5.2.1 三角函数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1.3 三角函数的概念 学习目标： （1）了解三角函数是刻画现实世界中具有周期性变化规律的数学模型。 （2）能够借助单位圆模型寻找函数关系，建立并掌握三角函数的概念。 （3）能够与初中所学锐角三角函数建立联系，将单位圆扩展到任意圆，并了解单位圆定义法与坐标比定义法的内在联系。 （4）掌握三角函数在各象限的符号。 导语：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型之一。 直线运动-----一次函数；抛物运动-----二次函数； 指数爆炸-----指数函数；对数增长-----对数函数； 提出问题 我们发现，大到宇宙天体的运动，小到质点的运动，客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律。 这种规律称为周期性，我们能否建立一种函数模型来刻画这种规律？ 2 今天我们继续按照研究函数的一般套路来展开探究。 函数问题的研究路径： 明确研究背景 对应关系的特点分析 下定义 研究性质 复习回顾 1.函数的概念 一般地，设是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数在集合中都有 的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 数集 唯一确定 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用。假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动。 如果将盛水筒视为质点P，点P以A为起点做逆时针方向旋转，点P的位置和什么因素有关呢？ O P A 情境引入 4 如图，单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，我们考虑建立一个函数模型，借助角α的大小变化来刻画点P的位置变化规律。 o P A 如果将盛水筒视为质点P，点P以A为起点做逆时针方向旋转，点P的位置和什么因素有关呢？ 模型建构 5 x y o P A 建立坐标系：以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴建立直角坐标系，以点A的坐标为（1，0），点P 的坐标为（x，y） （1，0） （x，y） 分析变量：弧度数——角的大小 P点坐标——点P的位置 对应关系：任意给定的角α，它的终边OP与单位圆的交点P是唯一确定的，则P点的坐标也就唯一确定。 模型建构 概念形成 6 任意给定的角，它的终边与单位圆的交点P的横坐标x和纵坐标y都是唯一确定. 任意的角α——唯一的实数 任意的角α——唯一的实数 模型建构 概念形成 当时，点P的坐标为 当时，点P的坐标为 当时，点P的坐标为 7 模型建构 概念形成 思考：你认为点 P 的坐标 (x, y) 是角 α 的函数吗? 如果是, 你能用集合与对应语言来刻画这种函数关系吗？ 实数（弧度）对应于点的纵坐标 A集合 B集合 实数（弧度）对应于点的横坐标 自变量 函数值 对应关系 8 模型建构 概念形成 三角函数的概念： 9 模型建构 概念形成 10 （2）三角函数的三要素分别是什么？ 问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？与以往学习的函数定义有什么不同？ 正弦函数 余弦函数 正切函数 =tan 角 实数 (角的弧度) 三角 函数值 概念辨析 三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. （1）正弦函数： （2）余弦函数： （3）正切函数：       注意: （1）在任意角的三角函数定义中，是一个使函数有意义的实数； （2）是自变量，离开自变量的sin,cos,tan是没有意义的 概念辨析 解：如图在直角坐标系中作 典例训练 例2：请说出角。 问题： 如果改变角α终边上点P的位置，三角函数值是否会改变呢？ 典例训练 如果改变角α终边上点P的位置，三角函数值是否会改变呢？ 三角函数概念推广 设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，点 与原 点的距离|OP|= 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关. 三角函数概念的推广： 三角函数概念推广 目标检测 教科书179-180练习（建议用时：10分钟） 1.通过本节课的学习，你能阐述任意角三角函数的研究思路吗? 2.在获得知识的过程中，体现了什么样的数学思想方法？ 数学来源于生活，又服务于生活！ 应用 ？ 课堂小结 教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的，欧拉令圆的半径为1，用平面直角坐标系来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题。 神秘的三角学 到公元前2世纪，古希腊天文学家「三角学之父」希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，制作了第一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，就是规定在一个圆内，不同圆心角所对弦长的表。思考的是定圆各中心角所对应的弦长﹝全弦﹞，成为西方三角学的最早奠基者。 大约公元5世纪，印度数学家改进了弦表，计算半弦。他们研究一个角的倍角所对弦的一半。后来，哥白尼的学生雷提库斯（1514—1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角关系，定义为直角三角形的边长之比。 拓展阅读 谢谢大家！ geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml $