湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测6

高一13班数学周测6 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（   ） A．复数的模为5 B．复数的共轭复数为 C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限 3．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在中，点满足，，若，则分别为（    ） A． B． C． D． 5．连接圆形花圃圆周上的三点，，，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，，则该花圃的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 7．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C．“”的必要不充分条件是“” D．集合中的元素个数为8 10．如图，在中，，，，，是线段的中点，连接并延长，交线段于点，则（    ）    A． B． C． D． 11．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，已知，，则下列结论正确的是（    ）    A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥内切球的半径为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题 12．一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是 ．    13．已知定义在上的函数具有下列性质： ①对任意非零实数，，都有， ②在区间上，单调递增； ③是偶函数. 写出函数可能的一个解析式： . 14．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 16．如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm．    (1)求四棱台的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 17．已知. (1)将改写为的形式; (2)求的最小正周期，并写出单调递增区间; (3)若，求的值. 18．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 19．在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，D为AC边上的一点，且，，求AC的最大值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测6 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用并集的结果列式求解. 【详解】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 2．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（   ） A．复数的模为5 B．复数的共轭复数为 C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【分析】根据复数模的运算公式、共轭复数的定义，结合复数虚部定义、复数在复平面对应点的位置逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项说法不正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：因为复数的虚部为，所以本选项说法不正确； D：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，它位于第四象限， 所以本选项说法正确， 故选：D 3．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面半径和高，利用圆锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆， 所以，则， 又圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r， 则 ，， 则圆锥的高为， 故该圆锥的体积为， 故选：C 4．在中，点满足，，若，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算，结合平面向量基本定理列式求解. 【详解】由，得，由，得是边中点，， 因此， 又，且不共线， 所以. 故选：A 5．连接圆形花圃圆周上的三点，，，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，，则该花圃的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积公式和余弦定理得出，再结合正弦定理得出外接圆的半径，求外接圆面积即可. 【详解】由题意可得， 根据余弦定理可得，所以， 又，则, 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 可得， 故花圃的面积即为外接圆的面积． 故选：B 6．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 7．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得的最小值，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】由题意知：实数，且， 又 因为 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B 8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案． 【详解】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以 所以． 故选：B． 【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为． 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C．“”的必要不充分条件是“” D．集合中的元素个数为8 【答案】BCD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义与集合的表示方法一一分析选项即可. 【详解】对于A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 对于B，若“方程有一个正根和一个负根”，则， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件， 故.B正确； 对于C，因为，但或， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，易知，共有8个元素，所以D正确. 故选：BCD 10．如图，在中，，，，，是线段的中点，连接并延长，交线段于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平面向量的线性定理、向量的数量积公式、向量模的公式逐项计算即可. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为，，三点共线，所以，. 因为，，三点共线，所以，解得，所以，A正确. 因为，所以，B错误. 在中，由余弦定理可得，所以. 因为，则，C正确. 因为，，，所以， 所以，D错误. 故选：AC. 11．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，已知，，则下列结论正确的是（    ）    A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥内切球的半径为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意可知圆锥母线长为，底面圆半径为，由扇形面积公式可计算得圆锥的侧面积为，即A正确；易知当时，三棱锥体积的最大值为，所以B正确；将圆锥内切球的半径转化为内切圆的半径，可得，可知C错误；将以为轴旋转到与共面，由侧面展开图利用余弦定理可求得的最小值为，即D正确. 【详解】由，圆锥母线长可得， 所以底面圆半径为，又显然，可得， 对于A，圆锥的侧面积为，即A正确； 对于B，易知当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，即B正确； 对于C，圆锥内切球的半径即为轴截面内切圆的半径，不妨设为， 利用等面积法可得，可得，所以C错误； 对于D，若，可得，又，所以； 又因为，所以为等边三角形，， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，且，如下图所示：    所以的最小值即为， 又因为,, 由余弦定理可得， 可得，即D正确； 故选：ABD 三、填空题 12．一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是 ．    【答案】8 【分析】由斜二测画法可知，平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半. 【详解】根据斜二测画法还原图形，根据直观图可得正方形的对角线的长为， 所以原图形中对应线段的长度为. 如图所示：    所以原图形中平行四边形的一条边的边长为：. 所以周长为：. 故答案为：. 13．已知定义在上的函数具有下列性质： ①对任意非零实数，，都有， ②在区间上，单调递增； ③是偶函数. 写出函数可能的一个解析式： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据性质①可知满足对数运算性质，由性质②可知对数函数的底数应大于1，再由偶函数性质可限定0处的函数值，得出结果. 【详解】根据性质①知满足对数运算性质，因此该函数可以是对数函数， 由性质②在区间上单调递增，知该对数函数的底数应大于1， 再由偶函数性质，知：若为对数函数，真数为形式即可， 由定义域为，需单独说明0处的函数值即可. 因此函数可以是. 故答案为：（答案不唯一） 14．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，据此即可求解. 【详解】设，则， 在中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，当时，有最小值，此时取最小值， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示的长，求得何时取得最小值，属于中档题. 四、解答题 15．已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【详解】（1）因为复数满足， 所以， 所以. 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 16．如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm．    (1)求四棱台的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正四棱台的性质，求出侧面等腰梯形的高，再分别计算每个面的面积，相加即可得棱台的表面积； （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高，再根据圆台的体积公式计算即可. 【详解】（1）正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接，作交于， 如图所示，因为，，且，则四边形为矩形， 则，，，， 所以， 所以四棱台的表面积为．    （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高， 则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高， 则圆台的体积为． 17．已知. (1)将改写为的形式; (2)求的最小正周期，并写出单调递增区间; (3)若，求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由诱导公式及辅助角公式进行求解； （2） 由周期公式及单调性求解； （3）由，由两角和的余弦公式求解． 【详解】（1）. （2）的最小正周期为， 令，得， 单调递增区间为 （3）因为，所以，即， 因为，所以，所以， 所以 . 18．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用周期函数定义证明即可； （2）当时，可得出，再由可求得解析式； （3）计算出的值，再利用函数的周期性即可解出. 【详解】（1）∵对任意实数，恒有， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. （2）∵，∴. 当时，， 此时. （3）当时，；当时，. ∴， ∴，又函数的一个周期为4， ∴ . 19．在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，D为AC边上的一点，且，，求AC的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小； （2）由，得出，得出，结合余弦定理，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 因为，所以，所以 因为，所以 因为，所以， 所以，因为，所以 因为，所以，所以，所以； （2）因为D为AC边上的一点，且，， 所以， 所以， 所以，即， 在中，由余弦定理， 得 因为，所以 所以 因为，所以，所以， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以AC的最大值为 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $