湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测7

高一13班数学周测7答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 3．在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 5．记的内角，，的对边分别为，，，，，为边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 8．已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（      ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在定义域内是减函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（   ） A．圆台的母线长为6 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为24π D．圆台外接球的半径为4 11．已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（    ） A．时方程有3个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 三、填空题 12．已知向量，，， ． 13．如图，在长方体中，,，，则三棱锥的体积为 ． 14．对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为 . 四、解答题 15．函数，其中，若，使得，求的取值范围． 16．已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形．    (1)求该圆锥的体积与表面积，侧面展开图的扇形面积； (2)该圆锥内切球半径为，内接正方体棱长为，分别求出的值． 17．已知函数． (1)若的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集； (3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．如图，在中，的角平分线交于点，且，. (1)求证：； (2)求的面积. 五、解答题-证明题 19．（1）对于正实数求证:; （2）已知函数，利用（1）的结论，求函数的最小值，并求出此时对应的的值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测7答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，进而，结合复数的乘法计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 故选：B 2．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 3．在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】由题可知 ， ，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：B 4．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】过作轴，交轴于，求出的长，由斜二测画法的规则可知，即为的边上的高. 【详解】如图，过作轴，交轴于， 在中，因为与轴垂直，且，， 所以， 由斜二测画法知：，所以的边上的高为8. 故选：D.    5．记的内角，，的对边分别为，，，，，为边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，得到，分别在和，利用余弦定理，求得和，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】设，则， 在 中，得， 在中，得， 因为，所以， 即，解得或（舍），所以. 故选：C.    6．在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 7．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 8．已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 二、多选题 9．下列说法正确的是（      ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在定义域内是减函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】求出抽象函数定义域判断A；由单调性判断B；求出函数值域判断C；利用方程组法求出解析式判断D. 【详解】对于A，在函数中，，则，因此函数的定义域为，A正确； 对于B，函数的定义域为，在定义域内不单调，B错误； 对于C，函数的定义域为R，，则，C错误； 对于D，由，得，联立解得，D错误. 故选：AD 10．如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（   ） A．圆台的母线长为6 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为24π D．圆台外接球的半径为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用圆台的几何结构特征，求得圆台的母线长，可得判定A错误；利用圆台的体积公式，求得圆台的体积，可判定B正确；利用圆台的侧面积公式，求得圆台的侧面积，可判定C正确；设圆台的外接球的球心到上底面的距离为，利用球的截面圆的性质，求得，进而的球的半径，可判定D正确. 【详解】由题意知，圆台的上、下底面圆的半径分别为和，高， 则圆台的母线长为，所以A错误； 圆台的体积为，所以B正确； 圆台的侧面积为，所以C正确； 设圆台的外接球的球心到上底面的距离为， 由球的截面圆的性质，可得，解得， 所以球的半径为，所以D正确. 故选：BCD. 11．已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（    ） A．时方程有3个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】画出函数图象，结合图象逐个判断即可. 【详解】方程根的问题可以转换成和图象交点问题， 对于A：由图象可知：时方程有3个不同的实数根，正确； 对于B：当时，结合图象可知，方程无解，故错误； 对于C：由图象可知和由3个交点时，的取值范围为，故正确； 对于D：假设，结合图象可知，所以，故正确. 故选：ACD 三、填空题 12．已知向量，，， ． 【答案】 【分析】由已知可得，展开化简后可得结果. 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 13．如图，在长方体中，,，，则三棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的结构特征，利用等体积法，转化求解即可． 【详解】由题意可知，三棱锥C-A1BC1的体积就是A1-CBC1的体积， 可得= 故答案为6． 【点睛】本题考查三棱锥体积计算，常用方法等体积法，利用等体积法可以解决体积和点到面的距离问题． 14．对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，必有， 故要使得取得最大值，必须当， 此时， 所以， 令， 则 ， 当且仅当即时取等号， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题 15．函数，其中，若，使得，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意，可得函数在的图象上至少有2个最大值，结合正弦函数的图像性质，即可求解. 【详解】由题可知，函数的最大值是， 若，使得， 则在的图象上至少有2个最大值， 即在上至少有两个解， 因为，所以，所以，解得． 综上，的取值范围是． 16．已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形．    (1)求该圆锥的体积与表面积，侧面展开图的扇形面积； (2)该圆锥内切球半径为，内接正方体棱长为，分别求出的值． 【答案】(1)，侧面积 (2)， 【分析】（1）由题意可得圆锥的几何元素，利用其体积公式以及表面积、侧面积公式，可得答案； （2）由题意作图，结合直角三角形，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由轴截面为边长为4的等边三角形， 可得底面半径，高为，母线长， 于是， . （2）如图1，易知，可得在中，，解得， 如图2，易知，可得在中，，解得，    17．已知函数． (1)若的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集； (3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 （2）因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3）由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 18．如图，在中，的角平分线交于点，且，. (1)求证：； (2)求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，，在中，利用正弦定理即可证明； （2）利用和差公式、倍角公式可得，由，结合倍角公式、同角关系式可得，继而可得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1），， 的角平分线交于点； ，， 在中，由正弦定理得，即， （2） ， ， ， ， ， ，或（舍）， 所以， ， . 五、解答题-证明题 19．（1）对于正实数求证:; （2）已知函数，利用（1）的结论，求函数的最小值，并求出此时对应的的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值，此时 【分析】（1）作差，结合基本不等式求解即可； （2）由条件可得，再化为，结合（1）的结论求解即可； 【详解】（1），① 因为于正实数所以，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以①，即. （2）由题意可得，解得， ， 因为，所以， 故，即， 由（1）可得，， 当且仅当即时取等号， 又，所以，此时. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $