湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测训练4

华科附中2028届高一（上）数学周测训练4 一、单选题 1．命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用命题的否定的规则求解即可. 【详解】由命题的否定的规则可得命题，的否定是，. 故选：A 2．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得解. 【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B 3．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后通分，将其转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 5．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 6．已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系确定集合的元素，再根据集合的元素个数分类判断可得. 【详解】由，再由，得，. 由CB，根据集合C中的元素个数分3类： ①集合C中有2个元素时，集合C只能是，共1个； ②集合C中有3个元素时，集合C可以是，，，共3个； ③集合C中有4个元素时，集合C可以是，，，共3个； 所以满足且CB的集合的个数为个. 故选：D. 7．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 8．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 二、多选题 9．设全集为U，集合A，B满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由集合的运算即可得解. 【详解】全集为U，集合A，B满足，当且仅当， 所以，故A正确；，即不一定成立，故B错误； 对于C，若是的真子集，则不成立， 对于D，正确. 故选：AD. 10．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 11．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，结合题意分析求解即可；对于C：分析可知，分析和两种情况运算求解；对于D：，整理可得，分和两种情况运算求解即可. 【详解】对于A：取，故A错误； 对于B：因为，可得， 又因为，即，可得，即，故B正确； 对于C：若，则， 又因为，则， 当时，； 当时，； 综上所述：，故C错误； 对于D：设，则， 所以， 当时，， 可得， 故当时，成立； 当时，则， 可得， 故当时，成立；故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 14．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 四、解答题 15．已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围； （2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以或． 又且， 所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）若（补集思想），则． 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，得． 综上，知时，， 所以时，实数的取值范围是． 16．已知不等式的解集为，集合，， (1)求集合； (2)解关于的不等式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过解分式不等式可得结果； （2）由题意求出集合B，结合不等式的解集可得，从而代入解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，得， 则或， 解得或 所以. （2）因为，，所以 ， 又因为，所以， 所以不等式的解集为， 从而是方程的两根，且， 由，得， 又，所以，即， 解得. 所以不等式的解集为. 17．近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供(万元)的专项补贴.某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到(万件).同时某制衣有限公司生产(万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益＝销售金额+政府专项补贴－成本. (1)求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益(万元)关于政府补贴（万元）的表达式； (2)莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益(万元)最大? 【答案】(1)， (2)当莆田市政府的专项补贴为6万元时，所获收益最大. 【分析】（1）根据题意列出函数关系式，化简得到； （2）在（1）的基础上，变形后利用基本不等式求出答案. 【详解】（1）， 因为，所以， （2）， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ， 故当莆田市政府的专项补贴为6万元时，所获收益取得最大值30万元. 18．设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将问题转化为，恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）恒成立等价于，恒成立. 当时，不等式可化为，满足题意. 当时，有，即，解得， 综上，a的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或 ； 综上，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）由条件可得，列关系式，求， （2）由条件结合必要条件的定义可得，列不等式求的取值范围， （3）由三角形性质可得，，，结合结论①证明， ，，再利用结论②完成证明. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， （2）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以，， 所以， 所以的取值范围为， （3）因为是三角形的三边，所以，，， 由结论①可得， ， ， 由结论②可得，又， 所以， 故. 试卷第2页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华科附中2028届高一（上）数学周测训练4 一、单选题 1．命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 7．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 8．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 二、多选题 9．设全集为U，集合A，B满足，则（   ） A． B． C． D． 10．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C．若，则 D． 三、填空题 12．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 13．若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 14．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16．已知不等式的解集为，集合，， (1)求集合； (2)解关于的不等式 17．近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供(万元)的专项补贴.某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到(万件).同时某制衣有限公司生产(万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益＝销售金额+政府专项补贴－成本. (1)求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益(万元)关于政府补贴（万元）的表达式； (2)莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益(万元)最大? 18．设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 19．集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 试卷第2页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $