湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测11

高一数学周测11 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，集合，则 （  ） A． B． C． D． 2．幂函数在区间上单调递增，则的值为（   ） A．或3 B．3 C． D．或-3 3．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 5．在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 6．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 8．已知函数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．不等式的解集为 10．已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为4 11．已知函数，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．如果函数的定义域为，则值域为 C．方程有且仅有三个不同的实数解 D．如果不等式的解集为，则不等式的解集为 三、填空题 12．已知函数，则的定义域为 . 13．已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为 . 14．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．计算：①； ②； 16．已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 17．某乡镇水果资源丰富，积极打造水果生态小镇.经调研发现，种植某种水果，当施肥量单位：千克时，单株产量单位：千克满足，此时全部交于收购商打理，无额外支出，最后以12元/千克全部卖于收购商，已知施肥量为2千克时，单株产量为12千克；后来改进措施，加大施肥量，当施肥量时，单株产量，模式变为自我管理、改善水果品质，单株额外增加了成本15 x元如肥料、人工、机器等，最后以15元/千克全部卖出. (1)写出单株利润元关于施肥量千克的关系式； (2)当施肥量x为多少千克时，该水果单株利润最大?最大是多少元? 18．已知指数函数的图象过点，函数． (1)求的解析式； (2)证明：在上单调递增； 19．已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，，． (1)求，的值； (2)若函数． （i）当时，求函数的最大值； （ii）是否存在，，使得关于的不等式的解集为?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学周测11 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，集合，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的性质化简集合A，结合一元二次不等式的解集及集合并集的概念即可求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：A. 2．幂函数在区间上单调递增，则的值为（   ） A．或3 B．3 C． D．或-3 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可. 【详解】由于为幂函数，则， 解得或3， 又因为在区间上单调递增，则， 综上， 故选：B. 3．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 4．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 5．在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】B 【分析】根据声强级的定义分别求出声强级为和声强级为的声强度，然后计算它们的比值即可. 【详解】由题意得，， 当声强级为时，，； 当声强级为时，，， . 故选：. 6．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：B. 7．关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【答案】C 【分析】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C 8．已知函数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论并结合解析式，列不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】利用幂函数的定义结合过点，可求判断AC；进而可得函数的奇偶性判断B；解不等式可求解集判断D. 【详解】因为函数为幂函数，所以，解得， 当时，幂函数的图象不可能过点，故， 当，幂函数的图象过点， 则，解得，故A正确，C错误； 的定义域为，且，故为偶函数，故B正确； 函数在上单调递减， 由，可得， 所以，解得且，故D错误. 故选：AB. 10．已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BC 【分析】利用基本不等式可判断AB；妙用“1”可判断C；取特值可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故错误； 对于B，因为，所以， 即，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，令，则， 所以的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 11．已知函数，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．如果函数的定义域为，则值域为 C．方程有且仅有三个不同的实数解 D．如果不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得即可判断；对于B，根据函数单调性确定值域即可；对于C，根据因式分解求根即可判断；对于D，由题可知是方程的根，求出，再用因式分解法解不等式即可． 【详解】对于A，， 则函数的图象关于点对称，故A正确； 对于B，因为都是上的增函数， 所以在单调递增，且，，故值域为，故B正确； 对于C，令，即， 解得： 所以方程有且仅有两个不同的实数解，故C错误； 对于D，不等式的解集为， 则是方程即的根， 所以，解得， 则不等式为， 即， ，解得， 则不等式的解集为，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题 12．已知函数，则的定义域为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再结合抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由，解得且， 则的定义域为， 由，解得且， 则的定义域为. 故答案为：. 13．已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，由题意函数在单调递增，再利用分段函数的单调性，列出不等式组求解. 【详解】若，当时，都有，即， 令，可得， 所以函数在单调递增. 又， ∴，解得， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当，时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下：      令函数，，解得或， 即或， 根据图象有2个解，有1个解， 因此此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图像如下：    令函数，，解得或或， 根据图象，有3个解，有2个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 四、解答题 15．计算：①； ②； 【答案】①；②； 【详解】解：（1）①原式； ②原式； 16．已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 【答案】(1) (2) (3) 函数的值域是；单调递增区间是，单调递减区间是. 【分析】（1）根据指对函数的运算公式，结合偶函数的定义，即可求解； （2）首先化简，再根据对数函数的单调性解不等式； （3）根据复合函数的单调性，结合二次函数和对数函数的性质，即可求解. 【详解】（1）， 若函数是偶函数，所以， 所以， 即，则， 即，得，得； （2）， 所以不等式为， 所以， ，得， ，得，即， 得，即， 综上可知； 所以不等式的解集为； （3），得，得， 函数的对称轴是，最大值为2， ，，，所以， 根据复合函数的单调性可知，单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的值域是. 17．某乡镇水果资源丰富，积极打造水果生态小镇.经调研发现，种植某种水果，当施肥量单位：千克时，单株产量单位：千克满足，此时全部交于收购商打理，无额外支出，最后以12元/千克全部卖于收购商，已知施肥量为2千克时，单株产量为12千克；后来改进措施，加大施肥量，当施肥量时，单株产量，模式变为自我管理、改善水果品质，单株额外增加了成本15 x元如肥料、人工、机器等，最后以15元/千克全部卖出. (1)写出单株利润元关于施肥量千克的关系式； (2)当施肥量x为多少千克时，该水果单株利润最大?最大是多少元? 【答案】(1) (2)当施肥量为4千克时，单株利润最大为240元 【分析】（1）先求得，进而可求出单株利润元关于施肥量千克的关系式； （2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）因为施肥量为2千克时，单株产量为12千克， 所以，解得， ， . （2）当时，令，则， ，时，， 当时，， ， 当且仅当，即取等号， ，当施肥量为4千克时，单株利润最大为240元. 18．已知指数函数的图象过点，函数． (1)求的解析式； (2)证明：在上单调递增； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图像所过点求解 ； （2）根据单调递增函数的定义结合指数函数的性质即可证明； （3）根据奇函数的定义和函数的单调性转化为恒成立，通过分类讨论结合分离参数及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设（，且）， 由，得， 所以. （2）由（1）可知：， 任取，且， 可得， 因为，则，可得，，， 则，即，所以在上单调递增. （3）因为的定义域为， 且，所以是奇函数． 由得， 又因为在上单调递增，则． 当时，恒成立； 当时，可得， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以的取值范围为． 19．已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，，． (1)求，的值； (2)若函数． （i）当时，求函数的最大值； （ii）是否存在，，使得关于的不等式的解集为?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)（i）答案见解析；（ii）存在，， 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求出值，根据定义在上的奇函数的性质求出值后检验即可； （2）（i）在求出的表达式后，设，得，函数化成，利用二次函数在给定区间上的图象性质即可求得其最大值；（ii）依题意，的解集为等价于关于的不等式的解集为，利用三个二次的关系建立方程组，求解即可. 【详解】（1）因为为偶函数，则恒成立，即， 即， 因为，所以，即，所以，因为对所有都成立，所以； 因为函数为奇函数，且定义域为，所以，即，所以， 即，因为，所以符合题意； （2）因为，， 则， 令，则， （i）因为，且是关于的增函数，所以， 的对称轴为直线， 当时，所以； 当时，所以， （ii）因为，则， 所以若的解集为， 则关于的不等式的解集为， 则是方程的两根，且需， 由， 解得，，满足，即恒成立， 所以当，时，不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $