第一章 数列全章综合测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第一章 数列全章综合测试 1、 单选题（每题5分，共40分） 1．在数列{an}中，a1＝1，an+1+an＝3，则a20＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 2．在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10＝150，则a1+a11的值为（　　） A．30 B．40 C．50 D．60 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S12＝33，则S8＝（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 4．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，若a1，a2，a4成等比数列，则a8＝（　　） A．16 B．﹣18 C．18 D．20 5．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn有最大值，且，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 7．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+1＝an+2an﹣1（n≥2），数列{an}的前n项和Sn，则S2025＝（　　） A．22025﹣1 B．22025﹣2 C．3.21013﹣5 D． 8．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＞1，a2025•a2026＞1，（a2025﹣1）（a2026﹣1）＜0，若使Tn＞1最大的自然数为n，则n＝（　　） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 2、 多选题（每题6分，共18分） 9．已知数列{an}的前n项和（n∈N*），则下列正确的是（　　） A．{an}为递增数列 B．a1＝﹣7 C．a2＝﹣9 D．an＝2n﹣6 10．已知公差d不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S9，则下列结论正确的有（　　） A．S13＝0 B．当d＜0时，Sn的最大值为S6或S7 C．a6+a7＝0 D．当d＞0时，a1＜0 11．若数列{an}的首项，且，则（　　） A．数列为等比数列 B． C．数列{an}为递增数列 D．存在正整数m，n，l，使得am+an＝al 3、 填空题（每题5分，共15分） 12．若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 　 　 ． 13．已知数列{an}满足a3＝256，且an＝2an+1．若Tn是数列{an}的前n项积，当Tn取最大值时，n＝　 　 ． 14．数列{an}满足an+2+（﹣1）nan＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝　 　 ． 四、解答题（共77分） 15．（本小题满分13分）已知数列{an}的首项a1，且满足an+1． （1）证明：数列是等比数列． （2）若2022，求正整数n的最大值． 16．（本小题满分15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a3+a4＝20，S10＝110． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝|9﹣an|，求数列{bn}的前n项和Tn． 17．（本小题满分15分）已知数列{an}各项均为正数，设数列{an}的前n项和为Sn，其中． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令，求数列{bn}的前n项和Tn． 18．（本小题满分17分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，，且数列{4nSn+（2n+3）an}是等差数列． （1）证明：是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n． 19．（本小题满分17分）已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3＝9，S3＝18，数列{bn}为等比数列，公比q＞1，前n项和为Tn，b2＝4，T3＝14，数列{cn}的前n项和为Mn，{cn}中的项满足． （1）当c3+c5＝kc7时，求k的值； （2）是否存在n∈N*使得M2n＝3bn﹣1，若存在有几个，请说明理由； （3）设数列{dn}的前n项和为，证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 数列全章综合测试 1、 单选题（每题5分，共40分） 1．在数列{an}中，a1＝1，an+1+an＝3，则a20＝（　D　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【解析】 因为a1＝1，an+an+1＝3，所以a1+a2＝3，a2+a3＝3，a3+a4＝3，…，所以a2＝2，a3＝1，a4＝2，a5＝1，⋯，即数列{an}的奇数项为1，偶数项为2，所以a20＝2． 2．在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10＝150，则a1+a11的值为（　D　） A．30 B．40 C．50 D．60 【解析】 在等差数列{an}中，由a2+a4+a6+a8+a10＝150，得5a6＝150，解得a6＝30，故a1+a11＝2a6＝2×30＝60． 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S12＝33，则S8＝（　B　） A．13 B．14 C．15 D．16 【解析】 设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝3，S12＝33，所以，，联立解得a1＝0，，所以． 4．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，若a1，a2，a4成等比数列，则a8＝（　A　） A．16 B．﹣18 C．18 D．20 【解析】 设公差为d，因为a1，a2，a4成等数列，可得（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2，或d＝0（舍去），所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；故a8＝2×8＝16． 5．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则的值为（ C ） A． B． C． D． 【解析】 ∵等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，，∴设Sn＝n（2n+1）k，Tn＝n（3n﹣1）k，则a7＝S7﹣S6＝105k﹣78k＝27k，b5＝T5﹣T4＝70k﹣44k＝26k，则． 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn有最大值，且，则中最大的是（　B　） A． B． C． D． 【解析】 根据题意，等差数列{an}，设其公差为d，若Sn有最大值，则a1＞0，其公差d＜0，又由，即0，则a13与a13+a14异号，必有a13＞0，a14＜0，则Sn的最大值为S13，即S1＜S2＜S3＜……＜S13＞S14＞S15＞……＞S25＞0，又由a1＞a2＞……＞a13＞0＞a14＞a15＞……a25，故0，当14≤n≤25时，都有0，故则中最大的是． 7．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+1＝an+2an﹣1（n≥2），数列{an}的前n项和Sn，则S2025＝（　A　） A．22025﹣1 B．22025﹣2 C．3.21013﹣5 D． 【解析】 因为an+1＝an+2an﹣1（n≥2），所以an+1+an＝2（an+an﹣1）（n≥2），所以{an+1+an}是以a1+a2＝3为首项，2为公比的等比数列．于是，因为S2025＝a1+（a2+a3）+⋯+（a2024+a2025）， 所以1+322025﹣1． 8．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＞1，a2025•a2026＞1，（a2025﹣1）（a2026﹣1）＜0，若使Tn＞1最大的自然数为n，则n＝（　C　） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 【解析】等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＞1，a2025•a2026＞1，（a2025﹣1）（a2026﹣1）＜0， 可得公比q∈（0，1），且a2025＞1，0＜a2026＜1，由T4050＝a1a2...a4049a4050，T4050＝a4050a4049...a2a1，可得（a1a4050）（a2a4049）...（a4050a1）＝（a2025a2026）4050＞1，即有T4050＞1；而T4051＝a1a2...a4050a4051，T4051＝a4051a4050...a2a1，可得（a1a4051）（a2a4050）...（a4051a1）＝（a2026）4051×2＜1，即有0＜T4051＜1，综上，可得n的最大值为4050． 2、 多选题（每题6分，共18分） 9．已知数列{an}的前n项和（n∈N*），则下列正确的是（　AB　） A．{an}为递增数列 B．a1＝﹣7 C．a2＝﹣9 D．an＝2n﹣6 【解析】 ∵，∴令n＝1得a1＝﹣7，当n≥2时，，，①﹣②得an＝2n﹣6，n≥2，所以． 10．已知公差d不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S9，则下列结论正确的有（　ABD　） A．S13＝0 B．当d＜0时，Sn的最大值为S6或S7 C．a6+a7＝0 D．当d＞0时，a1＜0 【解析】 设等差数列{an}的公差为d，对于A，因为数列{an}为等差数列，且S4＝S9，所以a5+⋯+a9＝0，即5a7＝0，解得a7＝0，所以，故A正确；对于B，因为d＜0，所以a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＞a7＝0＞...，所以当d＜0时，Sn的最大值为S6或S7，故B正确；对于C，因为d≠0，且a7＝0，所以a6+a7≠0，故C错误；对于D，因为数列{an}为等差数列，且a7＝0，所以a1+6d＝0，所以a1＝﹣6d，当d＞0，a1＜0，故D正确． 11．若数列{an}的首项，且，则（　AC　） A．数列为等比数列 B． C．数列{an}为递增数列 D．存在正整数m，n，l，使得am+an＝al 【解析】 因为，所以两边同时取倒数得：，变形得，设，则，因为，所以，所以数列{bn}是首项与公比都为的等比数列，所以数列为等比数列，故A正确；由A得，即，所以，故B错误；因为，且y＝2n递增， 所以递减，从而数列{an}为递增数列，故C正确；左边，因为单调递减，所以，所以，即左边＞1，右边1，所以不存在这样的m，n，1，使得am+an＝al，故D错误． 3、 填空题（每题5分，共15分） 12．若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 　　 ．2 【解析】 根据题意可得a1+a2+a3+a4＝4，a5+a6+a7+a8＝68﹣4＝64，所以a5+a6+a7+a8＝（a1+a2+a3+a4）×q4＝4×q4＝64，解得q＝2（q＝﹣2舍）． 13．已知数列{an}满足a3＝256，且an＝2an+1．若Tn是数列{an}的前n项积，当Tn取最大值时，n＝　　 ．10或11 【解析】 因为an＝2an+1，所以，因为a3＝256，所以数列{an}是公比为的等比数列，所以数列，所以，因为，又因为n∈N*，所以当n＝10或n＝11时，取最大值55，所以当n＝10或n＝11时，取最大值255． 14．数列{an}满足an+2+（﹣1）nan＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝　　 ．7 【解析】 由an+2+（﹣1）nan＝3n﹣1，当n为奇数时，有an+2﹣an＝3n﹣1，可得an﹣an﹣2＝3（n﹣2）﹣1，…a3﹣a1＝3•1﹣1，累加可得an﹣a1＝3[1+3+…+（n﹣2）] ＝3•；当n为偶数时，an+2+an＝3n﹣1，可得a4+a2＝5，a8+a6＝17，a12+a10＝29，a16+a14＝41． 可得a2+a4+…+a16＝92．∴a1+a3+…+a15＝448． ∴448，∴8a1＝56，即a1＝7． 四、解答题（共77分） 15．（本小题满分13分）已知数列{an}的首项a1，且满足an+1． （1）证明：数列是等比数列． （2）若2022，求正整数n的最大值． 【解析】 （1）证明：易知{an}各项均为正，对an+1两边同时取倒数得，即，因为，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知，即，所以，显然f（n）单调递增，因为，所以n的最大值为1010． 16．（本小题满分15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a3+a4＝20，S10＝110． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝|9﹣an|，求数列{bn}的前n项和Tn． 【解析】 （1）设等差数列{an}的公差为d，又因为2a3+a4＝20，S10＝110，所以，解得，所以an＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n． （2）由（1）知，an＝2n，所以bn＝|9﹣an|＝|9﹣2n|，当1≤n≤4时，bn＝|9﹣2n|＝9﹣2n，所以b1＝7； 当n≥5时，bn＝|9﹣2n|＝2n﹣9，b5＝1，所以当1≤n≤4时，， 当n≥5时，．综上，数列{bn}的前n项和． 17．（本小题满分15分）已知数列{an}各项均为正数，设数列{an}的前n项和为Sn，其中． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令，求数列{bn}的前n项和Tn． 【解析】 （1）因为，① 所以当n＝1时，，得a1＝1或a1＝0（舍），当n≥2时，，② ①﹣②得：，即an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），因为数列{an}的各项均为正数，即an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1＝1（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝1+n﹣1＝n． （2）因为，所以，③ ，④ ③﹣④得： ，所以Tn． 18．（本小题满分17分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，，且数列{4nSn+（2n+3）an}是等差数列． （1）证明：是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n． 【解析】 （1）证明：∵a1＝1，，∴S1＝1，，设cn＝4nSn+（2n+3）an，则c1＝9，c2＝18，又∵数列{cn}为等差数列，∴cn＝9n，∴4nSn+（2n+3）an＝9n，∴，当n≥2时，，∴，∴，又∵2n+1≠0， ∴，即：，又∵，∴是以1为首项，为公比的等比数列，∴，即； （2）∵，且，∴，∴，∴． 19．（本小题满分17分）已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3＝9，S3＝18，数列{bn}为等比数列，公比q＞1，前n项和为Tn，b2＝4，T3＝14，数列{cn}的前n项和为Mn，{cn}中的项满足． （1）当c3+c5＝kc7时，求k的值； （2）是否存在n∈N*使得M2n＝3bn﹣1，若存在有几个，请说明理由； （3）设数列{dn}的前n项和为，证明：． 【解析】 （1）设等差数列{an}的公差为d，由a3＝9，S3＝18，可得a1+2d＝9，3a1+3d＝18，解得a1＝d＝3，则an＝3+3（n﹣1）＝3n；由b2＝b1q＝4，，得2q2﹣5q+2＝0，而q＞1，解得b1＝q＝2，则bn＝b1qn﹣1＝2n；由a1＝3，b1＝2，得c1＝2，c2＝3；由a2＝6，b2＝4，得c3＝4，c4＝6；由a3＝9，b3＝8，得c5＝8，c6＝9；由a4＝12，b4＝16，得c7＝12，c8＝16，则c3+c5＝4+8＝12＝c7，所以k＝1． （2）由（1）知，，由M2n＝3bn﹣1，得，则3n2+3n＝2•2n+2，当n＝1时符合，令，则r1＝0，r2＝8，r3＝18，r4＝26，r5＝24，r6＝﹣4，，当1≤n≤3时，rn+1﹣rn＞0，当n≥4，rn+1﹣rn＜0，即r1＜r2＜r3＜r4＞r5＞r6＞⋯所以有且只有n＝1符合． （3）证明：由（﹣1）n•＝（﹣1）n[]，所以，由0，可得E2n． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/11 11:54:26；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $