湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测10

高一13班数学周测10 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式求得集合，，再找出中的整数元素，同时排除属于的整数元素，即可得到集合. 【详解】根据题意，解得集合，集合， 又集合， 而集合中的整数有，集合中的整数有，所以集合. 故选：D. 2．以下各式的值错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倍角公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：A. 3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.若是斜边的中点，且，则原图中BC边上的高为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据原图与直观图的关系即可求解. 【详解】直观图中轴，所以原图中轴，即为BC边上的高. 因为，所以， 故选：C. 4．已知内角，，的对边为，，，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式化简，再由余弦定理及正弦定理化简，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，可得， 结合正弦定理及余弦定理有， 整理得，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 5．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积. 【详解】在正方体中，延长交于点， 连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面， 平面平面， 得，又，且， 因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面. 在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 6．如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求，故可求线线角的余弦值. 【详解】因为分别为棱的中点且正四面体的棱长为2， 故， 而，， 故 ， 故，故和夹角的余弦值为， 故选：C. 7．已知A，B是函数的图象上的相异两点，若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由题意得，根据去掉绝对值得到 ，最后由基本不定式可得，即得到所求范围． 【详解】设，，则， ∵， ∴， ∴， 由基本不等式得，（等号不成立）， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】（1）解答本题的关键是正确理解题意，并由条件得到定值，然后再用基本不等式求解； （2）运用基本不等式时要注意不等式的使用条件，特别是等号成立的条件． 8．设，若，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：D． 二、多选题 9．给出以下四个结论，其中正确的是(    ) A．函数的图象过定点 B．若，则的取值范围是 C．当时，幂函数的图象是一条直线 D．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据对数函数和幂函数的图像，以及复合函数“同增异减”的原理，分别对选项进行验证即可. 【详解】对A：当时，，则函数的图象过定点，故A错误. 对B：原不等式等价于，则有或(无解)，解得，故B正确. 对C：当时，幂函数，此时函数的图象是两条射线，故C错误. 对D：由复合函数内、外层“同增异减”可知，实数应满足，解得，故D正确. 故选：BD. 10．已知的面积为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用二倍角公式将展开，判断B选项，根据B选项用特殊情况法和排除法验证其他选项. 【详解】利用二倍角公式，将展开： 代入已知条件， 化简得：，选项B正确； 令，则， 因为，则， 若为锐角三角形，则，即，则， 所以，矛盾，故，即， 三角形面积，故，由，得， 而，平方得：， 故，选项A正确； 由勾股定理，，结合（），得：， 代入，解得，即，选项C错误； 由，得，选项D错误. 故选：AB. 11．在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当，四棱锥的外接球的表面积是 C．周长的最小值为 D．若，则点的轨迹长为 【答案】ABD 【分析】A选项，先得到，故点在线段上，证明出，所以三棱锥为定值；B选项，点为线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径和外接球面积；C选项，取线段的中点，由对称性知，，数形结合得到，从而得到周长的最小值；D选项，由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，求出圆的半径，得到轨迹长度. 【详解】A选项，当时，， 故，即， 故点在线段上， 连接，与相交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以，故三棱锥的体积为定值，A正确； B选项，当时，由A选项可知，，点为线段的中点， 连接相交于点，则⊥平面， 设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线， 其中，设，则， 由勾股定理得，即， 解得， 则表面积是，B正确； C选项，点在矩形及其内部，取线段的中点， 由对称性知，， ，此时三点共线， 又， ，C错误； D选项，因为 ，又点在矩形及其内部， 点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形， 又⊥平面，且， 故 ， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分， 如图，其中，， 故， 则， 则， 则轨迹长为，D正确. 故选：ABD 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、填空题 12．已知复数且，若满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据三角不等式可求的取值范围. 【详解】因为，所以. 因为. 故答案为： 13．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由圆的性质得到，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可. 【详解】因为点为的中点，，所以， ， 因为点为线段上的一动点，， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 14．甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 【答案】 【分析】先由题意作出轴截面，根据四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似，可得，求出，由体积公式计算可得结果. 【详解】设大球半径为，小球半径为， 则大球体积，小球体积. 圆台的高为. 根据切线长定理可得：，. 由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似， 即. 解得：，则， 则圆台体积为 则酸奶的体积为： . 故答案为： 四、解答题 15．如图，已知在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：直线平面. 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析. 【分析】（1）要证 平面，只要证，在中由中位线定理易证； （2）先证，，可得直线平面. 【详解】（1）如图，连接. ∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点. 又∵是的中点，∴. ∵平面，平面， ∴平面. （2）由（1）知， 因为在正方体中，所以平面， 又 平面，所以，所以. 连接，同理可证：， 平面，平面，， 所以直线平面. 16．如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. (1)证明：； (2)当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理逆定理证明即可； （2）由线面角的定义说明为与平面所成角，结合解三角形知识求解即可. 【详解】（1）设等边三角形的边长，连接、， 因为点为的中点. 则， 因为，所以，又， 所以，所以； （2）因为，所以，又，平面， 所以平面，连接，则为与平面所成角， 又平面，所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，即与平面所成角的余弦值为； 17．函数.若两相邻对称轴之间的距离为. (1)求的单调增区间； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得，再利用正弦型函数的图象与性质求解； （2）由三角恒等变换求解． 【详解】（1）， 由两相邻对称轴之间的距离为，得周期，即， 所以， 由，可得， 所以的单调增区间为； （2）由，可得，所以， 因为，所以， 若，则，又，所以， 所以，所以， 所以. 18．在中，，上存在一点，使得，为的中点. (1)若，求的面积； (2)若在上的投影向量为，求的大小. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据余弦定理，求得，得到，结合，即可求解； （2）过作，得到，设，得到，再在中，由正弦定理求得，联立方程组，得到，即可求解. 【详解】（1）解：在中，， 由余弦定理得，解得：， 又因为且为上的一点，则，可得， 所以. （2）解：因为为的中点，且在上的投影向量为， 过作，垂足为， 则为等腰三角形，所以， 设，可得，① 在中，由正弦定理得：，即，② 联立①②，可得， 因为，可得或， 解得或.    19．对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 【答案】(1)不是“伪奇函数“，也不是“伪偶函数“， (2)实数的取值范围为； (3)整数的取值集合为 【分析】（1）判断“伪奇函数”：计算，看是否有非零解；判断“伪偶函数”：计算，看是否有非零解； （2）先确定幂函数，再根据“伪奇函数”定义得方程，通过换元法结合函数性质求范围； （3）根据“伪奇函数”定义得方程，换元后转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围. 【详解】（1）由题可知，则， 则，因为恒成立， 不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”； ，， 若，则， 故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”； （2）因为是幂函数，则，所以， 故，所以， 则，所以，因为且， 所以在上有非零实数解，则且， 令，且，令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以，当且，， 故， 所以实数的取值范围为； （3）由定义可得，，则， 所以在上存在非零实数解， 令，，故， 即方程在开区间上存在非零实数解， 令，，对称轴为， 当时，，满足题意； 当时，则， 所以，故； 当时，则， 即，即. 综上，，则满足整数的取值集合为. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测10 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．以下各式的值错误的是（   ） A． B． C． D． 3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.若是斜边的中点，且，则原图中BC边上的高为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．已知内角，，的对边为，，，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 5．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 7．已知A，B是函数的图象上的相异两点，若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设，若，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．给出以下四个结论，其中正确的是(    ) A．函数的图象过定点 B．若，则的取值范围是 C．当时，幂函数的图象是一条直线 D．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 10．已知的面积为，则（　　） A． B． C． D． 11．在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当，四棱锥的外接球的表面积是 C．周长的最小值为 D．若，则点的轨迹长为 三、填空题 12．已知复数且，若满足，则的取值范围为 . 13．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是 . 14．甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 四、解答题 15．如图，已知在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：直线平面. 16．如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. (1)证明：； (2)当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； 17．函数.若两相邻对称轴之间的距离为. (1)求的单调增区间； (2)若，，求. 18．在中，，上存在一点，使得，为的中点. (1)若，求的面积； (2)若在上的投影向量为，求的大小. 19．对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $