了，将EG的长即作为点F到AB的距离即BE进行计算，导致误差较大，即， ，故方案二的结果与实际相比，偏小了． 故答案为：小； （2）解：设BD＝xm，AB＝AD+BD＝（120+x）m， 在Rt△BCD中，∠BCD＝45°， ∴BD＝BC＝xm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝55.4°，， ∴AB＝BCtan∠ACB， ∴120+x＝1.45x， 解得x≈266.7， ∴120+x≈387（m）． 答：中原福塔的高度AB大约是387米． 24．解：（1）∵EB′⊥EA， ∴∠AEB′＝90°， ∵AB＝1m， ∴AB′＝1m， ∵AE＝0.5m， ∴cos∠EAB′， ∴∠EAB′＝60°， ∴∠BAB′＝120°， 故答案为：120°； （2）在图2中作PM⊥AB于点M，连接AP，则PM＝0.5m，∠AMP＝90°， 由题意得：AP＝AB＝1m， ∴AMm， ∵AE＝0.5m， ∴EM＝0.5（m）， ∴PI与EB'的距离需大于m； （3）能放进直径为35cm的圆柱形桶．理由如下： 如图3，设圆心为O，△AB′E内切圆半径为rm，连接切点OX，OY，OZ，则四边形EYQX为正方形， ∴EX＝EY＝rm， ∴AX＝AZ＝（0.5﹣r）m，B′Z＝B′Y， ∵AE＝0.5m，AB′＝1m，∠E＝90°， ∴EB′m， ∴B′Y＝B′Z＝（r）m， ∵AB＝1m， ∴AZ+B′Z＝1， ∴0.5﹣rr＝1， 解得：r， ∴2r0.366m＝36.6cm＞35m， ∴能放进直径为35cm的圆柱形桶． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/10 23:43:51；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $