专题08：数学广角——数与形（期末知识清单）六年级数学上册（人教版）

六年级数学上册期末复习（人教版） 专题08：数学广角——数与形（期末复习知识清单） 知识点01：数与形结合的核心思想 1、本质：通过“图形直观呈现数量关系，数量描述图形特征”，将抽象的数字、算式与具体的几何图形结合，实现“以形助数、以数解形”，简化复杂问题。 2、核心价值： （1）以形助数：用图形的直观性理解抽象的数字规律； （2）以数解形：用数字、算式精准描述图形的变化规律。 知识点02：算式规律与图形的结合（以形助数） 1、连续奇数求和规律： （1）图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3 个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； （2）数量规律：1+3+5+…+(2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 2、分数裂项求和规律： （1）图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； （2）数量规律：。 3、平方数相关规律： （1）图形表现：大正方形边长为 (n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； （2）数量规律：(n+1)² - n²=2n+1。 【名师点拨】 （1）规律的适用范围：明确规律成立的条件（如连续奇数求和需“从1开始”，非从1开始需调整算式，如3+5+7=9-1=8=3²-1²）。 （2）项数的准确判断：如“1+3+5+7+9”中，项数n=5（用“(末项 + 1)÷2”计算），避免误将末项当作项数。 （3）分数裂项的图形理解：线段图分割时，需明确“每一段对应一个分数”，避免割裂图形与分数的对应关系。 知识点03：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 常见图形变化规律 【名师点拨】 （1）图形“关键量”的提取：关注与数字对应的核心特征（如正方形个数、小棒根数、面积/周长）。 （2）规律的验证：推导第n个图形的表达式后，用前3~4个已知图形验证，避免推导错误。 （3）复杂图形的分解：复合图形需分别找各部分的变化规律，再合并总规律。 知识点04：数与形的综合应用（解决实际问题） 1、解决数字规律问题：借助图形直观推导复杂算式结果。 2、解决图形计数问题：用数字规律快速计算图形个数。 3、解决实际情境问题：如“鸡兔同笼”、“植树问题”。 【名师点拨】解决问题时，既用图形辅助理解数量关系，又用数字算式验证图形规律，确保结果准确。 考点1：算式规律与图形的结合 【例1】（24-25六年级上·山西晋中·期末）明明是个善于观察，乐于思考的好孩子。他通过数形结合（如图），发现了求两个连续自然数平方差的规律。请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果：（ ）；（ ）。 【答案】 11 4049 【分析】由图可知：每个图形阴影部分的面积＝大正方形面积－空白部分正方形面积。假设大正方形边长为a（a为整数），空白正方形边长则为（a－1），阴影部分面积S＝a2－（a－1）2，即两个相邻自然数的平方差；由算式可知：两个相邻自然数的平方差其结果为两个相邻自然数的和，据此解答。 【详解】6＋5＝11；2025＋2024＝4049。 【例2】（24-25六年级上·河南郑州·期末）在中国几千年的文明历程中，一直贯穿着我国人民对数学知识的探索和研究。明朝的《算法统宗》里讲述了一种“铺地锦”的乘法计算方法。图1～图3是计算75×26＝1950的方法，图4是用“铺地锦”的方法计算42×38的过程，括号里应填的数是（ ）。 【答案】9 【分析】依据题意结合算式可知：“铺地锦”的方法是分别用一个乘数的十位和个位上的数去乘另一个乘数的十位和个位，所得的积写在相应的小正方形里，而这4个小正方形都被对角线平均分成了2份，对角线分隔开的数字或数字相加的和依次连起来就是两个乘数的积。据此括号里应填的数等于大正方形对角线与右下角小正方形的对角线之间的三个数的和，由此解答本题。 【详解】通过分析可得：6＋1＋2＝9，则括号里应填的数是9。 【例3】（24-25六年级上·河南开封·期末）如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用了（     ）根小棒。 A．324 B．144 C．160 D．128 【答案】B 【分析】看图第1个图形用了（1×4）根小棒，第2个图形用了（2×6）根小棒，第3个图形用了（3×8）根小棒。其中，第几个图形第1个因数就是几。第2个因数分别是4、6、8……每次加2，那么第8个图形加了7次2，即第8个图形的第2个因数是（4＋2×7）。据此解题。 【详解】8×（4＋2×7） ＝8×（4＋14） ＝8×18 ＝144（根） 所以，第8个图形中一共用了144根小棒。 故答案为：B 【练习1】（24-25六年级上·湖北黄冈·期末）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”（如图）。根据上述规律，第七行正中间的数是（ ）。 【答案】20 【分析】从上往下观察杨辉三角，两边的数字都由1组成，其余的数则等于它肩上的两个数之和，第几行就有几个数，则第7行有7个数，正中间的数是从左往右第4个数，它肩上的数字分别是10和10，算出答案即可。 【详解】从上往下观察杨辉三角，两边的数字都由1组成，其余的数则等于它肩上的两个数之和，第7行正中间的数，它肩上两个数字是10和10，10＋10＝20。 【练习2】（24-25六年级上·河南焦作·期末）观察下面图形的规律，第9个框里有（ ）个点。 【答案】33 【分析】根据题图可知，每增加一个框就增加4个点，第n个框里有4（n－1）＋1＝（4n－3）个点，再将n＝9代入含字母的式子解答即可。 【详解】由分析可知：第n个框里有4（n－1）＋1＝（4n－3）个点，把n＝9代入4n－3，得： 4×9－3 ＝36－3 ＝33（个） 所以第9个框里有33个点。 考点2：图形变化规律与数字的结合 【例4】（24-25六年级上·湖南株洲·期末）仔细观察图中正方形和直角三角形的个数有什么关系，再填空。 图形序号 ① ② ③ … 正方形个数 2 3 4 … 直角三角形个数 4 8 12 … 当正方形有10个时，三角形有（ ）个。第n个图形时，正方形有（ ）个，三角形有（ ）个。 【答案】 36 n＋1/1＋n 4n 【分析】观察可知，第1个图形有2个正方形，第2个图形有3个正方形，第3个图形有4个正方形……那么第n个图形有（n＋1）个正方形；第1个图形有4个直角三角形，第2个图形有（4×2）个直角三角形，第3个图形有（4×3）个直角三角形……那么第n个图形有4n个直角三角形，先根据正方形的个数求出n的值，再把n的值代入4n求出直角三角形的个数，据此解答。 【详解】当正方形有10个时。 n＋1＝10 解：n＋1－1＝10－1 n＝9 4n＝4×9＝36（个） 分析可知，当正方形有10个时，三角形有36个。第n个图形时，正方形有（n＋1）个，三角形有4n个。 【例5】（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）下图是北京天坛圜丘坛的最上层图，最上层中心有一块圆形石板（叫天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板铺成第1环，又围绕第1环增加9块铺成第2环，这样向外每环依次增加9块。第5环有（ ）块扇面形石板铺成；圜丘坛最上层一共铺了9环，一共铺了（ ）块扇面形石板。 【答案】 45 405 【分析】由题意可知， 第一环有9块石板； 第二环有9×2＝18块石板； 第三环有9×3＝27块石板； …… 第n环有9×n＝9n块石板； 要求第5环有多少块石板，把n＝5代入9n即可； 要求铺了9环，一共铺了多少块扇面形石板，用加法一层层加即可解答。 【详解】第5环有：5×9＝45（块） 9＋9×2＋9×3＋9×4＋9×5＋9×6＋9×7＋9×8＋9×9 ＝9＋18＋27＋36＋45＋54＋63＋72＋81 ＝27＋27＋36＋45＋54＋63＋72＋81 ＝54＋36＋45＋54＋63＋72＋81 ＝90＋45＋54＋63＋72＋81 ＝135＋54＋63＋72＋81 ＝189＋63＋72＋81 ＝252＋72＋81 ＝324＋81 ＝405（块） 所以，第5环有45块扇面形石板铺成；圜丘坛最上层一共铺了9环，一共铺了405块扇面形石板。 【例6】（24-25六年级上·安徽宣城·期末）观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第9幅图中共有（ ）个●，第n幅图中共有（ ）个●。 【答案】 30 3n＋3 【分析】注意观察前三幅图形中圆点的个数可以发现分别为：6，9，12，后一个图形中的圆点个数比前一个图形中圆点多3，所以原点总数S与第n幅图之间的关系用字母表示为：S＝3（n＋1）＝3n＋3，据此解答即可。 【详解】第一幅图有6＝3×（1＋1）个圆点； 第二幅图有9＝3×（2＋1）个圆点； 第三幅图有12＝3×（3＋1）个圆点； 第四幅图有3×（4＋1）＝15个圆点； …… 第9幅图有3×（9＋1）＝30个圆点； …… 第n幅图有3（n＋1）＝（3n＋3）个圆点； 因此，第9幅图中共有30个●，第n幅图中共有（3n＋3）个●。 【练习1】（24-25六年级上·浙江嘉兴·期末）聪聪用小棒摆了4个树状图，以下是树状图变化的规律： （1）按此规律继续摆下去，第5个树状图要用（ ）根小棒。 （2）按此规律继续摆下去，第（ ）个树状图要用1023根小棒。 【答案】（1）31 （2）10 【分析】（1）看图可知，第1个图用（2－1）根小棒，第2个图用（2×2－1）根小棒，第3个图用（2×2×2－1）根小棒，第4个图用（2×2×2×2－1）根小棒，那么第5个图需要用（2×2×2×2×2－1）根小棒。 （2）根据（1）可知，第n个图需要（2n－1）根小棒。令2n－1＝1023，求出n，即可求出第几个树状图要用1023根小棒。 【详解】（1）2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（根） 所以第5个树状图要用31根小棒。 （2）2n－1＝1023，那么2n＝1024。 210＝1024，那么n＝10。 所以第10个树状图要用1023根小棒。 【练习2】（24-25六年级上·湖北十堰·期末）用同样大小的黑白两色正方形摆图形，如图所示，按照这样的规律摆第7个图形需要（ ）个白色正方形，摆n个图形需要（ ）个黑色正方形。 【答案】 22 3n＋2 【分析】仔细观察图形可以发现，每增加一个图形，白色正方形增加3个，第1个图形有4个白色正方形，第2个图形有（4＋3）个白色正方形，第3个图形有（4＋3×2）个白色正方形……第7个图形有（4＋3×6）个白色正方形；第一个图形有5个黑色正方形，每增加1个图形，黑色正方形增加3个，摆n个图形，增加（n－1）个图形，即摆n个图形需要[5＋3×（n－1）]个黑色正方形。据此解答。 【详解】由分析可知：摆第7个图形需要白色正方形： 4＋3×6 ＝4＋18 ＝22（个） 摆n个图形需要黑色正方形： 5＋3×（n－1） ＝5＋3n－3 ＝（3n＋2）个 所以摆第7个图形需要22个白色正方形，摆n个图形需要（3n＋2）个黑色正方形。 1．（24-25六年级上·湖北黄冈·期末）与1＋表示相同结果的算式是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方。如1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，以此类推。 【详解】先看算式的前半部分1＋3＋5＋7＋9＝52，后半部分5＋3＋1＝32，则与1＋表示相同结果的算式是52＋32。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第9个图形中的点数为（     ）。 A．25 B．29 C．33 D．37 【答案】C 【分析】由图可知，第1个图形中的点数为1，可表示为4×1－3； 第2个图形中的点数为5，可表示为4×2－3； 第3个图形中的点数为9，可表示为4×3－3； 第4个图形中的点数为13，可表示为4×4－3； 由此可推出，第n个图形中的点数为（4n－3）。据此解答。 【详解】分析可知，第n个图形中的点数为（4n－3）。 当n＝9时， 4n－3 ＝4×9－3 ＝36－3 ＝33 所以第9个图形中的点数为33。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，如果一个等边三角形的边长为1cm，第5个图形的周长是（     ）cm。 A．7 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】看图可知，第一个图形的周长是3，3＝1×（1＋2）；第二个图形的周长是4，4＝1×（2＋2）；第三个图形的周长＝5，5＝1×（3＋2）…由此可知，当有n个三角形时，图形周长＝边长×（n＋2） 【详解】1×（5＋2） ＝1×7 ＝7（cm） 第5个图形的周长是7cm。 故答案为：A 4．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（     ）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，第1幅图，阴影部分的面积等于1个边长是2r正方形面积－1个半径为r的圆的面积；面积＝4r2－πr2，可以写成：1×（4－π）r2； 第2幅图阴影部分面积等于1个边长为2r的正方形和－2个半径为r的圆的面积和；面积＝2×4r2－2×πr2，可以写成：2×（4－π）r2； 第3幅图阴影部分面积等于3个边长为2r的正方形面积和－3个半径为r的圆的面积和；面积＝3×4r2－3×πr2，可以写成：3×（4－π）r2； …… 由此可知，第n幅图阴影部分面积等于n个边长为2r的正方形面积和－n个半径为r的圆的面积和，即n×（4－π）r2，据此求出第10幅图阴影部分面积。 【详解】根据分析可知，第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2； 则第10幅图中阴影面积可以表示为10×（4－π）r2。 故答案为：D 5．（24-25六年级上·广东东莞·期末）照下图中的方法继续摆圆片，摆到第5个图案时，需要（     ）个圆片。 A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】C 【分析】第1个图案需要5个圆片，可以写成：3×1＋2； 第2个图案需要8个圆片，可以写成：3×2＋2； 第3个图案需要11个圆片，可以写成：3×3＋2； …… 由此可知，第n个图案需要（3n＋2）个圆片，据此求出第5个图案需要圆片的个数，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图案需要（3n＋2）个圆片； 第5个图案需要圆片： 3×5＋2 ＝15＋2 ＝17（个） 摆到第5个图案时，需要17个圆片。 故答案为：C 6．（24-25六年级上·四川成都·期末）按规律填数：1，，，，，（ ），（ ）。 【答案】 【分析】观察分数的分子与分母，可知分子的规律依次是：－1、－1、－1、－1……－1，分母的规律是、、、……，据此解答。 【详解】－1 ＝64－1 ＝63 ＝6×6＝36 －1 ＝128－1 ＝127 ＝7×7＝49 所以第6个数是，第7个数是。 7．（24-25六年级上·广东云浮·期末）如下图，按规律继续画下去，第（6）个图形共有（ ）个。 【答案】25 【分析】 从图中可知：每一个图形，中间对角线处，分别有2个、3个、4个、5个，即的个数＝序号＋1，第（6）个图形中间对角线处就有6＋1＝7个；第（1）个图形有2个，第（2）个图形有（1＋3＋1）个，第（3）个图形有（2＋4＋2）个，第（4）个图形有（1＋3＋5＋3＋1）个，据此第（6）个图形共有（1＋3＋5＋7＋5＋3＋1）个。再根据从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方。计算即可。 【详解】6＋1＝7（个） 1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7）＋（5＋3＋1） ＝42＋32 ＝16＋9 ＝25（个） 8．（24-25六年级上·湖南张家界·期末）11＋13＋15＋17＋…＋29＝（ ） （ ） 【答案】 200 【分析】（1）观察算式发现是从11到29的10个连续奇数相加，给这个算式补上前面缺的奇数之和（1＋3＋5＋7＋9），这样算式变成（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋…＋29）－（1＋3＋5＋7＋9），前面括号里是15个连续奇数相加，后面括号里是5个连续奇数相加；根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”，可知括号里15个连续奇数的和是152，括号里5个连续奇数的和是52，再相减，即是原式的计算结果。 （2）观察算式，发现规律：，，…，据此规律把算式进行简算。 【详解】（1）11＋13＋15＋17＋…＋29 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋…＋29）－（1＋3＋5＋7＋9） ＝152－52 ＝225－25 ＝200 （2）＋＋＋…＋ ＝（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－） ＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝1－ ＝ 9．（24-25六年级上·山东菏泽·期末）仔细观察下图的排列规律。 第10个图形有（ ）个顶点。 【答案】31 【分析】由图可知，第1个图形有4个顶点，第2个图形有（4＋3）个顶点，第3个图形有（4＋3×2）个顶点，第4个图形有（4＋3×3）个顶点……以此类推，每次增加3个顶点，那么第n个图形有[4＋3（n－1）]个顶点，最后求出n＝10时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】4＋3（n－1） ＝4＋3n－1×3 ＝4＋3n－3 ＝3n＋4－3 ＝（3n＋1）个 当n＝10时，3n＋1 ＝3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 所以，第10个图形有31个顶点。 10．（24-25六年级上·江西·期末）如图，按规律继续画下去，第9个图形共有（ ）个■，（ ）个□。 【答案】 81 40 【分析】观察前几个图形的总正方形数量和■的数量，来推导□的数量 第1个图形，总正方形的数量为：（3×3），■的数量为：（1×1），□的数量为：（3×3－1×1）； 第2个图形，总正方形的数量为：（4×4），■的数量为：（2×2），□的数量为：（4×4－2×2）； 第3个图形，总正方形的数量为：（5×5），■的数量为：（3×3），□的数量为：（5×5－3×3）； 第4个图形，总正方形的数量为：（6×6），■的数量为：（4×4），□的数量为：（6×6－4×4）； 第n个图形，总正方形的数量为：（n＋2）×（n＋2），■的数量为：（n×n），□的数量为：（n＋2）×（n＋2）－（n×n）。 【详解】根据分析：第n个图形，总正方形的数量为：（n＋2）×（n＋2），■的数量为：（n×n），□的数量为：（n＋2）×（n＋2）－（n×n） 当n＝9时，■的数量为：9×9＝81（个） □的数量为：（9＋2）×（9＋2）－（9×9） ＝11×11－81 ＝121－81 ＝40（个） 如图，按规律继续画下去，第9个图形共有81个■，40个□。 11．（24-25六年级上·湖北鄂州·期末）观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有（ ）个点，第（ ）幅图中有2025个点。 【答案】 33 674 【分析】观察图形可知，第1幅图中有6个点，第2幅图中有（6＋3）个点，第3幅图中有（6＋3×2）个点，依此类推....第n幅图中有[6＋3×（n－1） ]个点，据此规律解答。 【详解】由分析可知，第n幅图中有： 6＋3×（n－1） ＝6＋3n－3 ＝（3n＋3）（个） 当n＝10时，3n＋3＝3×10＋3＝33（个） 3n＋3＝2025 解：3n＋3－3＝2025－3 3n＝2022 3n÷3＝2022÷3 n＝674 第10幅图中有33个点，第674幅图中有2025个点。 12．（24-25六年级上·湖南株洲·期末），，，，…这一列数中的第15个数应该是（ ）。 【答案】 【分析】观察可知，分母依次是2、4、6、8…，即分母是从2开始的连续偶数，第n个数的分母应该是2n；分子依次是1、3、5、7…，即分子是从1开始的连续奇数，第n个数的分子是2n－1，据此解答。 【详解】分母：2×15＝30 分子：2×15－1 ＝30－1 ＝29 所以，，，，，…这一列数中的第15个数应该是。 13．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）观察图，用数和式表示图中棋子数。 照这样画下去，第6组图形中，黑棋数用算式表示为（ ），有（ ）个；第8组图形中，总棋数用算式表示为（ ），有（ ）个。 【答案】 （6＋1）×（6＋2）÷2 28 （8＋1）×（8＋2） 90 【分析】观察图形可知：第一个图形总棋数是（2×3）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（2×3）÷2； 第二个图形总棋子数是（3×4）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（3×4）÷2； 第三个图形总棋子数是（4×5）个，其中黑白棋子的数量相等，黑棋子数为（4×5）÷2； …… 由此可知：第n个图形总棋数是（n＋1）×（n＋2）个，黑棋子数为（n＋1）×（n＋2）÷2；据此解答。 【详解】（6＋1）×（6＋2）÷2 ＝7×8÷2 ＝56÷2 ＝28（个） （8＋1）×（8＋2） ＝9×10 ＝90（个） 照这样画下去，第6组图形中，黑棋数用算式表示为（6＋1）×（6＋2）÷2，有28个；第8组图形中，总棋数用算式表示为（8＋1）×（8＋2），有90个。 14．（24-25六年级上·北京房山·期末）有8个小队进行拔河比赛，每两个队之间要进行一场比赛。为了解决“一共要比赛多少场”的问题，奇思尝试用下面的方法找出其中的规律： （1）结合奇思的思考过程，计算5个队比赛场数的算式为（ ）。 （2）8个队一共要比赛（ ）场。 【答案】（1）1＋2＋3＋4＝10（场） （2）28 【分析】由图可知，比赛场数与球队数量的关系为：比赛场数等于从1开始依次加到（球队的数量－1），n个球队的比赛场数＝1＋2＋3＋4＋…＋（n－1），分别求出n＝5和n＝8时式子的值，据此解答。 【详解】（1）结合奇思的思考过程，计算5个队比赛场数的算式为1＋2＋3＋4＝10（场）。 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（场） 所以，8个队一共要比赛28场。 15．（24-25六年级上·河北衡水·期末）下图中，在A城市和B城市间，增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票。照此规律，增加3个站点，需要增加（ ）种单程票；增加5个站点需要增加（ ）种单程票。 【答案】 9 20 【分析】已知增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票，5＝2＋3；据此发现规律，增加n个站点，需要增加2＋3＋…＋（n＋1）种单程票，照此规律解答。 【详解】规律：增加n个站点，需要增加2＋3＋…＋（n＋1）种单程票。 当n＝3时，2＋3＋4＝9（种） 当n＝5时，2＋3＋4＋5＋6＝20（种） 照此规律，增加3个站点，需要增加（9）种单程票；增加5个站点需要增加（20）种单程票。 16．（24-25六年级上·山西长治·期末）用白色和黑色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有（ ）个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有（ ）个。 【答案】 25 90 【分析】第1个图形：圆形总数1＝12个，黑色圆形数1，白色圆形数0。 第2个图形：圆形总数4＝22个，黑色圆形数2，白色圆形数4－2＝2个。 第3个图形：圆形总数9＝32个，黑色圆形数3，白色圆形数9－3＝6个。 第4个图形：圆形总数16＝42个，黑色圆形数4，白色圆形数16－4＝12个。 由此可推出规律：第n个图形中，圆形总数为n2，黑色圆形数为n，白色圆形数为n2－n。根据规律，第5个图形中，圆形总数为52＝25个。当黑色圆形数n＝10时，根据白色圆形数公式n2－n，可得白色圆形数为102－10＝100－10＝90个。 【详解】由分析可知： 第n个图形中，圆形总数为n2个，黑色圆形数为n，白色圆形数为（n2－n）个。 n＝5 52＝25（个） n＝10 102－10 ＝100－10 ＝90（个） 第5个图形中，共有25个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有90个。 17．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是（ ），第四个数是（ ）。 【答案】 1 20 【分析】观察可知，第几行就有几个数，每行第一个数和最后一个数都是1，中间的任意一个数都等于该行上面一行相邻两个数的和，由此写出第7行的7个数，即可求得。 【详解】分析可知，第7行的数为1、6、15、20、15、6、1，则第一个数是1，第四个数是20。 18．（24-25六年级上·湖南永州·期末）同学们用小棒玩游戏，如图：搭第一个图形要8根小棒，搭第二个图形要15根小棒，照这样的方法，搭第6个图形要（ ）根小棒，搭第n个图形要（ ）根小棒。 【答案】 43 7n＋1/1＋7n 【分析】观察图形可知，搭第一个、第二个、第三个图形分别需要8根、15根、22根小棒，发现：每增加一个正八边形，小棒的数量增加7根，据此找到规律，并按规律解答。 【详解】搭第1个图形要8根小棒，8＝7×1＋1； 搭第2个图形要15根小棒，15＝7×2＋1； 搭第3个图形要22根小棒，22＝7×3＋1； …… 规律：搭第n个图形要小棒（7n＋1）根； 当n＝6时 7n＋1 ＝7×6＋1 ＝42＋1 ＝43（根） 照这样的方法，搭第6个图形要（43）根小棒，搭第n个图形要（7n＋1）根小棒。 19．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）数一数，填一填，做一做。 （1）图中各有多少个和？填一填。 序号 ① ② ③ ④ （2）照这样接着画下去，第6个图形中有多少个？请你试着算一算。 【答案】（1）表见详解 （2）21个 【分析】①图有1个， ②图有1＋2＝3（个）， ③图有1＋2＋3＝6（个）， ④图有1＋2＋3＋4＝10（个），…… 由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 ①图有1＋2＝3（个）△， ②图有1＋2＋3＝6（个）△， ③图有1＋2＋3＋4＝10（个）△， ④图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△，…… 由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。 据此解答。 【详解】（1）的个数： ①图：1个； ②图：1＋2＝3（个）； ③图：1＋2＋3＝6（个）； ④图：1＋2＋3＋4＝10（个）； △的个数： ①图：1＋2＝3（个）； ②图：1＋2＋3＝6（个）； ③图：1＋2＋3＋4＝10（个）； ④图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个）； 序号 ① ② ③ ④ 3 6 10 15 1 3 6 10 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个） 答：第6个图形中有21个。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学上册期末复习（人教版） 专题08：数学广角——数与形（期末复习知识清单） 知识点01：数与形结合的核心思想 1、本质：通过“图形直观呈现数量关系，数量描述图形特征”，将抽象的数字、算式与具体的几何图形结合，实现“以形助数、以数解形”，简化复杂问题。 2、核心价值： （1）以形助数：用图形的直观性理解抽象的数字规律； （2）以数解形：用数字、算式精准描述图形的变化规律。 知识点02：算式规律与图形的结合（以形助数） 1、连续奇数求和规律： （1）图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3 个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； （2）数量规律：1+3+5+…+(2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 2、分数裂项求和规律： （1）图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； （2）数量规律：。 3、平方数相关规律： （1）图形表现：大正方形边长为 (n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； （2）数量规律：(n+1)² - n²=2n+1。 【名师点拨】 （1）规律的适用范围：明确规律成立的条件（如连续奇数求和需“从1开始”，非从1开始需调整算式，如3+5+7=9-1=8=3²-1²）。 （2）项数的准确判断：如“1+3+5+7+9”中，项数n=5（用“(末项 + 1)÷2”计算），避免误将末项当作项数。 （3）分数裂项的图形理解：线段图分割时，需明确“每一段对应一个分数”，避免割裂图形与分数的对应关系。 知识点03：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 常见图形变化规律 【名师点拨】 （1）图形“关键量”的提取：关注与数字对应的核心特征（如正方形个数、小棒根数、面积/周长）。 （2）规律的验证：推导第n个图形的表达式后，用前3~4个已知图形验证，避免推导错误。 （3）复杂图形的分解：复合图形需分别找各部分的变化规律，再合并总规律。 知识点04：数与形的综合应用（解决实际问题） 1、解决数字规律问题：借助图形直观推导复杂算式结果。 2、解决图形计数问题：用数字规律快速计算图形个数。 3、解决实际情境问题：如“鸡兔同笼”、“植树问题”。 【名师点拨】解决问题时，既用图形辅助理解数量关系，又用数字算式验证图形规律，确保结果准确。 考点1：算式规律与图形的结合 【例1】（24-25六年级上·山西晋中·期末）明明是个善于观察，乐于思考的好孩子。他通过数形结合（如图），发现了求两个连续自然数平方差的规律。请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果：（ ）；（ ）。 【例2】（24-25六年级上·河南郑州·期末）在中国几千年的文明历程中，一直贯穿着我国人民对数学知识的探索和研究。明朝的《算法统宗》里讲述了一种“铺地锦”的乘法计算方法。图1～图3是计算75×26＝1950的方法，图4是用“铺地锦”的方法计算42×38的过程，括号里应填的数是（ ）。 【例3】（24-25六年级上·河南开封·期末）如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用了（     ）根小棒。 A．324 B．144 C．160 D．128 【练习1】（24-25六年级上·湖北黄冈·期末）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”（如图）。根据上述规律，第七行正中间的数是（ ）。 【练习2】（24-25六年级上·河南焦作·期末）观察下面图形的规律，第9个框里有（ ）个点。 考点2：图形变化规律与数字的结合 【例4】（24-25六年级上·湖南株洲·期末）仔细观察图中正方形和直角三角形的个数有什么关系，再填空。 图形序号 ① ② ③ … 正方形个数 2 3 4 … 直角三角形个数 4 8 12 … 当正方形有10个时，三角形有（ ）个。第n个图形时，正方形有（ ）个，三角形有（ ）个。 【例5】（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）下图是北京天坛圜丘坛的最上层图，最上层中心有一块圆形石板（叫天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板铺成第1环，又围绕第1环增加9块铺成第2环，这样向外每环依次增加9块。第5环有（ ）块扇面形石板铺成；圜丘坛最上层一共铺了9环，一共铺了（ ）块扇面形石板。 【例6】（24-25六年级上·安徽宣城·期末）观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第9幅图中共有（ ）个●，第n幅图中共有（ ）个●。 【练习1】（24-25六年级上·浙江嘉兴·期末）聪聪用小棒摆了4个树状图，以下是树状图变化的规律： （1）按此规律继续摆下去，第5个树状图要用（ ）根小棒。 （2）按此规律继续摆下去，第（ ）个树状图要用1023根小棒。 【练习2】（24-25六年级上·湖北十堰·期末）用同样大小的黑白两色正方形摆图形，如图所示，按照这样的规律摆第7个图形需要（ ）个白色正方形，摆n个图形需要（ ）个黑色正方形。 1．（24-25六年级上·湖北黄冈·期末）与1＋表示相同结果的算式是（     ）。 A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第9个图形中的点数为（     ）。 A．25 B．29 C．33 D．37 3．（24-25六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，如果一个等边三角形的边长为1cm，第5个图形的周长是（     ）cm。 A．7 B．11 C．12 D．15 4．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（     ）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 5．（24-25六年级上·广东东莞·期末）照下图中的方法继续摆圆片，摆到第5个图案时，需要（     ）个圆片。 A．11 B．14 C．17 D．20 6．（24-25六年级上·四川成都·期末）按规律填数：1，，，，，（ ），（ ）。 7．（24-25六年级上·广东云浮·期末）如下图，按规律继续画下去，第（6）个图形共有（ ）个。 8．（24-25六年级上·湖南张家界·期末）11＋13＋15＋17＋…＋29＝（ ） （ ） 9．（24-25六年级上·山东菏泽·期末）仔细观察下图的排列规律。 第10个图形有（ ）个顶点。 10．（24-25六年级上·江西·期末）如图，按规律继续画下去，第9个图形共有（ ）个■，（ ）个□。 11．（24-25六年级上·湖北鄂州·期末）观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有（ ）个点，第（ ）幅图中有2025个点。 12．（24-25六年级上·湖南株洲·期末），，，，…这一列数中的第15个数应该是（ ）。 13．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）观察图，用数和式表示图中棋子数。 照这样画下去，第6组图形中，黑棋数用算式表示为（ ），有（ ）个；第8组图形中，总棋数用算式表示为（ ），有（ ）个。 14．（24-25六年级上·北京房山·期末）有8个小队进行拔河比赛，每两个队之间要进行一场比赛。为了解决“一共要比赛多少场”的问题，奇思尝试用下面的方法找出其中的规律： （1）结合奇思的思考过程，计算5个队比赛场数的算式为（ ）。 （2）8个队一共要比赛（ ）场。 15．（24-25六年级上·河北衡水·期末）下图中，在A城市和B城市间，增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票。照此规律，增加3个站点，需要增加（ ）种单程票；增加5个站点需要增加（ ）种单程票。 16．（24-25六年级上·山西长治·期末）用白色和黑色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有（ ）个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有（ ）个。 17．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是（ ），第四个数是（ ）。 18．（24-25六年级上·湖南永州·期末）同学们用小棒玩游戏，如图：搭第一个图形要8根小棒，搭第二个图形要15根小棒，照这样的方法，搭第6个图形要（ ）根小棒，搭第n个图形要（ ）根小棒。 19．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）数一数，填一填，做一做。 （1）图中各有多少个和？填一填。 序号 ① ② ③ ④ （2）照这样接着画下去，第6个图形中有多少个？请你试着算一算。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $