湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测8

高一13班数学周测8 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在复平面内，复数，对应的点分别为，，则=（    ） A． B． C． D． 2．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 3．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 6．已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知 ，则（    ） A． B． C． D． 8．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．若复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 11．如图，正八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则下列结论正确的是（    ） A．点D到平面的距离为 B．一蚂蚁从点A爬到点C的最短距离为4 C．此八面体的外接球半径为 D．此八面体的内切球半径为 三、填空题 12．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ． 13．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 14．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，若，则的最大值为 ． 四、解答题 15．如图，在正方体中，，分别为，的中点． (1)证明直线平面； (2)设，求三棱锥的体积． 16．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 17．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 18．已知向量，，记函数. (1)若为偶函数，求的最小值； (2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值. 19．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测8 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在复平面内，复数，对应的点分别为，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义、模的计算公式即可得出. 【详解】解：，，所以 = 故选：C 2．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，，    ，，. 故选：D. 3．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理可求得，根据斜二测画法得到原图形边长即可． 【详解】因为其中轴，轴， 所以，由余弦定理得， ， 即，解得， 由斜二测画法知原为直角三角形，，， ， 所以周长为． 故选：A． 4．已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】画图，的面积可表示为，根据三角函数性质可得当时，截面面积取得最大值，即可得到结果. 【详解】如图，是圆锥的轴截面，依题意可得， 过该圆锥顶点的任意截面的面积可表示为， 易知当时，截面面积取得最大值，所以，解得．    故选：B 5．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】连接，与交于点，连接，易证，得，由平面利用线面平行的性质定理可得，即可求得. 【详解】如图，连接，与交于点，连接. 因为为的中点，所以，由四边形是平行四边形，可得， 则，所以，所以． 又平面平面，平面平面，所以，所以． 故选：D．    6．已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可求出、，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以， ， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故选：B 7．已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切化弦，结合两角和差的正弦公式得到，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：C 8．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，则可得，再借助余弦定理的推论即可得，从而可得，则可用表示出，最后利用正弦定理计算即可得. 【详解】因为，即，得， 点满足，则， 在与中，，， 所以，则，即，所以，且； 在中，由余弦定理得， 因为，所以，所以，， 在中，由正弦定理得， 化简得，解得． 故选：C． 二、多选题 9．若复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用复数概念及模的运算和除法运算即可求解. 【详解】复数的虚部为，故A错误； 复数的共轭复数为，故B正确； 复数的模为，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 10．下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 【答案】BCD 【分析】由向量坐标得到数量积，由题意得不等式，然后解得的取值范围，注意，判断A选项；设使得，解出的值，然后由投影向量得到结果判断B选项；由向量坐标得到数量积，由三角恒等变换化简整理后由范围求得数量积取值范围，判断C选项；由三角形外心可得关系，然后列出，通过二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简数量积，判断D选项. 【详解】对于A，，由题意可知，则， 但当时，与的夹角为不为锐角，所以，A选项错误； 对于B，∵与方向相反，则存在使得，， 即，解得或， 当时，（舍去），所以，即， 所以在上的投影向量，B选项正确； 对于C，，，∴， ∴，C选项正确； 对于D，设，， ∴， ∵ 由正弦定理可知， ，， ∴， ∵， 由余弦定理，， ∴， D选项正确. 故选：BCD. 11．如图，正八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则下列结论正确的是（    ） A．点D到平面的距离为 B．一蚂蚁从点A爬到点C的最短距离为4 C．此八面体的外接球半径为 D．此八面体的内切球半径为 【答案】ACD 【分析】根据给定的几何体，利用等体积法求出距离判断A；把置于同一平面求出两点间距离判断B，确定正八面体的外接球球心判断C；借助体积求出内切球半径判断D. 【详解】连接，由四边形、、是正方形，得相交于点， 且平面，，四棱锥的体积， 对于A，令点D到平面的距离为，， 由，得，解得，A正确； 对于B，把置于同一平面，如图， 连接，显然都是边长为2的正三角形，则，B错误； 对于C，显然，因此点在以为半径的球面上， 所以此八面体的外接球半径为，C正确； 对于D，设此八面体的内切球半径为，显然八面体的表面积为， 体积为，又，即，解得， 所以此八面体的内切球半径为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ． 【答案】19 【分析】由题意可得方程的另一个根为，然后利用根与系数的关系可求出的值，从而可求出 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以，解得， 所以， 故答案为：19 13．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理求底面外接圆半径，结合直棱柱外接球的性质列式求半径，进而可得表面积. 【详解】设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱柱的外接球的球心为半径为， 取的中点，可知，且∥， 则，， 可得，， 所以三棱柱的外接球表面积为. 故答案为：. 14．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由，则，再由余弦定理和基本不等式求得，得到，即可求解． 【详解】如图，在中，，点为的中点，点为的中点，，则． 设，，由余弦定理可得， 又，故，当且仅当时取等号． 又， 则， 则 即的最大值为 故答案为：． 四、解答题 15．如图，在正方体中，，分别为，的中点． (1)证明直线平面； (2)设，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法及锥体的体积公式计算即得. 【详解】（1）在正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别为的中点，得，则， 而平面，平面，所以直线平面. （2）在正方体中，平面，而， 所以三棱锥的体积. 16．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理，得， 所以，，， 所以 ， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故； （2）由（1）及已知有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 17．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)元 (3)时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是 【分析】（1）根据条件，可得，根据体积公式，分别求得正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，相加即可得答案. （2）根据条件，求得各个长度，进而可得正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，根据单价，即可得答案. （3）设，可表示出各个长度，进而可得下部分的侧面积为的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积. 所以仓库的容积. （2）如图，连接，取的中点，连接. 在正四棱锥中，， 所以. 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为：. 正四棱柱的侧面积为： 则粉刷总费用为： 元. （3）设，下部分的侧面积为，连接， 则， 则， 设， 当，即时，， 故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是. 18．已知向量，，记函数. (1)若为偶函数，求的最小值； (2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用数量积坐标公式计算化简，再应用函数是偶函数得出即可得出最小值； （2）应用平移得出，再应用零点得出，进而应用个数得出的最小值. 【详解】（1）， 因为为偶函数， 所以，， 因此当时，. （2）把图象向右平移个单位长度， 得到函数，， 令，则. 所以，或，， 解得，或，. 函数的每个周期内有2个零点， 函数在一个周期内有两个零点，20个零点即10对， 为使区间长度最小，该区间应从第1个零点延续到第20个零点， 所以的最小值为. 19．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题，， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $