专项提升17：数学广角——数与形（2大考点）（考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练）六年级数学上册（人教版）

该小学数学讲义通过框架图和表格系统梳理“数学广角——数与形”单元知识，围绕“以形助数”“以数解形”两大考点构建体系，包含核心思路四步法、连续奇数求和等常见规律及公式，清晰呈现“数”与“形”的内在联系，突出规律推导与验证等重难点。 讲义亮点在于递进式练习设计，典型例题如“2+4+6+8=（ ）×（ ）”通过图形与算式对应培养几何直观和推理意识，配套变式训练与分层习题（选择、填空、解答），帮助基础学生掌握方法，优秀学生提升应用能力，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

【专项提升】2025-2026学年人教版六年级数学上册 第八单元、数学广角——数与形 专项提升17：数学广角——数与形 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：算式规律与图形的结合（以形助数） 考点02：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 知识点01：算式规律与图形的结合（以形助数） 1、考点解读​：核心是借助图形的直观特征，发现并验证抽象的算式规律，将复杂的数字运算转化为图形的计数或拼接问题，降低理解难度。常见于等差数列求和、平方数规律、分数拆分等算式，是“形”对“数”的支撑作用。 2、核心思路​ （1）观察图形的构成：分析图形是由几个部分组成、如何拼接（如小正方形的层数、线段的段数）；​ （2）对应算式的结构：将图形的“个数”“层数”“长度”与算式中的数字、项数对应；​ （3）推导规律：通过图形的变化，发现算式的递推关系或最终结果；​ （4）验证规律：用更大的图形或更多项的算式验证规律的通用性。​ 3、常见规律与计算公式 （1）连续奇数求和规律 ①图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； ②数量规律：1+3+5+…+（2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 （2）分数裂项求和规律 ①图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； ②数量规律：。 （3）平方数相关规律 ①图形表现：大正方形边长为 （n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； ②数量规律：（n+1)² - n²=2n+1。 知识点02：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 1、考点解读​：核心是借助数字的规律或运算，分析图形的变化特征，预测图形的个数、形状、面积等，将直观的图形问题转化为抽象的数字运算，体现“数”对“形”的解释作用。常见于图形的排列、拼接、生长类问题。 2、核心思路​ （1）给图形“编号”：按顺序给每个图形标上序号；​ （2）提取数字信息：统计每个图形的关键数据；​ （3）找数字规律：分析数据与序号的关系；​ （4）验证与应用：用序号n代入规律，预测未知图形的数据。 3、常见图形变化规律 考点01：算式规律与图形的结合（以形助数） 【典型例题】探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … （1）观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝（ ）×（ ） （2）若按此规律继续摆，则序号为（ ）的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有（ ）个小圆片。 【答案】（1） 4 5 （2） 11 n（n＋1） 【分析】序号1：2，1个偶数； 序号2：2＋4，2个偶数； 序号3：2＋4＋6，3个偶数； …… 序号几就是几个连续偶数相加。 2＝1×2， 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 …… 结果＝序号几就用几×（几＋1）。 因此，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。 【详解】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）132＝11×12 若按此规律继续摆，则序号为11的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。 【变式训练1】 …… 第5个点阵有（     ）个点。 A．16 B．18 C．21 【答案】B 【分析】观察可知，点阵有3行，下边1行比上边1行多1个点，第几个点阵就从几开始依次3个数相加，据此分析。 【详解】5＋6＋7＝18（个） 第5个点阵有18个点。 故答案为：B 【变式训练2】下列图形都是由完全一样的小正方形按一定的规律组成的，按此规律，第8个图形中小正方形的个数为（     ）个。 A．44 B．38 C．35 【答案】A 【分析】观察图形可知，第一个图形有2个小正方形，第二个图形有2＋3个小正方形，第三个图形有2＋3＋4个小正方形，第四个图形有2＋3＋4＋5个小正方形，以此类推，第八个图形中小正方形的个数为2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9个。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 第八个图形中小正方形的个数为： 2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6） ＝11＋11＋11＋11 ＝11×4 ＝44（个） 故答案为：A 考点02：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 【典型例题】为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 （1）按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要（ ）根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（ ）根火柴棒。 （2）如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备（ ）根火柴棒。 （3）准备88根火柴棒最多能摆（ ）条这样的“金鱼”。 【答案】（1） 38 6n＋2 （2）200 （3）14 【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。 （2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。 （3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。 【详解】（1）8＋（6－1）×6 ＝8＋5×6 ＝8＋30 ＝38（根） 8＋（n－1）×6 ＝8＋（6n－6） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）根 按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。 （2）当n＝8时， 6n＋2 ＝6×8＋2 ＝48＋2 ＝50（根） 50×4＝200（根） 如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。 （3）（88－2）÷6 ＝86÷6 ≈14（条） 准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。 【变式训练1】如图，淘气把若干个完全一样的梯形拼起来，当拼成图形的周长是100厘米时，共需要（ ）个这样的梯形。（单位：厘米） ​ 【答案】24 【分析】一个梯形的周长是：1＋2＋3＋2＝8（厘米）；两个梯形的周长是：（1＋2＋3＋2）＋（1＋3）＝8＋4＝12（厘米）；三个梯形的周长是：（1＋2＋3＋2）＋（1＋3）＋（1＋3）＝8＋4＋4＝12＋4＝16（厘米）；四个梯形的周长是：（1＋2＋3＋2）＋（1＋3）＋（1＋3）＋（1＋3）＝8＋4＋4＋4＝12＋4＋4＝16＋4＝20（厘米）；则：12－8＝4（厘米），16－12＝4（厘米），20－16＝4（厘米），每增加一个梯形，周长增加1＋3＝4（厘米），则第n个图形的周长＝8＋4×（n－1）＝4n＋4，将周长是100厘米代入到式子里，从而求出n为多少即可。 【详解】根据分析可得： 一个梯形的周长是：1＋2＋3＋2＝8（厘米） …… 每增加一个梯形，周长增加：1＋3＝4（厘米） 所以n个梯形的周长是：8＋4×（n－1） ＝8＋4n－4 ＝4n＋4 当周长等于100厘米时， 4n＋4＝100 4n＝100－4 4n＝96 n＝96÷4 n＝24 当拼成图形的周长是100厘米时，共需要24个梯形。 【变式训练2】如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2014这个数在第（     ）个三角形的（     ）顶点处。 A．223，上 B．672，左下 C．672，右下 D．672，上 【答案】D 【分析】由图可知，每个正三角形三个顶点处是三个连续的自然数，从1开始，按上、左下、右下的顺序往下，把三个连续自然数看作一个周期，用2014除以3得到三角形的个数，如果商是整数且没有余数，那么商是三角形的个数；如果商是整数并且有余数，那么（商＋1）是三角形的个数，余数是几，就按照上、左下、右下的顺序数出对应的顶点，据此解答。 【详解】2014÷3＝671……1 671＋1＝672（个） 那么2014这个数在第672个三角形的上顶点处。 故答案为：D 一、选择题 1．某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图所示：    按照上面的规律，n张桌子能坐（     ）人。 A． B． C． 【答案】C 【分析】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，推出④可以坐18人，即18＝4×4＋2，⑤可以坐22人，即22＝4×5＋2，⋯⋯；可得出规律：可以坐的人数＝桌子张数×4＋2，据此可得出答案。 【详解】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，按照规律，n张桌子能坐的人数为：。 故答案为：C 2．用木杆搭建围栏。按照下面的规律搭下去，第⑦幅图用（     ）根木杆。 ……   A．26 B．28 C．30 【答案】C 【分析】看图，每幅图都是在上一幅图的基础上增加4根木杆。第①幅图用2＋4×1＝6（根）木杆，第②幅图用2＋4×2＝10（根）木杆，第③幅图用2＋4×3＝14（根）木杆。据此类推，那么第⑦幅图需要用（2＋4×7）根木杆。 【详解】2＋4×7 ＝2＋28 ＝30（根） 所以，第⑦幅图用30根木杆。 故答案为：C 3．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（     ）个点。    A．29 B．31 C．33 【答案】A 【分析】根据图示，第1个方框中的点为：1个；第2个方框中的点为：1＋4＝5（个）；第3个方框中的点为：1＋4＋4＝9（个）；第4个方框中的点为：1＋4＋4＋4＝12（个）；则第n个方框中的点为：1＋4（n－1）＝（4n－3）个。据此解答。 【详解】第⑧个方框里应画的点数为： 4n－3＝4×8－3 ＝32－3 ＝29（个） 则第⑧个方框里应画29个点。 故答案为：A 4．古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列的绳子上打结，按“满五进一”来计数。如：图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，则图如②中表示的数是（     ）。 图①                图② A．45 B．89 C．113 【答案】B 【分析】根据题意可知，图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，左边结绳表示25，有1个；中间结绳表示5，有1个，右边结绳表示1，有2个；由此可知，图②中，左边有结绳有3个，表示25×3，中间有2个结绳，表示5×2，右边有4个结绳，表示1×4，据此解答。 【详解】根据分析可知，图②表示的数是： 25×3＋5×2＋1×4 ＝75＋10＋4 ＝85＋4 ＝89 则图②中表示的数是89。 故答案为：B 5．华华用棋子摆放图形来研究数的规律。图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12…称为三角形数。图2中的4，8，12，16……称为正方形数。下列数中，既是三角形数又是正方形数的是（     ）。 A．2016 B．2020 C．2022 【答案】A 【分析】观察图1、图2可知，图1中棋子围成三角形，其颗数为3，3×2，3×3，3×4，…，图2中棋子围成正方形，其颗数为4，4×1，4×2，4×3，4×4，…，第n个三角形的颗数为3n，第m个正方形的颗数为4m，所以三角形数是3的倍数，正方形数是4的倍数，据此判断每个选项即可。 【详解】观察分析可知，三角形数是3的倍数，正方形数是4的倍数， A．2016÷3＝672 2016÷4＝504 B．2020÷3＝673……1 2020÷4＝505 C．2022÷3＝674 2022÷4＝505……2 既是三角形数又是正方形数的是2016。 故答案为：A 6．如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，请根据此规律，计算出m的值是（ ）。 A．86 B．74 C．52 【答案】A 【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积加左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数。因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是8，右上是10；然后求出m的值即可。 【详解】第四图左下角的数是：6＋2＝8； 右上角的数是：8＋2＝10； 那么右下角的数m就是：10×8＋6＝86 故答案为：A。 二、填空题 7．观察下面的点子图，第9个方框里有（ ）个点，第18个方框里有（ ）个点，第n个方框里有（ ）个点。 【答案】 33 69 4n－3 【分析】观察图形可知，第一个方框有1个点，第二个方框有（1＋4）个点，第三个方框有（1＋2×4）个点，第四个方框有（1＋3×4）个点，依次类推，则第n个方框就是1＋4×（n－1）＝（4n－3）个点，据此即可解答。 【详解】第9个方框里黑点的个数为： 4n－3＝4×9－3 ＝36－3 ＝33（个） 第18个方框里黑点的个数为： 4n－3＝4×18－3 ＝72－3 ＝69（个） 1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4 ＝（4n－3）个 则第9个方框里有33个点，第18个方框里有69个点，第n个方框里有（4n－3）个点。 8．如下图，用同样大小的白色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第30个图案需棋子（ ）枚。 【答案】92 【分析】观察图形可知，第1个图案有2＋3×1＝5枚，第2个图案有2＋3×2＝8枚，第3个图案有2＋3×3＝11枚，则第n个图形需要棋子（2＋3n）枚。 【详解】由分析可知： 第30个图案需棋子： 2＋3n ＝2＋3×30 ＝2＋90 ＝92（枚） 则第30个图案需棋子92枚。 9．按照下图规律，第6个图形有（ ）个小三角形，是由（ ）条线段组成的；第n个图形是由（ ）条线段组成的；如果小三角形的边长为1厘米，那么第12个图形的周长是（ ）厘米。 【答案】 6 13 2n＋1 14 【分析】（1）根据图示，图形之间相差1个三角形，那么到了第几个图形就有几个小三角形。 （2）根据图示，一个三角形是由3条线段组成的，第2个图形，由6条线段组成，有1条边重叠了，在原有线段上减1，即为6－1＝5，第3个图形，有9条线段，但有2条边重叠了，在原线段的基础上减2，即为9－2＝7，第四个图形，共有12条线段，有3条边重叠，则为12－3＝9，以此类推，图形每增加一个，重叠线段的数量就在原有的基础上加1，以此类推，第6个图形，共有18条线段，有5条线段重叠，18－5＝13，据此解答。 （3）根据图示： 第一个图形有3条线段。 第二个图形比第一个图形多了2条线段，共有3＋2＝5条线段。 第三个图形比第二个图形又多了2条线段，共有5＋2＝7条线段。 以此类推，第n个图形比第1个图形多了2条线段。 所以第n个图形的线段数为：3＋2（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋1 第n个图形是由（ 2n＋1）条线段组成。 （4）每个小三角形的边长为1厘米。 第一个图形是1个三角形，周长为1×3＝3厘米； 第二个图形是2个三角形，因为有1条边重叠，所以周长为2×3－1×2＝6－2＝4（厘米）； 第三个图形是3个三角形，因为有2条边重叠，所以周长为3×3－2×2＝9－4＝5（厘米）； 以此类推，第n个图形是n个三角形，因为有（n－1）条边重叠，所以周长为n×3－（n－1）×2，将数值代入公式计算即可。. 【详解】（1）按照下图规律，第6个图形有6个小三角形； （2）第6个图形，共有18条线段，有5条线段重叠，18－5＝13，是由13条线段组成的； （3）第n个图形的线段数为：3＋2（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋1 （4）12×3－（12－1）×2 ＝36－11×2 ＝36－22 ＝14（厘米） 第12个图形的周长是14厘米。 10．观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有（ ）个三角形，第n个图形中有（ ）个三角形。 【答案】 65 【分析】通过观察图，可得出规律： 第1个图形有三角形：1×1＋1＝1＋1＝2（个）， 第2个图形有三角形：2×2＋1＝4＋1＝5（个）， 第3个图形有三角形：3×3＋1＝9＋1＝10（个）， 第4个图形有三角形：4×4＋1＝16＋1＝17（个）， 第n个图形有三角形：n×n＋1＝（n²＋1）个。 【详解】由分析可得： 第8个图形有三角形：8×8＋1＝64＋1＝65（个） 故第8个图形中有65个三角形，第n个图形中有（n2＋1）个三角形。 11．如图是由1cm2的小正方形组成的一些正方形，观察前4个的变化规律，并找出其中面积是4cm2的正方形的个数，猜想第5、第9个正方形里面包含的面积是4cm2的正方形的个数。    （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 【答案】 1 4 9 16 25 81 【分析】每一个小正方形是1平方厘米，所以4平方厘米的正方形就是有4个小正方形组成的正方形。（1）观察可知有1个；（2）有2×2＝4（个）；（3）有3×3＝9（个）；（4）有4×4＝16（个）；由此可以找出规律为第几个正方形就是几乘几。则第5个正方形里有5×5＝25（个）第9个正方形里面有9×9＝81（个），据此解答即可。 【详解】分析解答如下：    12．方方用小棒摆图形，形状如下。照这样摆下去，第n个图形要用（ ）根小棒，摆第10个图形要用（ ）根小棒。 【答案】 1＋5n/5n＋1 51 【分析】通过观察发现：摆1个六边形小棒的根数是6根，6＝1＋5；摆2个六边形小棒的根数是11根，11＝1＋5×2；摆3个六边形小棒的根数是16根，16＝1＋5×3……此发现规律：摆第几个图形需要的小棒的根数就是1加上5乘几，即摆第n个图形需要（1＋5n）根小棒。 【详解】由分析可得：第n个图形需要（1＋5n）根小棒。 当n＝10时， 1＋5×10 ＝1＋50 ＝51（根） 第n个图形要用（（1＋5n））根小棒，摆第10个图形要用51根小棒。 13．根据下图中的规律，括号里应该填（ ）。 2层                     3层               4层                       6层                                                           （     ） 【答案】 【分析】由图可知，分数的分母表示三角形的总数，分子表示阴影三角形的总数。第1个图中共有（2×2＝4）个小三角形，阴影的三角形有3个，阴影三角形占三角形总数的；第2个图中共有（3×3＝9）个小三角形，阴影的三角形有5个，阴影三角形占三角形总数的；第3个图中共有（4×4＝16）个小三角形，阴影的三角形有7个，阴影三角形占三角形总数的；由此可知第4个图中共有（5×5＝25）个小三角形，阴影的三角形有7＋2＝9个，阴影三角形占三角形总数的，……，据此再用同样的方法写出分数。 【详解】6×6＝36 9＋2＝11 所以用分数表示是，括号里应该填。 14．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。 【答案】458 【分析】观察可得，右上角的数＝左上角的数＋4，左下角的数＝左上角的数＋2，左下角的数×右上角的数＋左上角的数＝右下角的数，据此先确定最后一个正方形左下角和右上角的数，再求出m的值。 【详解】18＋4＝22 18＋2＝20 20×22＋18 ＝440＋18 ＝458 则m的值是458。 15．观察下面图形，找出规律。 …… 依照此规律，第10个图形中共有（ ）个★，第（ ）个图形里有97个★。 【答案】 31 32 【分析】观察图形可知： 第1个图形有4个★，4＝3×1＋1； 第2个图形有7个★，7＝3×2＋1； 第3个图形有10个★，10＝3×3＋1； 第4个图形有13个★，13＝3×4＋1； …… 规律：第n个图形有（3n＋1）个★，按此规律解答。 【详解】规律：第n个图形有（3n＋1）个★。 当n＝10时 3n＋1 ＝3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 3n＋1＝97 解：3n＝97－1 3n＝96 n＝96÷3 n＝32 依照此规律，第10个图形中共有31个★，第32个图形里有97个★。 16． 看图填表。 正方形个数 1 2 3 4 …… n …… 小棒的根数 4 7 （     ） （     ） …… （     ） …… 【答案】10；13；3n＋1 【分析】根据图观察：第1图是4个，第2图加了3个，第3图又比第2图多了3个，每多画一个正方形就多加3个，则第n个图3n＋1。 【详解】第1图：3＋1＝4 第2图：3×2＋1＝7（个） 第3图：3×3＋1＝10（个） 第4图：3×4＋1＝13（个） 依此类推：则第n个图（3n＋1）个小棒。 正方形个数 1 2 3 4 …… n …… 小棒的根数 4 7 （10 ） （13 ） …… （3n＋1） …… 17．如图，照这样排列，第5幅图有（ ）块白色六边形；第（ ）幅图有30块白色六边形。 【答案】 22 7 【分析】观察图形发现，第一个图案有白色瓷砖6块，蓝色瓷砖1块，后边每多一个图案，则多4块白色瓷砖，蓝色瓷砖则多1块，根据这个规律，可确定第n幅图中有蓝色瓷砖：n块；有白色瓷砖：4n＋2块；据此解答。 【详解】4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（块） （30－2）÷4 ＝28÷4 ＝7（幅） 第5幅图有22块白色六边形；第7幅图有30块白色六边形。 18．如下图：一张桌子可以坐8人，那么四张桌子可以坐（ ）人，n张桌子可以坐（ ）人。 【答案】 20 4＋4n 【分析】题中如图摆放桌子有以下规律：1张桌子可以坐8个人，2张桌子可以坐（8＋4）人，3张桌子可以坐（8＋4＋4）人……多一张桌子多坐4人，以此类推，n张桌子可以坐8＋4（n－1）人，据此答题即可。 【详解】由分析可得： 1张桌子坐8人， 2张桌子可以坐（8＋4）人， 3张桌子可以坐（8＋4＋4）人， 则n张桌子可以坐人数： 8＋4（n－1） ＝8＋4n－4 ＝（4＋4n）人 当n＝4时， 4＋4×4 ＝4＋16 ＝20（人） 综上所述：一张桌子可以坐8人，那么四张桌子可以坐20人，n张桌子可以坐4＋4n人。 19．如图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第6个图形需要（ ）个黑色正方形，摆第n个图形需要（ ）个白正方形。 【答案】 19 （3n＋2）/（2＋3n） 【分析】如图，红色框内有3个黑正方形和3个白正方形，那么每个图形都可以看作由n个这样的红框再加上1个黑正方形2个白正方形组成，据此解答。 【详解】图1：黑正方形个数是3×1＋1，白正方形个数是3×1＋2； 图2：黑正方形个数是3×2＋1，白正方形个数是3×2＋2； 图3：黑正方形个数是3×3＋1，白正方形个数是3×3＋2； …… 图n：黑正方形个数是3n＋1，白正方形个数是3n＋2。 第6个图的黑正方形： 3×6＋1 ＝18＋1 ＝19（个） 第n个图的白正方形：（3n＋2）个 因此，摆第6个图形需要19个黑正方形。摆第n个图形需要（3n＋2）个白正方形。 20．下面是一组有规律的图案，第一个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第n个图案由（ ）个基本图形组成，第（ ）个图案由61个基本图形组成。         …… 【答案】 3n＋1/1＋3n 20 【分析】因为第一个图形由4个基本图形组成。即：3×1＋1，第二个图形由7个基本图形组成，即：3×2＋1，第三个图形由10个基本图形组成，即：3×3＋1，所以基本图形的个数与图形的数量的关系：3n＋1（n为图形的数量）﹔所以把相应的数量代入以上的关系式，从而求得基本图形的个数和是第多少个图案的解。 【详解】由分析可得：第n个图案由（3n＋1）个基本图形组成， 3n＋1＝61 3n＋1－1＝61－1 3n＝60 3n÷3＝60÷3 n＝20 第20个图案由61个基本图形组成。 21．（图形找规律）观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（ ）个。 【答案】121 【分析】用n表示第几个三角形时， 当n＝1时，白色的三角形有1个； 当n＝2时，白色的三角形有（1＋3＝4）个； 当n＝3时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＝13）个 观察发现： 当n＝4时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＋3×3×3＝40）个； 当n＝5时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＋3×3×3＋3×3×3×3＝121）个； 【详解】据分析： 1＋3＋3×3＋3×3×3＋3×3×3×3 ＝1＋3＋9＋27＋81 ＝121（个） 所以第5个三角形中白色的三角形为121个。 三、解答题 22．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 【答案】77个；第50个图形 【分析】观察图形可知，第①个图形有4×1－3＝4－3＝1个三角形，第②个图形有4×2－3＝8－3＝5个小三角形，第③个图形有4×3－3＝12－3＝9个小三角形，……，则第n个图形有4×n－3＝4n－3个三角形，据此规律进行解答即可。 【详解】第n个图形有三角形：4×n－3＝4n－3（个） 当n＝20时，4n－3＝4×20－3＝80－3＝77 当4n－3＝197，则： 4n－3＋3＝197＋3 4n＝200 4n÷4＝200÷4 n＝50 答：第20个图形有77个三角形，第50个图形里有197个三角形。 23．学校一年一度的艺术节即将开幕，五（2）班的节目是一个团体操表演。在排练时，同学们排成了下面的队形。廖老师觉得阵容不够大，所以她决定再增加一些人参加团体操表演，但是要保持队伍形状不变，至少应该增加多少人？ 【答案】9人 【分析】观察队形可知，原来的队形第一排有1人，第二排有2人，……，总人数是1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝4×4＝16（人），要保持队形不变，人数增加最少，第五排应有5人，总人数可以变成1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝5×5＝25（人），增加人数就是25－16＝9（人）。 【详解】1＋2＋3＋4＋3＋2＋1 ＝4×4 ＝16（人） 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1 ＝5×5 ＝25（人） 25－16＝9（人） 答：至少应该增加9人。 24．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 【答案】31 【分析】由可知三角形表示2，圆表示3，正方形表示1。又由这些图案下面的数字可以发现图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字。根据发现的关系可知图案中，里面是圆，表示前面的数字是3，外面是正方形表示后面的数字是1；据此解答。 【详解】 通过分析可知，三角形表示2，圆表示3，正方形表示1， 图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字，所以表示31。 25．观察下图，按要求完成下列各题。 （1）这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。 （2）按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？ （3）仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。 （4）根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。 【答案】（1）1个；3个；6个；10个； （2）21个；45个； （3）见详解；（1＋2＋3＋4＋…＋n）个； （4）55个 【分析】从图中可知： （1）有1个三角形； 有2个小三角形和1个大三角形，一共是2＋1＝3（个）三角形； 有3个小三角形，相邻2个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有3＋2＋1＝6（个）三角形； 有4个小三角形，相邻2个小三角形组成3个三角形，相邻3个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（个）三角形； （2）按照这种规律画下去， 第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） （3）由此得出规律：若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）数出单个小三角形的个数，再按规律计算即可。 【详解】（1）1个 2＋1＝3（个） 3＋2＋1＝6（个） 4＋3＋2＋1＝10（个） 答：第1个图形有1个三角形；第2个图形有3个三角形；第3个图形有6个三角形；第4个图形有10个三角形。 （2）第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） 答：第6个图形有21个三角形；第9个图形有45个三角形； （3）答：我发现图中有几个小三角形就从1开始依次加到n。若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 答：图中一共有55个三角形。 26．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。 （1）小正方形的个数分别是（ ）、（ ）、（ ）… （2）大正方形的周长分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米… （3）根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有（ ）个，这个图形的周长是（ ）厘米；第9个图形中的小正方形有（ ）个，这个图形的周长是（ ）厘米。 【答案】（1） 1 4 9 （2） 4 8 12 （3） 25 20 81 36 【分析】（1）根据题中图形排列规律： 第1个图形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（个）； 第2个图形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（个）； 第3个图形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（个）； 则第n个图形是n行n列，有小正方形：n×n＝n²（个）。 （2）通过观察可知： 第1个图形边长为1厘米，周长：1×4＝4（厘米）； 第2个图形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）； 第3个图形边长为3厘米，周长：3×4＝12（厘米）； 则第n个图形边长为n厘米，周长：n×4＝4n（厘米）。 （3）通过（1）（2）发现的规律，代入数据计算，即可解答。 【详解】（1）由分析可得：小正方形的个数分别是1、4、9… （2）由分析可得：大正方形的周长分别是4厘米、8厘米、12厘米… （3）由分析（1）（2）可得： 5×5＝25（个） 4×5＝20（厘米） 9×9＝81（个） 4×9＝36（厘米） 即第5个图形中的小正方形有25个，这个图形的周长是20厘米；第9个图形中的小正方形有81个，这个图形的周长是36厘米。 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【专项提升】2025-2026学年人教版六年级数学上册 第八单元、数学广角——数与形 专项提升17：数学广角——数与形 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：算式规律与图形的结合（以形助数） 考点02：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 知识点01：算式规律与图形的结合（以形助数） 1、考点解读​：核心是借助图形的直观特征，发现并验证抽象的算式规律，将复杂的数字运算转化为图形的计数或拼接问题，降低理解难度。常见于等差数列求和、平方数规律、分数拆分等算式，是“形”对“数”的支撑作用。 2、核心思路​ （1）观察图形的构成：分析图形是由几个部分组成、如何拼接（如小正方形的层数、线段的段数）；​ （2）对应算式的结构：将图形的“个数”“层数”“长度”与算式中的数字、项数对应；​ （3）推导规律：通过图形的变化，发现算式的递推关系或最终结果；​ （4）验证规律：用更大的图形或更多项的算式验证规律的通用性。​ 3、常见规律与计算公式 （1）连续奇数求和规律 ①图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； ②数量规律：1+3+5+…+（2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 （2）分数裂项求和规律 ①图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； ②数量规律：。 （3）平方数相关规律 ①图形表现：大正方形边长为 （n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； ②数量规律：（n+1)² - n²=2n+1。 知识点02：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 1、考点解读​：核心是借助数字的规律或运算，分析图形的变化特征，预测图形的个数、形状、面积等，将直观的图形问题转化为抽象的数字运算，体现“数”对“形”的解释作用。常见于图形的排列、拼接、生长类问题。 2、核心思路​ （1）给图形“编号”：按顺序给每个图形标上序号；​ （2）提取数字信息：统计每个图形的关键数据；​ （3）找数字规律：分析数据与序号的关系；​ （4）验证与应用：用序号n代入规律，预测未知图形的数据。 3、常见图形变化规律 考点01：算式规律与图形的结合（以形助数） 【典型例题】探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … （1）观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝（ ）×（ ） （2）若按此规律继续摆，则序号为（ ）的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有（ ）个小圆片。 【变式训练1】 …… 第5个点阵有（     ）个点。 A．16 B．18 C．21 【变式训练2】下列图形都是由完全一样的小正方形按一定的规律组成的，按此规律，第8个图形中小正方形的个数为（     ）个。 A．44 B．38 C．35 考点02：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 【典型例题】为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 （1）按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要（ ）根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（ ）根火柴棒。 （2）如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备（ ）根火柴棒。 （3）准备88根火柴棒最多能摆（ ）条这样的“金鱼”。 【变式训练1】如图，淘气把若干个完全一样的梯形拼起来，当拼成图形的周长是100厘米时，共需要（ ）个这样的梯形。（单位：厘米） ​ 【变式训练2】如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2014这个数在第（     ）个三角形的（     ）顶点处。 A．223，上 B．672，左下 C．672，右下 D．672，上 一、选择题 1．某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图所示：    按照上面的规律，n张桌子能坐（     ）人。 A． B． C． 2．用木杆搭建围栏。按照下面的规律搭下去，第⑦幅图用（     ）根木杆。 ……   A．26 B．28 C．30 3．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（     ）个点。    A．29 B．31 C．33 4．古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列的绳子上打结，按“满五进一”来计数。如：图①中表示的数是：25×1＋5×1＋1×2＝32，则图如②中表示的数是（     ）。 图①                图② A．45 B．89 C．113 5．华华用棋子摆放图形来研究数的规律。图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12…称为三角形数。图2中的4，8，12，16……称为正方形数。下列数中，既是三角形数又是正方形数的是（     ）。 A．2016 B．2020 C．2022 6．如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，请根据此规律，计算出m的值是（ ）。 A．86 B．74 C．52 二、填空题 7．观察下面的点子图，第9个方框里有（ ）个点，第18个方框里有（ ）个点，第n个方框里有（ ）个点。 8．如下图，用同样大小的白色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第30个图案需棋子（ ）枚。 9．按照下图规律，第6个图形有（ ）个小三角形，是由（ ）条线段组成的；第n个图形是由（ ）条线段组成的；如果小三角形的边长为1厘米，那么第12个图形的周长是（ ）厘米。 10．观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有（ ）个三角形，第n个图形中有（ ）个三角形。 11．如图是由1cm2的小正方形组成的一些正方形，观察前4个的变化规律，并找出其中面积是4cm2的正方形的个数，猜想第5、第9个正方形里面包含的面积是4cm2的正方形的个数。    （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 12．方方用小棒摆图形，形状如下。照这样摆下去，第n个图形要用（ ）根小棒，摆第10个图形要用（ ）根小棒。 13．根据下图中的规律，括号里应该填（ ）。 2层                     3层               4层                       6层                                                           （     ） 14．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。 15．观察下面图形，找出规律。 …… 依照此规律，第10个图形中共有（ ）个★，第（ ）个图形里有97个★。 16． 看图填表。 正方形个数 1 2 3 4 …… n …… 小棒的根数 4 7 （     ） （     ） …… （     ） …… 17．如图，照这样排列，第5幅图有（ ）块白色六边形；第（ ）幅图有30块白色六边形。 18．如下图：一张桌子可以坐8人，那么四张桌子可以坐（ ）人，n张桌子可以坐（ ）人。 19．如图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第6个图形需要（ ）个黑色正方形，摆第n个图形需要（ ）个白正方形。 20．下面是一组有规律的图案，第一个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第n个图案由（ ）个基本图形组成，第（ ）个图案由61个基本图形组成。         …… 21．（图形找规律）观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（ ）个。 三、解答题 22．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 23．学校一年一度的艺术节即将开幕，五（2）班的节目是一个团体操表演。在排练时，同学们排成了下面的队形。廖老师觉得阵容不够大，所以她决定再增加一些人参加团体操表演，但是要保持队伍形状不变，至少应该增加多少人？ 24．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 25．观察下图，按要求完成下列各题。 （1）这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。 （2）按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？ （3）仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。 （4）根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。 26．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。 （1）小正方形的个数分别是（ ）、（ ）、（ ）… （2）大正方形的周长分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米… （3）根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有（ ）个，这个图形的周长是（ ）厘米；第9个图形中的小正方形有（ ）个，这个图形的周长是（ ）厘米。 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $