4.5.3 瞬时加速度与临界、极值问题 讲义 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

本高中物理讲义聚焦牛顿第二定律应用的核心知识点，系统梳理瞬时加速度与临界、极值问题。从加速度与合力瞬时对应关系、两类模型（刚性绳/弹簧）特点，到临界极值条件标志，再到“两关键四步骤”解题框架，构建完整学习支架。 资料以模型建构和科学推理为特色，通过轻绳、弹簧等四类模型对比及分题型例题（如剪断绳瞬间加速度分析、斜面临界问题），培养运动和相互作用观念。课中辅助教师分层教学，课后学生可借例题与精练巩固，有效查漏补缺。

2026高一上学期物理同步讲义与课时精练 4.5.3牛顿第二定律的应用 专题3 瞬时加速度与临界、极值问题 【基础回顾】 一、变力作用下加速度和速度的分析 1．加速度与合力的关系 由牛顿第二定律F＝ma，加速度a与合力F具有瞬时对应关系，对于同一物体，合力增大，加速度增大，合力减小，加速度减小；合力方向变化，加速度方向也随之变化． 2．速度与加速度(合力)的关系 速度与加速度(合力)方向相同，物体做加速运动；速度与加速度(合力)方向相反，物体做减速运动． 二、牛顿第二定律的瞬时性问题 1．两种模型的特点 (1)刚性绳(或接触面)模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失． (2)弹簧(或橡皮绳)模型：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，在弹簧(或橡皮绳)的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是瞬间不变的． 2．解决此类问题的基本思路 (1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况，明确各力大小． (2)分析当状态变化时(烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等)，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失(被剪断的绳中的弹力、发生在被撤去物体接触面上的弹力都立即消失)． (3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度． 三、动力学中的临界、极值问题 1．临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点． (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态． (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点． (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 2．解决动力学临界、极值问题的常用方法 极限分析法、假设分析法和数学极值法． 【必备知识】 1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生、同时变化、同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。 2．四类模型 类别 弹力表现形式 弹力方向 能否突变 轻绳 拉力 沿绳收缩方向 能 橡皮条 拉力 沿橡皮条收缩方向 不能 轻弹簧 拉力、支持力 沿弹簧轴线方向 不能 轻杆 拉力、支持力 不确定 能 (1)轻绳、轻杆模型不发生明显形变就能产生弹力，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。 (2)轻弹簧、橡皮条模型的形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，它们的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是不变的。 【拓展延伸】 1. 抓住“两关键”、遵循“四步骤” (1)分析瞬时加速度的“两个关键” ①明确轻绳、轻杆、轻弹簧或橡皮条类模型的特点。 ②分析突变前、后的受力情况和运动状态。 (2)分析瞬时加速度的“四个步骤” 第一步：分析原来物体的受力情况。 第二步：分析物体在突变时的受力情况。 第三步：由牛顿第二定律列方程。 第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性。 【巩固强化】 题型1 瞬时加速度 【例题精讲】 1．如图所示，A、B、C、D四个物体通过轻绳和轻弹簧连接处于静止状态，已知A、B的质量为m，C的质量为2m，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．D的质量为3m B．突然剪断A、B间绳的瞬间，B的加速度为0 C．突然剪断A、B间绳的瞬间，C的加速度大小等于g D．突然剪断C、D间绳的瞬间，A的加速度为0 2．如图所示，物体B上端通过跨过两个光滑定滑轮的轻绳和物体A相连、下端用轻绳和物体C相连，轻弹簧上端与物体A相连、下端固定在地面上，三个物体均处于静止状态。已知物体A、B、C的质量分别为2m、2m、m，重力加速度为g。现剪断B、C间的轻绳，则在剪断瞬间（　　） A．弹簧上的弹力为2mg B．物体A的加速度为0 C．物体B的加速度大小为 D．物体A与B之间的轻绳上的弹力为mg 3．如图所示，质量均为m的两个相同小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳L1、L2固定，处于静止状态，L1水平，L2与竖直方向的夹角为30°，重力加速度大小为g。则（　　） A．L1的拉力大小为 B．L2的拉力大小为 C．若剪断L2，该瞬间小球乙的加速度大小为0 D．若剪断L2，该瞬间小球甲的加速度大小为 （多选）4．用两轻绳a、c和轻弹簧b将两个相同的小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球质量均为m，处于静止状态，轻绳a与竖直方向的夹角为30°，轻绳c水平。下列分析正确的是（　　） A．此时轻绳c的拉力大小为 B．剪断轻绳a瞬间，小球1的加速度大小为 C．剪断轻绳c瞬间，小球2的加速度大小为 D．保持轻绳a与竖直方向的夹角为30°不变，使轻绳c沿逆时针缓慢转动60°的过程中，轻绳c的拉力最小值大小等于mg （多选）5．A、B两个球用轻弹簧连接，A球质量为2m，B球质量为3m，小球A由轻绳悬挂在天花板上O点，两球处于平衡状态，如图所示。现突然剪断轻绳OA，让小球下落，在剪断轻绳的瞬间，设小球A、B的加速度大小分别为a1和a2；如果现突然剪断弹簧AB，让小球下落，在剪断弹簧瞬间，设小球A、B的加速度大小分别为a3和a4，则（　　） A．a1＝g，a2＝g B．a1＝2.5g，a2＝0 C．a3＝0，a4＝g D．a3＝1.5g，a4＝0 题型2 临界极值问题 【例题精讲】 1．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量为m＝2kg。对物体B施加一沿斜面向下大小为20N的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰好要离开挡板。重力加速度g＝10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．弹簧恢复原长时B的速度达到最大 B．物块B运动过程中最大加速度为5m/s2 C．物块A的质量为2kg D．物块A受挡板支持力的最大值为30N 2．如图，一小球用轻质细线a、b连接，细线a的另一端连接于车厢顶的A点，细线b的另一端连接于车厢底板上的B点，小球静止时细线a与竖直方向的夹角为θ＝30°，细线b与水平方向的夹角也为θ＝30°。已知两细线长相等，且AC＝BC，不计小球大小，重力加速度大小为g。小车向左沿水平方向做匀加速直线运动，要使细线b上张力为零，则小车运动的加速度a0应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 3．一辆货车运载着相同的圆柱形光滑空油桶，质量均为m，在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶C，自由地摆放在桶A、B之间，没有用绳索固定，设重力加速度为g（　　） A．若货车向左匀速行驶，则A对C的支持力大小为mg B．若货车以的加速度向左加速行驶，则A、B对C作用力的合力一定等于 C．若货车以的加速度向左减速行驶，B对C的支持力大于A对C的支持力 D．为使桶C与货车保持相对静止，货车刹车的加速度不能超过 4．如图所示，A、B两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知mA＝mB＝1kg，轻弹簧的劲度系数为100N/m。若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使木块A由静止开始以2m/s2的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A向上做匀加速运动开始到A、B分离的过程中。弹簧的弹性势能减小了1.28J，重力加速度g取10m/s2。下列判断不正确的是（　　） A．木块A向上做匀加速运动的过程中，力F的最大值是12N B．木块A向上做匀加速运动的过程中，力F的最小值是4N C．从A向上做匀加速运动到A、B分离的过程中，力F对木块做功为0.64J D．从A向上做匀加速运动到A、B分离的过程中，力F对木块做功为0.96J （多选）5．如图所示，质量均为m的M、N两物块叠放在倾角为30°的固定光滑斜面上，物块P通过绕在轻质定滑轮上的不可伸长的细线与物块N连在一起，刚开始在外力作用下M、N、P均静止，撤去外力后M、N一起相对静止运动，M、N之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计滑轮与轴的摩擦，下列说法正确的是（　　） A．M、N一起运动的加速度大小可能为0.75g B．M、N一起运动的加速度大小可能为0.4g C．P的质量可能为3m D．P的质量可能为1.5m （多选）6．如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平面上，上端叠放着两个物体A、B，系统处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在物体A上，使A向上做匀加速直线运动，以系统静止时的位置为坐标原点，竖直向上为位移x正方向，得到F随x的变化图像如图乙所示。已知物体A的质量m＝2kg，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为12kg B．物块A做匀加速直线运动的加速度大小为1m/s2 C．F作用瞬间，A、B之间的弹力大小为8N D．弹簧的劲度系数为80N/m （多选）7．斜劈形物体B质量为3kg，倾角为37°，物块A质量也为3kg，放在斜劈B上，A与B之间的最大静摩擦因数为0.8。现将物体C通过细绳与斜劈B相连，轻绳跨过轻质定滑轮，如图所示。除A、B之间的接触面之外，其它部位的摩擦及空气阻力都忽略不计。将此系统由静止释放，发现物块A与斜劈B保持相对静止，则物体C的质量可能是（　　）（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2） A．0.05kg B．0.15kg C．0.25kg D．0.35kg 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，轻绳1下方悬挂着匣子C，匣内用轻绳2悬挂着A球，在A球的下方用轻弹簧悬挂着B球。已知A、B、C三个物体的质量均为2m，原来都处于静止状态，重力加速度为g。在轻绳1被烧断后的瞬间，以下说法正确的是（　　） A．A、B、C的加速度大小都为g B．C的加速度大小为2g C．A的加速度大小为1.5g D．轻绳2上的拉力大小为1.5mg 2．在日常生活中，有下面一种生活情境：一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央，桌布的一边与桌的AB边重合，如图所示。已知盘与桌布间的动摩擦因数大小为0.1，盘与桌面间的动摩擦因数大小为0.2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，重力加速度大小g取10m/s2，则加速度a至少为（　　） A．5m/s2 B．2.5m/s2 C．0.5m/s2 D．0.25m/s2 3．如图所示，在倾角θ＝53°的光滑固定斜面上，物块P、Q质量均为m，物块P与下端固定的轻弹簧相连，物块Q用平行于斜面的细线与斜面顶端相连，P、Q静止且两者之间的弹力大小为mg，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，某时刻把细线剪断，下列说法正确的是（　　） A．细线剪断前，细线的拉力大小为0.6mg B．细线剪断前，弹簧弹力大小为1.4mg C．细线剪断瞬间，P、Q之间的弹力大小为0.5mg D．细线剪断瞬间，P、Q之间的弹力大小为0.6mg 4．如图所示，细绳悬挂的木箱，水平箱底上有一个静止物块，物块与木箱右壁间夹有一弹簧，弹簧处于压缩状态。重力加速度g取10m/s2。当细绳剪断的瞬间，物块的加速度a（　　） A．方向水平向左 B．方向竖直向下 C．等于10m/s2 D．大于10m/s2 5．如图所示，一根轻质弹簧上端是固定的，下端挂一平盘，盘中有一物体，平盘与物体的总质量为m，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了l，现用力向上托举盘使弹簧缩短Δl后停止，然后松手，设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松手时盘与物体的加速度为（　　） A． B． C．0 D．g 6．如图所示，质量均为m的两个相同小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳L1、L2固定，处于静止状态，L1水平，L2与竖直方向的夹角为30°，重力加速度大小为g。则（　　） A．L1的拉力大小为mg B．L2的拉力大小为mg C．若剪断L2，该瞬间小球乙的加速度大小为0 D．若剪断L2，该瞬间小球甲的加速度大小为 7．如图所示，质量为m的两个相同物块A、B叠放在轻弹簧上，并处于静止状态，轻弹簧下端固定在地面上，重力加速度为g。现对物块A施加竖直向上的力F，则下列说法正确的是（　　） A．若F＝1.8mg且为恒力，则力F作用的瞬间，A、B间的弹力大小为0.2mg B．若F＝1.8mg且为恒力，则A、B分离的瞬间，弹簧的弹力大小为1.9mg C．若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离时，弹簧处于原长状态 D．若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离前，两者组成的系统合外力大小始终不变 8．如图所示，木板置于水平面上，木板上固定一倾角为30°的光滑斜面，斜面上有一质量m＝1.0kg的物体。轻质细绳的一端与物体相连，另一端经摩擦不计的定滑轮与质量不计的弹簧秤相连，弹簧秤另一端固定在木板上，且弹簧秤所在直线与水平面也成30°，在木板上加水平推力，使整个装置做向右的加速运动，物体在斜面上相对静止（取g＝10m/s2）。下列分析正确的是（　　） A．因整体向右加速，故左右绳子对定滑轮的压力斜向右下方 B．若加速度不变，增大弹簧秤所在直线与水平方向的夹角，弹簧秤示数依然不变 C．随着加速度的增加，木板对地面的压力也越来越大 D．当加速度大于10m/s2时，物体会脱离斜面 二．多选题（共3小题） （多选）9．如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为m的物体A、B（B与弹簧连接，A、B均可视为质点），弹簧的劲度系数为k，初始时刻物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在A上，使A开始向上做加速度大小为a的匀加速运动，测得A、B的v﹣t图像如图乙所示。物体B的v﹣t图像在t2时刻的切线与t轴平行，已知重力加速度大小为g，则（　　） A．施加力F前，弹簧的形变量为 B．施加力F后的瞬间，A、B间的弹力大小为m（g+a） C．A、B在t1时刻分离，此时弹簧弹力等于B的重力 D．B上升速度最大时，A、B间的距离为 （多选）10．如图，质量为1.0kg的小车静止在光滑水平地面上，车厢内质量分别为0.4kg、0.6kg小球A、B用轻杆相连，轻杆与竖直方向的夹角为37°。球A靠在光滑的车厢左壁上，球B恰好静止在车厢水平底面上。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则（　　） A．车厢左壁对球A的弹力为6N B．球B与车厢底面的动摩擦因数为0.3 C．若对小车施加水平向右的推力10N，球B恰好不受到摩擦力 D．若对小车施加水平向右的推力22N，轻杆与竖直方向的夹角仍保持为37° （多选）11．如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．现对A施加一水平拉力F，则（　　） A．当 F＜2 μmg 时，A、B 都相对地面静止 B．当 Fμmg 时，A 的加速度为μg C．当 F＞3μmg 时，A 相对 B 滑动 D．无论 F 为何值，B 的加速度不会超过μg 三．解答题（共3小题） 12．如图所示，倾角θ＝30°、质量mC＝0.4kg的斜面体C静置于水平桌面上，顶端固定有一轻质光滑定滑轮，物块A悬于轻绳OP、OQ的结点O处，OP段绳水平，P固定在墙上，OQ段绳与竖直方向的夹角α＝53°，并绕过定滑轮与斜面体上质量mB＝2kg的物块B相连，B与C间的动摩擦因数，C与地面间的动摩擦因数，整个装置始终处于静止状态，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10m/s2。求： （1）A的质量取多大，可使B、C间的摩擦力恰好为零； （2）当A的质量mA＝0.6kg时，C受到地面的摩擦力的大小； （3）A的质量的取值范围。 13．如图，平直路面上车中挂着一个质量为m＝4kg的小球，绳AC与水平车顶的夹角θ＝53°，绳子BC水平，重力加速度g＝10m/s2，cos53°＝0.6，sin53°＝0.8。求： （1）小车静止时绳AC的拉力为大小； （2）保持小球相对车的位置不变，让小车向左匀加速直线运动，当绳BC的拉力恰为零时，求AC绳的拉力大小和小车的加速度大小。 14．如图所示，AC是半径为R的四分之一光滑圆环，固定在竖直面内，圆环圆心在B点，AB竖直。一个光滑定滑轮固定在A点正上方的P点，PB高度为R，质量为m的带孔小球a套在圆环上，绕过定滑轮的细线一端连接在小球a上，另一端吊着小球b，两球静止时，Pa段细线长为R，重力加速度为g，不计小球、滑轮的大小，求： （1）小球b的质量； （2）剪断细线的一瞬间，小球a的加速度大小。 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高一上学期物理同步讲义与课时精练 4.5.3牛顿第二定律的应用 专题3 瞬时加速度与临界、极值问题 【基础回顾】 一、变力作用下加速度和速度的分析 1．加速度与合力的关系 由牛顿第二定律F＝ma，加速度a与合力F具有瞬时对应关系，对于同一物体，合力增大，加速度增大，合力减小，加速度减小；合力方向变化，加速度方向也随之变化． 2．速度与加速度(合力)的关系 速度与加速度(合力)方向相同，物体做加速运动；速度与加速度(合力)方向相反，物体做减速运动． 二、牛顿第二定律的瞬时性问题 1．两种模型的特点 (1)刚性绳(或接触面)模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失． (2)弹簧(或橡皮绳)模型：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，在弹簧(或橡皮绳)的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是瞬间不变的． 2．解决此类问题的基本思路 (1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况，明确各力大小． (2)分析当状态变化时(烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等)，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失(被剪断的绳中的弹力、发生在被撤去物体接触面上的弹力都立即消失)． (3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度． 三、动力学中的临界、极值问题 1．临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点． (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态． (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点． (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 2．解决动力学临界、极值问题的常用方法 极限分析法、假设分析法和数学极值法． 【必备知识】 1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生、同时变化、同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。 2．四类模型 类别 弹力表现形式 弹力方向 能否突变 轻绳 拉力 沿绳收缩方向 能 橡皮条 拉力 沿橡皮条收缩方向 不能 轻弹簧 拉力、支持力 沿弹簧轴线方向 不能 轻杆 拉力、支持力 不确定 能 (1)轻绳、轻杆模型不发生明显形变就能产生弹力，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。 (2)轻弹簧、橡皮条模型的形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，它们的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是不变的。 【拓展延伸】 1. 抓住“两关键”、遵循“四步骤” (1)分析瞬时加速度的“两个关键” ①明确轻绳、轻杆、轻弹簧或橡皮条类模型的特点。 ②分析突变前、后的受力情况和运动状态。 (2)分析瞬时加速度的“四个步骤” 第一步：分析原来物体的受力情况。 第二步：分析物体在突变时的受力情况。 第三步：由牛顿第二定律列方程。 第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性。 【巩固强化】 题型1 瞬时加速度 【例题精讲】 1．如图所示，A、B、C、D四个物体通过轻绳和轻弹簧连接处于静止状态，已知A、B的质量为m，C的质量为2m，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．D的质量为3m B．突然剪断A、B间绳的瞬间，B的加速度为0 C．突然剪断A、B间绳的瞬间，C的加速度大小等于g D．突然剪断C、D间绳的瞬间，A的加速度为0 【答案】D 【解答】解：A、由于A、B的质量为m，C的质量为2m，根据平衡条件可知D的质量为4m，故A错误； BC、突然剪断A、B间的绳子，B、C间弹簧的弹力保持不变，可知C的受力情况保持不变，则C的加速度为0； 根据牛顿第二定律可知B的加速度向上，大小为：aBg，故BC错误； D、突然剪断C、D间的绳子，B、C间弹簧的弹力保持不变，A、B整体受力不变，A的加速度为0，故D正确； 故选：D。 2．如图所示，物体B上端通过跨过两个光滑定滑轮的轻绳和物体A相连、下端用轻绳和物体C相连，轻弹簧上端与物体A相连、下端固定在地面上，三个物体均处于静止状态。已知物体A、B、C的质量分别为2m、2m、m，重力加速度为g。现剪断B、C间的轻绳，则在剪断瞬间（　　） A．弹簧上的弹力为2mg B．物体A的加速度为0 C．物体B的加速度大小为 D．物体A与B之间的轻绳上的弹力为mg 【答案】D 【解答】解：A、剪断B、C间轻绳前，对B、C整体分析有T1＝（2m+m）g＝3mg，对A分析有2mg+F＝T1，解得弹簧弹力F＝mg，剪断B、C间轻绳瞬间，弹簧弹力没有发生突变，仍为mg，故A错误； BCD、剪断B、C间轻绳瞬间，弹簧弹力不变，A、B的加速度大小相等，对B，根据牛顿第二定律有T2﹣2mg＝2ma，对A，根据牛顿第二定律有F+2mg﹣T2＝2ma，联立解得T2mg，ag，故BC错误，D正确。 故选：D。 3．如图所示，质量均为m的两个相同小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳L1、L2固定，处于静止状态，L1水平，L2与竖直方向的夹角为30°，重力加速度大小为g。则（　　） A．L1的拉力大小为 B．L2的拉力大小为 C．若剪断L2，该瞬间小球乙的加速度大小为0 D．若剪断L2，该瞬间小球甲的加速度大小为 【答案】C 【解答】解：AB、对甲、乙组成的整体，受力分析如图所示： 由平衡条件可得：，，解得L1的拉力大小为：，L2的拉力大小为：，故AB错误； CD、若剪断L2瞬间，弹簧的弹力不变，大小仍等于mg，则小球乙受的合外力仍为零，加速度为零；对甲分析可知，由牛顿第二定律可知加速度为：，故C正确，D错误。 故选：C。 （多选）4．用两轻绳a、c和轻弹簧b将两个相同的小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球质量均为m，处于静止状态，轻绳a与竖直方向的夹角为30°，轻绳c水平。下列分析正确的是（　　） A．此时轻绳c的拉力大小为 B．剪断轻绳a瞬间，小球1的加速度大小为 C．剪断轻绳c瞬间，小球2的加速度大小为 D．保持轻绳a与竖直方向的夹角为30°不变，使轻绳c沿逆时针缓慢转动60°的过程中，轻绳c的拉力最小值大小等于mg 【答案】CD 【解答】解：A、以两小球组成的系统为研究对象，受力如图所示 小球静止处于平衡状态，则Ta，Tc＝2mgtan30°，故A错误； B、弹簧弹力不能突变，剪断轻绳a的瞬间，小球1所受重力与弹簧弹力不变，小球1所受合力大小等于剪断轻绳a前a的拉力， 对小球1，由牛顿第二定律大小ma，解得ag，故B错误； C、弹簧弹力不能突变，剪断轻绳c瞬间，小球2所受重力与弹簧弹力不变，小球2所受合力大小等于剪断轻绳c前c的拉力大小， 对小球2，由牛顿第二定律得ma'，解得a'g，故C正确； D、以两球组成的系统为研究对象，保持轻绳a与竖直方向的夹角为30°不变，使轻绳c沿逆时针缓慢转动60°的过程中两小球受力如图所示 当a与c的拉力垂直时轻绳c的拉力最小，最小值Tcmin＝2mgsin30°＝mg，故D正确。 故选：CD。 （多选）5．A、B两个球用轻弹簧连接，A球质量为2m，B球质量为3m，小球A由轻绳悬挂在天花板上O点，两球处于平衡状态，如图所示。现突然剪断轻绳OA，让小球下落，在剪断轻绳的瞬间，设小球A、B的加速度大小分别为a1和a2；如果现突然剪断弹簧AB，让小球下落，在剪断弹簧瞬间，设小球A、B的加速度大小分别为a3和a4，则（　　） A．a1＝g，a2＝g B．a1＝2.5g，a2＝0 C．a3＝0，a4＝g D．a3＝1.5g，a4＝0 【答案】BC 【解答】解：AB、剪断轻绳之前，对B进行分析，弹簧处于拉伸状态，弹簧拉力大小：F＝3mg 剪断轻绳的瞬间，弹簧的形变量不变，弹簧弹力不变。分别对A、B进行分析，根据牛顿第二定律有： F+2mg＝2ma1，F﹣3mg＝3ma2 解得：a1＝2.5g，a2＝0，故A错误、B正确； CD、若是剪短弹簧，弹簧的弹力变为零，A静止，加速度大小为a3＝0；B做自由落体运动，加速度大小为a4＝g，故C正确、D错误。 故选：BC。 题型2 临界极值问题 【例题精讲】 1．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量为m＝2kg。对物体B施加一沿斜面向下大小为20N的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰好要离开挡板。重力加速度g＝10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．弹簧恢复原长时B的速度达到最大 B．物块B运动过程中最大加速度为5m/s2 C．物块A的质量为2kg D．物块A受挡板支持力的最大值为30N 【答案】C 【解答】解：A、物体B向上运动，重力沿斜面的分力与弹簧弹力相等时B受到的合力为0，速度达到最大，故A错误； B、撤去外力后，B做简谐运动，速度为零的时刻加速度最大，刚撤去外力时，弹簧弹力不变，B受的合力为20N，方向向上，根据牛顿第二定律F合＝mBa，得10m/s2，加速度为10m/s2，故B错误； C、B运动到最高点时速度为零，由简谐运动的对称性，B受的合力为20N，方向向下，可得弹簧弹力大小为10N，方向向下，对A由平衡条件可得mAgsinθ＝10N，得物体A的质量为2kg，故C正确； D、B静止在P点时，弹簧处于压缩状态且弹力最大，对B由平衡条件得mBgsinθ+F＝F弹，得F弹＝2×10×sin30°N+20N＝30N，此时挡板对A的支持力最大，根据平衡条件可得F支＝F弹+mAgsinθ＝30N+2×10×sin30°＝40N，故D错误。 故选：C。 2．如图，一小球用轻质细线a、b连接，细线a的另一端连接于车厢顶的A点，细线b的另一端连接于车厢底板上的B点，小球静止时细线a与竖直方向的夹角为θ＝30°，细线b与水平方向的夹角也为θ＝30°。已知两细线长相等，且AC＝BC，不计小球大小，重力加速度大小为g。小车向左沿水平方向做匀加速直线运动，要使细线b上张力为零，则小车运动的加速度a0应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：图示中，根据几何关系可知a、b细线与A、B连线的夹角均为15°，当细线a与竖直方向的夹角为30°且细线b刚好伸直，小车的加速度最小，由牛顿第二定律可得：mgtan30°＝ma1，这时车的加速度大小为：；根据对称性，当细线a与竖直方向的夹角为60°且细线b刚好伸直，小车的加速度最大，由牛顿第二定律可得：mgtan60°＝ma2，这时车的加速度大小为：，因此要使细线b上张力为零，则小车运动的加速度应满足的条件是，故C正确，ABD小错误。 故选：C。 3．一辆货车运载着相同的圆柱形光滑空油桶，质量均为m，在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶C，自由地摆放在桶A、B之间，没有用绳索固定，设重力加速度为g（　　） A．若货车向左匀速行驶，则A对C的支持力大小为mg B．若货车以的加速度向左加速行驶，则A、B对C作用力的合力一定等于 C．若货车以的加速度向左减速行驶，B对C的支持力大于A对C的支持力 D．为使桶C与货车保持相对静止，货车刹车的加速度不能超过 【答案】D 【解答】解：A、以C桶为研究对象，货车向左匀速行驶时，受重力、A、B的支持力，如图所示： C桶在竖直方向受力平衡，由平衡条件可得：FAcos30°+FBcos30°＝mg 又由对称性可知：FA＝FB 联立解得：，故A错误； B、若货车以的加速度向左加速行驶，设A对C的作用力为FA′，B对C的作用力为FB′，C在竖直方向受力平衡，则有：FA′cos30°+FB′cos30°＝mg 在水平方向由牛顿第二定律则有：FB′sin30°﹣FA′sin30°＝ma 联立解得： 由此可知C受到重力、A、B作用力的合力大小为： 方向水平向左。则A、B对C作用力的合力一定不等于，故B错误； C、若货车以的加速度向左减速行驶，则货车的加速度向右，由B选项解析可知，B对C的支持力小于A对C的支持力，故C错误； D、为使桶C与货车保持相对静止，货车刹车时的加速度向右，当B对C的支持力减小到零时，刹车加速度达到最大，此时A对C的支持力达到最大，设为FAm，可知C在竖直方向受力平衡，则有：FAmcos30°＝mg 解得： 在水平方向由牛顿第二定律则有：FAmsin30°＝mam，解得：，可知为使桶C与货车保持相对静止，货车刹车的加速度不能超过，故D正确。 故选：D。 4．如图所示，A、B两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知mA＝mB＝1kg，轻弹簧的劲度系数为100N/m。若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使木块A由静止开始以2m/s2的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A向上做匀加速运动开始到A、B分离的过程中。弹簧的弹性势能减小了1.28J，重力加速度g取10m/s2。下列判断不正确的是（　　） A．木块A向上做匀加速运动的过程中，力F的最大值是12N B．木块A向上做匀加速运动的过程中，力F的最小值是4N C．从A向上做匀加速运动到A、B分离的过程中，力F对木块做功为0.64J D．从A向上做匀加速运动到A、B分离的过程中，力F对木块做功为0.96J 【答案】D 【解答】解：AB、对A、B整体分析，根据牛顿第二定律可得：F﹣（mA+mB）g+F弹＝（mA+mB）a 弹簧开始时被压缩，向上做加速运动，a不变，弹簧弹力F弹逐渐变小，则力F逐渐增大。 对A分析，根据牛顿第二定律有：F﹣mAg+FBA＝mAa a不变，力F逐渐增大，则B、A间的弹力FBA逐渐减小，当B、A间的弹力FBA减小为零时，力F达到最大值保持不变。 则开始时力F有最小值，对整体由牛顿第二定律有：Fmin＝（mA+mB）a＝（1+1）×2N＝4N 当AB刚要脱离时，力F有最大值，对A有：Fmax＝mAa+mAg＝1×2N+1×10N＝12N，故AB正确； CD、A、B静止时，根据胡克定律可得，弹簧的压缩量为：x1m＝0.2m A、B分离瞬间，对B分析，根据牛顿第二定律有：kx2﹣mBg＝mBa 解得，此时弹簧的压缩量为：x2＝0.12m 设A、B分离时的速度为v，则根据运动学规律有：v2＝2a（x1﹣x2） 整个过程中，根据功能关系可得： 解得，从A向上做匀加速运动到A、B分离的过程中，力F对木块做功为：WF＝0.64J，故C正确，D错误。 本题选不正确的， 故选：D。 （多选）5．如图所示，质量均为m的M、N两物块叠放在倾角为30°的固定光滑斜面上，物块P通过绕在轻质定滑轮上的不可伸长的细线与物块N连在一起，刚开始在外力作用下M、N、P均静止，撤去外力后M、N一起相对静止运动，M、N之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计滑轮与轴的摩擦，下列说法正确的是（　　） A．M、N一起运动的加速度大小可能为0.75g B．M、N一起运动的加速度大小可能为0.4g C．P的质量可能为3m D．P的质量可能为1.5m 【答案】BD 【解答】解：设P的质量为mp，若 M、N 一起向上运动，由牛顿第二定律可得：mPg﹣2mgsin30°＝（mP+2m）a，对M，由牛顿第二定律可得：f﹣mgsin30°＝ma，其中：，a＞0，联立解得：，m＜mP≤2m； 若 M、N 一起向下运动，由牛顿第二定律可得：2mgsin30°﹣mPg＝（mP+2m）a，对M分析有：mgsin30°﹣f＝ma，其中 a＞0，f＜μmgcos30°，M、N不可能滑动，联立解得：，0＜mP＜m；故BD正确，AC错误。 故选：BD。 （多选）6．如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平面上，上端叠放着两个物体A、B，系统处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在物体A上，使A向上做匀加速直线运动，以系统静止时的位置为坐标原点，竖直向上为位移x正方向，得到F随x的变化图像如图乙所示。已知物体A的质量m＝2kg，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为12kg B．物块A做匀加速直线运动的加速度大小为1m/s2 C．F作用瞬间，A、B之间的弹力大小为8N D．弹簧的劲度系数为80N/m 【答案】BD 【解答】解：AB．设物块B质量为M，x＝0，对整体根据牛顿第二定律可得：12＝（m+M）a 刚分离时，二者之间的弹力为零，对A根据牛顿第二定律可得：22﹣mg＝ma 联立解得：a＝1m/s2，M＝10kg，故A错误，B正确； D．以A、B整体为研究对象，静止时弹簧压缩量为x0，有：kx0＝（m+M）g 分离之前，有：F+k（x0﹣x）﹣（m+M）g＝（m+M）a 联立解得：F＝kx+（m+M）a 所以F随x的变化图像的斜率等于劲度系数，则有：，故D正确； C．施加拉力F的瞬间，设A、B之间的弹力为FN，对B进行受力分析有：kx0﹣Mg﹣FN＝Ma 解得：FN＝10N，故C错误。 故选：BD。 （多选）7．斜劈形物体B质量为3kg，倾角为37°，物块A质量也为3kg，放在斜劈B上，A与B之间的最大静摩擦因数为0.8。现将物体C通过细绳与斜劈B相连，轻绳跨过轻质定滑轮，如图所示。除A、B之间的接触面之外，其它部位的摩擦及空气阻力都忽略不计。将此系统由静止释放，发现物块A与斜劈B保持相对静止，则物体C的质量可能是（　　）（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2） A．0.05kg B．0.15kg C．0.25kg D．0.35kg 【答案】AB 【解答】解：对A、B、C组成的整体，由牛顿第二定律可得：mCg＝（mA+mB+mC）a 解得： 当A与B刚好相对静止时，A受到的摩擦力达到最大静摩擦力（设为fm）时加速度最大，此时对A受力分析如下图所示： 在水平方向上由牛顿第二定律可得：fmcos37°﹣Nsin37°＝mAam 在竖直方向上由平衡条件得：fmsin37°+Ncos37°＝mAg 又有：fm＝μN 联立解得加速度最大值为：am 所以有，代入数据解得：mCkg，故AB正确，CD错误。 故选：AB。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，轻绳1下方悬挂着匣子C，匣内用轻绳2悬挂着A球，在A球的下方用轻弹簧悬挂着B球。已知A、B、C三个物体的质量均为2m，原来都处于静止状态，重力加速度为g。在轻绳1被烧断后的瞬间，以下说法正确的是（　　） A．A、B、C的加速度大小都为g B．C的加速度大小为2g C．A的加速度大小为1.5g D．轻绳2上的拉力大小为1.5mg 【答案】C 【解答】解：可将盒子转化为小球C进行分析，如图所示： 烧断绳1的瞬间，弹簧弹力不变， 对B，弹簧弹力和重力平衡，加速度为零， 对AC整体，向下受重力和弹簧弹力，由牛顿第二定律可知：2mg+mg＝2ma，代入数据可得：a＝1.5g， 对C，由牛顿第二定律可知，mg+T＝ma，代入数据可得：T＝0.5mg，故C正确，ABD错误。 故选：C。 2．在日常生活中，有下面一种生活情境：一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央，桌布的一边与桌的AB边重合，如图所示。已知盘与桌布间的动摩擦因数大小为0.1，盘与桌面间的动摩擦因数大小为0.2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，重力加速度大小g取10m/s2，则加速度a至少为（　　） A．5m/s2 B．2.5m/s2 C．0.5m/s2 D．0.25m/s2 【答案】B 【解答】解：圆盘在桌布上时做匀加速运动，掉到桌面上后在桌面上做匀减速运动。圆盘在桌布上和桌面上受力情况如图所示： 圆盘在桌布上加速运动时，根据牛顿第二定律有μ1mg＝ma1，解得加速度大小a1＝μ1g，方向向右； 圆盘在桌面上运动时，根据牛顿第二定律有μ2mg＝ma2，解得加速度大小a2＝μ2g，方向向左。 设圆盘从桌布上脱离瞬间的速度为v，由匀变速直线运动的规律知，圆盘离开桌布时有v2＝2a1s1，圆盘在桌面上运动时有v2＝2a2s2 圆盘没有从桌面上掉下的条件是 联立解得 圆盘刚离开桌布时，对桌布根据位移—时间关系可得，对圆盘有，而 可得，解得a＝2.5m/s2，故B正确，ACD错误。 故选：B。 3．如图所示，在倾角θ＝53°的光滑固定斜面上，物块P、Q质量均为m，物块P与下端固定的轻弹簧相连，物块Q用平行于斜面的细线与斜面顶端相连，P、Q静止且两者之间的弹力大小为mg，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，某时刻把细线剪断，下列说法正确的是（　　） A．细线剪断前，细线的拉力大小为0.6mg B．细线剪断前，弹簧弹力大小为1.4mg C．细线剪断瞬间，P、Q之间的弹力大小为0.5mg D．细线剪断瞬间，P、Q之间的弹力大小为0.6mg 【答案】D 【解答】解：A、细线剪断前，P受到重力、斜面的支持力、细线的拉力以及Q对P的弹力，沿斜面方向mgsinθ＝T+FN 代入数据可得细线的拉力T＝0.4mg，故A错误； B、细线剪断前，Q受到重力、斜面的支持力、弹簧的弹力以及P对Q的弹力，沿斜面方向mgsinθ+FN＝F 代入数据可得弹簧弹力F＝1.2mg，故B错误； CD、细线剪断瞬间，设P与Q组成的整体的加速度为a，根据牛顿第二定律可得2mgsinθ﹣F＝2ma 可得a＝0.2g 对Q由牛顿第二定律可得mgsinθ﹣FN′＝ma 联立可得FN′＝0.6mg 故C错误，D正确。 故选：D。 4．如图所示，细绳悬挂的木箱，水平箱底上有一个静止物块，物块与木箱右壁间夹有一弹簧，弹簧处于压缩状态。重力加速度g取10m/s2。当细绳剪断的瞬间，物块的加速度a（　　） A．方向水平向左 B．方向竖直向下 C．等于10m/s2 D．大于10m/s2 【答案】D 【解答】解：剪断细绳后，竖直方向上，物块和木箱一起做自由落体运动，物块在竖直方向只受重力，物块和木箱之间的弹力消失，摩擦力消失， 水平方向上，物块受弹簧向左的弹力，有向左的加速度，由平行四边形法则可知，物块的加速度大小大于重力加速度，方向指向左下方，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．如图所示，一根轻质弹簧上端是固定的，下端挂一平盘，盘中有一物体，平盘与物体的总质量为m，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了l，现用力向上托举盘使弹簧缩短Δl后停止，然后松手，设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松手时盘与物体的加速度为（　　） A． B． C．0 D．g 【答案】A 【解答】解：当盘静止时，由胡克定律得（m+M）g＝kl，解得：k 使弹簧缩短Δl时弹簧弹力为k（l﹣Δl），刚松手瞬时弹簧的弹力没有变化，则以盘和物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律得： a 解得：a，故A正确、BCD错误。 故选：A。 6．如图所示，质量均为m的两个相同小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳L1、L2固定，处于静止状态，L1水平，L2与竖直方向的夹角为30°，重力加速度大小为g。则（　　） A．L1的拉力大小为mg B．L2的拉力大小为mg C．若剪断L2，该瞬间小球乙的加速度大小为0 D．若剪断L2，该瞬间小球甲的加速度大小为 【答案】C 【解答】解：AB、对甲、乙整体受力分析，受力情况如图所示： 由平衡条件可知：F1＝2mgtan30°，F2 解得：F1，F2，故AB错误； CD、若剪断L2该瞬间，弹簧的弹力不变，则小球乙受的合外力仍为零，加速度为零； 对甲，由牛顿第二定律可知：ag，故C正确、D错误。 故选：C。 7．如图所示，质量为m的两个相同物块A、B叠放在轻弹簧上，并处于静止状态，轻弹簧下端固定在地面上，重力加速度为g。现对物块A施加竖直向上的力F，则下列说法正确的是（　　） A．若F＝1.8mg且为恒力，则力F作用的瞬间，A、B间的弹力大小为0.2mg B．若F＝1.8mg且为恒力，则A、B分离的瞬间，弹簧的弹力大小为1.9mg C．若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离时，弹簧处于原长状态 D．若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离前，两者组成的系统合外力大小始终不变 【答案】D 【解答】解：A、在力F作用下A、B一起向上加速，根据牛顿第二定律可得A、B整体加速度大小a0.9g； 隔离A，利用牛顿第二定律有：F+T﹣mg＝ma，可求得A、B间的弹力大小为F＝0.1mg，故A错误； B、物块A、B刚分离时，A、B间的弹力大小为0，对A利用牛顿第二定律可得A的加速度大小为aA0.8g； 此时B的加速度大小也为0.8g，对B根据牛顿第二定律可得：T1﹣mg＝maA，可得弹簧的弹力为T1＝1.8mg，故B错误； C、若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，A、B分离时，设弹簧的压缩量为x，对B根据牛顿第二定律得：kx﹣mg＝0.5mg，解得：x，故C错误； D、若在F作用下，物体A以0.5g匀加速向上运动，则A、B分离前，两者组成的系统合外力大小：F合＝2ma，保持不变，故D正确。 故选：D。 8．如图所示，木板置于水平面上，木板上固定一倾角为30°的光滑斜面，斜面上有一质量m＝1.0kg的物体。轻质细绳的一端与物体相连，另一端经摩擦不计的定滑轮与质量不计的弹簧秤相连，弹簧秤另一端固定在木板上，且弹簧秤所在直线与水平面也成30°，在木板上加水平推力，使整个装置做向右的加速运动，物体在斜面上相对静止（取g＝10m/s2）。下列分析正确的是（　　） A．因整体向右加速，故左右绳子对定滑轮的压力斜向右下方 B．若加速度不变，增大弹簧秤所在直线与水平方向的夹角，弹簧秤示数依然不变 C．随着加速度的增加，木板对地面的压力也越来越大 D．当加速度大于10m/s2时，物体会脱离斜面 【答案】B 【解答】解：A、左右绳子拉力相等，故对定滑轮的压力竖直向下，故A错误； B、若加速度不变，则物体受到的绳子拉力不变，弹簧秤示数依然不变，故B正确； C、由于系统对地面的压力不变，故木板对地面的压力也不变，故C错误； D、设物体刚好和斜面间的压力为零时，物体的加速度为a0，根据牛顿第二定律可得 ma0 代入数据可得a0 故当加速度大于时，物体才会脱离斜面，故D错误。 故选：B。 二．多选题（共3小题） （多选）9．如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为m的物体A、B（B与弹簧连接，A、B均可视为质点），弹簧的劲度系数为k，初始时刻物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在A上，使A开始向上做加速度大小为a的匀加速运动，测得A、B的v﹣t图像如图乙所示。物体B的v﹣t图像在t2时刻的切线与t轴平行，已知重力加速度大小为g，则（　　） A．施加力F前，弹簧的形变量为 B．施加力F后的瞬间，A、B间的弹力大小为m（g+a） C．A、B在t1时刻分离，此时弹簧弹力等于B的重力 D．B上升速度最大时，A、B间的距离为 【答案】AD 【解答】解：AB、施加F前，物体A、B整体平衡，根据平衡条件，有：2mg＝kx1，解得：x1 施加力F的瞬间，对B物体，根据牛顿第二定律，有：kx1﹣mg﹣FAB＝ma，解得A对B的弹力大小：FAB＝m（g﹣a），故A正确、B错误； C、物体A、B在t1时刻分离，此时A、B间的弹力FAB＝0，对B，由牛顿第二定律：F弹﹣mg＝ma，解得：F弹＝m（g+a），故C错误； D、当物体B的加速度为零时，此时速度最大，则mg＝kx2，解得：x2 故0～t2这段时间内B上升的高度hB＝x1﹣x2 此过程中A物体上升的高度：hA，故B速度最大时，A、B间的距离为s＝hA﹣hB，故D正确。 故选：AD。 （多选）10．如图，质量为1.0kg的小车静止在光滑水平地面上，车厢内质量分别为0.4kg、0.6kg小球A、B用轻杆相连，轻杆与竖直方向的夹角为37°。球A靠在光滑的车厢左壁上，球B恰好静止在车厢水平底面上。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则（　　） A．车厢左壁对球A的弹力为6N B．球B与车厢底面的动摩擦因数为0.3 C．若对小车施加水平向右的推力10N，球B恰好不受到摩擦力 D．若对小车施加水平向右的推力22N，轻杆与竖直方向的夹角仍保持为37° 【答案】BC 【解答】解：A、球A保持静止，根据平衡条件可得车厢左壁对球A的弹力为：，轻杆对球A的弹力为：，故A错误； B、球B保持静止，根据平衡条件可得：f＝F弹sin37°＝5×0.6N＝3N，球B恰好静止在车厢水平底面上，则f＝fm＝μ（mBg+F弹cos37°），解得球B与车厢底面的动摩擦因数为μ＝0.3，故B正确； C、对小车、球A、B整体，根据牛顿第二定律有：F＝（m+mA+mB）a，对球B，根据牛顿第二定律有：F弹sin37°+f1＝mBa，解得：f1＝0，故C正确； D、球B向右运动最大的加速度满足：μ（mBg+F弹cos37°）+F弹sin37°＝mam，解得：，球B不发生滑动，对小车施加水平向右的最大推力为：F＝（m+mA+mB）am＝20N＜22N，故对小车施加水平向右的推力为22N时，球B发生滑动，轻杆与竖直方向的夹角不是 37°，故D错误。 故选：BC。 （多选）11．如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．现对A施加一水平拉力F，则（　　） A．当 F＜2 μmg 时，A、B 都相对地面静止 B．当 Fμmg 时，A 的加速度为μg C．当 F＞3μmg 时，A 相对 B 滑动 D．无论 F 为何值，B 的加速度不会超过μg 【答案】BCD 【解答】解：D、物块A、B之间的最大静摩擦力为：fmax＝2μmg 物块B与地面间的最大静摩擦力为：f′max（2m+m）g＝1.5μmg 物块B的最大加速度为：amμg，则无论 F 为何值，B 的加速度不会超过μg，故D正确； C、物块A、B相对静止与相对滑动的临界条件为：A、B之间的静摩擦力达到最大值，处于临界时A、B整体的加速度等于B的最大加速度为am，则有： F（2m+m）g＝3mam，解得：F＝3μmg 可知当 F＞3μmg 时，A相对B发生滑动，故C正确； A、因物块B与地面间的最大静摩擦力为1.5μmg，小于A、B之间的最大静摩擦力2μmg，以A、B整体为研究对象，当F＜1.5μmg时，A、B 都相对地面静止。结合C选项的结论，可知当1.5μmg＜F≤3μmg时，A、B相对静止一起相对地面滑动，故A错误； B、由A选项的分析，当Fμmg时，A、B相对静止一起相对地面滑动，以A、B整体为研究对象，由牛顿第二定律有：a，故B正确。 故选：BCD。 三．解答题（共3小题） 12．如图所示，倾角θ＝30°、质量mC＝0.4kg的斜面体C静置于水平桌面上，顶端固定有一轻质光滑定滑轮，物块A悬于轻绳OP、OQ的结点O处，OP段绳水平，P固定在墙上，OQ段绳与竖直方向的夹角α＝53°，并绕过定滑轮与斜面体上质量mB＝2kg的物块B相连，B与C间的动摩擦因数，C与地面间的动摩擦因数，整个装置始终处于静止状态，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10m/s2。求： （1）A的质量取多大，可使B、C间的摩擦力恰好为零； （2）当A的质量mA＝0.6kg时，C受到地面的摩擦力的大小； （3）A的质量的取值范围。 【答案】（1）A的质量为0.6kg，可使B、C间的摩擦力恰好为零； （2）当A的质量mA＝0.6kg时，C受到地面的摩擦力的大小为8N； （3）A的质量的取值范围为0.3kg≤mA≤0.8kg。 【解答】解：（1）当B、C间的摩擦力为零时，对B，由平衡条件可得：T＝mBgsinθ，代入数据解得：T＝mBgsinθ＝2×10×0.5N＝10N， 对结点O，由平衡条件可得：Tcosα＝mAg，代入数据解得：； （2）由（1）可知，当mA＝0.6kg时，B、C间的摩擦力恰好为0，绳子的拉力为T＝10N，对B、C组成的整体思路方向可知绳子拉力在水平方向的分力与地面对C的摩擦力平衡，则C受到地面的摩擦力的大小为：f＝Tsinα＝10×0.8N＝8N； （3）当B刚要相对C下滑时，受到的摩擦力方向沿斜面向上，此时摩擦力最大，由平衡条件可得：Tmin+fmax＝mBgsinθ， 联立解得： 对A，由平衡条件可得：Tmincosα＝mAming，代入数据解得：； 当B有上滑趋势时，受到的摩擦力沿斜面向下，则有平衡条件可得：T＝mBgsinθ+fmax，代入数据解得： 对A，由平衡条件可得：Tcosα＝mAg，代入数据解得：； C刚要滑动时，对B、C组成的整体，由平衡条件可得；Tmaxsinα＝f地max 地面对C的最大摩擦力为：f地max＝μ2[（mB+mC）g+Tmaxcosα] 对A，由平衡条件可得：Tmaxcosβ＝mAmaxg 联立代入数据解得：mA＝0.8kg 综上可知A的质量的取值范围为：0.3kg≤mA≤0.8kg。 答：（1）A的质量为0.6kg，可使B、C间的摩擦力恰好为零； （2）当A的质量mA＝0.6kg时，C受到地面的摩擦力的大小为8N； （3）A的质量的取值范围为0.3kg≤mA≤0.8kg。 13．如图，平直路面上车中挂着一个质量为m＝4kg的小球，绳AC与水平车顶的夹角θ＝53°，绳子BC水平，重力加速度g＝10m/s2，cos53°＝0.6，sin53°＝0.8。求： （1）小车静止时绳AC的拉力为大小； （2）保持小球相对车的位置不变，让小车向左匀加速直线运动，当绳BC的拉力恰为零时，求AC绳的拉力大小和小车的加速度大小。 【答案】（1）小车静止时绳AC的拉力为大小为50N； （2）当绳BC的拉力恰为零时，AC绳的拉力大小为50N，小车的加速度大小为7.5m/s2。 【解答】解：（1）静止时，对小球根据力的平衡可知TACsin53°＝mg 解得TAC＝50N （2）当BC的拉力恰为零时，则小球竖直方向受力平衡，则TAC′sin53°＝mg 沿水平方向TAC'cos53°＝ma0 联立解得TAC′＝50N，a0＝7.5m/s2 答：（1）小车静止时绳AC的拉力为大小为50N； （2）当绳BC的拉力恰为零时，AC绳的拉力大小为50N，小车的加速度大小为7.5m/s2。 14．如图所示，AC是半径为R的四分之一光滑圆环，固定在竖直面内，圆环圆心在B点，AB竖直。一个光滑定滑轮固定在A点正上方的P点，PB高度为R，质量为m的带孔小球a套在圆环上，绕过定滑轮的细线一端连接在小球a上，另一端吊着小球b，两球静止时，Pa段细线长为R，重力加速度为g，不计小球、滑轮的大小，求： （1）小球b的质量； （2）剪断细线的一瞬间，小球a的加速度大小。 【答案】（1）小球b的质量为； （2）剪断细线的一瞬间，小球a的加速度大小为。 【解答】解：（1）对小球a受力分析如图所示： 由相似三角形可知：，其中：T＝mbg 代入数据解得小球b的质量为 （2）设细线Pa与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系可知，Ba与竖直方向的夹角也为θ，则 解得：θ＝30°，剪断细线的一瞬间，设小球的加速度大小为a，根据牛顿第二定律可得：mgsin30°＝ma，解得：。 答：（1）小球b的质量为； （2）剪断细线的一瞬间，小球a的加速度大小为。 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $