数列的概念与等差数列单元检测A卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列的概念与等差数列单元检测A卷 班级 学号 姓名 参考答案 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在数列1，，，2，，…中，第9个数是(　　) A．3 B．3 C. D．10 答案：B 解析：观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为＝3.故选B. 2.已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝(　　) A．－2 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d，则解得所以a4＝a1＋3d＝6. 3.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，则a10＝(　　) A.36 B.15 C.46 D.66 答案：C 解析：由题意得an＋1－an＝n， 则a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝9＋…＋2＋1＋1＝＋1＝46. 4．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，若a1＝1，且an＋1＝则解下6个圆环所需的最少移动次数为(　　) A．13 B．15 C．16 D．29 答案：B 解析：∵a1＝1，an＋1＝∴a2＝a1＋2＝3，a3＝2a2－1＝5，a4＝a3＋2＝7，a5＝2a4－1＝13，a6＝a5＋2＝15.故选B. 5.已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 025＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 答案：A 解析：由a1＝，an＋1＝得 a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，…， 可知数列{an}是以3为周期的数列， 因此a2 025＝a3×674＋3＝a3＝－1. 6.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有λ<＝，∵由λ<1可推得λ<，但反过来，由λ<不能得到λ<1，∴“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A. 7.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　) A．28 B．29 C．30 D．31 答案：B 解析：设等差数列{an}共有2n＋1项，公差为d，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1， 又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋nd＝an＋1， 所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29. 8．已知数列{an}满足＋＝2，且a2＝，a3＝，则3a100＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为＋＝2，可得＋＝，可知数列为等差数列， 又因为a2＝，即＝＝2＋，即－＝2， 可知是以2为公差的等差数列，且a3＝，则＝－2×2＝7－4＝3， 可得＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝，所以3a100＝＝.故选B. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知数列{an}，{bn}均为公差大于零的等差数列，则下列说法正确的有(　　) A.数列{an＋bn}是递增数列 B.数列{anbn}是递增数列 C.数列{an＋bn}是等差数列 D.数列{anbn}不可能是等差数列 答案：ACD 解析：对于A，C，∵数列{an}，{bn}均为公差大于零的等差数列， ∴可设an＝p1n＋q1(p1>0)， bn＝p2n＋q2(p2>0)， 其中p1，q1，p2，q2均为常数， ∴an＋bn＝(p1＋p2)·n＋q1＋q2， ∴an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝p1＋p2>0， ∴数列{an＋bn}是等差数列，且为递增数列，故A，C正确； 对于D，∵anbn＝(p1n＋q1)(p2n＋q2) ＝p1p2n2＋(p1q2＋p2q1)n＋q1q2， ∴an＋1bn＋1－anbn＝p1p2(n＋1)2＋(p1q2＋p2q1)·(n＋1)＋q1q2－[p1p2n2＋(p1q2＋p2q1)n＋q1q2] ＝p1p2(2n＋1)＋p1q2＋p2q1， p1p2>0，故an＋1bn＋1－anbn＝p1p2(2n＋1)＋p1q2＋p2q1不可能恒为常数， 故数列{anbn}不可能是等差数列，故D正确； 对于B，设an＝n－2，bn＝n－3， 则a1b1＝2，a2b2＝0，a3b3＝0，数列{anbn}不是递增数列，故B错误. 10．设{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d≤0 B．a7＝0 C．S6与S7均为Sn的最大值 D．满足Sn<0的n的最小值为14 答案：BCD 解析：因为S6＝S7>S8，所以S7－S6＝a7＝0，S8－S7＝a8<0，所以d＝a8－a7<0，故A错误，B正确；因为S5<S6，S6＝S7>S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故C正确； 因为2a7＝a1＋a13，所以S13＝＝0，S14＝＝7(a7＋a8)<0，故D正确．故选BCD. 11．若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的是(　　) A．an＝3n B．an＝n2＋1 C．an＝ D．an＝ln 答案：CD 解析：对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不是递减数列，故A不符合题意；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}是递增数列，故B不符合题意；对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}是递减数列，故C符合题意；对于D，若an＝ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln ＝ln ，因为函数y＝ln 在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}是递减数列，故D符合题意．故选CD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是________． 答案：92 解析：因为5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，所以相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，则第5个五边形数是22＋13＝35，第6个五边形数是35＋16＝51，第7个五边形数是51＋19＝70，第8个五边形数是70＋22＝92. 13.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________． 答案： 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.显然当n＝1时，不满足上式，故an＝ 14．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＝________；若＝，则＝________． 答案：　 解析：若＝，则＝＝＝.若＝＝，则可设Sn＝(2n2－n)k，Tn＝(3n2＋n)k，所以a5＝S5－S4＝45k－28k＝17k，b4＝T4－T3＝52k－30k＝22k，所以＝. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知等差数列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6为方程x2-10x+16=0的两个实根. (1)求此数列{an}的通项公式. (2)268是不是此数列中的项?若是,是第几项?若不是,说明理由. 答案：(1) an=2n-4. (2) 第136项 解析：(1)由已知条件得a3=2,a6=8. 又{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d, ∴a1+2d=2,a1+5d=8,解得a1=-2,d=2. ∴an=-2+(n-1)×2=2n-4(n∈N*). ∴数列{an}的通项公式为an=2n-4. (2)令268=2n-4(n∈N*),解得n=136. ∴268是此数列的第136项. 16．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由． 答案：(1) an＝4n－3. (2) 存在常数k＝1 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d. ∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4＝18， 又a2a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根， 又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13. ∴∴∴an＝4n－3. (2)由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n， 假设存在常数k，使得数列{}为等差数列． 由＋＝2，得 ＋＝2，解得k＝1. ∴＝＝n， 当n≥2时，n－(n－1)＝，为常数， ∴数列{}为等差数列． 故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列． 17.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0). (1)若a＝－9，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 答案：(1) 最大项为a6＝2，最小项为a5＝0. (2) (－10，－8) 解析：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)， 又a＝－9，∴an＝1＋(n∈N*). 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1>a1>a2>a3>a4>a5，a6>a7>…＞an>1(n∈N*). ∴数列{an}中的最大项为a6＝2，最小项为a5＝0. (2)an＝1＋＝1＋， 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知5<<6，即－10<a<－8. 故a的取值范围是(－10，－8). 18．在等差数列{an}中，a3＝7，a9＝－5，数列{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求Sn取最大值时n的值； (3)设Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求Tn. 答案：(1) an=13-2n. (2) 6 (3) Tn＝ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a9－a3＝6d＝－12，解得d＝－2，则a1＝a3－2d＝11， 故an＝a1＋(n－1)d＝13－2n. (2)结合(1)，可得Sn＝11n＋×(－2)＝12n－n2＝－(n－6)2＋36， 所以当n＝6时，Sn取最大值． (3)因为an＝13－2n， 所以由13－2n≥0，得n≤＝6， 即n≤6时，有an>0；n≥7时，有an<0， 故当n≤6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn＝12n－n2， 当n≥7时，Tn＝a1＋a2＋…＋a6－a7－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝2S6－Sn＝2×(12×6－36)－(12n－n2)＝n2－12n＋72. 所以Tn＝ 19．已知数列{an}的首项为a1＝，且满足an＋1＋4an＋1an－an＝0. (1)证明：为等差数列； (2)设数列的前n项和为Sn，求数列{(－1)nSn}的前n项和Tn． 答案：(1)详见解析 (2) Tn＝ 解析：(1)证明：因为an＋1＋4an＋1an－an＝0，a1＝， 若an＋1an＝0，则an＝an＋1＝0，与a1＝矛盾， 所以an＋1an≠0， 所以an－an＋1＝4anan＋1， 所以－＝4， 因为a1＝， 所以＝2， 所以是首项为2，公差为4的等差数列． (2)由(1)，知＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 数列的前n项和Sn＝＝2n2， 所以(－1)nSn＝2×(－1)nn2， 设数列{(－1)nSn}的前n项和为Tn， 当n为偶数时，Tn＝2[－12＋22－32＋…－(n－1)2＋n2]， 因为n2－(n－1)2＝2n－1， 所以Tn＝2[3＋7＋…＋(2n－1)]＝2××＝n(n＋1)＝n2＋n； 当n为奇数时，n－1为偶数， Tn＝Tn－1＋2×(－1)nn2＝(n－1)n－2n2＝－n2－n. 所以Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的概念与等差数列单元检测A卷 班级 学号 姓名 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在数列1，，，2，，…中，第9个数是(　　) A．3 B．3 C. D．10 2.已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝(　　) A．－2 B．4 C．6 D．8 3.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，则a10＝(　　) A.36 B.15 C.46 D.66 4．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，若a1＝1，且an＋1＝则解下6个圆环所需的最少移动次数为(　　) A．13 B．15 C．16 D．29 5.已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 025＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 6.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　) A．28 B．29 C．30 D．31 8．已知数列{an}满足＋＝2，且a2＝，a3＝，则3a100＝(　　) A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知数列{an}，{bn}均为公差大于零的等差数列，则下列说法正确的有(　　) A.数列{an＋bn}是递增数列 B.数列{anbn}是递增数列 C.数列{an＋bn}是等差数列 D.数列{anbn}不可能是等差数列 10．设{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d≤0 B．a7＝0 C．S6与S7均为Sn的最大值 D．满足Sn<0的n的最小值为14 11．若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的是(　　) A．an＝3n B．an＝n2＋1 C．an＝ D．an＝ln 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是________． 13.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________． 14．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＝________；若＝，则＝________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知等差数列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6为方程x2-10x+16=0的两个实根. (1)求此数列{an}的通项公式. (2)268是不是此数列中的项?若是,是第几项?若不是,说明理由. 16．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由． 17.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0). (1)若a＝－9，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 18．在等差数列{an}中，a3＝7，a9＝－5，数列{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求Sn取最大值时n的值； (3)设Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求Tn. 19．已知数列{an}的首项为a1＝，且满足an＋1＋4an＋1an－an＝0. (1)证明：为等差数列； (2)设数列的前n项和为Sn，求数列{(－1)nSn}的前n项和Tn． 学科网（北京）股份有限公司 $