湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测12

高一数学周测12 一、单选题 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 3．若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 4．设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．14 C． D． 7．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．现在加密密钥为（，且），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是（   ） A．－18 B．－15 C．15 D．18 8．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A． B． C．8 D．16 10．已知函数，其中，且，则（　　） A． B． C． D．函数有2个零点 11．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数的最小值是0 C．若对任意实数，不等式恒成立，则 D．，则 三、填空题 12．已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则 13．已知，若，则实数的取值范围是 ． 14．已知函数的值域为，的值域为，则 四、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 17．某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 18．已知函数是偶函数，. (1)求的解析式； (2)若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； (3)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为 的“2重覆盖函数”?请说明理由； (2)若为 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. (3)函数[x]表示不超过x的最大整数，如.若， 为 的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 《高一数学周测12--解析版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D B C A B CD AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据奇函数定义及应用解析式的单调性判断各个选项. 【详解】对于A：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，A选项错误； 对于B：函数定义域为，，所以函数是奇函数， 在定义域内单调递增，B选项正确； 对于C：在区间上单调递减的，C选项错误； 对于D：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误； 故选：B. 2．A 【分析】由，知；由，知，代入可求结果；或由，得，所以，代入可求得结果. 【详解】由，知； 由，知. 所以. 方法二：由，知，所以. 所以. 故选：A. 3．D 【分析】由根式的运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D 4．D 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以的大小关系为. 故选：D 5．B 【分析】由题构造函数，判断的单调性，从而得到，依次判断各个选项. 【详解】令，由在R上单调递增，在R上单调递增， 所以函数在R上单调递增. 若，则，即， . 对于AB，由，得，即，所以，故A错误，B正确； 对于CD，由，得，所以，故选CD错误. 故选：B. 6．C 【分析】利用周期性，奇偶性，结合分段函数解析式，来求函数值即可. 【详解】因为，的周期为2， 所以． 因为为偶函数，所以． 因为当时，， 所以． 故选：C. 7．A 【分析】由题意代入数据，由指数运算法则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：A. 8．B 【分析】先利用函数奇偶性分解，得到偶函数与奇函数的解析式，再将不等式转化为关于的式子，通过变量替换结合基本不等式确定变量范围，最后分离参数，分析函数单调性求最值，得到的取值范围. 【详解】依题意，为偶函数，为奇函数， 由，且， 解得， . ，结合， 得，故. 代入不等式，得，即. 设，由基本不等式，， 当且仅当时等号成立，故. 不等式转化为对恒成立，分离参数得. 函数在上单调递减，故的最大值为. 因此. 故选：B. 9．CD 【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点， 即方程有两个不等的实根， 而方程有三个不等的实根 得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点， 故或，解得或. 故选：CD. 10．AC 【分析】根据题意，求得，进而求得，可判定A正确；画出函数的图象，结合图象，得到的范围，可判定B不正确；根据图象，得到，当时，令，求得，可判定C正确；求得，分和，两种情况分析，方程根的个数，得到零点个数，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，可得， 所以，所以A正确； 对于B，根据二次函数与指数函数的图象与性质，画出函数的图象，如图所示， 要使得，可得，即，所以B不正确； 对于C，当时，，可得的对称轴为，所以， 由，令，可得，解得， 所以，即， 所以，所以C正确； 对于D，由函数， 因为，可得， 当时，方程，结合图象知，方程只有1个实数根； 当时，方程，即， 可得，此时方程有2个实数根据， 所以函数共有3个零点，所以D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】直接验证A选项即可；求得，利用换元法求得的最小值判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，将不等式恒成立转化为在上恒成立，然后按照和分类讨论求解范围判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A， ，所以，正确； 对于B， ， 令，当且仅当即时等号成立， 则，因为在上单调递增， 故时，有最小值为， 即函数的最小值是0，正确； 对于C，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 不等式在上恒成立， 则， 函数为上的增函数，故在上恒成立， 即在上恒成立，当时，即，不合题意； 当时，由题意，解得，综上，错误； 对于D，， 当时，由整理可得， 即，故，正确. 故选：ABD. 12． 【分析】根据零指数幂的意义及幂函数的定义计算即可. 【详解】， 设，则，故， . 故答案为：. 13． 【分析】首先计算的定义域，然后利用定义法判断出为偶函数，再根据复合函数同增异减的原则，判断出的单调性，最后再根据奇偶性和单调性解不等式，得出最终结果. 【详解】由得，的定义域为：； ， 根据函数奇偶性的定义：，所以为偶函数； 令，，根据二次函数的性质，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减； 又因为为增函数，根据复合函数同增异减的原则，在上单调递增，在上单调递减； 因为为偶函数，所以不等式等价于， 则，解得：； 故答案为：. 14．0 【分析】由的值域为，得到的值域为，则有，从而求得；由的值域为，得到的最小值为9，则有，从而求得，计算的值得解. 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为，所以，解得； 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2)3 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数的定义及运算求解． 【详解】（1）原式 . （2） ． 16．(1) (2) (3)在上为减函数，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域和单调性结合可得出关于的等式与不等式，即可得出原方程的解集； （3）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论. 【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得，故. （2）因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得，解得， 故方程的解集为. （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数. 17．(1) (2)项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【详解】（1）由， 可得，解得 故； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 18．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）通过求得，验证即可； （2）由题知方程无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数的值域即可； （3）由题知，，利用换元法得，，最后分类讨论求函数最值即可. 【详解】（1）因为函数是偶函数，. 所以， 解得：，经验证符合题意， 所以 （2）由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. （3）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为. 19．(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义进行判断； （2）分情况讨论分段函数的解的个数，结合二次函数性质求解； （3）先求出再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【详解】（1）当时，，方程仅有一个解， 不满足“重覆盖函数”要求，故不是的“2重覆盖函数”. （2）函数在上单调递增，其值域为. 中的部分单调递增，对任意，该部分方程仅有一个解. 因此需保证对任意，方程在时仅有一个解. 当时，（）单调递减，对， 方程的解，仅有一个解，符合条件. 当时，二次函数开口向上，对称轴为. 若，则在时单调递减，. 当时，，对，方程在时仅有一个解； 当时，（）单调递减，对，方程在时仅有一个解，符合条件. 当时，二次函数开口向下，，对， 方程在时无或两个解，不符合条件. 综上，实数的取值范围是. （3）因为，所以 则对于任意要有2024个根， 作出函数的图象（部分）， 如图： 要使有2024个根，则， 又，则，故正实数的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $