湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测4

高一13班数学周测4 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知a、b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知为虚数单位，若，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．若非零向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 4．已知为内一点，满足，则与面积之比为（　　） A． B． C． D． 5．在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 6．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 8．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．设复数对应的向量分别为， (O为坐标原点)，则（    ）． A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象可由的图像向上平移个单位长度得到 C．的值域为 D．的图象关于点中心对称 11．已知不是直角三角形，若，则（    ） A． B．的最大值为 C． D． 三、填空题 12．已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 . 13．若，则 ． 14．如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是 ． 四、解答题 15．设复数，，其中. (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由. 16．如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R． (1)用向量方法证明：； (2)若，，求的值． 17．已知函数且的图象过点，． (1)求a的值； (2)当时，求方程的实数根； (3)记函数在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求k的取值范围． 18．如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的面积． 19．在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求； (3)求的最小值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测4 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知a、b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若，则， 当时，，，则，即成立，满足充分性. 当时，，但不成立，所以，不能推出，不满足必要性. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知为虚数单位，若，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等式求出复数，再根据复数的定义确定其虚部. 【详解】已知，等式两边同时除以可得， 为了将分母实数化，给分子分母同时乘以的共轭，则， 因为，所以， 那么，移项可得， 所以复数的虚部是. 故选：D. 3．若非零向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据绝对值三角不等式求得正确答案. 【详解】根据绝对值三角不等式有， 当且仅当同向时等号成立. 故选：D 4．已知为内一点，满足，则与面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，延长到，使得，以为邻边作平行四边形，故,所以且相似比为，所以的底边相同为，高的比等于,面积比等于相似比，故面积比为. 点睛：本题主要考查平面向量的加法运算，考查平面向量线性运算的几何意义即平行四边形法则，考查同底三角形面积的比较方法.由于题目给定，故先由平行四边形法则画出相对应的图像，由此确定点的位置，由于两个三角形底边相同，故只需比较两个三角形的高，由比例可得到高的比，由此求得面积比. 5．在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据两角和的正弦公式求得，进而结合正弦定理求解即可. 【详解】在中，，则， 因为，则，， 又，解得，，又， 在中，，所以， 所以， 所以. 故选：A. 6．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 整理可得：， 可得， 因为为三角形内角，，所以． 因为，所以， 因为，且，所以， 解得， 由余弦定理得， 解得．所以， 故选：A． 7．已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 【答案】C 【分析】作的边上的中线，过点作于点，过点作于点，根据数量积的几何意义可得，结合重心性质可得点重合，从而得解. 【详解】作的边上的中线， 因为为的外心，所以． 因为为的重心，所以． 过点作于点，过点作于点． 由及，由于为在方向上的投影向量， 由数量积的几何意义，得．    由及，得．而， 所以点重合，故． 故选：C． 8．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，则得，，利用“1”的代换及基本不等式求最值. 【详解】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．设复数对应的向量分别为， (O为坐标原点)，则（    ）． A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据复数的模的计算求得，判断A；根据向量共线的坐标表示可判断B；利用向量垂直的坐标表示可得，化简，根据其结果判断C；确定的几何意义是表示圆，利用的几何意义求得其最大值，判断D． 【详解】因为，所以，A正确； 由题意可知，， 若，则，B正确； 若，则，即， 故， 即仅当时，，时，，C错误； ，故，即， 则表示圆上的点到原点的距离， 故的最大值为，D正确， 故选：ABD． 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象可由的图像向上平移个单位长度得到 C．的值域为 D．的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【分析】利用正余弦函数的平方和为1，及正弦二倍角公式，结合配方法来化简原函数，从而可以对各选项进行判断. 【详解】对A，，则的周期为，A错误. 对B，，B正确. 对C，由知，故的值域为，C正确. 对D，由，得，故时，的图象关于点中心对称，D正确. 故选：BCD. 11．已知不是直角三角形，若，则（    ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】BCD 【分析】由正弦定理及余弦定可得，即有，从而判断A；结合基本不等式判断B；由A可知，结合三角恒等变换可得，再利用诱导公式化简即可判断C；由三角恒等变换可得，由A、余弦定理及正弦定理可得，再由三角恒等变换可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 即， 整理得：， 即，故A错误； 对于B，因为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 又因为， 所以， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由A可知， 即， 又因为 ， 即， 同理可得， 所以， 即， 所以，故C正确； 对于D，因为， 又因为， 所以， ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 . 【答案】 【分析】 l利用纯虚数的概念可求的值，再结合复数除法运算可求复数的值. 【详解】因为复数为纯虚数，可得，所以. 故答案为: . 13．若，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合元素的无序性和唯一性，结合分母不为零的条件，通过相等集合的元素对应关系分析讨论可能的对应情况即可求解. 【详解】已知集合， 若，则分母无意义，矛盾，因此， 所以，解得， 此时左边集合为，右边集合为， 所以且，得：， 若，则不满足集合元素的互异性，因此. 所以. 故答案为：. 14．如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值． 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下： 由已知条件可知，，，设，，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 四、解答题 15．设复数，，其中. (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由. 【答案】(1)(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据复数模的公式，列方程，即可求解； （2）首先计算，再根据复数的特征，列式求解. 【详解】（1），， 令，解得，即. （2），令， 该方程无实数解，故不存在，使得. 16．如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R． (1)用向量方法证明：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)-6 【分析】（1）存在，使得，利用向量的线性运算可得， 又由点R， A，C三点共线，且，可得，解得值，从而得证. （2）由题设得四边形ABCD是菱形，，数形结合，作于点H，利用投影向量的概念即可得在上的投影向量为，由向量的线性运算即可求解． 【详解】（1）证明：因为R在ED上，所以存在，使得， 故， 又因为点R在AC上，且，， 所以，得， 所以，所以． （2）因为， 和分别是和方向上的单位向量， 设，，则以，为邻边的平行四边形是菱形， 是该菱形的对角线， ，所以 与垂直，所以， 可得，所以平行四边形ABCD是菱形， 所以，， 作于点H，又因为E为AB的中点， 所以在上的投影向量为， 所以． 17．已知函数且的图象过点，． (1)求a的值； (2)当时，求方程的实数根； (3)记函数在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点在指数函数上代入计算求参； （2）化简方程列式计算结合指对数转化求解； （3）先根据指数函数的单调性得出函数值域，再根据必要条件定义列式计算求解. 【详解】（1）由题意得，，解得，因为，所以； （2）由（1）得，，当时，， 等价于，即， 即，所以，解得； （3）由（1）得，，当时，； 当时，在上单调递减，此时， 因为是的必要条件，所以， 所以，解得； 当时，在上单调递增，此时， 因为，所以，解得； 综上，实数k的取值范围为. 18．如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由条件先求角，进而在中应用正弦定理即可证明； （2）在中应用正弦定理可得，进而结合可得的值； （3）结合（2）的结果利用余弦定理可求与的关系，进而利用面积公式求解即可. 【详解】（1）证明：由，，得. 在中，有，得 ，即. （2）在中，，所以，即， 又. 于是，即. （3）因为，，， 所以， 得，即. 则. 19．在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求； (3)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和，可探索角的关系. （2）先利用（1）的结论，求角的正弦和余弦，再求角的正弦，利用正弦定理，可探索的关系，结合，可求的值，再用余弦定理求边. （3）先用表示，用正弦定理可得，再利用基本不等式，可求其最小值. 【详解】（1）因为，根据正弦定理得：. 又因为， 所以. 又为三角形内角，所以. （2）因为，， 所以，， . 所以. 由正弦定理得， 又，所以，. 由余弦定理得. 所以. （3）因为 . 由正弦定理 因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $