培优专题01 直线与圆16大常考题型汇总（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

培优专题01 直线与圆的方程 题型1 弦长问题与三角形面积问题（重点） 题型9 代数类：直线与圆中的韦达定理 题型2 圆的弦长最值与整数弦长（常考点） 题型10 跨模块：直线与圆结合平面向量 题型3 圆上点的距离分布：定距点个数（常考点） 题型11 几何意义最值：斜率型，距离与截距型 题型4 圆的最短路径问题/对称问题（难点） 题型12 定点问题：圆恒过定点 题型5 圆上动点距离：多图形关联最值（难点） 题型13 直线定点：直线过定点（常考点） 题型6 切点弦：方程推导与性质（常考点） 题型14 定值探究 题型7 两圆的位置关系：隐圆问题（难点） 题型15 定线推导 题型8 轨迹类：圆的轨迹方程推导 题型16 直线与圆的实际应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 弦长问题与三角形面积问题（共3小题） 1．(25-26高二上·福建福州闽侯县第六中学·期中)已知与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数 ． 2．(25-26高二上·江苏苏州·期中)过点的直线与圆相交于，两点，且.请写出满足要求的一条直线的方程： . 3．(25-26高三上·山西长治沁源县第一中学·)已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 题型二 圆的弦长最值与整数弦长（共3小题） 4．已知直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 5．(25-26高二上·天津咸水沽第一中学·月考)已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（    ）条. A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 圆上点的距离分布：定距点个数（共3小题） 7．(25-26高二上·贵州贵阳华师一学校·期中)若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．(25-26高二上·山东潍坊诸城等3地·期中)已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．(25-26高二上·广东佛山顺德区实验中学、勒流中学等镇街学校·)已知圆M：上恰有两个点到直线l：的距离为1，则正数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 圆的最短路径问题/对称问题（共3小题） 10．(25-26高二上·广东广州育才中学·期中)已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 11．(25-26高二上·江西萍乡·期中)汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二下·湖南长沙宁乡名校联合·)已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 题型五 圆上动点距离：多图形关联最值（共3小题） 13．(25-26高二上·江苏连云港海州区·期中)已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．(25-26高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中)已知实数满足，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．(25-26高二上·福建三明第一中学·月考)已知实数，，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型六 切点弦：方程推导与性质（共3小题） 16．(25-26高二上·甘肃白银靖远县联考·期中)已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 18．(25-26高二上·河北沧州四校联考·期中)已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为 ，直线过定点 . 题型七 两圆的位置关系：隐圆问题（共3小题） 19．(25-26高二上·四川仁寿县铧强中学·)已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 20．(25-26高二上·福建厦门第一中学·期中)在平面直角坐标系中，已知圆：，点，若圆上存在一点，满足，则实数的取值范围是 . 21．(25-26高二上·江西景德镇·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 题型八 轨迹类：圆的轨迹方程推导（共3小题） 22．(25-26高二上·广东东莞七校·)已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 23．(25-26高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 24．(25-26高二上·天津益中学校·期中)已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 题型九 代数类：直线与圆的韦达定理（共3小题） 25．(25-26高二上·山东济宁曲阜·期中)已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 26．(25-26高二上·四川绵阳中学·)已知圆经过点、，并且直线平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，是否存在斜率为的直线与圆有两个不同的交点M，N，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 27．(25-26高二上·安徽安庆第二中学·期中)已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； 题型十 跨模块：直线与圆结合平面向量（共3小题） 28．(25-26高二上·广东广州天天向上联盟·期中)已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 29．(25-26高二上·江苏南菁高级中学·)已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 . 题型十一 几何意义最值：斜率，距离，截距型（共3小题） 31．(25-26高二上·山东济南振声学校·期中)【多选题】已知实数满足方程，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 32．(22-23高二上·河北唐山迁安·期中)【多选题】已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 33．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)【多选题】已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 题型十二 定点问题：圆恒过定点（共3小题） 34．(25-26高二上·海南天一联考·)已知圆C：的半径为2． (1)求实数m的值． (2)过直线l：上的动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （ⅰ）当点P的坐标为时，求这两条切线的方程； （ⅱ）证明的外接圆过定点，并求出所有定点的坐标． 35．(23-24高二上·北京第一六一中学·期中)已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 36．(24-25高三上·云南师范大学附属中学·月考)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 题型十三 直线定点：直线过定点（共3小题） 37．(24-25高二上·贵州九师联盟·)设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 38．(25-26高二上·四川绵阳南山中学·期中)已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； (3)若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 39．(25-26高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 题型十四 定值探究（共3小题） 40．(25-26高二上·山东泰安宁阳县复圣中学·期中)已知圆的圆心在轴上，且过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)过直线上且在圆外的一点作圆的两条切线，切点分别为、，当点的坐标为时，求点的坐标. (3)已知点，点在轴上且异于点，动点在圆上，当为定值时，求点的坐标. 41．(25-26高二上·广东广州广东实验中学·期中)已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 42．(25-26高二上·山东烟台芝罘区·期中)已知圆过点，且与圆（）关于直线对称. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于，两点，直线不经过圆心，过点，分别作圆的切线，两切线交于点，求证：点在一条定直线上； (3)设，已知点为圆上任意一点，过点作圆的一条切线，切点为，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由. 题型十五 定线推导（共3小题） 43．(25-26高二上·四川成都第七中学·月考)动圆：与直线：交于两点． (1)证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； (2)求的最小值； (3)是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 44．(25-26高二上·四川成都双流区立格实验学校·期中)已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）． (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由． 45．(25-26高二上·河南天一大联考·)已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并判断C的形状． (2)已知过点O且不与坐标轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点． ①过点O作与垂直的直线，与曲线C相交于E，F两点，求四边形面积的最大值； ②设曲线C与x轴相交于M，N两点，直线与相交于点G，证明点G在定直线上，并求出该直线的方程． 题型十六 直线与圆的实际应用（共3小题） 46．(25-26高二上·江苏扬州高邮·期中)在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 47．(24-25高二上·贵州贵阳第一中学·月考)如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 48．(24-25高二上·广东梅州兴宁第一中学·期中)某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. $培优专题01 直线与圆的方程 题型1 弦长问题与三角形面积问题（重点） 题型9 代数类：直线与圆中的韦达定理 题型2 圆的弦长最值与整数弦长（常考点） 题型10 跨模块：直线与圆结合平面向量 题型3 圆上点的距离分布：定距点个数（常考点） 题型11 几何意义最值：斜率型，距离与截距型 题型4 圆的最短路径问题/对称问题（难点） 题型12 定点问题：圆恒过定点 题型5 圆上动点距离：多图形关联最值（难点） 题型13 直线定点：直线过定点（常考点） 题型6 切点弦：方程推导与性质（常考点） 题型14 定值探究 题型7 两圆的位置关系：隐圆问题（难点） 题型15 定线推导 题型8 轨迹类：圆的轨迹方程推导 题型16 直线与圆的实际应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 弦长问题与三角形面积问题（共3小题） 1．(25-26高二上·福建福州闽侯县第六中学·期中)已知与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数 ． 【答案】 【分析】由题知到直线的距离为，再根据点线距公式列方程求解即可. 【详解】由题知圆心为的圆的半径为，圆心为， 因为为等边三角形， 所以， 所以，圆心到弦的距离为，即到直线的距离为， 所以，即，解得，即 所以实数. 故答案为： 2．(25-26高二上·江苏苏州·期中)过点的直线与圆相交于，两点，且.请写出满足要求的一条直线的方程： . 【答案】或.（写出其中一个即可） 【分析】讨论直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，结合弦长公式即可求出直线斜率，即可得答案. 【详解】由题意知过点的直线与圆相交于，两点， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入中， 可得，即坐标为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 设圆心O到直线l的距离为d，则， 由，圆的半径可得，即，解得， 故，解得， 故直线l的方程为，即， 故答案为：或.（写出其中一个即可） 3．(25-26高三上·山西长治沁源县第一中学·)已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 【答案】（从中任选一个即可） 【分析】由圆心坐标得到圆心到直线距离。由垂径定理得到弦长与圆心到之间距离的关系，利用三角形面积建立方程，从而解得圆心到直线距离，然后即可解得的值. 【详解】圆心到直线的距离、 由于弦长，所以，解得或， 故或，解得或．因此，从中任选一个即可． 故答案为：（从中任选一个即可）. 题型二 圆的弦长最值与整数弦长（共3小题） 4．已知直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长.. 【详解】直线，即，令，得， 因此直线过定点，圆圆心，半径， ，点在圆内，由圆的性质知，当且仅当直线时，取得最小值， 所以. 故选：C 5．(25-26高二上·天津咸水沽第一中学·月考)已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程. 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足，所以 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为， 整理得. 故选：B 6．(25-26高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（    ）条. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先分析直线的特征，再结合圆的性质计算弦长（弦长，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）的可能整数值，进而确定直线的数量. 【详解】将直线的方程整理为：， 令，解得，因此直线过定点， 因为圆：的圆心为，半径， 所以定点到圆心的距离为：（即点在圆内）， 设圆心到直线的距离为，则弦长公式：， 由于直线过定点，则（点到直线的距离不超过点到定点的距离）， 因此：，代入弦长公式得： (时，；当时，). 因为为整数，结合范围，可能的整数值为、. 当时，(直线过圆心)，将代入直线的方程： ，得，对应1条直线； 当时，由弦长公式，解得，即， 圆心到直线的距离，令其等于，平方后化简得： ，，， 此方程判别式，有2个不同的实根，对应2条直线. 所以对应1条，对应2条，共条. 故选：B. 题型三 圆上点的距离分布：定距点个数（共3小题） 7．(25-26高二上·贵州贵阳华师一学校·期中)若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离为求解即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为， 则，解得或. 故选：D. 8．(25-26高二上·山东潍坊诸城等3地·期中)已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径， 再求出圆心到直线的距离， 从而可得结论. 【详解】由，可得，所以圆心的坐标为，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相交， 又，故圆上与直线的距离等于的点共有4个. 故选：D 9．(25-26高二上·广东佛山顺德区实验中学、勒流中学等镇街学校·)已知圆M：上恰有两个点到直线l：的距离为1，则正数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】已知圆M：，化简为一般式， 可得圆心，半径，设圆心到直线的距离为， 要想圆上恰有两个点到直线的距离为1，只需满足， 即， 整理得：，已知是正数，可得， 解得，综合可得：. 故选：B 题型四 圆的最短路径问题/对称问题（共3小题） 10．(25-26高二上·广东广州育才中学·期中)已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用对称，求得关于直线对称的点坐标，则.对于直线上任一点到圆上的点的距离的最小值均为，到圆上的点的距离的最小值均为.又，所以的最小值为. 【详解】由题知，两圆圆心为，，半径都是1， 设关于直线对称的点，则，解得，即. 对于直线上任意一点，到圆上的点的距离的最小值为， 到圆上的点的距离的最小值为. 又，且， 所以的最小值为. 即的最小值为3. 故选：C.      11．(25-26高二上·江西萍乡·期中)汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作图，得到光线经过的路程，然后求关于对称的点，利用对称性求得何时光线经过的路程最小，求出最小值. 【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为.    设是点关于直线的对称点， 则，即，∴，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 12．(24-25高二下·湖南长沙宁乡名校联合·)已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出点C关于直线的对称点，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答. 【详解】点在直线上， 圆的圆心，半径，而点在圆上，则， 因此，令点关于直线对称点，， 则有，解得，即， 因此，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号， 直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点， 所以当点与重合时，，. 故选：C 题型五 圆上动点距离：多图形关联最值（共3小题） 13．(25-26高二上·江苏连云港海州区·期中)已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设线段的中点为，根据垂径定理得出点的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式将目标转化为求点到直线的距离的倍，进而求圆上的动点到定直线的距离的最值问题即可. 【详解】如图， 圆，圆心为点，半径为， 设线段的中点为，得， 因，则， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其方程为， 因、可分别看作点到直线的距离， 则可分别看作点到直线的距离的倍， 又点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为， 则的最大值为， 则的最大值为 故选：D 14．(25-26高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中)已知实数满足，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得点在圆上，且，再利用目标式的几何意义，结合圆上的点到直线距离的最大值求解. 【详解】设，由，得， 点在以原点为圆心，2为半径的圆上，由， 得，而，则， 取线段中点，则，过分别作直线的垂线， 垂足分别为，则，且， ，，当且仅当共线时取等号， 因此 ，当且仅当共线时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 15．(25-26高二上·福建三明第一中学·月考)已知实数，，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为点到直线的距离求解. 【详解】设，. 因为，，所以. 又，即 . 所以为等边三角形.如图：    取中点为，则，点在以为圆心，为半径的圆上. 分别过做直线的垂线，垂足分别为. 则. 又， 所以， 即 . 故选：D 题型六 切点弦：方程推导与性质（共3小题） 16．(25-26高二上·甘肃白银靖远县联考·期中)已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断直线与圆的位置关系，由题意知、，则， 所以当取最小值时可取最小值，根据几何图形分析取最小值时的情况并求出P点坐标， 最后利用两相交圆的公共弦的求法求出直线AB的方程. 【详解】因为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离. 由题意知,所以A，P，B，O四点共圆，且， 所以.因为， 当直线时，，，此时最小， 所以直线，由解得 所以以为直径的圆的方程为，即. 两圆的方程相减得，，即直线的方程为. 故选：D 17．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【详解】设，则， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A. 18．(25-26高二上·河北沧州四校联考·期中)已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为 ，直线过定点 . 【答案】 【分析】将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得. 【详解】如图：    因为 ， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 题型七 两圆的位置关系：隐圆问题（共3小题） 19．(25-26高二上·四川仁寿县铧强中学·)已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分别找到直线、所过定点，求两直线垂直，从而得交点的轨迹是以两定点的中点为圆心，以为半径的圆，再根据两圆位置关系求解. 【详解】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 但由于直线不可能为，直线不可能为， 所以直线与直线的交点不包含， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心， 半径为的圆（除点）， 又圆的圆心，半径， 由于，两圆相离，如下图所示， 的最小值是．    故答案为： 20．(25-26高二上·福建厦门第一中学·期中)在平面直角坐标系中，已知圆：，点，若圆上存在一点，满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据题意求出点轨迹方程，再根据两圆的位置关系进行求解即可. 【详解】设，因为，，所以，， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为点在圆上，所以两圆必须相交或相切， 所以，解得或. 故答案为：. 21．(25-26高二上·江西景德镇·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定信息求出点的轨迹方程，再由两圆有公共点列出不等式求解. 【详解】设，由，得， 整理得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在圆，即两圆有公共点，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型八 轨迹类：圆的轨迹方程推导（共3小题） 22．(25-26高二上·广东东莞七校·)已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 23．(25-26高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可； （2）设点，利用中点坐标公式建立点和点之间的关系式， 再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【详解】（1）已知的圆心是，半径是2， 显然直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程是，即， 则圆心到直线的距离为， 解得直线的斜率. （2）设点， 由点是的中点得 所以①， 因为在圆上运动，所以②， ①代入②得，， 化简得点的轨迹方程是. 24．(25-26高二上·天津益中学校·期中)已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点在直线上和垂直直线的斜率关系，由点斜式可得； （2）待定系数法求解圆的方程； （3）相关点法求动点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （2）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （3）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 题型九 代数类：直线与圆的韦达定理（共3小题） 25．(25-26高二上·山东济宁曲阜·期中)已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程； （2）联立直线与曲线，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出. 【详解】（1）设的中点为， 的中点为，且，，即， ∵点在圆上， ，即， 化简得， 所以的轨迹方程为：. （2）设， 由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为：， 联立直线与圆的方程，可得， ，解得，， 由得，即， 化简得， 将韦达定理代入可得，解得，符合题意. 此时直线的方程为：， 由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为， 又在直线的方程中，当时，，即直线过圆心， 所以. 26．(25-26高二上·四川绵阳中学·)已知圆经过点、，并且直线平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，是否存在斜率为的直线与圆有两个不同的交点M，N，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）设标准方程，两点代入方程，圆心带入直线联立求解 （2）直线的方程与圆联立，得到韦达定理，代入解出答案，并由得的取值范围，判断是否符合要求即可 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为直线平分圆的面积，所以直线过圆心，即， 则，解得， 圆的方程为 （2）由题意直线的方程为， 联立，消去得， 设，， 则，得， 故，， 而， 所以 ， 故有，解得或，不满足，所以不存在． 27．(25-26高二上·安徽安庆第二中学·期中)已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆心与圆心关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证； 【详解】（1）由圆，可得圆的圆心为，半径为， 又圆，可得圆心为，半径为， 因为圆心与圆心关于直线对称，得，解得， 所以圆的标准方程为； （2）证明：设，，且， 联立方程组，整理得， 则，且，， 则， 所以当不断变化时，轴始终平分. 题型十 跨模块：直线与圆结合平面向量（共3小题） 28．(25-26高二上·广东广州天天向上联盟·期中)已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设为的中点，由取得的最小值即可求解. 【详解】已知、是圆：上的两点，且， 点为坐标原点，由于，即为， 故圆的圆心为，半径为2，设为的中点，则， 结合，得到，即点在以为圆心，半径为的圆上， 又，则， 而， 的最小值为， 则的最小值为. 故选：D 29．(25-26高二上·江苏南菁高级中学·)已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的运算法则，结合直线与圆相交可求解. 【详解】设的中点为，则， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为直线与圆交于不同的两点， 所以，所以， 即，解得. 故选：C. 30．已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】先求出夹角为，设起点为，终点为，画出示意图，由向量与的夹角为可得，则点C在所对圆周角为的圆弧上，求出圆心半径，利用定点到圆上点的最值即可求解. 【详解】由题意， 代入，得，则夹角为， 如图所示在直角三角形中，， ， 令，则， 即为向量与的夹角为， 则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为， 如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上， 由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求， 所以点即为圆心，半径， 则，此时共线且点C在之间， 故的最小值是1. 故答案为：1. 题型十一 几何意义最值：斜率，距离，截距型（共3小题） 31．(25-26高二上·山东济南振声学校·期中)【多选题】已知实数满足方程，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B错误；利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C正确；采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B错误； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离， 的最大值为，C正确； 对于D，设，，， ， ，， 当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选；ACD. 32．(22-23高二上·河北唐山迁安·期中)【多选题】已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【答案】AD 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，先求出直线所过的定点，然后求出圆上的点到直线距离的最大值，即可判断D. 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆， 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B错误； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，直线化为， 令，解得， 所以直线过圆心， 则圆上的点到直线距离的最大值为，且直线与圆相交， 因为， 所以曲线C上恒有四个点到直线的距离等于，故D正确. 故选：AD. 33．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)【多选题】已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】先将曲线的方程化为标准方程，确定其几何图形，再根据不同选项的要求，结合圆的性质进行分析. 【详解】曲线的方程可化为， 令，其几何意义是圆上的点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加上半径，即， 的最大值为，正确. 设，其几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 则可化为，即， 直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于半径， 即，化简得，解得， 的最大值为，错误. 设，则，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时的截距取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最大值是，正确. 设，即，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最小值是，错误. 故选：. 题型十二 定点问题：圆恒过定点（共3小题） 34．(25-26高二上·海南天一联考·)已知圆C：的半径为2． (1)求实数m的值． (2)过直线l：上的动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （ⅰ）当点P的坐标为时，求这两条切线的方程； （ⅱ）证明的外接圆过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）和；（ⅱ）证明见解析，，． 【分析】（1）将一般方程化为标准方程，由半径为2求出m的值即可； （2）（i）分类讨论，利用点到直线的距离公式求出切线斜率，从而求出切线方程； （ii）由题意，的外接圆是以为直径的圆，设，写出圆的方程，再分离参数，令参数的系数等于零，求得定点． 【详解】（1）圆C的方程化为标准方程得， 因为圆C的半径为2，所以，得． （2）（ⅰ）由（1）知圆心为，设过点P的切线为， 当的斜率不存在时，方程为，符合题意． 当的斜率存在时，设方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得，解得， 所以的方程为，即． 综上，这两条切线的方程分别为和． （ⅱ）因为PA，PB与圆C相切，所以，， 所以P，A，B，C四点都在以PC为直径的圆上， 即的外接圆必过的一个定点为． 设，则PC的中点为，， 以PC为直径的圆的方程为， 整理可得， 由  解得或 所以的外接圆过定点，． 35．(23-24高二上·北京第一六一中学·期中)已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)， (2)过定点， 【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）由题意可知直线的方程为， 则联立与可求出点坐标为， 又因点P为线段的中点，所以可得， 即，所以可得， 由可知圆心，所以到直线的距离， 又因圆半径为，根据勾股定理可求得， 所以线段， 又因原点到直线距离为，所以线段上的高为， 所以. （2）由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 即，由，解得， 因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 36．(24-25高三上·云南师范大学附属中学·月考)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的圆过定点，或，理由见解析 【分析】（1）设，由代入坐标化简可得答案； （2）求出，设，直线的方程分别为、，根据得，直线的方程分别与联立求出点坐标，再求出以为直径的圆的方程，根据方程可得答案. 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简得， 所以曲线的方程为； （2）以为直径的圆过定点，或，理由如下， 令，可得，或，所以， 设，直线的方程分别为、， 因为，所以，可得， 由得，由得， 可得的中点为，， 以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 由，得或， 可得以为直径的圆过定点，或. 题型十三 直线定点：直线过定点（共3小题） 37．(24-25高二上·贵州九师联盟·)设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先分析圆只能过点，，三点，再求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【详解】（1）若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． （3）设直线的方程为，，， 由得， 所以，， 所以 ，所以， 所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 38．(25-26高二上·四川绵阳南山中学·期中)已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； (3)若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)； 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得曲线的方程； （2）设直线联立得出韦达定理结合弦长公式计算证明； （3）设直线为及，结合斜率之积计算得出，进而得出定点. 【详解】（1）设,因为 ，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. （2）设直线为， 直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值； （3）设直线为，， 联立， 所以， 所以， 又因为点 满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点；    39．(25-26高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组可得点M的坐标； （2）设，由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和、、时四种情况可得. 【详解】（1）∵点，∴直线AN的方程为． 令，则．又，∴直线BP的方程为． 由及，解得． （2）设，∵点，∴直线AN的方程为． 由及，解得． ∵点，∴直线BM的方程为． 由及，解得． 当直线MN垂直于x轴时，则，解得， 或，直线MN的方程为； 当时，，直线MN的方程为， 故若直线MN过定点，则该定点为． 当时，直线MN的方程为，显然过点； 当时，，， ∴，∴M，N，C三点共线，即直线MN经过定点． 题型十四 定值探究（共3小题） 40．(25-26高二上·山东泰安宁阳县复圣中学·期中)已知圆的圆心在轴上，且过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)过直线上且在圆外的一点作圆的两条切线，切点分别为、，当点的坐标为时，求点的坐标. (3)已知点，点在轴上且异于点，动点在圆上，当为定值时，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）由题意可先求出过点的切线方程，则可联立直线得到点坐标，再以为圆心，为半径作圆，求出该圆与圆的交点坐标即可得解； （3）设，，，则可借助两点间距离公式得到与、、有关等式，结合该等式恒成立计算即可得解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由圆的圆心在轴上，则， 由圆过，两点， 则有，解得， 即圆的标准方程为； （2）圆，则圆心， 则过点的切线与轴垂直，即为， 对，令，则，即， 以为圆心，为半径作圆，即为， 则、为该圆与圆的两个交点， ，解得或， 由，故；    （3）设，，则，即， 设，则， 由， ， 则恒成立， 整理得， 则需，由，则， 即有， 由，则，即，则，即， 即方程组符合题意的解为， 即点的坐标为.    41．(25-26高二上·广东广州广东实验中学·期中)已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)138 (3)存在，点，定值为 【分析】（1）设，利用对称关系把点的坐标用表示出来，然后代入圆的方程即可求解； （2）利用两点间距离公式整理从而转化为的最小值，然后利用数形结合思想即可求解； （3）设出直线方程，联立圆的方程消去，利用韦达定理代入化简即可求解. 【详解】（1）设，因为点是点关于点的对称点， 所以，即，因为点在圆上， 所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ， 令，则， 可视为直线在轴上的截距， 所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距， 由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，， 所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值， 理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 又，， 则 ， 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值.    42．(25-26高二上·山东烟台芝罘区·期中)已知圆过点，且与圆（）关于直线对称. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于，两点，直线不经过圆心，过点，分别作圆的切线，两切线交于点，求证：点在一条定直线上； (3)设，已知点为圆上任意一点，过点作圆的一条切线，切点为，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，，定值为. 【分析】（1）设，根据点关于直线对称得到方程组，解出即可； （2）设，将转化为，代入向量坐标得到，同理得到另一个方程，从而得到其点在一条定直线上； （3）假设存在点满足题意，再利用两点距离公式得到方程，最后因为分解即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为圆和圆关于直线对称， 所以点和点关于直线对称，且两圆半径相等． 由题知，，设， 则有得，即. 所以，圆的方程为， 又因为点在圆上，所以，所以圆的方程为． （2）设， 则． 由已知得，，所以， 即，即， 又因为，所以．同理． 所以直线的方程为， 又因为点在直线上，所以． 故点恒在定直线上． （3）设，则有， 即， 若存在点，使为定值，设，，即． 又因为， 所以， 整理得， 所以， 即． 要使为定值，则， 解得或， 故当点时，；当点时，． 题型十五 定线推导（共3小题） 43．(25-26高二上·四川成都第七中学·月考)动圆：与直线：交于两点． (1)证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； (2)求的最小值； (3)是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）将圆的方程整理得，由，可解得两定点； （2）求出圆的圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离为，使用公式，将和代入整理得，设，利用二次函数的图像和性质求出； （3）设定，，，根据向量法得出，经整理后得到，因为无论为何值，都有为常数，则有，进而得到定直线. 【详解】（1）， 整理得， 由，解得或， 即动圆恒过两定点的坐标为或. （2）由圆的方程可得， 圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的圆心到直线：的距离为， 所以两点间的距离， 整理得， 设，其对称轴为， 故， 所以. （3）设，， 将直线代入圆中， 得， 整理得，根据韦达定理得， 设，则，， 则有， 整理得， 即有， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数. 故存在定直线，即，其上任意点满足条件.    44．(25-26高二上·四川成都双流区立格实验学校·期中)已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）． (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）设，利用圆心到直线的距离公式和圆心、弦长列式求解即可； （2）利用面积公式求解可得，当时，取得最大值，建立空间直角坐标系，设，其中，用二面角的向量法求出点坐标即可； （3）联立直线与圆的方程，利用韦达定理及斜率公式，求出两直线的方程，联立直线方程可得在定直线上. 【详解】（1）由题意得直线的斜率不为0，设，即， 圆心到直线的距离为， 又，即 所以，所以，解得， 所以直线的方程为. （2） 由题意得直线的斜率不为0，设，即， 由（1）知，， ， 令，则， 所以， 又，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，取得最大值为， 此时，解得， 建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， ，可得， 设，其中， 所以，， 设面的法向量为， ，可得， 设平面与平面的夹角为， ， 解得，所以. （3），设，， 由题意得直线的斜率不为0，设， 所以， 可得， 所以，， ，直线的方程为，① ，直线的方程为，② 联立方程①②可得 ， 可得， 所以点在定直线上. 45．(25-26高二上·河南天一大联考·)已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并判断C的形状． (2)已知过点O且不与坐标轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点． ①过点O作与垂直的直线，与曲线C相交于E，F两点，求四边形面积的最大值； ②设曲线C与x轴相交于M，N两点，直线与相交于点G，证明点G在定直线上，并求出该直线的方程． 【答案】(1)，曲线C是以为圆心，2为半径的圆 (2)① 7；②证明见解析， 【分析】（1）设，根据两点距离公式代入等式中进行化简即可得到曲线的形状. （2）①先求出直线与圆相交的弦的长，然后根据四边形的面积公式列出面积的表达式，最后根据基本不等式的性质求出最大值即可；②联立直线和圆C的方程，结合韦达定理可求出定直线的方程. 【详解】（1）设，由，得 化简整理得曲线C的方程为 故曲线C是以为圆心，2为半径的圆． （2）①由（1）知，曲线，圆心为，半径，如图所示． 设直线，圆心C到直线的距离，则 因为直线与垂直，所以直线 同理可得． 所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时S取得最大值，最大值为7，所以四边形面积的最大值为7．    ②设，，不妨取，，如图． 联立直线和圆C的方程，得得 所以，．所以 易得直线， 联立得，解得． 所以点G在定直线上．    题型十六 直线与圆的实际应用（共3小题） 46．(25-26高二上·江苏扬州高邮·期中)在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2)不会总能在安全区内成功拦截，理由见解析 【分析】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 47．(24-25高二上·贵州贵阳第一中学·月考)如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 48．(24-25高二上·广东梅州兴宁第一中学·期中)某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. $