苏科版九年级数学下册 妙用拼图法求tan15°的值 讲义

妙用拼图法求tan15°的值 如何求tan 15°的值，是初中数学教学的一个经久不衰的话题.一副三角板中，我们用45°角分别与30°角和60°角均可拼出15°角，进而求出tan 15°的值.本文在拼图时，努力拼出不同的图形，求值时，尽力采用不同方法，这样不仅能够培养学生发散性思维，也能提高分析问题和解决问题的能力. 一、30°角在45°角内 法1 如图1所示，在等腰 中， ，在 中，点 在 边上， ，则 . 设 ，则 ， ， . 作 于 ，则 ， . ∴在 中， . 点评 本方法充分利用30°和45°直角三角形各边的数量关系直接求解.含30°角的三角板的三边之比为 ，含45°角的三角板的三边之比为 ，利用这些关系可以迅速解含特殊角的直角三角形， 法2 如图2所示，在等腰 中， ，在 中， ， 分别在 边上， ，则 . 作 于点 . 设 ，则 . 易证 ，则 ， ∴ ， ∴ ， . ∵ ， ∴ ， ∴ ， . ∴在 中， . 点评 本方法求解时构造了“一线三等角型”相似三角形，并巧妙地利用了 作为相似比。 法3 如图3所示，在等腰 中， ，在 中， ， ，则 . 设 ， 交 边于点 ，则 ， . 设 ，则 . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ， ∴ . ∴在 中， . 点评 本方法求解时用了相似三角形，巧妙之处在于相似比为 ，并根据勾股定理列方程求解. 二、45°角在60°角内 法4 如图4，在 中， ， ，在等腰 中， ， 分别在 边上，则 . 作 于点 ，则 . 设 ，则 ， ， ， ∴ . ∵ ， 即 ， ∴ . 在 中， . 点评 本方法巧妙地利用 构造了全等三角形，并列方程求解. 法5 如图5，在 中， ， ，在等腰 中，点 在 内， ，则 . 设 ，则 ， . 过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ， ， ， ∴ . 作 于点 . ∵ ， ∴ ， . 在 中， . 点评 本方法反复运用30°和45°的直角三角形的各边的数量关系，一步一步求解. 三、其它 法6 如图6所示，在等腰 中， ，在 中， ， ， 分别在 边的延长线和 边上，则 . 设 ，则 . 作 交 于点 ，则 . 易证 ，