精品解析：四川省广元市利州区万达实验学校2025--2026学年上学期八年级期中数学试卷

万达实验学校2025年秋初中部学业水平监测八年级数学试题二 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. 2025 B. 1 C. 0 D. 2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（　　） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 三角形的两边之和大于第三边 3. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（　　） A. B. C. D. 6. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 8. 如图， 的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为4，则点P到的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 已知，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知的两条边长分别为和，则第三边的取值范围为______． 12. 已知，，则__________． 13. 与的乘积中不含x的一次项，则m的值为 _______． 14. 现代信息技术存储设备常用B、、、等作为存储量的单位，例如我们常说某计算机硬盘的容量是，某个文件的大小是等，其中，，，对于一个存储量为的硬盘，其容量有____B． 15. 如图，在中，点分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为_________． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点D，交于点E，连接，，，的周长为6，则的长为_________． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1） （2） 19. 求值：，其中． 20. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 21. 如图，在四边形中，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 22. 为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． （1）求安装健身器材的区域面积； （2）当，，求安装健身器材的区域面积． 23. 已知．观察下列等式： ．．． （1）猜想：_______； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ①_____； ②______； ③______． 24. 如图，已知中，，，是过的一条直线，于，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 26. 在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接． （1）如图1，当点在线段上时，求证：． （2）设，． ①如图1，当点在线段上时，则，之间有怎样的数量关系？写出证明过程； ②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请在图2中画出完整图形并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万达实验学校2025年秋初中部学业水平监测八年级数学试题二 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. 2025 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据“任何不等于0的数的0次幂都等于1”可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（　　） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 三角形的两边之和大于第三边 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：A． 【点睛】本题考查的三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 3. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个整式乘积的形式；需逐一验证各选项是否满足等式成立且符合因式分解的形式. 【详解】A.左边是的乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，不符合题意； B.左边可提取公因式，得到，等式成立且符合因式分解的定义，符合题意； C.右边为乘积与常数项的和，未完全转化为乘积形式，不符合因式分解，不符合题意； D.，故不符合题意； 故选：B. 5. 如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴即， ∴． 故A、B、D都可得到，无法得到C． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 6. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的形式，令常数项等于一个数的平方，求出参数，再代入一次项系数即可求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴可设为， ∴，解得， ∴． 故选：A． 7. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解将已知等式变形为，即可得到a=b，由此判断三角形的形状． 【详解】解：， 由平方差公式得：， ∴， ∵a、b、c三边是三角形的边， ∴a、b、c都大于0， ∴本方程解为a＝b， ∴△ABC一定是等腰三角形， 故选C． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 8. 如图， 的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为4，则点P到的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】过P点作于F，于G，于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得解． 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过P点作于F，于G，于H， ∵点P是的外角的平分线与的交点， ∴，， ， ∵点P到的距离为4， ， ， 点P到的距离为4． 故选：A 9. 已知，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将a、b、c化为同指数形式为，，，即可比较大小． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，根据数的特点，将数变为同指数幂的形式是解题的关键． 10. 如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知的两条边长分别为和，则第三边的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系定理，用两边之差与两边之和确定第三边的取值范围． 【详解】解：由三角形三边关系，得， 即． 故答案为： 12. 已知，，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】提出公因式，把原式变形为，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 13. 与的乘积中不含x的一次项，则m的值为 _______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中不含某一项的问题，用多项式乘以多项式的法则进行计算，合并同类项后，x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含x的一次项， ∴，解得：； 故答案为：3． 14. 现代信息技术存储设备常用B、、、等作为存储量的单位，例如我们常说某计算机硬盘的容量是，某个文件的大小是等，其中，，，对于一个存储量为的硬盘，其容量有____B． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据存储单位换算关系，将转换为B需要连续乘以转换因子，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可解答． 【详解】解：由换算关系：，，， 得， 由于， 因此． 故答案为：． 15. 如图，在中，点分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握利用三角形的中线求面积的方法是解题的关键． 利用三角形的中线将三角形的面积平分，分别求出，，，，的面积，即可求得答案． 【详解】如图，连结， ∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点D，交于点E，连接，，，的周长为6，则的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 延长交于点F，延长交于点G，首先根据题意证明出，得到，，同理得到，得到，，然后证明出，得到，然后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，延长交于点G ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 同理可得， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵的周长为6， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：5． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项去括号，最后计算单项式除以单项式即可； （2）先计算积的乘方和利用平方差公式去括号，然后合并同类项，再计算单项式除以单项式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键． （1）根据提取公因式法分解因式得出答案； （2）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，再通过合并同类项进行化简，最后将给定的、的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握多项式乘法法则、合并同类项法则以及代入求值的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故答案为：． 20. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）由垂直可得，再根据三角形内角和定理，得到，进而得出，最后再利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 是的角平分线， 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形中，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） ，理由如下： ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）证明即可得结论； 本题考查了角平分线的作法，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． （1）求安装健身器材的区域面积； （2）当，，求安装健身器材的区域面积． 【答案】（1）安装健身器材的区域面积平方米 （2）安装健身器材的区域面积平方米 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的实际应用，多项式乘以多项式的运算法则，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （）先计算出居民健身场所的总面积，再用总面积减去篮球场的面积即可解答； （）根据（）的结论可知安装健身器材的区域面积平方米，再将，代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵居民健身场的长为米，宽为米， ∴居民健身的面积为米， ∵篮球场的长为米，宽为米， ∴篮球场的面积为米， ∴安装健身器材的区域面积为平方米， 答：安装健身器材的区域面积平方米； 【小问2详解】 解：∵居民健身场的长为米，宽为米， ∴居民健身的面积为米， ∵篮球场的长为米，宽为米， ∴篮球场的面积为米， ∴安装健身器材的区域面积为平方米， ∴当，时，安装健身器材的区域面积为（平方米）， 答：安装健身器材的区域面积平方米． 23. 已知．观察下列等式： ．．． （1）猜想：_______； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ①_____； ②______； ③______． 【答案】（1） （2）①；②；③； 【解析】 【分析】本题考查了整式运算的应用和规律，做题的关键是读懂题意，能够利用规律解决问题，能够在一系列运算中发现规律． （1）根据所列等式所呈现的规律得出答案； （2）①利用（1）中得到的结论得出结果为即可；②将原式变为，再利用（1）中的结论即可得出结果； （3）将原式化为，再利用（1）中得到的结论得出结果即可． 【小问1详解】 解：由已知条件可得： ； 故答案为：； 【小问2详解】 （2）①， 故答案为：； ②， ， ， ， 故答案为：； ③ ， ， ， 故答案为：． 24. 如图，已知中，，，是过的一条直线，于，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；运用全等三角形求证线段相等是解题的关键． （1）求证，进而运用求证； （2）由三角形全等得，，可得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ，， ， ， ，， ． 25. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 【答案】（1）（2）16；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式的应用： （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以多项式，进而求得x、y、z的值，代入所求代数式求解即可； （3）设，，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）根据图形可得：， 故答案为：； （2）∵， ∴可以用图3中的2张边长为a的正方形，7张边长为a、b的长方形，3张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形， ∴，，， ∴； （3）设，， ∴， 由得：； ∴， ∴． 26. 在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接． （1）如图1，当点在线段上时，求证：． （2）设，． ①如图1，当点在线段上时，则，之间有怎样的数量关系？写出证明过程； ②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请在图2中画出完整图形并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ； （2） ①，证明如下： ， ， ， ， ， 即； ②，证明如下： 如图所示， 连接， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意可得，直接证明，即可； （2）①根据，得出，进而根据三角形的内角和定理即可得出结论； ②根据题意画出图形，同理证明，可得，进而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $