第2章 圆 单元培优检测题 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

《圆》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下列说法中错误的有（　　） ①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； ②弦的垂线平分它所对的两条弧； ③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； ④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 3．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 4．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF，若AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．8﹣π B．8﹣2π C．4﹣2π D．4﹣π 5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD、BD，若BD＝5，AC＝6，则BC的长为（　　） A．12 B． C．10 D．8 6．已知圆O的半径为5，点P在圆外，PA和PB是圆O的两条切线，切点分别为A和B．若∠APB＝60°，则四边形PAOB的面积为（　　） A． B． C． D． 7．如图，正六边形ABCDEF中，CF是其对角线，点P是BC边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论： 嘉嘉 操作：过点P作PM∥FC，交DC延长线于点M． 结论：△PMC一定是正三角形 琪琪 操作：过点P作PN∥CD，分别交CF、DE于点Q、N． 结论：QN的长度不变 则对于这两个结论（　　） A．嘉嘉和琪琪均错误 B．嘉嘉和琪琪均正确 C．嘉嘉正确，琪琪错误 D．嘉嘉错误，琪琪正确 8．如图，△ABC与△ACD中，，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3，则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为（　　） A．2 B． C． D．3 9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O经过△ABC的顶点A，C，交AB，BC于点F，D，若AC＝AF，CD＝10，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每题4分，共24分） 11．若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的面积是 　 　 （结果保留π）． 12．已知⊙O的半径为3，点M在⊙O外，写出一个OM长度的整数值：　 　 ． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为　 　 ． 14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5cm，BC＝7cm，CA＝6cm，则AF＝　 　 ． 15．已知点C、D在上，点D为中点，AC⊥BC，点F在线段AB上，DE⊥BC交AB于点F，AD＝2，∠CAD＝15°，则ED＝　 　 ． 16．如图，等边△ABC的边长为2，点D是边AB上一动点（不与A、B重合），以AD为直径的⊙O与边AC交于点E，连接BE与⊙O交于点F，连接CF，当点D在边AB上移动时，CF的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，共66分） 17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE为⊙O的切线； （2）延长AB，ED交于点F．若AE＝BF＝2，补全图形，并求圆O的面积． 18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC． （1）求证：OD∥BC； （2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，若，求∠EOB的正切值． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，求阴影部分的面积． 20．中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）． 21．根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为10m，测得水面宽AB＝16m． 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得 EF＝3m，EH＝12m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式． 素材2 问题解决 任务1 确定拱顶离水面的距离CD（C，D分别是弧AB和弦AB的中点） 求CD的长. 任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 22．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，点F在线段CD上，连接OF交AD于点E，∠ADC＝∠AOF． （1）求证：OF⊥AD； （2）若sinC，BD＝14，求EF的长． 23．如图1，在⊙O中，B是弧DE的中点，作直径AB交DE于点N． （1）求证：AB⊥DE； （2）如图2，过点A作⊙O的切线l，点F是弧AE上一点，连接AF、EF，点C在切线l上，连接CD，∠DCA+∠EFA＝180°，求证：四边形AEDC是平行四边形； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，交AB于点M，连接CE交⊙O于点G，连接DG，若DF⊥AE，OM＝1，DE＝8，求弦DG的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A D A B A C B 二．填空题 11．． 12．4（答案不唯一）． 13．130°． 14．2cm． 15．． 16．22． 三．解答题 17．（1）证明：连接OD，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AE， ∵DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∵点D是的中点， ∴OD⊥CB， ∴OD⊥DE， 又∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图，连接OD， 设⊙O的半径为R， ∴OA＝OB＝OD＝R， ∵AE＝BF＝2， ∴OF＝R+2，AF＝2R+2， 由（1）知，OD⊥EF，DE⊥AC， ∴OD∥AE， ∴△ODF∽△AEF， ∴， ∴， 解得R（舍去负值）， ∴⊙O的面积＝π（）2＝2π． 18．（1）证明：如图，连接AC交OD于H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∵OD平分∠AOC，OA＝OC， ∴OD⊥AC， ∴∠OHD＝90°， ∴∠BCA＝∠OHA， ∴OD∥BC； （2）解：如图：延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，连接AC交OD于H， ∵OE∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠OEF＝∠BCE， ∴△OEF∽△BCF， ∴， 设OE＝5x，BC＝6x， ∵OA＝OC，OD⊥AC， ∴AH＝CH， 又∵OA＝OB， ∴， ∴， ∴tan∠EOB＝tan∠AOD． 19．解：（1）直线BC与⊙O的位置关系是相切；理由如下： 如图1，连接OD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC， ∵OD为半径， ∴直线BC与⊙O相切； （2）连接OD，如图2， ∵∠B＝30°，∠ODB＝90°， ∴∠DOB＝60°， ∴， ∴S扇形DOF6π，S△ODBOD×BD6×618， ∴S阴影＝S△ODB﹣S扇形DOF＝186π． 20．解：（1）∵EM经过圆心O，且EM⊥弦CD， ∴CM＝DM； （2）连接OC，设⊙O的半径是rm， ∴OM＝EM＝OE＝（3﹣r）m， 由（1）知CMCD2＝1（m）， ∵OC2＝OM2+CM2， ∴r2＝（3﹣r）2+12， ∴r， ∴这个月亮门的最大宽度是2r＝2（m）． 21．解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图， ∵桥拱的半径为r10m，则OD＝（10﹣CD）m， ∵OC⊥AB， ∴m， ∵OD2+AD2＝OA2， ∴（10﹣CD）2+82＝102， ∴CD＝4， ∴圆形拱桥CD的长为4m． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图， ∵四边形EFGH为矩形， ∴EH∥FG， ∵OC⊥AB， ∴OM⊥EH． ∴EMEH＝6， ∴OM8， ∵OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6m， ∴DM＝8﹣6＜3， ∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， ∴船在水面部分可以下降的高度y＝3﹣2＝1m ∵y， ∴x2＝100×1＝100， ∴x＝10（舍去负值）， ∴至少要增加10吨的货物才能通过． 22．（1）证明：如图，连接OD． ∵CD是⊙O的切线，D是切点， ∴∠ODC＝90°，即∠ODA+∠ADC＝90°． ∵∠ADC＝∠AOF， ∴∠ODA+∠AOF＝90°， ∴∠OED＝90°，即OF⊥AD． （2）解：∵sinC，∠ODC＝90°， ∴． 设OD＝2x，则OC＝5x， ∴AC＝OC﹣OA＝3x，CD， ∵OF⊥AD，BD⊥AD， ∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠ABD． ∵∠ADC＝∠AOF， ∴∠ADC＝∠ABD． ∵∠C＝∠C， ∴△ACD∽△DCB， ∴，即， 解得AD． ∵OF⊥AD， ∴DEAD． ∵∠ADC＝∠ABD，∠DEF＝∠ADB＝90°， ∴△DEF∽△BDA， ∴，即， 解得EF＝3， ∴EF的长为3． 23．（1）证明：∵B是弧DE的中点，AB是⊙O的直径 ∴AB⊥DE； （2）证明：如图2，连接AD， ∵AB⊥DE， ∴， ∴∠ADE＝∠AED， ∵四边形ADEF是圆内接四边形， ∴∠ADE+∠EFA＝180°， ∵∠DCA+∠EFA＝180°， ∴∠DCA＝∠ADE＝∠AED， ∵AC是⊙O的切线， ∴AB⊥AC， ∵AB⊥DE， ∴DE∥AC， ∴∠AED+∠CAE＝180°， ∴∠ACD+∠CAE＝180°， ∴CD∥AE， ∴四边形AEDC是平行四边形； （3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H，连接BD，AD，设DF与AE交于点T，CE与AB交于点K， ∵DF⊥AE， ∴∠ATD＝90°＝∠DNM， ∵∠DMN＝∠AMT， ∴∠MDN＝∠BAE， ∵∠BDN＝∠BAE， ∴∠BDN＝∠MDN， ∵DN＝DN，∠DNB＝∠DNM＝90°， ∴△BND≌△MND（ASA）， ∴BN＝MN， 设BN＝x，则MN＝x， ∵OM＝1， ∴OA＝OB＝1+2x， ∵DE＝8，DE⊥AB， ∴DN＝EN＝4， ∴AN＝AB﹣BN＝2+4x﹣x＝2+3x， ∵B是弧DE的中点， ∴， ∴∠BDN＝∠DAN， ∵tan∠BDN＝tan∠DAN， ∴，即， 解得：x1＝2，x2（舍）， 经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意， ∴AM＝1+2x+1＝6，AN＝8， ∵∠BDE＝∠EDT， ∴tan∠BDE＝tan∠EDT， ∴， ∴ETDT， ∵DE2＝ET2+DT2， ∴64DT2+DT2， ∴DT， ∴ET， ∴DM2， 由（2）知：DE＝AC＝8，DE∥AC， ∴△ENK∽△CAK， ∴，即， ∴NKAN， ∴KE， ∵sin∠NEK， ∴， ∴DH， ∵AD4，∠DAE＝∠DGE， ∴sin∠DAE＝sin∠DGE， ∴，即， ∴DG． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/10 23:52:31；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $