5.3 诱导公式课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦诱导公式二至六，通过复习单位圆、终边相同角及同角三角函数关系，以“圆的对称性对应三角函数性质”问题链搭建支架，引导学生从已有知识自然过渡到新公式探究。 其亮点在于以单位圆对称性为核心，通过“形建角关系、数联坐标、推导公式”的探究流程培养直观想象，结合求值、化简例题提升数学运算。小结从本质理解公式，助力学生积累探究经验，也为教师提供结构化教学资源。

5.3 诱导公式(2—4) 学习目标: (1)经历提出问题,并探究诱导公式二至四过程,积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验,提升直观想象核心素养; (2)初步应用诱导公式二至四解决问题,积累解题经验,提升数学运算核心素养。 重点:利用圆的对称性探究诱导公式二至四; 难点:诱导公式中角 可以是任意角的理解。 复习回顾 角的“周而复始”变化规律 单位圆上运动的点的位置 三角函数 终边相同的角 诱导公式一 单位圆上的几何特征 同角三角函数的基本关系 圆有哪些对称性质 三角函数的什么性质??? 其中 2 探究新知 如图,在直角坐标系内,设任意角的终边与单位圆交于点. 活动1:作关于原点的对称点,以为终边的角与角有什么关系? 角与角的三角函数值之间有什么关系? 下面,借助单位圆的对称性进行探究. 如图,以为终边的角都是与角终边相同的角,即因此,只要探究角与的三角函数值之间的关系即可. 3 设,.因为是点关于原点的对称点,所以, 根据三角函数的定义,得: 从而得: 公式二 探究新知 4 思考:如果点在第二象限,那么的坐标与点的坐标之间有什么关系? 如果点在y轴负半轴上呢?在其它位置呢? 公式二 探究新知 据此,公式二中的角的大小是多少? 角的大小是任意的 5 追问:上述探究公式二的过程,可以概括为哪些步骤?每一步骤蕴含的数学思想是什么? 探究新知 第一步:根据圆的对称性,建立角之间的联系; 第二步:建立坐标之间的关系,从不同角度进行表示; 第三步:等量代换,得到公式; 形 数 联系性 6 自主探究:借助于平面直角坐标系,类比活动1,你能说出单位圆上点的哪些特殊对称点吗?并按照活动1总结得到的求解步骤和数学思想方法,尝试求出相应的关系式。 探究新知 √ 7 活动2:作关于轴的对称点,则以为终边的角为,此时角与角的三角函数值之间有什么关系? 此时,我们易得:, 根据三角函数的定义,得: 从而得: 公式三 探究新知 角的大小是任意的 8 探究新知 活动3:作关于轴的对称点,则以为终边的角为,此时角与角的三角函数值之间有什么关系? 此时,我们易得:, 根据三角函数的定义,得: 从而得: 公式四 角的大小是任意的 9 归纳整理 公式二: 公式三: 公式四: 公式一: 负化正 大化小 小化锐 锐求值 用公式一或三来转化 用公式一将角化为之间的角 用公式二或四将大于90 的角化为锐角 得到锐角的三角函数后求值 10 巩固应用 例1.利用公式求下列三角函数值: (1);(2)(3)(4) 解:(1) (2) (3) (4) 11 巩固应用 思考:由例1,你对公式一公式四的作用有什么进一步的认识? 你能自己归纳一下任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗? 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 锐角的三角函数 的角的三角函数 用公式 三或一 用公式 二或四 用公式一 数学史上,求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题.数学家制作了锐角三角函数表,并通过公式一四,按上述步骤解决了问题。现在,我们可以利用计算工具求任意角的三角函数值,所以这些公式的“求值”作用已经不重要了,但它们所体现的三角函数的对称性,在解决三角函数的各种问题中却依然有重要作用. 利用公式一公式四,可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按下面的步骤进行: 12 巩固应用 例2.化简 解:, 所以,原式 13 回顾思考:诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系?你学习到了哪些基本知识,获得了怎么样的研究问题的经验? 课堂小结 (1)诱导公式是圆的对称性的代数化,是三角函数的性质; (2)诱导公式二—四;数形结合; 公式二: 公式三: 公式四: 公式一: 14 计算: (1) ; ; 目标检测 15 5.3 诱导公式(5—6) 学习目标: (1)经历探究诱导公式五与六过程,积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验,进一步提升直观想象核心素养; (2)初步应用诱导公式解决问题,积累解题经验,进一步提升数学运算核心素养. 重点:利用圆的对称性,从旋转角度探究诱导公式五与六; 难点:诱导公式的有效识记和应用。 回顾:上节课如何研究公式二—四? 复习回顾 第一步:根据圆的对称性,建立角之间的联系; 第二步:建立坐标之间的关系,从不同角度进行表示; 第三步:等量代换,得到公式; 形 数 联系性 17 新知探究 活动4:作关于直线的对称点,以为终边的角与角有什么关系?角与角的三角函数值之间有什么关系? 如图,以为终边的角都是与角终边相同的角,即因此,只要探究角与的三角函数值之间的关系即可. 18 新知探究 设,.由于是点关于直线的对称点,可以证明 从而得:公式五 19 新知探究 活动5:作关于轴的对称点,又能得到什么结论呢? 设,.由于是点关于轴的对称点,可以证明 由公式四、五可得: 从而得:公式六 20 思考:回顾利用公式一~公式四,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,并且建立了求解程序,那么公式五、六的作用是什么?可能在哪个环节用到这两组公式? 探究新知 实现正余弦的相互转换 任意角的三角函数 任意正角的三角函数 用公式三或一 角的三角函数 锐角的三角函数 用公式一 用公式二或 四、五、六 用公式一~六 21 归纳整理 公式二: 公式三: 公式四: 公式一: 奇变偶不变 符号看象限 公式五: 公式六: 22 巩固应用 例3.证明: (1); (2). 证明:(1) (2). 23 巩固应用 例4.化简 解:原式 = 24 巩固应用 例5.已知且求的值. 解:因为+所以由诱导公式五,得: 因为,所以. 由得: 所以 所以. 25 单元小结 问题1:回顾这两节课的学习,你学到了哪些基本知识,它们的作用是什么?能解决什么问题?求解的程序是什么? 问题2:我们已经知道诱导公式是三角函数的性质,是圆的对称性的代数化,据此,你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式? 问题3:此外,仅仅观察6组诱导公式的形式特征,你还能怎样记忆这些公式? 求解程序如前面的图所示,基本的思想是:负角变正角,大角变小角. 26 单元小结 问题2:我们已经知道诱导公式是三角函数的性质,是圆的对称性的代数化,据此,你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式? 问题3:此外,仅仅观察6组诱导公式的形式特征,你还能怎样记忆这些公式? 只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的,这种变化中点的坐标的关系是怎样的,就可以记住公式,而且还可以进一步推广公式. 通过观察发现,如果是一个角加的奇数倍,那么变换后会改变三角函数的名字;如果是一个角加,的偶数倍,那么变换后会不改变三角函数的名字. 27 目标检测 (1) 的值是( ) (2) _ _. (3)化简: _. (4)求证: . (5)已知,则 _. 28 谢谢大家! geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml $