精品解析：上海市下沙中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考卷

九年级数学练习 一、选择题 1. 下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； C．，则是成比例线段，故该选项符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列图形，相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 3. 在Rt△中，，，，下列选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知BC=4，,,由此可知，答案是B选项． 考点：1、勾股定理 2、锐角三角函数的定义． 4. 已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，中，，于点，下列结论中错误的是（ ） A. AC2=AD⋅AB B. CD2=CA⋅CB C. CD2=AD⋅DB D. BC2=BD⋅BA 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据射影定理对各选项进行判断． 【详解】解：∵CD⊥AB于点D， ∴ 故选B. 【点睛】考查了射影定理，熟记射影定理是解题的关键. 6. 如图，在中，D、E分别在边AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断． 【详解】A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∵CE≠AC，∴，故本选项错误； B、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本选项错误； C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，故本选项正确； D、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本选项错误. 故选C. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找对应线段是关键． 二、填空题 7. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据等式性质，将已知等式变形求解． 【详解】解：由 ，两边同时除以 （），得 ； 再两边同时除以 3，得 ， 故答案为：． 8. 在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺，根据，即可解答． 【详解】因为比例尺为，且图上距离是， 所以实际距离是． 故答案为：12． 9. 如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4， ∴其相似比为5：4， ∴这两个相似三角形的周长的比为5：4． 故答案为：5：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 10. 在中，，若，则的长为____． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理， 在直角三角形中，利用的余切定义求出直角边的长度，再应用勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：在中，， ∵AC=9，cot B=， ∴， 由勾股定理，． 故答案为：． 11. 如果是锐角，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 12. 点分别在的边上，如果，那么______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质、平行线的判定解答即可． 【详解】解：当，， ， ， 若,可推导出, , , , , 故答案为： ． 13. 如图，在梯形ABCD中，，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用含有度角的直角三角形的性质得出，再证明，从而可利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知平行四边形的对角线与交于点O，设，那么向量关于向量、的分解式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是利用三角形法则解决问题．利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为： ． 15. 如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的重心，解直角三角形，平行线分线段成比例．连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，解得，，证明四边形是矩形得，，然后利用平行线分线段成比例求得得，据此可得点A、O的距离． 【详解】解：连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵点O是的重心， ∴，都是的中线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、O的距离为10． 故答案为：10． 16. 在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了正方形的性质． 设正方形的边长为，则，证明，则利用相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可得到答案．灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∴，即， 解得x， 即正方形的边长为． 故答案为：． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，过点作交于点，证明，得到，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵是梯形的“黄金分割线”， ∴，， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图, 在 中，， 点 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，则 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，设，则，，解直角三角形即可求得，即的值 【详解】解：如图，过点作于点 在 中，， ， 是等腰直角三角形 = 设，则， 沿着直线翻折，点落在边上，记为点， 在中， 即 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． （1）求的值； （2）设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由题意可得∽，则，即，再证明∽，即可求解； （2）由题意得，，则；由题意得，，则，，进而求解． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 21. 如图，在菱形中，，． （1）求对角线的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，灵活运用相关知识是解决问题的关键． （1）连接，交于，在中，解直角三角形求出即可； （2）过点作于，根据菱形的面积公式求出，根据三角函数的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：连接，交于， 四边形是菱形， ，，， 在中， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， 菱形的面积， 过点作于， 则， ， ． 22. 如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． （1）如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 【答案】（1）存在， 分割方案：（答案不唯一）如图： 过点的直线交边于点，使得，              证明：，，，，， ，，，， ， 即， ，                                    ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）根据锐角的正切值可以得到，故过点的直线交边于点，使得，即可； （2）根据相似的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，，， ， ． 23. 如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． （1）求证：； （2）联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2） 证明：∵ ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定是解题的关键． （1）由及可得，则有；再由平行条件得，则可证明； （2）由及，可得，则可得，进而得；再证明即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角系中，直线AB：分别交x轴、y轴于A、B两点，点是x轴上的一点，连接BC． （1）求证：； （2）求的值； （3）点D在y轴上，且使与相似，求点D的坐标． 【答案】（1） 证明：令，则， ∴， 令，则， ∴A， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）D点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）分别求出两个三角形的三边，根据三角形的三边对应成比例进行证明即可； （2）过点C作交于F点，分别求出的长，即可求； （3）先判断出，再分两种情况讨论：当时，，根据平行线分线段成比例可求；当时，由，可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作交于F点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴； 当时， ， ∴， ∴； 综上所述：D点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图1，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出长即可； （2）根据与相似，可以求出和的长，过作交于，根据平行线分线段成比例及可求出； （3）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可以得出也是等腰三角形，所以，然后根据平行线分线段成比例求解即可． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ∴， ， 同理，， ， ； 【小问3详解】 时， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ，即， ， 同理，，即， ， ； 当时，如图所示， 在上截取点，使， 则， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定与性质，全等三角形的证明，掌握相似条件是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题 1. 下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 下列图形，相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 3. 在Rt△中，，，，下列选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，于点，下列结论中错误的是（ ） A. AC2=AD⋅AB B. CD2=CA⋅CB C. CD2=AD⋅DB D. BC2=BD⋅BA 6. 如图，在中，D、E分别在边AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是　　 A. B. C. D. 二、填空题 7. 如果，那么_____． 8. 在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为_____． 9. 如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为_______________． 10. 在中，，若，则的长为____． 11. 如果是锐角，，那么______． 12. 点分别在的边上，如果，那么______时，． 13. 如图，在梯形ABCD中，，，，则_______． 14. 如图，已知平行四边形的对角线与交于点O，设，那么向量关于向量、的分解式是______． 15. 如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为__________． 16. 在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 _________． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么______． 18. 如图, 在 中，， 点 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，则 _______． 三、解答题 19. 计算：． 20. 如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． （1）求的值； （2）设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 21. 如图，在菱形中，，． （1）求对角线的长； （2）求的值． 22. 如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． （1）如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 23. 如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． （1）求证：； （2）联结，与相交于点O，若，求证：． 24. 如图，在平面直角系中，直线AB：分别交x轴、y轴于A、B两点，点是x轴上的一点，连接BC． （1）求证：； （2）求的值； （3）点D在y轴上，且使与相似，求点D的坐标． 25. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图1，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $